Rettangoli di perimetro fissato e area massima
IgnazioC
Questo è un classico problema di ricerca di massimi e minimi vincolati
ma ho qualche problema nella risoluzione, potete aiutarmi?
il problema dice:
Tra tutti i rettangoli di perimetro 2P qual'è quello di area massima?
io ho impostato il problema definendo una funzione in due variabili F
(x,y) = x*y ed il vincolo che x+y = P
risolvendo con i moltiplicatori di Lagrange ricavo che i punti critici
hanno coordinate (P/2; P/2) quindi stiamo parlando di quadrati...ma
come faccio ad affermare che quello è un punto di MASSIMO? io so solo
che è un punto critico, in realtà non potrebbe essere anche un punto
di minimo?
Ho visto in rete che in alcuni casi viene tirato in ballo anche il
teorema di weirestrass sull'esistenza di massimi e minimi per funzioni
definite in un compatto. in questo caso come mi potrebbe aiutare??
grazie a tutti per i consigli.
Paperone
D'accordo, ma chi te lo fa fare? Devi massimizzare la funzione di due
variabili (x,y)->xy sotto il vincolo x+y=P.
Ricava y dall'equazione del vincolo, e sostituisci nella funzione.
Avrai cosi' una funzione di una sola variabile, e il gioco e' fatto!
La natura dei punti critici trovati con i moltiplicatori di Lagrange
si
studia ma non e' banale. Devi calcolare la derivata seconda vincolata
(non quella libera), e studiarne la segnatura. Oppure puoi usare
accorgimenti caso per caso. Siccome il tuo problema e' da liceo,
non c'e' bisogno di tutto questo armamentario.
Paperon de' Paperoni
ordinato
> io ho impostato il problema definendo una funzione in due variabili F
> (x,y) = x*y ed il vincolo che x+y = P
>
> risolvendo con i moltiplicatori di Lagrange
perch� a due variabili e non a una? Sarebbe banale.
Andrea M.
> On 25 Ago, 08:59, IgnazioC <ignaz...@gmail.com> wrote:
>
>
>
> > Salve a tutto il NG.
> > Questo è un classico problema di ricerca di massimi e minimi vincolati
> > ma ho qualche problema nella risoluzione, potete aiutarmi?
> > il problema dice:
> > Tra tutti i rettangoli di perimetro 2P qual'è quello di area massima?
>
> > io ho impostato il problema definendo una funzione in due variabili F
> > (x,y) = x*y ed il vincolo che x+y = P
>
> > risolvendo con i moltiplicatori di Lagrange ricavo che i punti critici
> > hanno coordinate (P/2; P/2) quindi stiamo parlando di quadrati...ma
> > come faccio ad affermare che quello è un punto di MASSIMO? io so solo
> > che è un punto critico, in realtà non potrebbe essere anche un punto
> > di minimo?
>
> > Ho visto in rete che in alcuni casi viene tirato in ballo anche il
> > teorema di weirestrass sull'esistenza di massimi e minimi per funzioni
> > definite in un compatto. in questo caso come mi potrebbe aiutare??
>
> > grazie a tutti per i consigli.
>
> D'accordo, ma chi te lo fa fare? Devi massimizzare la funzione di due
> variabili (x,y)->xy sotto il vincolo x+y=P.
> Ricava y dall'equazione del vincolo, e sostituisci nella funzione.
> Avrai cosi' una funzione di una sola variabile, e il gioco e' fatto!
>
senza fare conti:
le curve di livello della funzione xy sono iperboli con asintoti gli
assi che vanno a mano a mano allontanandosi dall'origine.
il vincolo x+y=k rappresenta una retta r di coefficiente angolare -1.
E' quindi evidente per ragioni geometriche e di simmetria che il
massimo della funzione si ottiene dove l'iperbole è tangente alla
retta r, cioè nel punto (k/2,k/2), cioè k^2/4
Simone
> senza fare conti:
>
> le curve di livello della funzione xy sono iperboli con asintoti gli
> assi che vanno a mano a mano allontanandosi dall'origine.
>
> il vincolo x+y=k rappresenta una retta r di coefficiente angolare -1.
>
> E' quindi evidente per ragioni geometriche e di simmetria che il
> massimo della funzione si ottiene dove l'iperbole � tangente alla
> retta r, cio� nel punto (k/2,k/2), cio� k^2/4
L'evidenza per ragioni geometriche non e' una buona argomentazione per
un principiante. Quando mi hanno insegnato questo metodo delle curve di livello
ad analisi 2, ricordo un momento di sbandamento. Per me non c'era tuta
questa evidenza geometrica! Tutto discende ovviamente dalla definizione
di punto critico
vincolato ad una varieta' (immersa): tutto cio' non e' molto piu'
facile del metodo dei moltiplicatori.
Giorgio Bibbiani
> Tra tutti i rettangoli di perimetro 2P qual'� quello di area massima?
Io farei cosi', come del resto ti e' gia' stato suggerito.
Il semiperimetro del rettangolo e' P, se x e' la lunghezza
di un lato allora P - x e' la lunghezza del lato adiacente,
l'area del rettangolo e' quindi A = x * (P - x),
consideriamo la funzione A(x) definita sull'intervallo chiuso e limitato
I = [0, P], A e' continua quindi assume massimo e minimo in I,
dato che A e' non negativa il minimo e' assunto in
corrispondenza degli estremi di I ove A si annulla
(in questo caso il rettangolo degenera in un segmento), e il
massimo in un punto x_0 interno all'intervallo, A e' derivabile
in tutti i punti interni a I e in x_0 la derivata deve essere nulla =>
P - x_0 - x_0 = 0 => x_0 = P / 2,
quindi il rettangolo di area massima e' un quadrato di lato
P/2 e area P^2 / 4.
Ciao
--
Giorgio Bibbiani
Andrea M.
> On 2009-08-25 12:06:57 +0200, "Andrea M." <andrea.m...@unito.it> said:
>
> > senza fare conti:
>
> > le curve di livello della funzione xy sono iperboli con asintoti gli
> > assi che vanno a mano a mano allontanandosi dall'origine.
>
> > il vincolo x+y=k rappresenta una retta r di coefficiente angolare -1.
>
> > E' quindi evidente per ragioni geometriche e di simmetria che il
>
> L'evidenza per ragioni geometriche non e' una buona argomentazione per
> un principiante.
Vero, ma in questo caso è assolutamente evidente.
Simone
>
> Vero, ma in questo caso � assolutamente evidente.
Guarda, se il nostro amico non ha ancora imparato a ridurre il numero
di variabili
in un semplice problema come questo, dubito che le ragioni geometriche
di simmetria lo possano illuminare. Ma spero di sbagliarmi.
IgnazioC
no, mi dispiace. non è evidente perchè non ho neanche idea di cosa sia
una curva di livello.
El Filibustero
>> > > le curve di livello della funzione xy sono iperboli con asintoti gli
>> > > assi che vanno a mano a mano allontanandosi dall'origine.
>>
>> > > il vincolo x+y=k rappresenta una retta r di coefficiente angolare -1.
>>
>> > > E' quindi evidente per ragioni geometriche e di simmetria che il
>> > > massimo della funzione si ottiene dove l'iperbole � tangente alla
>> > > retta r, cio� nel punto (k/2,k/2), cio� k^2/4
>>
>> > L'evidenza per ragioni geometriche non e' una buona argomentazione per
>> > un principiante.
>>
>> Vero, ma in questo caso � assolutamente evidente.
>
>no, mi dispiace. non � evidente perch� non ho neanche idea di cosa sia
>una curva di livello.
data la funzione z=f(x,y), la curva di livello l di f e' quella curva del
piano cartesiano xy tale che f(x,y)=l. Nel nostro caso e' l'iperbole
equilatera xy=l. Comunque non c'e' bisogno di moltiplicatori di Lagrange
ne' di calcolo differenziale per risolvere questo semplicissimo problema di
massimo. Ecco il ragionamento IMHO piu' elementare possibile.
Dato un rettangolo di base x e altezza y, con y>x, togliamogli dalla cima
un rettangolo di base x e altezza (y-x)/2 e incolliamolo sul lato destro, a
partire dal basso. Viene un quadrato di lato (x+y)/2 con l'angolo in alto a
destra sbeccato di un quadrato Q di lato (y-x)/2. Questa figura ha
ovviamente la stessa area e lo stesso perimetro. Ma lo stesso perimetro lo
avrebbe anche il quadrato (non sbeccato) di lato (x+y)/2, e la sua area
sarebbe maggiore di quella del rettangolo xy di una quantita' pari all'area
di Q. [tutto cio' non e' che la versione geometrica dell'identita'
algebrica ((x+y)/2)^2 = xy + ((y-x)/2)^2]. In poche parole, un rettangolo
con dimensioni diverse ha area minore del quadrato che ha per lato la media
delle sue dimensioni (e quindi lo stesso perimetro). A te trarre la
conclusione. Ciao
Simone
>
> data la funzione z=f(x,y), la curva di livello l di f e' quella curva del
> piano cartesiano xy tale che f(x,y)=l. Nel nostro caso e' l'iperbole
> equilatera xy=l. Comunque non c'e' bisogno di moltiplicatori di Lagrange
> ne' di calcolo differenziale per risolvere questo semplicissimo problema di
> massimo. Ecco il ragionamento IMHO piu' elementare possibile.
[CUT]
Bello, davvero. Ma rendiamoci conto che una persona che non sa impostare
questo problema (che appariva sul mio libro di quinta liceo) difficilmente
apprezzera' quelle che noi matematici definiamo "soluzioni elementari".
Per lui, con certezza quasi completa, la soluzione elementare e' quella
con i moltiplicatori di Lagrange, perche' richiede l'applicazione meccanica
di una regoletta appresa in precedenza.
Attenzione a non confondere il significato corrente di "elementare" con
il significato tecnico che usiamo in matematica :-)
El Filibustero
>Bello, davvero. Ma rendiamoci conto che una persona che non sa impostare
>questo problema (che appariva sul mio libro di quinta liceo) difficilmente
>apprezzera' quelle che noi matematici definiamo "soluzioni elementari".
>Per lui, con certezza quasi completa, la soluzione elementare e' quella
>con i moltiplicatori di Lagrange, perche' richiede l'applicazione meccanica
>di una regoletta appresa in precedenza.
E allora non puo' esserci risposta migliore di RTFM
Read
That
Fucking
Manual
Sicuramente sul suo fottuto manuale ci sara' la regoletta meccanica per
stabilire sine granu salis se il punto critico e' un massimo o un minimo.
Ciao
Simone
>
> E allora non puo' esserci risposta migliore di RTFM
>
> Read
> That
> Fucking
> Manual
>
> Sicuramente sul suo fottuto manuale ci sara' la regoletta meccanica per
> stabilire sine granu salis se il punto critico e' un massimo o un minimo.
Non scaldiamoci. Sono andato a rileggere il post di partenza: la sua
domanda riguardava esattamente quello che scrivi nell'ultima frase.
Siamo *noi* che abbiamo fatto gli "sboroni" :-) Praticamente nessuno
gli ha risposto a tema...
Simone
>
> Sicuramente sul suo fottuto manuale ci sara' la regoletta meccanica per
> stabilire sine granu salis se il punto critico e' un massimo o un minimo.
>
Per inciso, non e' facile trovare manuali dove il metodo delle derivate
successive
e' adattato all'ottimizzazione vincolata. RIcordo il Pagani-Salsa, e
forse nessun altro.
Purtroppo scrivere la derivata seconda vincolata e' quasi argomento da
analisi sulle varieta', e dunque non e' popolare nei testi elementari.
Andrea M.
Data una funzione f(x,y) in due variabili, le "curve di livello" (che
non è detto siano curve, ma non stiamo troppo a sottilizzare) sono i
luoghi dove la funzione è costante.
Nel caso della funzione f(x,y)=xy le curve di livello sono della forma
xy=k, quindi delle iperboli, che degenerano alla coppia degli assi nel
caso in cui k=0.
-----------------------------------------
Uno può, come si è detto, applicare spensieratamente (cioè, senza
pensare) le regole generali, ma se non si ha una comprensione dei casi
elementari che ammettono soluzioni semplici è dificile comprendere i
meccanismi e l'efficacia di dette regole generali.
Elio Fabri
> Non scaldiamoci. Sono andato a rileggere il post di partenza: la sua
> domanda riguardava esattamente quello che scrivi nell'ultima frase.
> Siamo *noi* che abbiamo fatto gli "sboroni" :-) Praticamente nessuno
> gli ha risposto a tema...
Quanto all'argomento, sono rimasto assai perplesso gia'
dall'enunciazione del problema; poi nell'apprendere che l'OP saprebbe
usare i moltiplicatori di Lagrange ma non sa che cosa sono le curve di
livello...
Ovviamente il problema ammette numerose soluzioni elementari, e mi
sono stupito che ci sia voluto un po' prima che comparisse l'identita'
algebrica che risolve tutto:
4xy = (x+y)^2 - (x-y)^2
dalla quale e' evidente che fissato x+y, xy ha un massimo per x-y=0.
Ma forse l'OP doveva risolvere un esercizio sui moltiplicatori di
Lagrange... Benissimo.
Non ci voleva molto a dire che uno sviluppo della funzione xy attorno
al punto critico, fino al secondo ordine, risolve comunque il
problema, senza geom. differenziale...
xy = x0*y0 + h*y0 + x0*k + h*k
(qui h e k sono gli incrementi di x,y, e lo sviluppo e' esatto, visto
che la funzione e' un polinomio di secondo grado).
Se la somma e' fissata, h+k=0, quindi
xy = x0*y0 + h*(x0-y0) - h^2 = x0*y0 - h^2
perche' nel punto critico x0=y0.
E' evidente che si tratta di un massimo.
Il metodo si applica a qualsiasi funzione che abbia derivate seconde
non particolari.
--
Elio Fabri
Simone
>
> Non ci voleva molto a dire che uno sviluppo della funzione xy attorno
> al punto critico, fino al secondo ordine, risolve comunque il
> problema, senza geom. differenziale...
>
> xy = x0*y0 + h*y0 + x0*k + h*k
>
> (qui h e k sono gli incrementi di x,y, e lo sviluppo e' esatto, visto
> che la funzione e' un polinomio di secondo grado).
> Se la somma e' fissata, h+k=0, quindi
>
> xy = x0*y0 + h*(x0-y0) - h^2 = x0*y0 - h^2
>
> perche' nel punto critico x0=y0.
> E' evidente che si tratta di un massimo.
> Il metodo si applica a qualsiasi funzione che abbia derivate seconde
> non particolari.
>
Direi piuttosto che si applica ai vincoli "banali", esplicitabili
elementarmente rispetto
ad una delle (due) variabili. Di fatto, mi pare che questo argomento
sia equivalente a ricavare dal vincolo una incognita per poi
sostituirla nella funzione.