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cifra delle unità di una potenza
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saturni....@gmail.com
Jun 8, 2014, 5:23:27 AM6/8/14
to
Salve,
è vero che la cifra delle unità di una potenza è la cifra delle unità della potenza della cifra delle unità della base?
Meglio con un esempio:
per determinare la cifra delle unità di
123456789^4
vorrei dire che posso equivalentemente determinare la
cifra delle unità 9^4 = 6561
ossia 1.
Questo procedimento è vero in generale? Se si potreste aiutarmi a capire perché?
Grazie A.S.
è vero che la cifra delle unità di una potenza è la cifra delle unità della potenza della cifra delle unità della base?
Meglio con un esempio:
per determinare la cifra delle unità di
123456789^4
vorrei dire che posso equivalentemente determinare la
cifra delle unità 9^4 = 6561
ossia 1.
Questo procedimento è vero in generale? Se si potreste aiutarmi a capire perché?
Grazie A.S.
feynman
Jun 8, 2014, 6:01:23 AM6/8/14
to
saturni....@gmail.com scrisse:
> Salve,
>
> � vero che la cifra delle unit� di una potenza � la cifra delle unit�
> della potenza della cifra delle unit� della base?
>
> Meglio con un esempio:
>
> per determinare la cifra delle unit� di
>
> ossia 1.
>
> Questo procedimento � vero in generale? Se si potreste aiutarmi a
> capire perch�?
Sia u la cifra delle unit�, il numero dato si pu� scrivere come
(10n+u) con un opportuno n intero.
Se lo elevi alla potenza k-esima ottieni (10n+u)^k e sviluppandolo col
binomio di Newton si vede che l'unico termine che non finisce per zero �
l'ultimo ossia u^k. Quindi la cifra delle unit� di u^k corrisponde alla
cifra delle unit� di (10n+u)^k.
Nel tuo esempio numerico
123456789=10*12345678+9
(10*12345678+9)^4= (10*12345678)^4+4* (10*12345678)^3*9^1+6*
(10*12345678)^2*9^2+4* (10*12345678)^1*9^3+9^4
I primi quattro prodotti hanno in comune il fattore 10^1 quindi la loro
somma � multiplo di 10, quindi non influisce sulla cifra delle unit� del
totale.
Per la cifra delle unit� resta da considerare solo il termine finale 9^4
che finisce appunto per 1.
ciao
feynman
> Salve,
>
> � vero che la cifra delle unit� di una potenza � la cifra delle unit�
> della potenza della cifra delle unit� della base?
>
> Meglio con un esempio:
>
> per determinare la cifra delle unit� di
>
> 123456789^4
>
> vorrei dire che posso equivalentemente determinare la
>
> cifra delle unit� 9^4 = 6561
> 123456789^4
>
> vorrei dire che posso equivalentemente determinare la
>
>
> ossia 1.
>
> Questo procedimento � vero in generale? Se si potreste aiutarmi a
> capire perch�?
Sia u la cifra delle unit�, il numero dato si pu� scrivere come
(10n+u) con un opportuno n intero.
Se lo elevi alla potenza k-esima ottieni (10n+u)^k e sviluppandolo col
binomio di Newton si vede che l'unico termine che non finisce per zero �
l'ultimo ossia u^k. Quindi la cifra delle unit� di u^k corrisponde alla
cifra delle unit� di (10n+u)^k.
Nel tuo esempio numerico
123456789=10*12345678+9
(10*12345678+9)^4= (10*12345678)^4+4* (10*12345678)^3*9^1+6*
(10*12345678)^2*9^2+4* (10*12345678)^1*9^3+9^4
I primi quattro prodotti hanno in comune il fattore 10^1 quindi la loro
somma � multiplo di 10, quindi non influisce sulla cifra delle unit� del
totale.
Per la cifra delle unit� resta da considerare solo il termine finale 9^4
che finisce appunto per 1.
ciao
feynman
El Filibustero
Jun 8, 2014, 6:06:04 AM6/8/14
to
On Sun, 8 Jun 2014 02:23:27 -0700 (PDT), saturni....@gmail.com
wrote:
>� vero che la cifra delle unit� di una potenza
>� la cifra delle unit� della potenza della cifra
>delle unit� della base?
Si'.
>Se si potreste aiutarmi a capire perch�?
perche' rappresentando con 10t+u il numero base della potenza (che ha
quindi come cifra delle unita' u), la sua n-esima potenza e'
(10t+u)^n = somma{k=0..n} (k su n) (10t)^k u^(n-k) =
= u^n + somma{k=1..n} (k su n) (10t)^k u^(n-k)
ma ogni addendo di questa somma e' multiplo di 10, in quanto
l'esponente di 10t e' almeno 1 e il coefficiente binomiale (k su n) e'
intero; allora tutta la somma{k=1..n} e' multipla di 10. Sommando un
multiplo di 10 a u^n non se ne altera la cifra delle unita': u^n ha la
stessa cifra delle unita' di (10t+u)^n. Ciao
wrote:
>� vero che la cifra delle unit� di una potenza
>delle unit� della base?
Si'.
>Se si potreste aiutarmi a capire perch�?
perche' rappresentando con 10t+u il numero base della potenza (che ha
quindi come cifra delle unita' u), la sua n-esima potenza e'
(10t+u)^n = somma{k=0..n} (k su n) (10t)^k u^(n-k) =
= u^n + somma{k=1..n} (k su n) (10t)^k u^(n-k)
ma ogni addendo di questa somma e' multiplo di 10, in quanto
l'esponente di 10t e' almeno 1 e il coefficiente binomiale (k su n) e'
intero; allora tutta la somma{k=1..n} e' multipla di 10. Sommando un
multiplo di 10 a u^n non se ne altera la cifra delle unita': u^n ha la
stessa cifra delle unita' di (10t+u)^n. Ciao
Maurizio Frigeni
Jun 8, 2014, 6:10:11 AM6/8/14
to
<saturni....@gmail.com> wrote:
> � vero che la cifra delle unit� di una potenza � la cifra delle unit�
> della potenza della cifra delle unit� della base?
> � vero che la cifra delle unit� di una potenza � la cifra delle unit�
� vera una cosa ancora pi� generale: se moltiplichi due numeri, ottieni
come cifra delle unit� la stessa che otterresti moltiplicando solo le
due cifre delle unit� dei numeri.
Per capire come mai, basta fare una moltiplicazione in colonna.
M.
--
Per rispondermi via e-mail togli l'ovvio.
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