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Indipendenza/dipendenza lineare di polinomi
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Jamie
Feb 6, 2014, 9:18:00 AM2/6/14
to
Per esercizio devo verificare se questi polinomi:
1, x, x^2, x^3 in R[X] sono linearmente dip. o indip.
Se a,b,c,d sono gli scalari generici che uso per verificare se riesco ad
annullare una loro comibinazione lineare, il sistema mi viene
a=0
x=b
x=sqrt(c)
x=radice cubica di +/- d.
Posso concludere che sono linearmente dipendenti perché potrebbero
esistere dei valori di b,c,e d diversi da zero che soddisfano quei
requisiti?
1, x, x^2, x^3 in R[X] sono linearmente dip. o indip.
Se a,b,c,d sono gli scalari generici che uso per verificare se riesco ad
annullare una loro comibinazione lineare, il sistema mi viene
a=0
x=b
x=sqrt(c)
x=radice cubica di +/- d.
Posso concludere che sono linearmente dipendenti perché potrebbero
esistere dei valori di b,c,e d diversi da zero che soddisfano quei
requisiti?
Giorgio Bibbiani
Feb 6, 2014, 9:45:13 AM2/6/14
to
Jamie wrote:
> Per esercizio devo verificare se questi polinomi:
> 1, x, x^2, x^3 in R[X] sono linearmente dip. o indip.
>
> Se a,b,c,d sono gli scalari generici che uso per verificare se riesco
> ad annullare una loro comibinazione lineare,
Allora devi verificare se esistano a, b, c, d non tutti nulli tali che
> Per esercizio devo verificare se questi polinomi:
> 1, x, x^2, x^3 in R[X] sono linearmente dip. o indip.
>
> Se a,b,c,d sono gli scalari generici che uso per verificare se riesco
> ad annullare una loro comibinazione lineare,
valga identicamente:
(1) a + b x + cx^2 + d x^3 = 0
> il sistema mi viene
> a=0
> x=b
> x=sqrt(c)
> x=radice cubica di +/- d.
identicamente e' che tutti i coefficienti del polinomio nella (1)
siano nulli, cioe' ottieni il sistema:
(2)
a = 0
b = 0
c = 0
d = 0
> Posso concludere che sono linearmente dipendenti perché potrebbero
> esistere dei valori di b,c,e d diversi da zero che soddisfano quei
> requisiti?
combinazione lineare nulla ha tutti i coefficienti nulli.
Intuitivamente, se i polinomi fossero linearmente dipendenti
significherebbe che uno di essi si potrebbe esprimere come
c.l. dei rimanenti con coefficienti non tutti nulli, ma cio' non e'
possibile dato che i polinomi sono tutti di diverso ordine e
sicuramente il polinomio in questione e la data c.l. avrebbero
ad es. un diverso limite per x --> oo.
Ciao
--
Giorgio Bibbiani
Jamie
Feb 6, 2014, 10:18:52 AM2/6/14
to
On 06/02/2014 15:45, Giorgio Bibbiani wrote:
> Allora devi verificare se esistano a, b, c, d non tutti nulli tali che
> valga identicamente:
>
> (1) a + b x + cx^2 + d x^3 = 0
>
>> il sistema mi viene
>> a=0
>> x=b
>> x=sqrt(c)
>> x=radice cubica di +/- d.
>
> Quanto sopra e' sbagliato, la condizione per cui la (1) valga
> identicamente e' che tutti i coefficienti del polinomio nella (1)
> siano nulli,
Era la prima cosa che avevo pensato, ma mi sembra troppo facile e ho
> Allora devi verificare se esistano a, b, c, d non tutti nulli tali che
> valga identicamente:
>
> (1) a + b x + cx^2 + d x^3 = 0
>
>> il sistema mi viene
>> a=0
>> x=b
>> x=sqrt(c)
>> x=radice cubica di +/- d.
>
> Quanto sopra e' sbagliato, la condizione per cui la (1) valga
> identicamente e' che tutti i coefficienti del polinomio nella (1)
> siano nulli,
cercato di complicarmi la vita :-/
Solo che ho pensato e se la x valesse 0? Potrei avere degli scalari
diversi da zero a quel punto... cosa c'è di sbagliato in questa pensata?
Mancano solo 3 giorni all'esame e io sto ancora così...non ce la farò
mai :-((
Grazie.
Giacomo Degli Esposti
Feb 6, 2014, 10:28:03 AM2/6/14
to
la x tra le variabili del sistema. Invece in questo caso la x
deve rimanere un simbolo, non e' una incognita del tuo sistema.
Per aiutarti a non fare confusione, puoi pensare i polinomi
come se fossero dei vettori:
a1 + a2*x + a3*x^2 + a4*x^3 ...
corrisponde al vettore
(a1, a2, a3, a4, ...)
Quindi i tuoi polinomi 1, x, x^2 e X^3 sono equivalenti a
v1=(1,0,0,0)
v2=(0,1,0,0)
v3=(0,0,1,0)
v4=(0,0,0,1)
quindi devi trovare a, b, c, d tali che a*v1+b*v2+c*v3+d*v4= 0
In questo caso si vede a occhio che i 4 vettori sono l.i.
ciao
Giacomo
Giorgio Bibbiani
Feb 6, 2014, 10:39:28 AM2/6/14
to
Jamie wrote:
> Solo che ho pensato e se la x valesse 0? Potrei avere degli scalari
> diversi da zero a quel punto... cosa c'è di sbagliato in questa
> pensata?
Si vuole stabilire per quali valori dei coefficienti la combinazione
> Solo che ho pensato e se la x valesse 0? Potrei avere degli scalari
> diversi da zero a quel punto... cosa c'è di sbagliato in questa
> pensata?
lineare dei 4 polinomi sia il polinomio nullo, cioe' si annulli per
*ogni* valore di x.
Ciao
--
Giorgio Bibbiani
albert...@virgilio.it
Feb 6, 2014, 10:40:07 AM2/6/14
to
Il giorno giovedì 6 febbraio 2014 16:18:52 UTC+1, Jamie ha scritto:
> Solo che ho pensato e se la x valesse 0? Potrei avere degli scalari
> diversi da zero a quel punto... cosa c'è di sbagliato in questa pensata?
C'e' di sbagliato che deve valere *per qualunque valore x*.
> Solo che ho pensato e se la x valesse 0? Potrei avere degli scalari
> diversi da zero a quel punto... cosa c'è di sbagliato in questa pensata?
--
cometa_luminosa
Jamie
Feb 6, 2014, 10:45:45 AM2/6/14
to
Jamie
Feb 6, 2014, 11:08:36 AM2/6/14
to
Ho un esercizio che mi fornisce 3 vettori:
v1=(1,k,2) v2=(2,-2,0), v3=(k,0,-1)
e w=(1,0,1) e mi chiede di stabilire per quali valori di k w appartiene
allo span <v1,v2,v3>.
Come si risolve questo genere di esercizi?
La definizione di span mi dice che è l'insieme di tutte le combinazioni
lineari possibili.
Quindi se prendo come scalari i soliti a, b, c ottengo questa
combinazione lineare:
(a+2b+ck, ak-2b, 2a-c)
da qui non so proseguire (ammesso che sono sulla strada giusta)
v1=(1,k,2) v2=(2,-2,0), v3=(k,0,-1)
e w=(1,0,1) e mi chiede di stabilire per quali valori di k w appartiene
allo span <v1,v2,v3>.
Come si risolve questo genere di esercizi?
La definizione di span mi dice che è l'insieme di tutte le combinazioni
lineari possibili.
Quindi se prendo come scalari i soliti a, b, c ottengo questa
combinazione lineare:
(a+2b+ck, ak-2b, 2a-c)
da qui non so proseguire (ammesso che sono sulla strada giusta)
Giorgio Bibbiani
Feb 6, 2014, 11:35:03 AM2/6/14
to
sistema di 3 equazioni nelle 4 incognite a, b, c, k, poi stabilisci per
quali valori di k il sistema ammette soluzione.
Ciao
--
Giorgio Bibbiani
Jamie
Feb 6, 2014, 11:42:39 AM2/6/14
to
On 06/02/2014 17:35, Giorgio Bibbiani wrote:
>> (a+2b+ck, ak-2b, 2a-c)
>>
>> da qui non so proseguire (ammesso che sono sulla strada giusta)
>
> Imponendo che la c.l. che hai ottenuto sia uguale a w, ottieni un
> sistema di 3 equazioni nelle 4 incognite a, b, c, k, poi stabilisci per
> quali valori di k il sistema ammette soluzione.
>
> Ciao
Per una volta sono sulla strada giusta! Stavo proseguendo proprio così :)
>> (a+2b+ck, ak-2b, 2a-c)
>>
>> da qui non so proseguire (ammesso che sono sulla strada giusta)
>
> Imponendo che la c.l. che hai ottenuto sia uguale a w, ottieni un
> sistema di 3 equazioni nelle 4 incognite a, b, c, k, poi stabilisci per
> quali valori di k il sistema ammette soluzione.
>
> Ciao
Quindi essendo w=(1,0,1) il sistema da risolvere sarebbe:
a+2b+ck=1
ak-2b=0
2a-c=1
Giusto?
Giorgio Bibbiani
Feb 6, 2014, 12:01:29 PM2/6/14
to
Jamie wrote:
> Per una volta sono sulla strada giusta! Stavo proseguendo proprio
> così :) Quindi essendo w=(1,0,1) il sistema da risolvere sarebbe:
> a+2b+ck=1
> ak-2b=0
> 2a-c=1
>
> Giusto?
Certamente.
> Per una volta sono sulla strada giusta! Stavo proseguendo proprio
> così :) Quindi essendo w=(1,0,1) il sistema da risolvere sarebbe:
> a+2b+ck=1
> ak-2b=0
> 2a-c=1
>
> Giusto?
Ciao
--
Giorgio Bibbiani
Jamie
Feb 6, 2014, 12:13:07 PM2/6/14
to
Non riesco a risolverla :-/
O meglio arrivo a questa situazione:
a+2b+k(2a-1)=1
k=2b/a
c=2a-1
e non so proseguire
Giorgio Bibbiani
Feb 6, 2014, 12:24:32 PM2/6/14
to
Jamie wrote:
> Ehm...non ho molta esperienza con questo tipo di equazioni.
> Non riesco a risolverla :-/
Ad es. isoliamo c nella terza equazione e sostituiamola nella prima:
> Ehm...non ho molta esperienza con questo tipo di equazioni.
> Non riesco a risolverla :-/
a + 2b + (2a - 1)k = 1
ak - 2b = 0
c = 2a - 1
ora sommiamo la prima equazione alla seconda:
a + 3ak - k = 1
b = ak / 2
c = 2a - 1
Per ogni k != -1/3 allora il sistema ha una soluzione che si ricava
immediatamente per sostituzione, se k = -1/3 allora la prima
equazione diventa:
1/3 = 1 (FALSO)
e il sistema non ha soluzione, quindi soddisfano alla condizione
richiesta tutti i valori di k diversi da -1/3.
Ciao
--
Giorgio Bibbiani
Jamie
Feb 6, 2014, 12:46:22 PM2/6/14
to
On 06/02/2014 18:24, Giorgio Bibbiani wrote:
> Jamie wrote:
>> Ehm...non ho molta esperienza con questo tipo di equazioni.
>> Non riesco a risolverla :-/
>
> Ad es. isoliamo c nella terza equazione e sostituiamola nella prima:
>
> a + 2b + (2a - 1)k = 1
> ak - 2b = 0
> c = 2a - 1
>
> ora sommiamo la prima equazione alla seconda:
>
> a + 3ak - k = 1
> b = ak / 2
> c = 2a - 1
>
Lo hai potuto fare perché la seconda eq. era supposta = a 0?
> Jamie wrote:
>> Ehm...non ho molta esperienza con questo tipo di equazioni.
>> Non riesco a risolverla :-/
>
> Ad es. isoliamo c nella terza equazione e sostituiamola nella prima:
>
> a + 2b + (2a - 1)k = 1
> ak - 2b = 0
> c = 2a - 1
>
> ora sommiamo la prima equazione alla seconda:
>
> a + 3ak - k = 1
> b = ak / 2
> c = 2a - 1
>
> Per ogni k != -1/3 allora il sistema ha una soluzione che si ricava
> immediatamente per sostituzione, se k = -1/3 allora la prima
> equazione diventa:
Grazie...se supero questo esame hai una pizzata pagata XD
Jamie
Feb 6, 2014, 1:24:38 PM2/6/14
to
Se il sistema ha soluzione tutto R tranne -1/3 vuol dire che posso
assegnare a k qualsiasi valore tranne appunto -1/3 affinché il vettore
w=(1,0,1) faccia parte dello span di cui all'inizio?
Jamie
Feb 6, 2014, 1:35:24 PM2/6/14
to
On 06/02/2014 19:24, Jamie wrote:
>> Come hai ricavato quel -1/3?
>
> Ho capito, hai "ignorato" a praticamente.
no, ho detto una cazzata
>> Come hai ricavato quel -1/3?
>
> Ho capito, hai "ignorato" a praticamente.
sono cotta
Jamie
Feb 6, 2014, 3:22:59 PM2/6/14
to
Jamie
Feb 6, 2014, 5:01:50 PM2/6/14
to
On 06/02/2014 16:28, Giacomo Degli Esposti wrote:
> Quindi i tuoi polinomi 1, x, x^2 e X^3 sono equivalenti a
>
> v1=(1,0,0,0)
> v2=(0,1,0,0)
> v3=(0,0,1,0)
> v4=(0,0,0,1)
>
> quindi devi trovare a, b, c, d tali che a*v1+b*v2+c*v3+d*v4= 0
>
> In questo caso si vede a occhio che i 4 vettori sono l.i.
>
> ciao
> Giacomo
Grazie :)
> Quindi i tuoi polinomi 1, x, x^2 e X^3 sono equivalenti a
>
> v1=(1,0,0,0)
> v2=(0,1,0,0)
> v3=(0,0,1,0)
> v4=(0,0,0,1)
>
> quindi devi trovare a, b, c, d tali che a*v1+b*v2+c*v3+d*v4= 0
>
> In questo caso si vede a occhio che i 4 vettori sono l.i.
>
> ciao
> Giacomo
Jamie
Feb 6, 2014, 5:14:24 PM2/6/14
to
On 06/02/2014 18:24, Giorgio Bibbiani wrote:
> Per ogni k != -1/3 allora il sistema ha una soluzione che si ricava
> immediatamente per sostituzione, se k = -1/3 allora la prima
> equazione diventa:
>
> 1/3 = 1 (FALSO)
>
> e il sistema non ha soluzione, quindi soddisfano alla condizione
> richiesta tutti i valori di k diversi da -1/3.
Sempre nell'esercizio di cui sopra, la seconda domanda dice di trovare
> immediatamente per sostituzione, se k = -1/3 allora la prima
> equazione diventa:
>
> 1/3 = 1 (FALSO)
>
> e il sistema non ha soluzione, quindi soddisfano alla condizione
> richiesta tutti i valori di k diversi da -1/3.
per quali valori di k i 3 vettori sono linearmente indipendenti. Ho
fatto il solito sistema arrivando a trovare k=-1/3.
La risposta è per tutti i valori di k diversi da -1/3.... vediamo se ho
capito perché: se sostituisco il valore di k -1/3 alla prima equazione
del sistema ottengo 0=0 il che significa che il sistema ha infinite
soluzioni. Se il sistema ha infinite soluzioni allora ne consegue che ci
sono scalari non tutti nulli che annullano la somma delle c.l. e che
quindi per k=-1/3 i vettori sono linearmente dipendenti. Siccome
l'esercizio mi chiede di stabilire per quali valori di k i vettori sono
l.indipendenti, ne consegue che sono tutti gli altri eccetto -1/3,
infatti se provo ad es. a dare il valore 1 a k ottengo che le tre
variabili sono tutte nulle e che quindi i vettori sono lin. indip.
Domanda: quali altre possibilità c'erano nella risoluzione del sistema?
Ovvero cosa poteva capitare? Quando capitano questi sistemi, la prima
cosa da fare è cercare la soluzione del parametro, giusto?
Nota: e' venuto lo stesso valore dell'altro sistema, non penso che sia
un caso, mi sai dire se potevo risparmiarmi i conti e perché?
Grazie!!
Giorgio Bibbiani
Feb 7, 2014, 12:57:36 AM2/7/14
to
Jamie wrote:
> Sempre nell'esercizio di cui sopra, la seconda domanda dice di trovare
> per quali valori di k i 3 vettori sono linearmente indipendenti. Ho
> fatto il solito sistema arrivando a trovare k=-1/3.
La richiesta che i 3 vettori siano linearmente dipendenti equivale
> Sempre nell'esercizio di cui sopra, la seconda domanda dice di trovare
> per quali valori di k i 3 vettori sono linearmente indipendenti. Ho
> fatto il solito sistema arrivando a trovare k=-1/3.
a imporre che il determinante della matrice avente ad es. come
righe le loro componenti sia nullo, e infatti il valore k = -1/3
e' quello che rende nullo il determinante.
> Nota: e' venuto lo stesso valore dell'altro sistema, non penso che sia
> un caso,
indipendenti allora sicuramente w (e qualsiasi altro vettore di R^3)
si sarebbe potuto scrivere come una loro opportuna c.l..
> mi sai dire se potevo risparmiarmi i conti e perché?
si' ;-).
Ciao
--
Giorgio Bibbiani
Jamie
Feb 7, 2014, 4:43:52 AM2/7/14
to
On 07/02/2014 06:57, Giorgio Bibbiani wrote:
> Jamie wrote:
>> Sempre nell'esercizio di cui sopra, la seconda domanda dice di trovare
>> per quali valori di k i 3 vettori sono linearmente indipendenti. Ho
>> fatto il solito sistema arrivando a trovare k=-1/3.
>
> La richiesta che i 3 vettori siano linearmente dipendentiequivale
> a imporre che il determinante della matrice avente ad es. come
> righe le loro componenti sia nullo, e infatti il valore k = -1/3
> e' quello che rende nullo il determinante.
il determinate non l'ho ancora visto, sta nelle slide successive
> Jamie wrote:
>> Sempre nell'esercizio di cui sopra, la seconda domanda dice di trovare
>> per quali valori di k i 3 vettori sono linearmente indipendenti. Ho
>> fatto il solito sistema arrivando a trovare k=-1/3.
>
> La richiesta che i 3 vettori siano linearmente dipendentiequivale
> a imporre che il determinante della matrice avente ad es. come
> righe le loro componenti sia nullo, e infatti il valore k = -1/3
> e' quello che rende nullo il determinante.
non mi hai detto se il mio ragionamento era giusto o meno
>> Nota: e' venuto lo stesso valore dell'altro sistema, non penso che sia
>> un caso,
>
> Non e' un caso nel senso che se i 3 vettori fossero stati linearmente
> indipendenti allora sicuramente w (e qualsiasi altro vettore di R^3)
> si sarebbe potuto scrivere come una loro opportuna c.l..
>> mi sai dire se potevo risparmiarmi i conti e perché?
>
> *Io* non vedo grandi possibilita' di risparmio, magari qualcun'altro
> si' ;-).
in 2 equazioni
thanks!
albert...@virgilio.it
Feb 7, 2014, 5:37:52 AM2/7/14
to
Il giorno giovedì 6 febbraio 2014 16:45:45 UTC+1, Jamie ha scritto:
> On 06/02/2014 16:39, Giorgio Bibbiani wrote:
>
> > Si vuole stabilire per quali valori dei coefficienti la combinazione
> > lineare dei 4 polinomi sia il polinomio nullo, cioe' si annulli per
> > *ogni* valore di x.
>
> On 06/02/2014 16:39, Giorgio Bibbiani wrote:
>
> > Si vuole stabilire per quali valori dei coefficienti la combinazione
> > lineare dei 4 polinomi sia il polinomio nullo, cioe' si annulli per
> > *ogni* valore di x.
>
> Eccola lì...la parolina magica... :)
>
Per vedere se hai capito bene e, ovviamente, per aiutarti a comprendere meglio il concetto, ti chiedo di fare questo piccolo esercizio (non e' per nulla difficile ma se non sai come farlo perlomeno pensaci prima di chiedere lumi):
>
"dimostrare che le funzioni e^(3x) ed e^(5x) sono linearmente indipendenti".
Ciao.
--
cometa_luminosa
Jamie
Feb 7, 2014, 7:05:36 AM2/7/14
to
On 07/02/2014 11:37, albert...@virgilio.it wrote:
analisi per ora non l'ho piů fatto...
> Il giorno giovedě 6 febbraio 2014 16:45:45 UTC+1, Jamie ha scritto:
>> On 06/02/2014 16:39, Giorgio Bibbiani wrote:
>>
>>> Si vuole stabilire per quali valori dei coefficienti la combinazione
>>> lineare dei 4 polinomi sia il polinomio nullo, cioe' si annulli per
>>> *ogni* valore di x.
>>
>> Eccola lě...la parolina magica... :)
>> On 06/02/2014 16:39, Giorgio Bibbiani wrote:
>>
>>> Si vuole stabilire per quali valori dei coefficienti la combinazione
>>> lineare dei 4 polinomi sia il polinomio nullo, cioe' si annulli per
>>> *ogni* valore di x.
>>
>>
> Per vedere se hai capito bene e, ovviamente, per aiutarti a comprendere meglio il concetto, ti chiedo di fare questo piccolo esercizio
(non e' per nulla difficile ma se non sai come farlo perlomeno pensaci
prima di chiedere lumi):
>
> "dimostrare che le funzioni e^(3x) ed e^(5x) sono linearmente indipendenti".
e' la funzione esponenziale che mi mette in imbarazzo... l'esame di
> Per vedere se hai capito bene e, ovviamente, per aiutarti a comprendere meglio il concetto, ti chiedo di fare questo piccolo esercizio
(non e' per nulla difficile ma se non sai come farlo perlomeno pensaci
prima di chiedere lumi):
>
> "dimostrare che le funzioni e^(3x) ed e^(5x) sono linearmente indipendenti".
analisi per ora non l'ho piů fatto...
blupa...@alice.it
Feb 7, 2014, 9:25:19 AM2/7/14
to
Il giorno venerdì 7 febbraio 2014 13:05:36 UTC+1, Jamie ha scritto:
>
Pero' il metodo e' sempre il solito che con i polinomi. Negli esercizi che hai visto finora un polinomio e' un vettore di uno spazio vettoriale di funzioni, qui e' la stessa cosa. Ricordati la definizione di vettori linearmente indipendenti che ti ho dato: due vettori v1 e v2 sono lin. indip. se
c1*v1 + c2*v2 = 0 <=> c1 = c2 = 0
Il simbolo <=> significa "se e solo se".
--
BlueRay = cometa_luminosa
> On 07/02/2014 11:37, cometa wrote:
>
> > "dimostrare che le funzioni e^(3x) ed e^(5x) sono linearmente indipendenti".
>
> e' la funzione esponenziale che mi mette in imbarazzo... l'esame di
> analisi per ora non l'ho più fatto...
>
> > "dimostrare che le funzioni e^(3x) ed e^(5x) sono linearmente indipendenti".
>
> e' la funzione esponenziale che mi mette in imbarazzo... l'esame di
>
Pero' il metodo e' sempre il solito che con i polinomi. Negli esercizi che hai visto finora un polinomio e' un vettore di uno spazio vettoriale di funzioni, qui e' la stessa cosa. Ricordati la definizione di vettori linearmente indipendenti che ti ho dato: due vettori v1 e v2 sono lin. indip. se
c1*v1 + c2*v2 = 0 <=> c1 = c2 = 0
Il simbolo <=> significa "se e solo se".
--
BlueRay = cometa_luminosa
blupa...@alice.it
Feb 8, 2014, 8:19:46 AM2/8/14
to
Il giorno venerdì 7 febbraio 2014 13:05:36 UTC+1, Jamie ha scritto:
c1 v1 + c2 v2 = 0 <=> c1 = c2 = 0.
c1 e^(3x) + c2 e^(5x) = 0 e questa deve valere per tutti gli x, come gia' detto.
Scelgo arbitrariamente x = 0 e x = 1:
c1 + c2 = 0
e^3 c1 + e^5 c2 = 0
e^3 ed e^5 sono evidentemente due numeri diversi quindi la soluzione di quel sistema e' soltanto: c1 = c2 = 0 quindi le due funzioni (i due vettori) sono linearmente indipendenti.
Nota che fossero stati polinomi avresti usato lo stesso metodo...
--
BlueRay = cometa_luminosa
> On 07/02/2014 11:37, cometa_luminosa wrote:
>
> > "dimostrare che le funzioni e^(3x) ed e^(5x) sono linearmente indipendenti".
>
> e' la funzione esponenziale che mi mette in imbarazzo... l'esame di
>
Vedo che sei in crisi con questo esercizio quindi anche a beneficio di altri te lo faccio io. Per definizione due vettori v1 e v2 sono linearmente indipendenti se:
>
> > "dimostrare che le funzioni e^(3x) ed e^(5x) sono linearmente indipendenti".
>
> e' la funzione esponenziale che mi mette in imbarazzo... l'esame di
>
c1 v1 + c2 v2 = 0 <=> c1 = c2 = 0.
c1 e^(3x) + c2 e^(5x) = 0 e questa deve valere per tutti gli x, come gia' detto.
Scelgo arbitrariamente x = 0 e x = 1:
c1 + c2 = 0
e^3 c1 + e^5 c2 = 0
e^3 ed e^5 sono evidentemente due numeri diversi quindi la soluzione di quel sistema e' soltanto: c1 = c2 = 0 quindi le due funzioni (i due vettori) sono linearmente indipendenti.
Nota che fossero stati polinomi avresti usato lo stesso metodo...
--
BlueRay = cometa_luminosa
Jamie
Feb 8, 2014, 10:02:06 AM2/8/14
to
On 08/02/2014 14:19, blupa...@alice.it wrote:
> Vedo che sei in crisi con questo esercizio quindi anche a beneficio di altri te lo faccio io. Per definizione due vettori v1 e v2 sono linearmente indipendenti se:
> c1 v1 + c2 v2 = 0 <=> c1 = c2 = 0.
Sě, almeno questo l'ho capito :)
> Vedo che sei in crisi con questo esercizio quindi anche a beneficio di altri te lo faccio io. Per definizione due vettori v1 e v2 sono linearmente indipendenti se:
> c1 v1 + c2 v2 = 0 <=> c1 = c2 = 0.
> c1 e^(3x) + c2 e^(5x) = 0 e questa deve valere per tutti gli x, come gia' detto.
>
> Scelgo arbitrariamente x = 0 e x = 1:
>
> c1 + c2 = 0
> e^3 c1 + e^5 c2 = 0
> e^3 ed e^5 sono evidentemente due numeri diversi quindi la soluzione di quel sistema e' soltanto: c1 = c2 = 0 quindi le due funzioni (i due vettori) sono linearmente indipendenti.
>
> Nota che fossero stati polinomi avresti usato lo stesso metodo...
albert...@virgilio.it
Feb 8, 2014, 11:42:06 AM2/8/14
to
Il giorno sabato 8 febbraio 2014 16:02:06 UTC+1, Jamie ha scritto:
> se una x=0 non dovresti avere una e^0 ?
>
e^0 = 1.
> se una x=0 non dovresti avere una e^0 ?
>
--
cometa_luminosa
Jamie
Feb 8, 2014, 11:56:44 AM2/8/14
to
On 08/02/2014 17:42, albert...@virgilio.it wrote:
> Il giorno sabato 8 febbraio 2014 16:02:06 UTC+1, Jamie ha scritto:
>
>> se una x=0 non dovresti avere una e^0 ?
>>
> e^0 = 1.
>
appunto, ma lui ha scritto e^3
> Il giorno sabato 8 febbraio 2014 16:02:06 UTC+1, Jamie ha scritto:
>
>> se una x=0 non dovresti avere una e^0 ?
>>
> e^0 = 1.
>
superpollo
Feb 8, 2014, 11:59:45 AM2/8/14
to
Jamie ha scritto:
nel sistema da lui indicato ci sono DUE equazioni...
\bye
--
>>> x-x=?
>> se x=0, x-x=x
> e se invece x non e' 0, quanto fa x-x in tal caso?
NIENTE fa. Non esiste quello che fa.
lo zero che si puo' nominare, non e' il vero zero!!
\bye
--
>>> x-x=?
>> se x=0, x-x=x
> e se invece x non e' 0, quanto fa x-x in tal caso?
NIENTE fa. Non esiste quello che fa.
lo zero che si puo' nominare, non e' il vero zero!!
albert...@virgilio.it
Feb 8, 2014, 2:02:56 PM2/8/14
to
Il giorno sabato 8 febbraio 2014 17:56:44 UTC+1, Jamie ha scritto:
e^3 c1 + e^5 c2 = 0.
Non so con che metodo ti hanno insegnato a risolvere i sistemi di equazioni lineari in due incognite, ma basta vedere che il determinante dei coefficienti e' diverso da zero per capire che l'unica solozione e' c1 = c2 = 0.
N.B.
Quell'esercizio me lo hanno chiesto all'orale di Analisi 1 ed io non seppi rispondere se non con qualche aiuto, e presi solo 24 come voto finale. Sai perche' non seppi rispondere? Perche' non avevo capito che mi sarebbe bastato usare la definizione.
--
cometa_luminosa
> On 08/02/2014 17:42, wrote:
> > Il giorno sabato 8 febbraio 2014 16:02:06 UTC+1, Jamie ha scritto:
>
> >> se una x=0 non dovresti avere una e^0 ?
>
> > e^0 = 1.
>
> appunto, ma lui ha scritto e^3
>
Lui, che sono sempre io, ti ha scritto che sceglie arbitrariamente due valori di x: x = 0 e x = 1. Perche' due? Perche' si devono trovare le due *incognite* c1 e c2 e quindi servono due equazioni (indipendenti). Con x = 0 si ha
> > Il giorno sabato 8 febbraio 2014 16:02:06 UTC+1, Jamie ha scritto:
>
> >> se una x=0 non dovresti avere una e^0 ?
>
> > e^0 = 1.
>
> appunto, ma lui ha scritto e^3
>
c1 + c2 = 0
con x = 1 si ha
e^3 c1 + e^5 c2 = 0.
Non so con che metodo ti hanno insegnato a risolvere i sistemi di equazioni lineari in due incognite, ma basta vedere che il determinante dei coefficienti e' diverso da zero per capire che l'unica solozione e' c1 = c2 = 0.
N.B.
Quell'esercizio me lo hanno chiesto all'orale di Analisi 1 ed io non seppi rispondere se non con qualche aiuto, e presi solo 24 come voto finale. Sai perche' non seppi rispondere? Perche' non avevo capito che mi sarebbe bastato usare la definizione.
--
cometa_luminosa
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