Differenze tra una matrice e un tensore?

[IndianCowboy]

Salve a tutti!
Un tensore di ordine 2 può essere rappresentato tramite una matrice 3x3, ma
allora qual è esattamente la differenza tra una matrice 3x3 e un tensore di
ordine 2?
Ho trovato in rete che per la prima è necessario stabilire un sistema di
coordinate, mentre il secondo esiste a prescindere dalle coordinate. Ma non
dovrà sempre agire su dei vettori, e non saranno necessarie anche per i
tensori le coordinate?
Grazie per aver letto,

Julien

[Massimo Soricetti]

On 01/03/2013 11:05, IndianCowboy wrote:
> Salve a tutti!
> Un tensore di ordine 2 può essere rappresentato tramite una matrice 3x3, ma
> allora qual è esattamente la differenza tra una matrice 3x3 e un tensore di
> ordine 2?

Una "matrice 3x3" non è niente, matematicamente.
L'applicazione lineare che quella matrice descrive, insieme al suo
dominio e codominio, è un ente matematico compiuto.

Come giustamente osservi, la stessa matrice 3x3 può descrivere un
tensore, anzi pure meglio, come ti hanno detto:
è vero che si opera su un tensore con dei vettori, ma il risultato può
benissimo essere uno scalare o addirittura una matrice.
O perfino un tensore di ordine superiore, con il prodotto esterno.

> Ho trovato in rete che per la prima è necessario stabilire un sistema di
> coordinate, mentre il secondo esiste a prescindere dalle coordinate.

Infatti. La genialata (non sono ironico) dei tensori è proprio questa:
supponi di avere una funzione lineare vettoriale descritta da una
matrice. La rappresentazione (la matrice) cambia ogni volta che tu cambi
base nel dominio o nel codominio.

Ma se tu adotti i tensori, puoi usare come descrizione un tensore di
ordine 4, che prende come input (lo contrai con) il vettore del dominio
e i 2 vettori delle due basi scelte nel dominio e codominio e ti dà il
risultato. Ovvio che il tensore è sempre espresso in funzione di due
basi "privilegiate" nei due spazi vettoriali considerati, ma se devi
cambiare spesso riferimenti (come nel campo dei calcoli relativistici,
per esempio...) lavori molto, ma mooolto più comodo.

[Kiuhnm]

On 3/1/2013 12:04, Massimo Soricetti wrote:
> On 01/03/2013 11:05, IndianCowboy wrote:
>> Salve a tutti!

>> Un tensore di ordine 2 pu� essere rappresentato tramite una matrice
>> 3x3, ma
>> allora qual � esattamente la differenza tra una matrice 3x3 e un
>> tensore di
>> ordine 2?
>
> Una "matrice 3x3" non � niente, matematicamente.

Non sono d'accordo. E' un ente come tutti gli altri, perfettamente definito.

Kiuhnm

[fma...@gmail.com]

On Friday, March 1, 2013 1:36:53 PM UTC+1, Kiuhnm wrote:
> On 3/1/2013 12:04, Massimo Soricetti wrote:

> > Una "matrice 3x3" non � niente, matematicamente.

>
> Non sono d'accordo. E' un ente come tutti gli altri, perfettamente definito.
>

Per quanto poco possa valere la mia opinione in questo campo, condivido.
Non vedo molta differenza concettuale tra una matrice e, diciamo, un numero.

Ciao!

[Kiuhnm]

On 3/1/2013 13:42, fma...@gmail.com wrote:
> On Friday, March 1, 2013 1:36:53 PM UTC+1, Kiuhnm wrote:
>> On 3/1/2013 12:04, Massimo Soricetti wrote:

>>> Una "matrice 3x3" non � niente, matematicamente.

>>
>> Non sono d'accordo. E' un ente come tutti gli altri, perfettamente definito.
>>
> Per quanto poco possa valere la mia opinione in questo campo, condivido.
> Non vedo molta differenza concettuale tra una matrice e, diciamo, un numero.

Certo. A voler essere pignoli, una matrice � una funzione
M:{1,...,m}x{1,...,n}->R.
L'errore sta piuttosto nel dire che M � una trasformazione lineare.
Sempre a essere pignoli, la trasformazione lineare � L(x) = Mx.
Un esempio classico � la differenza che c'� tra derivata f'(x) (un
numero) e il differenziale d(h) = f'(x)h (una trasformazione lineare).

Kiuhnm

[Enrico Gregorio]

Kiuhnm scrive:

> On 3/1/2013 13:42, fma...@gmail.com wrote:
> > On Friday, March 1, 2013 1:36:53 PM UTC+1, Kiuhnm wrote:
> >> On 3/1/2013 12:04, Massimo Soricetti wrote:

> >>> Una "matrice 3x3" non � niente, matematicamente.

> >>
> >> Non sono d'accordo. E' un ente come tutti gli altri, perfettamente
> >> definito.
> >>
> > Per quanto poco possa valere la mia opinione in questo campo, condivido.
> > Non vedo molta differenza concettuale tra una matrice e, diciamo, un numero.
>

> Certo. A voler essere pignoli, una matrice è una funzione

> M:{1,...,m}x{1,...,n}->R.

Questa è una possibile definizione, ma non è obbligatoria.
Probabilmente la più comoda e efficiente, comunque.

> L'errore sta piuttosto nel dire che M è una trasformazione lineare.

Infatti. Una matrice può essere interpretata come una trasformazione
lineare /solo/ quando si siano specificate una base sul dominio e una
sul codominio.

> Sempre a essere pignoli, la trasformazione lineare è L(x) = Mx.
> Un esempio classico è la differenza che c'è tra derivata f'(x) (un

> numero) e il differenziale d(h) = f'(x)h (una trasformazione lineare).

Non è affatto pignoleria.

Ciao
Enrico

[Tommaso Russo, Trieste]

Il 01/03/2013 13:54, Kiuhnm ha scritto:
> A voler essere pignoli,

Beh, qui fai molto bene a essere pignolo.


--
TRu-TS
Buon vento e cieli sereni

[marcofuics]

vabbe' e' sul pelo caprino....
Una matrice è una tabella di numeri, o di elementi riducibili a dei numeri.
Un tensore lo si rappresenta anche attraverso una matrice, ma anche no... il tensore, come oggetto astratto , ad ex. in rel.gen, lo definisci facendo a meno anche di un sistema di coordinate....

[Peltio]

IndianCowboy ha usato la sua tastiera per scrivere :

> Salve a tutti!
> Un tensore di ordine 2 può essere rappresentato tramite una matrice 3x3, ma
> allora qual è esattamente la differenza tra una matrice 3x3 e un tensore di
> ordine 2?

Direi che è la stessa differenza che passa tra una terna di numeri
reali e un vettore nello spazio. Allo stesso vettore puoi associare
diverse terne a seconda del sistema di riferimento in cui sei messo. Io
vedo queste terne come rappresentazioni del vettore nel sistema dato
(definito a sua volta dalla propria base, tipicamente ortonormale).

[Massimo Soricetti]

On 01/03/2013 13:42, fma...@gmail.com wrote:

> Non vedo molta differenza concettuale tra una matrice e, diciamo, un numero.

E no :-)

Un numero è già definito in sé e per sé, non ho bisogno di spiegazioni
ulteriori su che proprietà ha o su che cosa ci posso fare. Lo so già.

Una matrice invece no. Prima di dire che una data matrice ha certe
proprietà o che ci posso fare certe cose devo sapere cosa rappresenta.
Nel caso specifico, come si chiedeva pure l'OP: rappresenta un tensore o
no? Se è un tensore ci posso fare il prodotto esterno e ricavare un
altro tensore, se invece è solo un'applicazione lineare non posso farlo.

[fma...@gmail.com]

On Friday, March 1, 2013 6:29:19 PM UTC+1, Massimo Soricetti wrote:
> On 01/03/2013 13:42, fma...@gmail.com wrote:
> > Non vedo molta differenza concettuale tra una matrice e, diciamo, un numero.
>
> E no :-)
>
> Un numero è già definito in sé e per sé, non ho bisogno di spiegazioni
> ulteriori su che proprietà ha o su che cosa ci posso fare. Lo so già.
> Una matrice invece no.
>

Perché? Se hai due matrici A e B non puoi fare A+B senza sapere altro?

Ciao!

[Pippo]

Il 01/03/2013 18:29, Massimo Soricetti ha scritto:
> On 01/03/2013 13:42, fma...@gmail.com wrote:
>
>> Non vedo molta differenza concettuale tra una matrice e, diciamo, un
>> numero.
>
> E no :-)
>
> Un numero è già definito in sé e per sé, non ho bisogno di spiegazioni
> ulteriori su che proprietà ha o su che cosa ci posso fare. Lo so già.
>

Ah, non devi sapere altro? Quindi se leggi 111011+1001 sai già a priori
il risultato: 1000100 ... ooops forse fa 112012 :-)

[Kiuhnm]

On 3/1/2013 18:29, Massimo Soricetti wrote:
> On 01/03/2013 13:42, fma...@gmail.com wrote:
>
>> Non vedo molta differenza concettuale tra una matrice e, diciamo, un
>> numero.
>
> E no :-)
>
> Un numero è già definito in sé e per sé, non ho bisogno di spiegazioni
> ulteriori su che proprietà ha o su che cosa ci posso fare. Lo so già.

Se un numero rappresenta una lunghezza, puoi moltiplicarlo per -3?
Evidentemente sarebbe problematico.
Ma suggerire, per questo, che le proprietà di un numero dipendano da
cosa esso rappresenta è assurdo.

Tornando ai tensori, un programmatore vedrebbe la cosa così:
class Tensor2 {
Matrix<3,3> M;
...
}

E' evidente che M è sempre una matrice e non ha perso nessuna delle sue
proprietà, però non la si può più manipolare direttamente, ma bisogna
usare i metodi del tensore.

Kiuhnm