Re: radice quadrata di un polinomio
AndreaM
> prendiamo l'anello dei polinomi in un'intederminata su un campo finito
> di caratteristica 2, che so, GF(2^m)[X]; in questo anello preso un
> polinomio e' definita ed e' unica la sua radice quadrata.
>
Mica vero. Qual è la radice quadrata del polinomio X ?
AndreaM
> definita e unica per tutti gli elementi di GF(2^m), ma in GF(2^m)[X] e'
> definita solo per (tutti? a naso direi di si') i polinomi di grado pari.
> la domanda comunque rimane: come calcolo la radice quadrata di un
> polinomio di grado pari in GF(2^m)[X]?
>
> --
In un anello A di caratteristica 2 la mappa x ---> x^2 è un
omomorfismo di anelli.
Questo vuol dire che in A[X] vale la formula
(a(0)+a(1)X+...+a(d)X^d)^2 = a(0)^2+a(1)^2X^2+...+a(d)^2X^{2d}
Inoltre, se A è un campo finito (di caratteristica 2) la mappa x-->x^2
è anche suriettiva.
Ne segue che i polinomi in A[X] che hanno radice quadrata sono tutti e
soli quelli in cui la X compare solo con esponenti pari (che NON sono
i polinomi di grado pari....) e di questi calcolare la radice quadrata
è del tutto ovvio.
radicale
Ma la radice quadrata di un polinomio P(a,b,c, ...) non e'
banalmente rad quadrata (P(a,b,c, ...)) ?????
AndreaM
>
> Ma la radice quadrata di un polinomio P(a,b,c, ...) non e'
> banalmente rad quadrata (P(a,b,c, ...)) ?????- Nascondi testo citato
>
In un generico anello A si dice che l'elemento b è (una) radice
quadrata dell'elemento a se b^2=a. Non è detto che un elemento abbia
radici quadrate. Ad esempio, qualunque sia l'anello dei coefficienti,
il polinomio X non ha radici quadrate, cioè non esiste alcun polinomio
il cui quadrato è X.
radicale
> In un generico anello A si dice che l'elemento b è (una) radice
> quadrata dell'elemento a se b^2=a. Non è detto che un elemento abbia
> radici quadrate. Ad esempio, qualunque sia l'anello dei coefficienti,
> il polinomio X non ha radici quadrate, cioè non esiste alcun polinomio
> il cui quadrato è X.
Oddio ... Non capisco scusa.
Ma i polinomi di cui parliamo non sono
quelli ad esempio come a^2 + c^2 + 2 ?
O come (a + b)^2 ?
E poi la solita somma, prodotto ecc ecc ?
Allora come e' possibile che dato
P(a,b,...n) io non possa sempre considerare
rad quadrata(P(a,b, ...n) ) ??
Davvero non capisco.
AndreaM
Dato un anello A arbitrario, l'anello dei polinomi in una variabile A
[X] è l'insieme di tutte le espressioni
a(0)+a(1)X+....+a(d)X^d
con d arbitrario, e a(0),....,a(d) in A, dove la somma ed il prodotto
di polinomi sono definiti nel modo solito.
Dato un polinomio P(X), chiedere se P(X) ammette radice quadrata vuol
dire chiedere se esiste un polinomio Q(X) tale che Q(X)^2=P(X). Questo
è qualche volta possibile (esempio banale (X)^2=X^2 ) e qualche volta
no (esempio: X non è scrivibile come quadrato di qualcosa).
E' vero che si può formalmente introdurre una radice quadrata di un
polinomio P(X), ma questo richiede di "uscire"da A[X] costruendo
anelli ancora più grandi, un po' come è necessario "ingrandire" Q
passando a campi più grandi quando si vogliono introdurre le radici
dei numeri interi.
radicale
> Dato un anello A arbitrario, l'anello dei polinomi in una variabile A
Cioe', per capire :
A e' l' anello, e diciamo "sopra" questo anello ci costruisci i
polinomi ? Ammazza come e' difficile !
Ma A poteva essere un campo, (volendo) giusto ?
Non e' che per forza deve essere un anello, giusto ?
(per capire)
> [X] è l'insieme di tutte le espressioni
Ma [X] e' una variabile che esprime un
elemento di A ? Perche' la metti in parentesi quadra ?
> a(0)+a(1)X+....+a(d)X^d
> con d arbitrario, e a(0),....,a(d) in A, dove la somma ed il prodotto
> di polinomi sono definiti nel modo solito.
Ma d e' fisso o no ?
Cioe' voglio dire, ad es. i polinomi che seguono appartengono
allo /stesso/ anello ?
LISTA :
a1 + a2 X
a1 + a2 X + a3 X^2
a1 + a2 X + a3 X^2 + a4 X^3
...
> Dato un polinomio P(X), chiedere se P(X) ammette radice quadrata vuol
> dire chiedere se esiste un polinomio Q(X) tale che Q(X)^2=P(X). Questo
> è qualche volta possibile (esempio banale (X)^2=X^2 ) e qualche volta
> no (esempio: X non è scrivibile come quadrato di qualcosa).
... Ma ... Che differenza c'e' tra (X)^2 e X^2 ?????
Pero' a parte la nomenclatura, "comincio" a capire qualcosa.
Praticamente tu dici che P(X) ha radice se c'e' un polinomio
Q(X) (tra quelli dell' anello, quindi "fatti" in /quel/ modo in
LISTA)
tale che Q(X) * Q(X) = P(X)
Ad esempio a^2 + 2bx + b^2 ha come radice a + x, e questo va
bene perche' e' della forma concessa ... Intendo cioe' che si
puo' trovare nella lista di polinomi che ho fatto sopra.
Ci sono vicino ?
Questo che segue non ho nemmeno il coraggio di leggerlo.
E' troppo per me. Ma se mi fai capire fin qui poi provo ad
affrontarlo.
Grazie, scusa eh se ti rompo le scatole ...
AndreaM
> On 29 Dic, 09:18, AndreaM <andrea.m...@unito.it> wrote:
>
> > Dato un anello A arbitrario, l'anello dei polinomi in una variabile A
>
> Cioe', per capire :
> A e' l' anello, e diciamo "sopra" questo anello ci costruisci i
> polinomi ?
Sì, prendi i polinomi nella variabile X a coefficienti elementi
dell'anello A.
>
> Ma A poteva essere un campo, (volendo) giusto ?
> Non e' che per forza deve essere un anello, giusto ?
> (per capire)
Un campo E' un particolare tipo di anello.
Certamente i polinomi a coefficienti in un campo sono un esempio molto
importante, ma per riuscire a sommare e moltiplicare fra loro polinomi
(cioè costruire un anello di polinomi) è sufficiente che i
coefficienti stiano in un anello.
Bada che i polinomi a coefficienti in un campo NON costituiscono un
campo. Ad esempio, l'elemento X non ammette inverso.
>
> > [X] è l'insieme di tutte le espressioni
>
> Ma [X] e' una variabile che esprime un
> elemento di A ? Perche' la metti in parentesi quadra ?
E' la notazione standard che denota l'anello dei polinomi: "A" è
l'anello dei coefficienti e ciò che si mette tra parentesi quadre sono
le variabili.
Ad es A[X], A[u,v], A[x_1,....,x_n], eccetera.
>
> > a(0)+a(1)X+....+a(d)X^d
> > con d arbitrario, e a(0),....,a(d) in A, dove la somma ed il prodotto
> > di polinomi sono definiti nel modo solito.
>
> Ma d e' fisso o no ?
d arbitrario non fisso. Non puoi considerare d fisso, perché operando
fra polinomi il grado cambia.
> ...
>
> > Dato un polinomio P(X), chiedere se P(X) ammette radice quadrata vuol
> > dire chiedere se esiste un polinomio Q(X) tale che Q(X)^2=P(X). Questo
> > è qualche volta possibile (esempio banale (X)^2=X^2 ) e qualche volta
> > no (esempio: X non è scrivibile come quadrato di qualcosa).
>
> ... Ma ... Che differenza c'e' tra (X)^2 e X^2 ?????
Nulla, infatti sono uguali... :-)
E' solo un modo di scrivere le cose in modo da sttolineare che X è
radice quadrata di X^2. (Anche -X lo è....)
>
> Pero' a parte la nomenclatura, "comincio" a capire qualcosa.
> Praticamente tu dici che P(X) ha radice se c'e' un polinomio
> Q(X) (tra quelli dell' anello, quindi "fatti" in /quel/ modo in
> LISTA)
> tale che Q(X) * Q(X) = P(X)
>
> Ad esempio a^2 + 2bx + b^2 ha come radice a + x, e questo va
> bene perche' e' della forma concessa ... Intendo cioe' che si
> puo' trovare nella lista di polinomi che ho fatto sopra.
per scrivere le cose precise a+bX è radice di a^2+2abX+b^2X^2... a
parte questo l'idea è quella.
>
> Questo che segue non ho nemmeno il coraggio di leggerlo.
>
Invece se te lo leggi con un minuto di calma vedrai che è chiaro.
radicale
>Sì, prendi i polinomi nella variabile X a coefficienti >elementi dell'anello A.
Un anello /qualsiasi/ ?
Quindi i coefficienti potrebbero essere anche
N ... Si ?
(N con + e * e' un anello, se non vado errato)
Ma a sua volta la variabile X puo' prendere
come valori cosa ? Sempre elementi di A ?
O puo' spaziare che so ... Su R ? O su C ?
Oppure su un insieme di funzioni addirittura !
O su un insieme di matrici !
>Un campo E' un particolare tipo di anello.
Si
>Certamente i polinomi a coefficienti in un campo sono un >esempio molto importante, ma per riuscire a sommare e >moltiplicare fra loro polinomi (cioè costruire un anello >di polinomi) è sufficiente che i coefficienti stiano in >un anello.
Si
>Bada che i polinomi a coefficienti in un campo NON >costituiscono un campo.
Si si.
>E' la notazione standard che denota l'anello dei >polinomi:
Ho capito
>"A" è l'anello dei coefficienti e ciò che si mette
>tra parentesi quadre sono le variabili.
>Ad es A[X], A[u,v], A[x_1,....,x_n], eccetera.
Si
>d arbitrario non fisso. Non puoi considerare d fisso, >perché operando fra polinomi il grado cambia.
Giusto, ci potevo arrivare anche da solo.
>Nulla, infatti sono uguali... :-)
>E' solo un modo di scrivere le cose in modo da >sttolineare che X è
>radice quadrata di X^2. (Anche -X lo è....)
Ok
>per scrivere le cose precise a+bX è radice di >a^2+2abX+b^2X^2...
Ma no, e' la radice di
a^2 + (bX)^2 + 2abX
e basta. Che cosa sono i puntini ?
Che c'e' dopo ?
>Invece se te lo leggi con un minuto di calma vedrai
>che è chiaro.
Prima voglio essere sicuro di aver capito
fin qui, poi mi ci metto.