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Cosa si intende in matematica con "Soluzione non banale" e altre cose ...
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Emanuele Bonin
Aug 22, 2016, 6:02:08 AM8/22/16
to
Leggendo un libro di Andre Weil (sicuramente al di sopra delle mie capacità) ho dei problemi a capire certi passaggi:
se io ho :
(1) x^2+y^2 = 2(x+y)z+z^2
con x, y, appartenenti agli interi
cosa vuol dire "Non ammette alcuna soluzione razionale NON BANALE" ? ci si riferisce al solo caso x,y,z = 0,0,0 ? o il termine "NON BANALE" in matematica ha una precisa definizione ?
Proseguendo nella dimostrazione del fatto che non vi siano soluzioni, viene posto t = x+y+z e quindi riscritta la (1) come:
(2) 2x^2+2xy+2y^2 = t^2
Considerando x,y,t interi senza divisori comuni (il che se non erro vuol dire MCD(x,y,t) = 1 ?) .... t DEVE essere PARI ... e non viene spiegato null'altro .. non riesco a capire questo passaggio (e nn solo aimè 8) ) io avrei semplicemente dedotto che essendo che 2|t^2 (in quanto 2 divide Parte a sinistra della 2(2)) vuol dire che t^2 è pari e quindi t (*) deve essere pari in quanto Dispari * Dispari = Dispari ... non sono sicuro della conseguenza rispetto al fatto che non abbiano divisori comuni ...
continuando la lettura "perciò x e y NON possono essere entrambi pari e quindi si deduce che x^2 + xy + y^2 deve per forza essere dispari" quello che non capisco è come si arriva alla prima affermazione ...
io ho cercato di giustificare le cose in questo modo:
t è pari (*) ed essendo MCD(x,y,t) = 1 se x e y fossero entrambi pari allora t= x+y+z allora la parte destra di (2) potrebbe avere dei risultati dispari quindi x^2 + xy + y^2 deve essere dispari .
Ma non sono molto convinto che sia nella forma corretta la mia annotazione.
e poi e quì la nebbia sale ... anche se mi sono ripassato l'aritmetica modulare: "In altri termini, l'equazione non ammette soluzioni non banali anche come congruenza modulo 4"
poi :
l'equazione può essere riscritta (e quì ci sono arrivato tranquillamente):
3z^2 = (x-z)^2+(y-z)^2
"... il problema diventa adesso mostrare che 3, che non è la somma di 2 quadrati interi, non è neanche la somma di 2 quadrati razionali .... si potrebbe rispondere correttamente considerando la congruenza 3z^2 (congruente con) u^2+v^2 (mod 3)" ...
se io ho :
(1) x^2+y^2 = 2(x+y)z+z^2
con x, y, appartenenti agli interi
cosa vuol dire "Non ammette alcuna soluzione razionale NON BANALE" ? ci si riferisce al solo caso x,y,z = 0,0,0 ? o il termine "NON BANALE" in matematica ha una precisa definizione ?
Proseguendo nella dimostrazione del fatto che non vi siano soluzioni, viene posto t = x+y+z e quindi riscritta la (1) come:
(2) 2x^2+2xy+2y^2 = t^2
Considerando x,y,t interi senza divisori comuni (il che se non erro vuol dire MCD(x,y,t) = 1 ?) .... t DEVE essere PARI ... e non viene spiegato null'altro .. non riesco a capire questo passaggio (e nn solo aimè 8) ) io avrei semplicemente dedotto che essendo che 2|t^2 (in quanto 2 divide Parte a sinistra della 2(2)) vuol dire che t^2 è pari e quindi t (*) deve essere pari in quanto Dispari * Dispari = Dispari ... non sono sicuro della conseguenza rispetto al fatto che non abbiano divisori comuni ...
continuando la lettura "perciò x e y NON possono essere entrambi pari e quindi si deduce che x^2 + xy + y^2 deve per forza essere dispari" quello che non capisco è come si arriva alla prima affermazione ...
io ho cercato di giustificare le cose in questo modo:
t è pari (*) ed essendo MCD(x,y,t) = 1 se x e y fossero entrambi pari allora t= x+y+z allora la parte destra di (2) potrebbe avere dei risultati dispari quindi x^2 + xy + y^2 deve essere dispari .
Ma non sono molto convinto che sia nella forma corretta la mia annotazione.
e poi e quì la nebbia sale ... anche se mi sono ripassato l'aritmetica modulare: "In altri termini, l'equazione non ammette soluzioni non banali anche come congruenza modulo 4"
poi :
l'equazione può essere riscritta (e quì ci sono arrivato tranquillamente):
3z^2 = (x-z)^2+(y-z)^2
"... il problema diventa adesso mostrare che 3, che non è la somma di 2 quadrati interi, non è neanche la somma di 2 quadrati razionali .... si potrebbe rispondere correttamente considerando la congruenza 3z^2 (congruente con) u^2+v^2 (mod 3)" ...
El Filibustero
Aug 22, 2016, 7:15:55 AM8/22/16
to
On Mon, 22 Aug 2016 03:02:08 -0700 (PDT), Emanuele Bonin wrote:
>(1) x^2+y^2 = 2(x+y)z+z^2
>con x, y, appartenenti agli interi
>cosa vuol dire "Non ammette alcuna soluzione razionale NON BANALE" ?
>ci si riferisce al solo caso x,y,z = 0,0,0 ?
>o il termine "NON BANALE" in matematica ha una precisa definizione ?
IMHO varia a seconda del contesto. Per esempio, io chiamerei banali i
>(1) x^2+y^2 = 2(x+y)z+z^2
>con x, y, appartenenti agli interi
>cosa vuol dire "Non ammette alcuna soluzione razionale NON BANALE" ?
>ci si riferisce al solo caso x,y,z = 0,0,0 ?
>o il termine "NON BANALE" in matematica ha una precisa definizione ?
divisori impropri di un numero o i sottogruppi impropri di un gruppo.
D'altronde, provare che i cosiddetti "zeri banali" della funzione zeta
di Riemann la annullano effettivamente e' tutt'altro che banale in
assoluto: lo e' relativamente a considerazioni piu' avanzate su tale
funzione, magari.
>Proseguendo nella dimostrazione del fatto che non vi siano soluzioni,
>viene posto t = x+y+z e quindi riscritta la (1) come:
>(2) 2x^2+2xy+2y^2 = t^2
>
>Considerando x,y,t interi senza divisori comuni (il che se non erro vuol
> dire MCD(x,y,t) = 1 ?) .... t DEVE essere PARI ... e non viene spiegato
>null'altro .. non riesco a capire questo passaggio
dispari, pure il suo quadrato lo sarebbe e l'uguaglianza non potrebbe
sussistere. NB: questa considerazione vale indipendentemente da
MCD(x,y,t)=1.
>(e nn solo aimè 8) ) io avrei semplicemente dedotto che essendo che
>2|t^2 (in quanto 2 divide Parte a sinistra della 2(2)) vuol dire che
>t^2 è pari e quindi t (*) deve essere pari in quanto Dispari * Dispari
>= Dispari ... non sono sicuro della conseguenza rispetto al fatto
>che non abbiano divisori comuni ...
>continuando la lettura "perciò x e y NON possono essere entrambi pari
>e quindi si deduce che x^2 + xy + y^2 deve per forza essere dispari"
>quello che non capisco è come si arriva alla prima affermazione ...
MCD(x,y,t)=1 ma un numero pari.
>e poi e quì la nebbia sale ... anche se mi sono ripassato l'aritmetica modulare:
>"In altri termini, l'equazione non ammette soluzioni non banali anche come
>congruenza modulo 4"
mentre il secondo vale 2 perche' e' 2(xx+xy+yy) = 2*dispari.
>poi :
>l'equazione può essere riscritta (e quì ci sono arrivato tranquillamente):
> 3z^2 = (x-z)^2+(y-z)^2
>
>"... il problema diventa adesso mostrare che 3, che non è la somma di
>2 quadrati interi, non è neanche la somma di 2 quadrati razionali ....
>si potrebbe rispondere correttamente considerando la congruenza
>3z^2 (congruente con) u^2+v^2 (mod 3)" ...
oppure uu=vv=1, la loro somma non viene 0 in modulo 3, quindi non
potrebbe essere uguale al primo membro. Allora uu=vv=0 mod 3, ma cio'
significa che sia u sia v sono multipli di 3 e quindi uu+vv e'
multiplo di 9. Per essere uguale a 3zz, e' necessario che anche z sia
multiplo di 3; ma a questo punto, dato che u,v,z sarebbero tutti
multipli di 3: se u,v,z non sono gia' tutti nulli, e' lecito dividere
per 9 l'equazione fino a che uno dei tre risulta indivisibile per 3.
Allora si ricade nel caso precedentemente escluso. Uguaglianza
impossibile per u,v,z non tutti nulli. Ciao
Emanuele Bonin
Aug 22, 2016, 8:15:51 AM8/22/16
to
> >o il termine "NON BANALE" in matematica ha una precisa definizione ?
>
> IMHO varia a seconda del contesto. Per esempio, io chiamerei banali i
> divisori impropri di un numero o i sottogruppi impropri di un gruppo.
> D'altronde, provare che i cosiddetti "zeri banali" della funzione zeta
> di Riemann la annullano effettivamente e' tutt'altro che banale in
> assoluto: lo e' relativamente a considerazioni piu' avanzate su tale
> funzione, magari.
La mia domanda è scaturita dal fatto che per gli zeri Banali della funzione di Riemann c'è (o almeno così mi sembra) una definizione ben precisa ("gli zeri banali so tutti quelli in cui s, nella funzione Z(s), sono interi pari negativi") metre in questo caso non veniva specificato alcunchè .. quindi mi chiedevo cosa significa "Banale" per un Matematico ... qualcosa che salta subito all'occhio esperto ? o qualcosa di matematicamente ben descritto ?
>
> IMHO varia a seconda del contesto. Per esempio, io chiamerei banali i
> divisori impropri di un numero o i sottogruppi impropri di un gruppo.
> D'altronde, provare che i cosiddetti "zeri banali" della funzione zeta
> di Riemann la annullano effettivamente e' tutt'altro che banale in
> assoluto: lo e' relativamente a considerazioni piu' avanzate su tale
> funzione, magari.
> >2|t^2 (in quanto 2 divide Parte a sinistra della 2(2)) vuol dire che
> >t^2 è pari e quindi t (*) deve essere pari in quanto Dispari * Dispari
> >= Dispari ... non sono sicuro della conseguenza rispetto al fatto
> >che non abbiano divisori comuni ...
>
> e dov'e' il problema?
Ti ringrazio per avermi chiarito molto bene la questione.
Di passaggio a nord ovest
Sep 5, 2016, 5:32:54 AM9/5/16
to
"Emanuele Bonin" ha scritto:
>quindi mi chiedevo cosa significa "Banale" per un Matematico ...
> qualcosa che salta subito all'occhio esperto ? o qualcosa di
> matematicamente ben descritto ?
Immagino come ti hanno detto, dipenda dal contesto.
Altri potranno coreggermi, ma che io sappia, "banale" viene usato nelle
dimostrazioni per indicare che segue direttamente dalla definizione.
(io credo che in tal modo qualche autore risparmi diverse pagine
alleggerendo libri o quant'altro, eh)
Di più nin zo, magari fai la controprova:
trova un libro dove vien detto "Dimostrazione: banale" e poi cerca
quella dimostrazione su un altro libro che parta dagli stessi fondamenti.
>quindi mi chiedevo cosa significa "Banale" per un Matematico ...
> qualcosa che salta subito all'occhio esperto ? o qualcosa di
> matematicamente ben descritto ?
Altri potranno coreggermi, ma che io sappia, "banale" viene usato nelle
dimostrazioni per indicare che segue direttamente dalla definizione.
(io credo che in tal modo qualche autore risparmi diverse pagine
alleggerendo libri o quant'altro, eh)
Di più nin zo, magari fai la controprova:
trova un libro dove vien detto "Dimostrazione: banale" e poi cerca
quella dimostrazione su un altro libro che parta dagli stessi fondamenti.
BlueRay
Sep 5, 2016, 7:38:10 AM9/5/16
to
Il giorno lunedì 5 settembre 2016 11:32:54 UTC+2, Di passaggio a nord ovest ha scritto:
> Immagino come ti hanno detto, dipenda dal contesto.
>
> Altri potranno coreggermi, ma che io sappia, "banale" viene usato nelle
> dimostrazioni per indicare che segue direttamente dalla definizione.
Tutti i teoremi "seguono direttamente dalla/e definizione/i e assiomi, ecc.
> Immagino come ti hanno detto, dipenda dal contesto.
>
> Altri potranno coreggermi, ma che io sappia, "banale" viene usato nelle
> dimostrazioni per indicare che segue direttamente dalla definizione.
Di solito "soluzione banale" significa numero zero o vettore nullo o applicazione a valori scalari o vettoriali o matriciali, ecc, che ad un qualsiasi elemento del dominio associa il numero zero, il vettore nullo, la matrice nulla, ecc,
*quando tale soluzione sia immediatamente evidente*.
Ad es l'eq. differenziale y'(x) = 2*sqrt[y(x)]; y(0) = 0, in un intervallo aperto di R, ammette come soluzione banale la funzione y(x) = 0 (identicamente nulla). Infatti se y(x) e' identicamente nulla (vale zero per ogni x) in un intervallo aperto allora, evidentemente, anche la sua derivata e' identicamente nulla in tutti i punti del dominio.
Ma quella non e' l'unica soluzione; anche:
y(x) = x^2, x >= 0
y(x) = -x^2, x < 0
e' soluzione ("non banale") dell'equazione differenziale.
--
BlueRay
BlueRay
Sep 5, 2016, 7:42:03 AM9/5/16
to
Il giorno lunedì 5 settembre 2016 13:38:10 UTC+2, BlueRay ha scritto:
> Ad es l'eq. differenziale y'(x) = 2*sqrt[y(x)]; y(0) = 0, in un intervallo aperto
> di R, ammette come soluzione banale la funzione y(x) = 0 (identicamente
> nulla). Infatti se y(x) e' identicamente nulla (vale zero per ogni x) in un
> intervallo aperto allora, evidentemente, anche la sua derivata e'
> identicamente nulla in tutti i punti del dominio.
leggi: "...allora, evidentemente, anche la sua radice quadrata e' identicamente nulla in tutti i punti del dominio."
> Ad es l'eq. differenziale y'(x) = 2*sqrt[y(x)]; y(0) = 0, in un intervallo aperto
> di R, ammette come soluzione banale la funzione y(x) = 0 (identicamente
> nulla). Infatti se y(x) e' identicamente nulla (vale zero per ogni x) in un
> intervallo aperto allora, evidentemente, anche la sua derivata e'
> identicamente nulla in tutti i punti del dominio.
--
BlueRay
BlueRay
Sep 5, 2016, 7:44:58 AM9/5/16
to
Il giorno lunedì 5 settembre 2016 13:42:03 UTC+2, BlueRay ha scritto:
> leggi: "...allora, evidentemente, anche la sua radice quadrata e'
> identicamente nulla in tutti i punti del dominio."
Uff!
> leggi: "...allora, evidentemente, anche la sua radice quadrata e'
> identicamente nulla in tutti i punti del dominio."
"...allora, evidentemente, anche la sua radice quadrata e la sua derivata sono identicamente nulle in tutti i punti del dominio."
--
BlueRay
Emanuele Bonin
Sep 5, 2016, 9:59:57 AM9/5/16
to
Il giorno lunedì 5 settembre 2016 13:38:10 UTC+2, BlueRay ha scritto:
> *quando tale soluzione sia immediatamente evidente*.
... aggiungerei .. non banalmente .. "per un matematico" ....
Mi direte che sono una capra, ma come è già stato detto ... gli zeri "Banali" della funzione di Rienmann sono tutt'altro che "evidenti" ma, a differenza di altri contesti, nel libro che ho letto in cui l'argomento era proprio quello, per gli zeri "Banali" era stata data una "definizione" ben precisa cioè (quella che già sapete) tutti gli zeri che cadono nell'asse reale negativo (che sono tutti interi negativi) ... scusate la definizione raffazzonata.
Da questo, da varie cose che leggo non ultime le vostre cordiali dispute mi sembra di capire che il termine "Banale" venga usato dai matematici strettamente nel contesto di cui parlano, senza (anche se non sempre) peraltro specificare cosa si intenda per banale o non banale lasciandomi belare .... ma mi resterà sempre il dubbio ... se un matematico per la prima volta espone un proprio teorema ad altri matematici dicendo una frase del tipo "tralasciando le soluzioni banali ..." senza specificare oltre ... gli altri matematici come fanno ad avere la certezza assoluta di aver "inteso" cosa intende ?
BlueRay
Sep 5, 2016, 11:00:47 AM9/5/16
to
Il giorno lunedì 5 settembre 2016 15:59:57 UTC+2, Emanuele Bonin ha scritto:
> Il giorno lunedì 5 settembre 2016 13:38:10 UTC+2, BlueRay ha scritto:
>
> > *quando tale soluzione sia immediatamente evidente*.
>
> ... aggiungerei .. non banalmente .. "per un matematico" ....
>
Io non sono un matematico e non ho nemmeno alcun tipo di laurea, ma ho sempre trovato ovvio quello che si intende tutte le volte che ho trovato "soluzione banale", nel senso che se uno non capisce nemmeno che quella e' una soluzione, allora e' inutile che perda proprio tempo a studiare tutto il contesto e gli conviene ricominciare dalla matematica delle scuole medie :-)
> Il giorno lunedì 5 settembre 2016 13:38:10 UTC+2, BlueRay ha scritto:
>
> > *quando tale soluzione sia immediatamente evidente*.
>
> ... aggiungerei .. non banalmente .. "per un matematico" ....
>
--
BlueRay
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