Def. di rettificabilità di una curva

[Domenico Vigliotti]

Vorrei conoscere l' opinione vostra o di chiunque sia esperto in teoria
della misura sul seguente quesito:
La definizione di rettificabilità di una curva che più frequentemente si
trova in un testo di analisi è la seguente;
Definizione 1
Data la curva G definita in [a,b] e a valori in R^n, G è rettificabile se
detta P una partizione di [a,b] tale che t0=a<t1<t2<.<tn=b l'estremo
superiore della lunghezza delle poligonali aventi per estremi i punti ti con
i appartenete a {1,.,n} è finito e non nullo.
Tuttavia recentemente in una conversazione con un matematico non ricordando
la definizione affermai, senza venir corretto, che:
Definizione 2
una curva è rettificabile quando le misure delle poligonali che includono la
curva e delle poligonali che sono incluse nella curva sono due classi
separate e contigue e il loro elemento di separazione è proprio la misura
della curva.
Dove la poligonale inclusa nella curva è quella descritta nella definizione
1, mentre le poligonali che includono la curva sono, le poligonali il cui
primo lato è ottenuto dall'intersezione della tangente alla curva nell'
estremo a con la tangente nel punto t1 mentre l'ultima tangente è quella
nell'estremo b.
Quest'ultima definizione trae spunto dalla definizione di integrabilità
secondo Riemann e dal problema di quadratura del cerchio( o metodo di Erone
se non ricordo male!)
Il quesito che mi sono posto ora è il seguente: perché si preferisce
adottare la definizione 1 piuttosto che la 2 e la 2 è una definizione
corretta o sbagliata e se è sbagliata perché?

[?manu*]

Domenico Vigliotti wrote:

> mentre le poligonali che includono la curva sono, le

> poligonali il cui primo lato č ottenuto dall'intersezione della tangente
> alla curva nell'
> estremo a con la tangente nel punto t1 mentre l'ultima tangente č quella
> nell'estremo b.

Nello spazio non e' detto che queste due rette tangenti si intersechino.
Inoltre questa definizione presuppone che la curva sia differenziabile
ovunque, cosa che non e' necessaria per la rettificabilita'.

ciao,
Em.

[Domenico Vigliotti]

"?manu*" <pao...@math.unifi.nspm.it> ha scritto nel messaggio
news:9tb8f7$j90$1...@e450.unifi.it...

> Domenico Vigliotti wrote:
>
> > mentre le poligonali che includono la curva sono, le

> > poligonali il cui primo lato è ottenuto dall'intersezione della tangente
> > alla curva nell'
> > estremo a con la tangente nel punto t1 mentre l'ultima tangente è

quella
> > nell'estremo b.
>
> Nello spazio non e' detto che queste due rette tangenti si intersechino.
> Inoltre questa definizione presuppone che la curva sia differenziabile
> ovunque, cosa che non e' necessaria per la rettificabilita'.
>
> ciao,
> Em.

Non vorrei contraddirti visto la tua competenza in materia, ma sei sicuro
proprio sicuro di ciò che hai scritto?
Ad esempio mi sembra che nello spazio si possano trovare le due tangenti se
si effettua la costruzione seguente, la tangente in G(a) è scelta a piacere
purché ovviamente passi per G(a) e appartenga al piano tangente alla curva
in G(a) che è unicamente determinato, così come è unicamente determinato il
piano tangente alla curva in G(t1). Se si chiama tale piano P1 e il
precedente P0 si osserva che tali piani si intersecano formando una retta.
La retta tangente alla curva in G(a) interseca il piano P1 in un punto ad
esempio C1 ed allora, è evidente che si può tracciare la retta appartenente
a P1 e passante per C1 e
G(t1), la retta così tracciata sarà tangente alla curva G e unicamente
determinata dalla scelta iniziale della retta tangente in
G(a).
Anche per la differenziabilità o qualche dubbio ma forse in questo caso mi
sbaglio.
Ciao e grazie di aver prestato attenzione a questa mia domandina.
Domenico

[Domenico Vigliotti]

"?manu*" <pao...@math.unifi.nspm.it> ha scritto nel messaggio
news:9tb8f7$j90$1...@e450.unifi.it...

> Domenico Vigliotti wrote:
>
> > mentre le poligonali che includono la curva sono, le

> > poligonali il cui primo lato è ottenuto dall'intersezione della tangente
> > alla curva nell'
> > estremo a con la tangente nel punto t1 mentre l'ultima tangente è

quella
> > nell'estremo b.
>
> Nello spazio non e' detto che queste due rette tangenti si intersechino.
> Inoltre questa definizione presuppone che la curva sia differenziabile
> ovunque, cosa che non e' necessaria per la rettificabilita'.
>
> ciao,
> Em.
>

Da una più attenta analisi del problema e delle spiegazioni da te poste mi
rendo conto che la definizione 2 di curva data nel primo post apre una serie
di interrogativi che mi fanno supporre che sia decisamente sbagliata perché
oltre ad esservi i problemi nel determinare le rette tangenti nello spazio
come da te osservato, il problema si pone anche nel caso di R^2 infatti, non
è detto che le rette tangenti si intersechino sempre basta scegliere una
opportuna curva e opportuni punti in modo tale che le tangenti alla curva in
tali punti siano tutte parallele e quindi sarà impossibile che si
intersechino per formare la poligonale.
Ma ove ciò non bastasse si può osservare che nel caso sia possibile
tracciare la poligonale che include la curva così come descritto resta da
dimostrare che le due classi quella relativa alle misure delle poligonali
incluse nella curva e quelle delle poligonali che includono la curva siano
effettivamente separate. Quindi da tali problemi emersi finanche nel caso
piano ne deduco che la definizione e sbagliata come d'altronde era
prevedibile visto che la definizione che viene data generalmente è la
definizione 1.
Ciao
Domenico