Volume della sfera con integrale triplo

[Math Explorer]

Per calcolare il volume di una sfera tramite integrale triplo è sufficiente
porre f(x,y,z)=1 e utilizzare come dominio di integrazione l'equazione di
una sfera nello spazio x^2+y^2+z^2=a^2.

Quindi volendo integrare rispetto all'ordine z,y,x la situazione è la
seguente:

http://i55.tinypic.com/9uop08.jpg

Ad un certo punto, il testo effettua un cambio di variabile trasformando
\int sqrt[(a^2-x^2)-y^2]dy ponendo y=sqrt(a^2-x^2)*sen(t).

Non capisco il perché di questa scelta, che a prima analisi mi appare
completamente arbitraria. C'è una ragione per ritenere a priori che proprio
questa trasformazione semplifichi i calcoli, oppure si tratta di una
constatazione a posteriori? Da quali considerazioni è dettata questa scelta
di usare il seno? Un ragionamento geometrico?

Grazie

[cometa_luminosa]

On Mar 27, 10:38 am, "Math Explorer" <amathexplorerNOS...@yahoo.it>
wrote:

Tecnica standard di integrazione.
Gli integrali del tipo sqrt( A - x^2) dx si calcolano ponendo x =
sqrt(A)*sen(t) in modo da far comparire un sqrt(1 - sen^2(t)) =
cos(t). Il differenziale poi risulta: dx = sqrt(A)*cos(t) dt e quindi
diventa un integrale di A*cos^2(t) dt, che e' facilmente calcolabile.

--
cometa_luminosa