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Determinante e isomorfismo
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Jamie
Jul 7, 2015, 11:26:17 AM7/7/15
to
Per un certo teorema sappiamo che un'applicazione lineare è un
isomorfismo se e solo se il determinante della matrice associata ad F
(rispetto alle basi canoniche) è diverso da 0.
Mi chiedo: essa è condizione sufficiente?
Cioè se devo verificare che F sia un isomorfismo, mi basta calcolare il
determinante della matrice associata ad F rispetto alle basi canoniche
del dominio e codominio?
Mi sembra un metodo più veloce rispetto a verificare suriettività e
iniettività (beh poi dipende da quanto è grande la matrice e se è
quadrata!).
isomorfismo se e solo se il determinante della matrice associata ad F
(rispetto alle basi canoniche) è diverso da 0.
Mi chiedo: essa è condizione sufficiente?
Cioè se devo verificare che F sia un isomorfismo, mi basta calcolare il
determinante della matrice associata ad F rispetto alle basi canoniche
del dominio e codominio?
Mi sembra un metodo più veloce rispetto a verificare suriettività e
iniettività (beh poi dipende da quanto è grande la matrice e se è
quadrata!).
Giorgio Bibbiani
Jul 7, 2015, 11:51:28 AM7/7/15
to
Jamie ha scritto:
in cui lo citi...;-)
Comunque, data l'applicazione lineare F:V-->W,
si suppone ora che V e W abbiano uguale dimensione n,
altrimenti la matrice associata a F non sarebbe quadrata
e non avrebbe senso definirne il determinante, poi se
il determinante non e' nullo allora il nucleo di F e' solo
l'elemento nullo di V (perche'?) e F e' iniettiva, ma allora
per il teorema del rango la dimensione dell'immagine di V
secondo F e' n e F e' suriettiva.
> Cioè se devo verificare che F sia un isomorfismo, mi basta calcolare
> il determinante della matrice associata ad F rispetto alle basi
> canoniche del dominio e codominio?
Rispetto a _qualsiasi_ coppia di basi di dominio e codominio.
> Mi sembra un metodo più veloce rispetto a verificare suriettività e
> iniettività (beh poi dipende da quanto è grande la matrice e se è
> quadrata!).
Vedi che i determinanti cominciano a servire a qualcosa? ;-)
Ciao
--
Giorgio Bibbiani
> Per un certo teorema sappiamo che un'applicazione lineare è un
> isomorfismo se e solo se il determinante della matrice associata ad F
> (rispetto alle basi canoniche) è diverso da 0.
> Mi chiedo: essa è condizione sufficiente?
Intanto la risposta te la da' gia' il teorema nella forma
> isomorfismo se e solo se il determinante della matrice associata ad F
> (rispetto alle basi canoniche) è diverso da 0.
> Mi chiedo: essa è condizione sufficiente?
in cui lo citi...;-)
Comunque, data l'applicazione lineare F:V-->W,
si suppone ora che V e W abbiano uguale dimensione n,
altrimenti la matrice associata a F non sarebbe quadrata
e non avrebbe senso definirne il determinante, poi se
il determinante non e' nullo allora il nucleo di F e' solo
l'elemento nullo di V (perche'?) e F e' iniettiva, ma allora
per il teorema del rango la dimensione dell'immagine di V
secondo F e' n e F e' suriettiva.
> Cioè se devo verificare che F sia un isomorfismo, mi basta calcolare
> il determinante della matrice associata ad F rispetto alle basi
> canoniche del dominio e codominio?
> Mi sembra un metodo più veloce rispetto a verificare suriettività e
> iniettività (beh poi dipende da quanto è grande la matrice e se è
> quadrata!).
Ciao
--
Giorgio Bibbiani
Jamie
Jul 7, 2015, 11:57:48 AM7/7/15
to
On 07/07/2015 17:51, Giorgio Bibbiani wrote:
> Jamie ha scritto:
>> Per un certo teorema sappiamo che un'applicazione lineare è un
>> isomorfismo se e solo se il determinante della matrice associata ad F
>> (rispetto alle basi canoniche) è diverso da 0.
>> Mi chiedo: essa è condizione sufficiente?
>
> Intanto la risposta te la da' gia' il teorema nella forma
> in cui lo citi...;-)
In realtà il dubbio mi è venuto perché il teorema parla anche di altre
> Jamie ha scritto:
>> Per un certo teorema sappiamo che un'applicazione lineare è un
>> isomorfismo se e solo se il determinante della matrice associata ad F
>> (rispetto alle basi canoniche) è diverso da 0.
>> Mi chiedo: essa è condizione sufficiente?
>
> Intanto la risposta te la da' gia' il teorema nella forma
> in cui lo citi...;-)
condizioni, "tutte equivalenti", per esempio il fatto che deve essere
anche iniettiva e suriettiva, etc..
> Comunque, data l'applicazione lineare F:V-->W,
> si suppone ora che V e W abbiano uguale dimensione n,
> altrimenti la matrice associata a F non sarebbe quadrata
> e non avrebbe senso definirne il determinante,
> poi se il determinante non e' nullo allora il nucleo di F e' solo
> l'elemento nullo di V (perche'?)
e F e' iniettiva, ma allora
> per il teorema del rango la dimensione dell'immagine di V
> secondo F e' n e F e' suriettiva.
>> Cioè se devo verificare che F sia un isomorfismo, mi basta calcolare
>> il determinante della matrice associata ad F rispetto alle basi
>> canoniche del dominio e codominio?
>
> Rispetto a _qualsiasi_ coppia di basi di dominio e codominio.
matrice associata rispetto ad una coppia di basi qualsiasi, ma questa
matrice sarà sempre diversa? Di conseguenza, la matrice associata ad una
certa app. lineare non è unica?
>> Mi sembra un metodo più veloce rispetto a verificare suriettività e
>> iniettività (beh poi dipende da quanto è grande la matrice e se è
>> quadrata!).
>
> Vedi che i determinanti cominciano a servire a qualcosa? ;-)
capitolo XD
Jamie
Jul 7, 2015, 11:59:11 AM7/7/15
to
e dunque esistono anche applicazioni da R^n a R^n che non sono isomorfismi?
Giorgio Bibbiani
Jul 7, 2015, 12:16:02 PM7/7/15
to
Jamie ha scritto:
Pensaci un po'...
Ciao
--
Giorgio Bibbiani
> e dunque esistono anche applicazioni da R^n a R^n che non sono
> isomorfismi?
Jamie, io mi rifiuto di rispondere! ;-)))
> isomorfismi?
Pensaci un po'...
Ciao
--
Giorgio Bibbiani
Giorgio Bibbiani
Jul 7, 2015, 12:21:41 PM7/7/15
to
Jamie ha scritto:
un'applicazione lineare iniettiva e suriettiva, che dicesi
anche biiettiva...
...
matrice associata (se quadrata) vanno di pari passo.
Ad es.:
sia v un vettore generico in V, esprimilo per mezzo
delle sue componenti rispetto a una data base di V che
formeranno un dato vettore colonna, scegli una base
in W, sia A la matrice associata a F rispetto alle 2
date basi, determina le componenti del trasformato
di v tramite F moltiplicando la matrice A per il vettore
colonna che rappresenta v, imponi che il risultato sia
il vettore nullo di W, risolvi il sistema le cui incognite
sono le componenti di v utilizzando il fatto che
det(A) != 0, cosa ottieni?
...
o identicamente nulla), si'.
> Di conseguenza, la matrice associata ad
> una certa app. lineare non è unica?
E' unica solo una volta specificate le basi rispetto a cui la
matrice e' determinata.
Tra parentesi, ora potresti chiederti se e come cambia
il det. della matrice associata a una applicazione lineare
tra spazi vettoriali della stessa dimensione finita al cambiare
delle basi nei 2 SV, magari lo studierai piu' avanti...
Ciao
--
Giorgio Bibbiani
> On 07/07/2015 17:51, Giorgio Bibbiani wrote:
>> Jamie ha scritto:
>>> Per un certo teorema sappiamo che un'applicazione lineare è un
>>> isomorfismo se e solo se il determinante della matrice associata ad
>>> F (rispetto alle basi canoniche) è diverso da 0.
>>> Mi chiedo: essa è condizione sufficiente?
>>
>> Intanto la risposta te la da' gia' il teorema nella forma
>> in cui lo citi...;-)
>
> In realtà il dubbio mi è venuto perché il teorema parla anche di altre
> condizioni, "tutte equivalenti", per esempio il fatto che deve essere
> anche iniettiva e suriettiva, etc..
Per *definizione*, un isomorfismo tra spazi vettoriali e'
>> Jamie ha scritto:
>>> Per un certo teorema sappiamo che un'applicazione lineare è un
>>> isomorfismo se e solo se il determinante della matrice associata ad
>>> F (rispetto alle basi canoniche) è diverso da 0.
>>> Mi chiedo: essa è condizione sufficiente?
>>
>> Intanto la risposta te la da' gia' il teorema nella forma
>> in cui lo citi...;-)
>
> In realtà il dubbio mi è venuto perché il teorema parla anche di altre
> condizioni, "tutte equivalenti", per esempio il fatto che deve essere
> anche iniettiva e suriettiva, etc..
un'applicazione lineare iniettiva e suriettiva, che dicesi
anche biiettiva...
...
>> poi se il determinante non e' nullo allora il nucleo di F e' solo
>> l'elemento nullo di V (perche'?)
>
> mmm...c'entra qualcosa l'invertibilità della matrice?
Certo che si', invertibilita' dell'applicazione e della
>> l'elemento nullo di V (perche'?)
>
> mmm...c'entra qualcosa l'invertibilità della matrice?
matrice associata (se quadrata) vanno di pari passo.
Ad es.:
sia v un vettore generico in V, esprimilo per mezzo
delle sue componenti rispetto a una data base di V che
formeranno un dato vettore colonna, scegli una base
in W, sia A la matrice associata a F rispetto alle 2
date basi, determina le componenti del trasformato
di v tramite F moltiplicando la matrice A per il vettore
colonna che rappresenta v, imponi che il risultato sia
il vettore nullo di W, risolvi il sistema le cui incognite
sono le componenti di v utilizzando il fatto che
det(A) != 0, cosa ottieni?
...
> ho un dubbio su questa cosa: un'applicazione lineare può avere una
> matrice associata rispetto ad una coppia di basi qualsiasi, ma questa
> matrice sarà sempre diversa?
In generale, salvo eccezioni (ad es. applicazione identita'
> matrice associata rispetto ad una coppia di basi qualsiasi, ma questa
> matrice sarà sempre diversa?
o identicamente nulla), si'.
> Di conseguenza, la matrice associata ad
> una certa app. lineare non è unica?
matrice e' determinata.
Tra parentesi, ora potresti chiederti se e come cambia
il det. della matrice associata a una applicazione lineare
tra spazi vettoriali della stessa dimensione finita al cambiare
delle basi nei 2 SV, magari lo studierai piu' avanti...
Ciao
--
Giorgio Bibbiani
Jamie
Jul 7, 2015, 1:04:06 PM7/7/15
to
On 07/07/2015 18:15, Giorgio Bibbiani wrote:
> Jamie ha scritto:
>> e dunque esistono anche applicazioni da R^n a R^n che non sono
>> isomorfismi?
>
> Jamie, io mi rifiuto di rispondere! ;-)))
>
> Pensaci un po'...
posso dirti che esistono solo perché me ne è capitato fra le mani almeno
> Jamie ha scritto:
>> e dunque esistono anche applicazioni da R^n a R^n che non sono
>> isomorfismi?
>
> Jamie, io mi rifiuto di rispondere! ;-)))
>
> Pensaci un po'...
uno... (infatti la matrice aveva determinante 0...)
eh lo so che dovrei fare qualche connessione, ma non mi sovviene
giuro che è colpa del caldo :-O
BlueRay
Jul 7, 2015, 1:22:28 PM7/7/15
to
Se tutte le applicazioni lineari da V in W (spazi che hanno entrambi la stessa dimensione n) fossero isomorfismi, perche' inventare il nome "isomorfismo"? :-)))
Comunque, esistono app. lin. F:V-->W che non sono iniettive? Certo, basta che ker(F) abbia dimensione >0, ovvero sia il SSV generato da almeno un vettore.
Esistono app. lin. F:V-->W che non sono suriettive? Certo, basta che la dim di Im(F) sia inferiore a n.
--
BlueRay
Comunque, esistono app. lin. F:V-->W che non sono iniettive? Certo, basta che ker(F) abbia dimensione >0, ovvero sia il SSV generato da almeno un vettore.
Esistono app. lin. F:V-->W che non sono suriettive? Certo, basta che la dim di Im(F) sia inferiore a n.
--
BlueRay
Jamie
Jul 7, 2015, 1:39:51 PM7/7/15
to
On 07/07/2015 19:22, BlueRay wrote:
> Se tutte le applicazioni lineari da V in W (spazi che hanno entrambi la stessa dimensione n) fossero isomorfismi, perche' inventare il nome "isomorfismo"? :-)))
mi sembra un'ottima motivazione :-D
> Se tutte le applicazioni lineari da V in W (spazi che hanno entrambi la stessa dimensione n) fossero isomorfismi, perche' inventare il nome "isomorfismo"? :-)))
vabbč era una domanda scema in realtą
Jamie
Jul 7, 2015, 1:53:20 PM7/7/15
to
On 07/07/2015 18:21, Giorgio Bibbiani wrote:
> Per *definizione*, un isomorfismo tra spazi vettoriali e'
> un'applicazione lineare iniettiva e suriettiva, che dicesi
> anche biiettiva...
sì c'erano anche altri lemmi in quel teorema
> Per *definizione*, un isomorfismo tra spazi vettoriali e'
> un'applicazione lineare iniettiva e suriettiva, che dicesi
> anche biiettiva...
in pratica il dubbio mi è venuto perché pensavo che quella del
determinante fosse condizione necessaria ma non sufficiente.
però quel "se e solo se" in effetti...
>>> poi se il determinante non e' nullo allora il nucleo di F e' solo
>>> l'elemento nullo di V (perche'?)
>>
>> mmm...c'entra qualcosa l'invertibilità della matrice?
>
> Certo che si', invertibilita' dell'applicazione e della
> matrice associata (se quadrata) vanno di pari passo.
nucleo è per forza nullo?
> Ad es.:
> sia v un vettore generico in V, esprimilo per mezzo
> delle sue componenti rispetto a una data base di V che
> formeranno un dato vettore colonna, scegli una base
> in W, sia A la matrice associata a F rispetto alle 2
> date basi, determina le componenti del trasformato
> di v tramite F moltiplicando la matrice A per il vettore
> colonna che rappresenta v, imponi che il risultato sia
> il vettore nullo di W, risolvi il sistema le cui incognite
> sono le componenti di v utilizzando il fatto che
> det(A) != 0, cosa ottieni?
quella nulla?
se il determinante fosse 0 significherebbe che c'è una colonna o una
riga tutta nulla, oppure che due righe o colonne sono proporzionali
oppure che una riga o una colonna è combinazione lineare di due o più
righe (colonne)...
in ognuno di questi 3 casi il sistema lineare (associato alla matrice
associata alla nostra F) presenterebbe infinite soluzioni il che è
incompatibile con l'esistenza del nucleo banale...è questo? se il
determinante non è 0 significa che il sistema o non ha soluzioni o ha
un'unica soluzione... (non sono sicura sul primo caso)
> Tra parentesi, ora potresti chiederti se e come cambia
> il det. della matrice associata a una applicazione lineare
> tra spazi vettoriali della stessa dimensione finita al cambiare
> delle basi nei 2 SV, magari lo studierai piu' avanti...
Giorgio Bibbiani
Jul 7, 2015, 2:39:44 PM7/7/15
to
Jamie ha scritto:
>> Ad es.:
>> sia v un vettore generico in V, esprimilo per mezzo
>> delle sue componenti rispetto a una data base di V che
>> formeranno un dato vettore colonna, scegli una base
>> in W, sia A la matrice associata a F rispetto alle 2
>> date basi, determina le componenti del trasformato
>> di v tramite F moltiplicando la matrice A per il vettore
>> colonna che rappresenta v, imponi che il risultato sia
>> il vettore nullo di W, risolvi il sistema le cui incognite
>> sono le componenti di v utilizzando il fatto che
>> det(A) != 0, cosa ottieni?
>
> un sistema lineare omogeneo con un'unica soluzione che è per forza
> quella nulla?
Certo.
> se il determinante fosse 0 significherebbe che c'è una colonna o una
> riga tutta nulla, oppure che due righe o colonne sono proporzionali
> oppure che una riga o una colonna è combinazione lineare di due o più
> righe (colonne)...
> in ognuno di questi 3 casi il sistema lineare (associato alla matrice
> associata alla nostra F) presenterebbe infinite soluzioni il che è
> incompatibile con l'esistenza del nucleo banale...è questo?
Si'.
> se il
> determinante non è 0 significa che il sistema o non ha soluzioni o ha
> un'unica soluzione... (non sono sicura sul primo caso)
La soluzione nulla deve averla...
Ciao
--
Giorgio Bibbiani
> lo so ma tu mi hai chiesto perché se il determinante non è nullo il
> nucleo è per forza nullo?
Si'.
> nucleo è per forza nullo?
>> Ad es.:
>> sia v un vettore generico in V, esprimilo per mezzo
>> delle sue componenti rispetto a una data base di V che
>> formeranno un dato vettore colonna, scegli una base
>> in W, sia A la matrice associata a F rispetto alle 2
>> date basi, determina le componenti del trasformato
>> di v tramite F moltiplicando la matrice A per il vettore
>> colonna che rappresenta v, imponi che il risultato sia
>> il vettore nullo di W, risolvi il sistema le cui incognite
>> sono le componenti di v utilizzando il fatto che
>> det(A) != 0, cosa ottieni?
>
> un sistema lineare omogeneo con un'unica soluzione che è per forza
> quella nulla?
> se il determinante fosse 0 significherebbe che c'è una colonna o una
> riga tutta nulla, oppure che due righe o colonne sono proporzionali
> oppure che una riga o una colonna è combinazione lineare di due o più
> righe (colonne)...
> in ognuno di questi 3 casi il sistema lineare (associato alla matrice
> associata alla nostra F) presenterebbe infinite soluzioni il che è
> incompatibile con l'esistenza del nucleo banale...è questo?
> se il
> determinante non è 0 significa che il sistema o non ha soluzioni o ha
> un'unica soluzione... (non sono sicura sul primo caso)
Ciao
--
Giorgio Bibbiani
Jamie
Jul 7, 2015, 2:44:53 PM7/7/15
to
On 07/07/2015 20:39, Giorgio Bibbiani wrote:
> Si'.
ah sono contenta, nonostante il caldo riesco ancora a mettere insieme
due ragionamenti quasi sensati :D
> Si'.
ah sono contenta, nonostante il caldo riesco ancora a mettere insieme
due ragionamenti quasi sensati :D
>
>> se il
>> determinante non è 0 significa che il sistema o non ha soluzioni o ha
>> un'unica soluzione... (non sono sicura sul primo caso)
>
> La soluzione nulla deve averla...
quindi è impossibile che non abbia soluzioni?
>> se il
>> determinante non è 0 significa che il sistema o non ha soluzioni o ha
>> un'unica soluzione... (non sono sicura sul primo caso)
>
> La soluzione nulla deve averla...
Giorgio Bibbiani
Jul 7, 2015, 2:58:03 PM7/7/15
to
Jamie ha scritto:
avere la soluzione nulla, indipendentemente dal fatto che
il determinante della matrice associata sia nullo o no?
Ciao
--
Giorgio Bibbiani
>>> se il
>>> determinante non è 0 significa che il sistema o non ha soluzioni o
>>> ha un'unica soluzione... (non sono sicura sul primo caso)
>>
>> La soluzione nulla deve averla...
>
> quindi è impossibile che non abbia soluzioni?
Ti torna che un sistema lineare omogeneo deve comunque
>>> determinante non è 0 significa che il sistema o non ha soluzioni o
>>> ha un'unica soluzione... (non sono sicura sul primo caso)
>>
>> La soluzione nulla deve averla...
>
> quindi è impossibile che non abbia soluzioni?
avere la soluzione nulla, indipendentemente dal fatto che
il determinante della matrice associata sia nullo o no?
Ciao
--
Giorgio Bibbiani
Jamie
Jul 7, 2015, 3:44:00 PM7/7/15
to
On 07/07/2015 20:57, Giorgio Bibbiani wrote:
> Ti torna che un sistema lineare omogeneo deve comunque
> avere la soluzione nulla, indipendentemente dal fatto che
> il determinante della matrice associata sia nullo o no?
sì hai ragione ho detto una cavolata, un sistema lineare omogeneo non
> Ti torna che un sistema lineare omogeneo deve comunque
> avere la soluzione nulla, indipendentemente dal fatto che
> il determinante della matrice associata sia nullo o no?
può non avere soluzioni!
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