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Quoziente dell'anello dei polinomi: elementi invertibili e divisori dello zero
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Rodolfo Medina
Jul 15, 2014, 6:19:20 AM7/15/14
to
Salve a tutti.
Sono alle prese con un esercizio di Algebra 2 che mi chiede di determinare i
divisori dello zero e gli elementi invertibili in Z_2[x]/I, dove I è l'ideale
((x+1)3). Finora ho studiato solo la teoria sui polinomi e sono totalmente
nuovo a questo tipo di esercizi. Qualcuno può aiutarmi?
Grazie mille,
Rodolfo
--- news://freenews.netfront.net/ - complaints: ne...@netfront.net ---
Sono alle prese con un esercizio di Algebra 2 che mi chiede di determinare i
divisori dello zero e gli elementi invertibili in Z_2[x]/I, dove I è l'ideale
((x+1)3). Finora ho studiato solo la teoria sui polinomi e sono totalmente
nuovo a questo tipo di esercizi. Qualcuno può aiutarmi?
Grazie mille,
Rodolfo
--- news://freenews.netfront.net/ - complaints: ne...@netfront.net ---
Rodolfo Medina
Jul 16, 2014, 6:50:51 AM7/16/14
to
Rodolfo Medina <rodolfo...@gmail.com> writes:
> Sono alle prese con un esercizio di Algebra 2 che mi chiede di determinare i
> divisori dello zero e gli elementi invertibili in Z_2[x]/I, dove I è l'ideale
> ((x+1)3). Finora ho studiato solo la teoria sui polinomi e sono totalmente
> nuovo a questo tipo di esercizi. Qualcuno può aiutarmi?
Scusate, mi correggo: determinare i divisori dello zero e gli elementi
> Sono alle prese con un esercizio di Algebra 2 che mi chiede di determinare i
> divisori dello zero e gli elementi invertibili in Z_2[x]/I, dove I è l'ideale
> ((x+1)3). Finora ho studiato solo la teoria sui polinomi e sono totalmente
> nuovo a questo tipo di esercizi. Qualcuno può aiutarmi?
invertibili in Z_2[x]/I, dove I è l'ideale ((x+1)^3).
Grazie,
El Filibustero
Jul 16, 2014, 11:26:37 AM7/16/14
to
On Wed, 16 Jul 2014 10:50:51 +0000, Rodolfo Medina wrote:
> Sono alle prese con un esercizio di Algebra 2 che mi chiede di determinare i
> divisori dello zero e gli elementi invertibili in Z_2[x]/I, dove I � l'ideale
> Sono alle prese con un esercizio di Algebra 2 che mi chiede di determinare i
> ((x+1)^3). Finora ho studiato solo la teoria sui polinomi e sono totalmente
> nuovo a questo tipo di esercizi.
((x+1)^3) e' il simbolo dell'ideale generato dal polinomio (x+1)^3. La
teoria sui polinomi che dice a proposito dell'ideale generato da un
polinomio? Ciao
Enrico Gregorio
Jul 17, 2014, 7:59:36 AM7/17/14
to
Rodolfo Medina <rodolfo...@gmail.com> scrive:
> Salve a tutti.
>
> Sono alle prese con un esercizio di Algebra 2 che mi chiede di determinare i
> divisori dello zero e gli elementi invertibili in Z_2[x]/I, dove I è l'ideale
> ((x+1)3). Finora ho studiato solo la teoria sui polinomi e sono totalmente
> nuovo a questo tipo di esercizi. Qualcuno può aiutarmi?
L'esercizio è del tutto equivalente a chiedere la stessa cosa per
l'anello Z_2[x]/(x^3). Lo faccio per questo, tu adatta.
Gli elementi dell'anello quoziente si possono scrivere in modo unico
come
a+br+cr^2
dove a,b,c stanno in Z_2 e r^3=0.
Ora, se a+br+cr^2 è invertibile, necessariamente a è diverso da zero,
perché br+cr^2 = r(b+cr) non può essere invertibile, dal momento che
r non lo è.
Viceversa, a diverso da zero implica che a+br+cr^2 è invertibile:
(a+br+cr^2)(x+yr+zr^2) = ax + (ay+bx)r + (az+by+cx)r^2
e ponendo questo uguale a 1 = 1+0r+0r^2 ottieni
az + by + cx = 0
ay + bx = 0
ax = 1
che certamente ha soluzione (unica), visto che la matrice si può
scrivere
a b c | 0
0 a b | 0
0 0 a | 1
che ha rango 3.
Gli elementi non invertibili sono dunque della forma r(b+cr), che
sono tutti divisori di zero. Perché?
Ciao
Enrico
> Salve a tutti.
>
> Sono alle prese con un esercizio di Algebra 2 che mi chiede di determinare i
> divisori dello zero e gli elementi invertibili in Z_2[x]/I, dove I è l'ideale
> ((x+1)3). Finora ho studiato solo la teoria sui polinomi e sono totalmente
> nuovo a questo tipo di esercizi. Qualcuno può aiutarmi?
l'anello Z_2[x]/(x^3). Lo faccio per questo, tu adatta.
Gli elementi dell'anello quoziente si possono scrivere in modo unico
come
a+br+cr^2
dove a,b,c stanno in Z_2 e r^3=0.
Ora, se a+br+cr^2 è invertibile, necessariamente a è diverso da zero,
perché br+cr^2 = r(b+cr) non può essere invertibile, dal momento che
r non lo è.
Viceversa, a diverso da zero implica che a+br+cr^2 è invertibile:
(a+br+cr^2)(x+yr+zr^2) = ax + (ay+bx)r + (az+by+cx)r^2
e ponendo questo uguale a 1 = 1+0r+0r^2 ottieni
az + by + cx = 0
ay + bx = 0
ax = 1
che certamente ha soluzione (unica), visto che la matrice si può
scrivere
a b c | 0
0 a b | 0
0 0 a | 1
che ha rango 3.
Gli elementi non invertibili sono dunque della forma r(b+cr), che
sono tutti divisori di zero. Perché?
Ciao
Enrico
Rodolfo Medina
Jul 17, 2014, 12:59:42 PM7/17/14
to
Enrico Gregorio <Facile.d...@in.rete.it> writes:
> Rodolfo Medina <rodolfo...@gmail.com> scrive:
>
>> Salve a tutti.
>>
>> Sono alle prese con un esercizio di Algebra 2 che mi chiede di determinare i
>> divisori dello zero e gli elementi invertibili in Z_2[x]/I, dove I è
>> l'ideale ((x+1)3). Finora ho studiato solo la teoria sui polinomi e sono
>> totalmente nuovo a questo tipo di esercizi. Qualcuno può aiutarmi?
>
> L'esercizio è del tutto equivalente a chiedere la stessa cosa per
> l'anello Z_2[x]/(x^3). Lo faccio per questo, tu adatta.
>
> Gli elementi dell'anello quoziente si possono scrivere in modo unico
> come
>
> a+br+cr^2
>
> dove a,b,c stanno in Z_2 e r^3=0.
Perdonami, ma a me risulta che il generico elemento dell'anello quoziente
> Rodolfo Medina <rodolfo...@gmail.com> scrive:
>
>> Salve a tutti.
>>
>> Sono alle prese con un esercizio di Algebra 2 che mi chiede di determinare i
>> divisori dello zero e gli elementi invertibili in Z_2[x]/I, dove I è
>> l'ideale ((x+1)3). Finora ho studiato solo la teoria sui polinomi e sono
>> totalmente nuovo a questo tipo di esercizi. Qualcuno può aiutarmi?
>
> L'esercizio è del tutto equivalente a chiedere la stessa cosa per
> l'anello Z_2[x]/(x^3). Lo faccio per questo, tu adatta.
>
> Gli elementi dell'anello quoziente si possono scrivere in modo unico
> come
>
> a+br+cr^2
>
> dove a,b,c stanno in Z_2 e r^3=0.
Z_2[x]/I si scriva p + I con p \in Z_2[x], quindi non mi è chiara la scrittura
a+br+cr^2 da te adoperata.
Enrico Gregorio
Jul 17, 2014, 5:51:53 PM7/17/14
to
Rodolfo Medina <rodolfo...@gmail.com> scrive:
> Enrico Gregorio <Facile.d...@in.rete.it> writes:
>
> > Rodolfo Medina <rodolfo...@gmail.com> scrive:
> >
> >> Salve a tutti.
> >>
> >> Sono alle prese con un esercizio di Algebra 2 che mi chiede di determinare
> >> i
> >> divisori dello zero e gli elementi invertibili in Z_2[x]/I, dove I �
> >
> > L'esercizio � del tutto equivalente a chiedere la stessa cosa per
> a+br+cr^2 da te adoperata.
r = x + I
Ciao
Enrico
> Enrico Gregorio <Facile.d...@in.rete.it> writes:
>
> > Rodolfo Medina <rodolfo...@gmail.com> scrive:
> >
> >> Salve a tutti.
> >>
> >> Sono alle prese con un esercizio di Algebra 2 che mi chiede di determinare
> >> i
> >> l'ideale ((x+1)3). Finora ho studiato solo la teoria sui polinomi e sono
> >> totalmente nuovo a questo tipo di esercizi. Qualcuno pu� aiutarmi?
> >
> > L'esercizio � del tutto equivalente a chiedere la stessa cosa per
> > l'anello Z_2[x]/(x^3). Lo faccio per questo, tu adatta.
> >
> > Gli elementi dell'anello quoziente si possono scrivere in modo unico
> > come
> >
> > a+br+cr^2
> >
> > dove a,b,c stanno in Z_2 e r^3=0.
>
>
> Perdonami, ma a me risulta che il generico elemento dell'anello quoziente
> Z_2[x]/I si scriva p + I con p \in Z_2[x], quindi non mi � chiara la scrittura
> >
> > Gli elementi dell'anello quoziente si possono scrivere in modo unico
> > come
> >
> > a+br+cr^2
> >
> > dove a,b,c stanno in Z_2 e r^3=0.
>
>
> Perdonami, ma a me risulta che il generico elemento dell'anello quoziente
> a+br+cr^2 da te adoperata.
r = x + I
Ciao
Enrico
Rodolfo Medina
Jul 19, 2014, 4:14:21 AM7/19/14
to
Enrico Gregorio <Facile.d...@in.rete.it> writes:
> Rodolfo Medina <rodolfo...@gmail.com> scrive:
>
>> Enrico Gregorio <Facile.d...@in.rete.it> writes:
>>
>> > Rodolfo Medina <rodolfo...@gmail.com> scrive:
>> >
>> >> Salve a tutti.
>> >>
>> >> Sono alle prese con un esercizio di Algebra 2 che mi chiede di
>> >> determinare i divisori dello zero e gli elementi invertibili in Z_2[x]/I,
>> >> dove I è l'ideale ((x+1)^3). Finora ho studiato solo la teoria sui
> Rodolfo Medina <rodolfo...@gmail.com> scrive:
>
>> Enrico Gregorio <Facile.d...@in.rete.it> writes:
>>
>> > Rodolfo Medina <rodolfo...@gmail.com> scrive:
>> >
>> >> Salve a tutti.
>> >>
>> >> Sono alle prese con un esercizio di Algebra 2 che mi chiede di
>> >> determinare i divisori dello zero e gli elementi invertibili in Z_2[x]/I,
>> >> polinomi e sono totalmente nuovo a questo tipo di esercizi. Qualcuno può
>> >> aiutarmi?
>> >
>> > L'esercizio è del tutto equivalente a chiedere la stessa cosa per
>> >> aiutarmi?
>> >
>> > l'anello Z_2[x]/(x^3). Lo faccio per questo, tu adatta.
>> >
>> > Gli elementi dell'anello quoziente si possono scrivere in modo unico
>> > come
>> >
>> > a+br+cr^2
>> >
>> > dove a,b,c stanno in Z_2 e r^3=0.
>>
>>
>> Perdonami, ma a me risulta che il generico elemento dell'anello quoziente
>> Z_2[x]/I si scriva p + I con p \in Z_2[x], quindi non mi è chiara la
>> >
>> > Gli elementi dell'anello quoziente si possono scrivere in modo unico
>> > come
>> >
>> > a+br+cr^2
>> >
>> > dove a,b,c stanno in Z_2 e r^3=0.
>>
>>
>> Perdonami, ma a me risulta che il generico elemento dell'anello quoziente
>> scrittura a+br+cr^2 da te adoperata.
>
> r = x + I
Perdonami, ma continuo a non capire.
>
> r = x + I
E poi perché r^3 = 0?
Grazie,
El Filibustero
Jul 19, 2014, 8:38:40 AM7/19/14
to
On Sat, 19 Jul 2014 08:14:21 +0000, Rodolfo Medina wrote:
>>> Perdonami, ma a me risulta che il generico elemento dell'anello quoziente
>>> Z_2[x]/I si scriva p + I con p \in Z_2[x], quindi non mi � chiara la
>>> Perdonami, ma a me risulta che il generico elemento dell'anello quoziente
>>> scrittura a+br+cr^2 da te adoperata.
>>
>> r = x + I
>
>
>Perdonami, ma continuo a non capire.
>
>E poi perch� r^3 = 0?
>>
>> r = x + I
>
>
>Perdonami, ma continuo a non capire.
>
In un anello di polinomi, l'ideale generato da un dato polinomio e'
l'insieme di tutti quei polinomi che si possono ottenere dal polinomio
dato mediante moltiplicazione di esso per un qualsiasi elemento
dell'anello. Quindi l'ideale I generato da xxx conterra' tutti e soli
i polimomi "spuri" privi di termini di grado inferiore al terzo.
Ma allora il piu' semplice rappresentante di un qualsiasi elemento
dell'anello quoziente e' un polinomio di 2� grado, in quanto ogni
polinomio puo' essere tosato al 2� grado aggiungendogli un opportuno
elemento di I. Ad esempio
xxxxxx + xxxxx + xx + 1
e' equivalente a xx + 1, perche' e' cio' che si ottiene sommandogli
l'elemento - xxxxxx - xxxxx = xxx(-xxxx-xx) che e' in I.
La ragione e' praticamente la stessa per cui quando si lavora in
modulo n (altro esempio di anello quoziente), gli interi maggiori di n
oppure minori di 0 non si usano affatto. Nell'anello quoziente
Z_2[x]/(xxx) e' inutile considerare polinomi di grado maggiore di 2.
Ciao
El Filibustero
Jul 19, 2014, 8:42:45 AM7/19/14
to
On Sat, 19 Jul 2014 14:38:40 +0200, El Filibustero wrote:
>l'elemento - xxxxxx - xxxxx = xxx(-xxxx-xx) che e' in I.
Naturalmente e' - xxxxxx - xxxxx = xxx(-xxx-xx)
>l'elemento - xxxxxx - xxxxx = xxx(-xxxx-xx) che e' in I.
>La ragione e' praticamente la stessa per cui quando si lavora in
>modulo n (altro esempio di anello quoziente), gli interi maggiori di n
>oppure minori di 0 non si usano affatto.
Rodolfo Medina
Jul 20, 2014, 3:50:58 PM7/20/14
to
l'esercizio mi chiede di determinare in Z_2[x]/I, dove I è sempre l'ideale
generato da (x + 1)^3, l'inverso di x^2 + I. Anche qui non saprei proprio...
El Filibustero
Jul 20, 2014, 5:48:07 PM7/20/14
to
On Sun, 20 Jul 2014 19:50:58 +0000, Rodolfo Medina wrote:
>l'esercizio mi chiede di determinare in Z_2[x]/I, dove I � sempre l'ideale
un polinomio di grado inferiore a 3 che moltiplicato per xx da' 1 (a
meno di multipli di (x+1)^3).
Come osservava Enrico Gregorio, se l'ideale I e' stato generato da
(x+1)^3, e' piu' semplice ragionare in termini di polinomi
nell'indeterminata y, posto y:=x+1. Quindi si cerca l'inverso ayy+by+c
in Z_2[y]/(yyy) di
xx = ((x+1)-1)^2 = (y-1)^2 = yy + 1
Allora deve essere
(ayy + by + c)(yy + 1) = 1 + termini in y di grado > 2
ayyyy + byyy + (a+c)yy + by + c = 1
percio' c=1, b=0, a+c=0 da cui a=1: l'inverso di yy + 1 e' se' stesso.
Ritornando all'indeterminata x, ne consegue che xx e' inverso di se'
stesso. Si puo' verificare direttamente:
xx*xx = x^4 = (x+1)^4 + 1 = (x+1)^3 (x+1) + 1
cioe' 1 piu' il generatore dell'ideale moltiplicato per (x+1). Ciao
>l'esercizio mi chiede di determinare in Z_2[x]/I, dove I � sempre l'ideale
>generato da (x + 1)^3, l'inverso di x^2 + I. Anche qui non saprei proprio...
l'inverso di xx (lasciamo perdere + I, e' sottinteso) dovrebbe essere
un polinomio di grado inferiore a 3 che moltiplicato per xx da' 1 (a
meno di multipli di (x+1)^3).
Come osservava Enrico Gregorio, se l'ideale I e' stato generato da
(x+1)^3, e' piu' semplice ragionare in termini di polinomi
nell'indeterminata y, posto y:=x+1. Quindi si cerca l'inverso ayy+by+c
in Z_2[y]/(yyy) di
xx = ((x+1)-1)^2 = (y-1)^2 = yy + 1
Allora deve essere
(ayy + by + c)(yy + 1) = 1 + termini in y di grado > 2
ayyyy + byyy + (a+c)yy + by + c = 1
percio' c=1, b=0, a+c=0 da cui a=1: l'inverso di yy + 1 e' se' stesso.
Ritornando all'indeterminata x, ne consegue che xx e' inverso di se'
stesso. Si puo' verificare direttamente:
xx*xx = x^4 = (x+1)^4 + 1 = (x+1)^3 (x+1) + 1
cioe' 1 piu' il generatore dell'ideale moltiplicato per (x+1). Ciao
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