Dimostrazione, il segmento NON è composto da infiniti punti
Arcobaleno
adimensionali ed estensione di un segmento di retta.
Dimosteremo qui(con l'aiuto quindi di TUTTI) che i punti ed i segmenti
sono due concetti PROFONDAMENTE diversi tra di loro.
ATTENZIONE!! Questo thread è lungo, è una riflessione profonda,
precisa e non facile. Richiede quindi attenzione e partecipazione.
NON è una richiesta, non ci sono domande per alcuno.
Pongo il tutto all'attenzione degli EVENTUALI lettori PER INTERO.
Quindi, chi NON ha interesse a leggere qualcosa che ha preso a me TRE
ORE per essere scritto(digito con DIECI dita e suono il piano:)) può
fare a meno di intervenire, di leggere.
RIGUARDO AL SEGMENTO DI RETTA
Un discorso sbagliato che fa qualcuno è il seguente:
Siccome noi diciamo che un segmento di retta è costituito da infiniti
punti, e siccome il punto non ha alcuna estensione, ecco che noi
abbiamo un infnità attuale di segmentini la cui estensione è pari a
ZERO. Quindi se ne deduce che il segmento di retta è costituito da una
infinità attuale di punti che hanno estensione ZERO. Ma, come è mai
possibile che qualcosa che non ha estensione vada a costituire
qualcosa che poi ha estensione?
Questo ragionamento sbagliato deriva dalla confusione tra il concetto
di punto adimensionale e segmento di retta.
Ora, per prima cosa dimostreremo che un segmento di retta NON è
costituito da una infinità ATTUALE di segmentini piccoli a piacere.
Così si comincerà a meglio evidenziare la profonda differenza tra il
concetto di punto adimensionale ed il concetto di segmento di retta.
DEFINIZIONE
Un segmento di retta NON è costituito da una infinità di segmentini
piccoli a piacere.
Per dimostrare questa definizione procediamo per assurdo.
E cioè ammettiamo che un segmento di retta sia costituito da una
infinità di piccoli segmentini.
Cioè proviamo a dimostrare che un segmento di retta sia costituito da
una infinità di piccoli segmentini.
Questo implica dire che se il numero di segmentini è uguale a
infinito allora la estensione del segmentino stesso è uguale a zero.
Indichiamo con ns il numero di segmentini.
Indichiamo con es la estensione di ognuno degli infiniti segmentini.
Denotiamo la estensione totale del segmento di retta col numero 1.
Ora dividiamo il segmento di estensione 1 in due parti uguali e così
calcoliamo la estensione dei due segmentini che lo compongono.
Ovvero per ns = 2 noi abbiamo es di ns = 1/2 del segmento di retta.
Così procedendo avremo che per ns = 3, abbiamo es di ns = 1/3
Questo ci permette di dire che la estensione del segmento di retta è
pari a 1/3 + 1/3 + 1/3 = 1.
1/3 è la estensione di ognuno dei 3 segmentini.
Ovvero abbiamo che il segmento di retta è uguale a 1.
ns= 3 ed es = 1/3
Ora se noi proviamo a dividere il segmento di retta in infinite parti
uguali otteniamo che la estensione di ognuno dei segmentini è pari a
0.
Infatti sia 1 la estensione del segmento di retta, sia ns il numero di
segmentini, e sia es la estensione di ognuno dei segmentini come già
detto.
Quindi poniamo es = 1 / ns.
Ora per ns = inf, abbiamo che es = 0.
Quindi ne deduciamo come nel caso di divisione in parti FINITE (per
esempio in 3 parti), che es = 0.
0 + 0...0.... = 1 che è ASSURDO.
In termini più generali possiamo dire che dividere in infinite parti
uguali qualcosa di finito conduce all'assurdo di avere infinite parti
di estensione 0.
Dimostrato questo allora si cambiano i termini del discorso generale
ed invece di parlare di infinito, si parla di LIMITE.
Il concetto di LIMITE è un concetto che nasce proprio per mettere
ordine in questa materia, cioè la materia dell'infinito in matematica.
Quello che possiamo dire a riguardo del segmento di retta di
estensione uguale a 1, è che al TENDERE di ns ad infinito es TENDE al
LIMITE 0.
Quindi si cambia il concetto di infinito e si cambia anche la relativa
scrittura che diventa, come ben sappiamo:
lim es per ns --> inf uguale a 0.
A questo punto noi NON stiamo più dicendo che il segmento di retta è
stato diviso in infinite parti.
A questo punto noi NON stiamo dicendo che la estensione di ognuno dei
segmentini è pari a 0.
Noi siamo dicendo qualcosa di PROFONDAMENTE diverso.
E cioè diciamo che se il numero di segmentini TENDE ad infinito la
estensione di ognuno dei segmentini TENDE al LIMITE 0.
Ed è questo concetto così importante dal punto di vista logico che ci
permette di poter parlare in questa tipologia di casi di infinito in
matematica. Un tipo di infinito che si denota col nome di INFINITO
POTENZIALE.
Il concetto di limite non fa altro che FORMALIZZARE il concetto di
infinito potenziale in ambito matematico.
Con questo abbiamo dimostrato che un segmento di retta è costituito da
infinite parti di segmentini che hanno estensione piccola a piacere.
Ma una estensione piccola a piacere non è una estensione pari a 0.
RIGUARDO AL CONCETTO DI PUNTO ADIMENSIONALE
Il concetto di punto adimensionale nasce dalla esigenza di poter
denotare una POSIZIONE in senso ideale.
Per comprenderlo bene, bisogna partire dalle posizioni nel caso
reale.
Quando noi ci accingiamo a misurare la lunghezza del bordo di una
scrivania per esempio, usiamo un metro. Il PUNTO da cui noi partiamo
per misurare e il punto dove noi terminiamo la nostra misura, sono due
punti che hanno estensione.
Ovvero sono due punti REALI, due POSIZIONI.
Una posizione da cui partiamo, ed una posizione a cui arriviamo col
nostro metro.
Un punto REALE da cui partiamo ed un punto REALE a cui arriviamo.
Nel caso reale, cioè quando misuriamo le lunghezze, noi possiamo
stabilire solo in modo APPROSSIMATIVO la estensione del punto(quello
di partenza e quello di arrivo).
Ovvero, se noi dovessimo ingrandire al microscopio il punto dove
avviene la sovrapposizione tra il punto di partenza del metro ed il
punto di partenza del bordo della scrivania, ebbene ci accorgiamo che
questa sovrapposizione non è perfetta. Le due parti non coincidono.
Per meglio comprendere questo, proviamo ad immaginare un metro piccolo
a piacere.
Ebbene, per quanto questo metro possa essere piccolo a piacere, avrà
sempre una estensione REALE.
Se noi immaginiamo di andare a misurare qualcosa di ancora più piccolo
del metro piccolo a piacere, allora questo implica che avremo sempre
qualcosa di più piccolo del metro stesso.
Capita spesso di misurare qualcosa che ha lunghezza inferiore al
nostro metro.
Possiamo pensare di misurare la lunghezza di una matita usando il
metro.
Ora possiamo pensare di rimpicciolire sia la matita che il metro fino
ad avere dimensioni sempre più piccole, piccole a piacere.
Ebbene, in ogni caso, noi avremo sempre che il metro che misura avrà
estensione maggiore della matita.
Allo stesso identico modo possiamo pensare al punto REALE, che è un
punto di partenza o di arrivo(o anche intermedio).
Per quanto lo si possa rimpicciolire, avrà pur sempre una estensione,
piccola quanto si vuole ma avrà la sua estensione, e lo stesso succede
per il metro che misura il tutto, e cioè per quanto divenuto anche il
metro piccolo a piacere, avrà sempre una estensione proporzionale
all'oggeto che andrà a misurare.
In questo modo noi capiamo che ogni punto che compone il metro, cioè
ogni punto piccolo a piacere che compone l'intera lunghezza REALE,
avrà sempre una estensione.
Il punto REALE quindi avrà sempre una sua estensione.
Se così non fosse, avremo un assurdo.
Ovvero si potrebbe prendere il punto di partenza da dove misuriamo la
lunghezza della matita.
Poi rimpicciolire il metro e la matita.
Ebbene, se il punto di partenza della misura conicide col punto di
partenza della matita, allora dovremmo ammettere che sia possibile
avere un punto adimensionale nella REALTA'.
Ma questo è impossibile. Perché?
Perché se noi prendiamo questi due punti(metro e matita) di partenza e
diciamo che coincidono, ecco che allora è come se stessimo dicendo che
non hanno estensione.
Quindi, nel caso delle misure REALI cosa è che in realtà coincide? A
coincidere(parliamo del punto di partenza per esempio) è sono le
lunghezze dei due oggetti. E' un po' come se dopo aver sovrapposto
esattamente il metro con l'inizio del bordo della matita, noi ci
fermassimo al primo millimetro, e TAGLIASSIMO con un seghetto. Quindi
si otterrebbero due oggetti ESATTAMENTE sovrapposti, ma della
lunghezza di un millimetro.
Ora è immaginabile che questo millimetro si potrebbe ridurre in
miliardesimi di millimetro. Segare anche il miliardesimo di
millimetro. E così proseguire all'infinito.
Ma non si arriverà mai ad avere un punto di partenza inteso come tale.
Cioè noi avremo sempre e comunque un punto di partenza che ha
estensione, anche a voler IDEALIZZARE una sovrapposizione perfetta.
Anche in questo caso noi avremo in ogni caso la estensione del punto
di partenza nel caso reale.
Quindi nel caso reale NON esiste il punto di partenza in senso ideale,
ma un punto di partenza che può essere piccolo(preciso) a piacere, ma
è pur sempre qualcosa di esteso e quindi qualcosa che ci fa parlare di
errore di misura nella sovrapposizione già solo a livello ideale.
In altre parole, noi abbiamo il punto di partenza, ma questo lo
immaginiamo come punto ideale, come se non avesse estensione, come se
fosse il punto dove coincide l'inizio del metro e l'inizio della
matita da misurare. Questo punto esiste se e solo se lo pensiamo
esteso, altrimenti non potrebbe esistere.
Questo concetto si rende difficoltoso anche da spiegare perché siamo
abituati dalla scuola ai punti adimensionali, e pensiamo a qualcosa di
perfetto, di preciso anche nel caso reale, ma nel caso reale questo
non accade.
Nella realtà noi NON abbiamo i punti adimensionali.
Quel punto di partenza per quanto coincidente NON è una posizione
IDEALE ma REALE, cioè una posizione che ha estensione TRIDIMENSIONALE.
E' questo il passaggio FONDAMENTALE per capire la differenza tra punto
REALE e punto ideale(quello della geometria euclidea).
Se quel punto di sovrapposizione, dove sovrapponiamo l'inizio del
metro e quello della matita fossero perfettamente sovrapponibili
dovremmo poter rimpicciolire il tutto senza avere più alcuna
estensione.
ATTENZIONE!!! E' questo il passaggio difficoltoso su cui riflettere
bene.
Ma se noi rimpiccioliamo il tutto e avremo sempre una estensione,
allora il punto adimensionale non esiste nella realtà e quindi anche
il punto di partenza della misura(dove si sovrappone metro e matita)
avrà una sua estensione.
Per poterlo meglio capire conviene seguire questo esempio.
Pensiamo al punto di inizio del metro e a quello della matita.
Sovrapponiamo il tutto ed iniziamo la nostra misura.
Ora fermiamoci immediatamente al primo millimetro.
Questo per noi è il punto di partenza.
Per quanto noi possiamo rimpicciolire quel millimetro, ecco che questo
avrà sempre una sua estensione.
Quindi il punto di partenza avrà sempre una sua estensione, anche se
lo vogliamo pensare essere coincidente. Ovvero anche a voler pensare
coincidenti il punto di partenza di metro e matita, avremo sempre che
questo punto ha una sua estensione.
Ora se un punto ha estensione, noi nella realtà non possiamo certo
parlare di punti adimensionali, di punti che non hanno estensione.
Il punto adimensionale diventa quindi un oggetto IDEALE che ritroviamo
nella geometria euclidea.
Questo punto è ADIMENSIONALE nel caso IDEALE e NON reale.
E' questo un passaggio che qualcuno non ha ancora ben chiaro.
Ovvero il continuare a confondere il punto reale col punto IDEALE.
E quindi si confonde ovviamnete la POSIZIONE denotata da un punto
reale con la POSIZIONE denotata da un punto ideale.
Quindi ecco dimostrato che il segmento NON è composto da una infinità
di punti IDEALI(il discorso sui limiti) come già precisato.
Ed è stato dimostrato che anche il metro (caso REALE) non è composto
da una infinità di punti.
Sia nel caso ideale che nel caso reale, questi punti NON esistono in
numero infinito, in senso di infinito in atto. Ma esistono solo in
senso di infinito POTENZIALE. Cioè noi ci approssimiamo a quella
posizione, che nel caso reale rimarrà pur sempre qualcosa che deve
avere estensione.
Nel caso ideale succede la stessa cosa.
E' per questo che noi notiamo che il limite ESISTE, ma è qualcosa a
cui SI TENDE ma non si raggiunge MAI.
Da qui il concetto di punto di accumulazione per esempio.
Che è molto legato a questo genere di considerazioni.
Si tende per approssimazioni, ma non si raggiungerà mai quella
posizione.
Ovviamente la posizione esiste, c'è, ma è un nostro IDEALE, sia nel
caso reale che ideale stesso.
Mentre però nel caso reale questo è più chiaro, nel caso ideale questo
può sfuggire, perché ci si dimentica del concetto di limite.
Si pensa al punto del disegno, e ci si convince che quella posizione
esiste. Ma esiste il DISEGNO(che è TRIDIMENSIONALE) e non esiste il
punto e la posizione IDEALE.
La posizione ideale è una astrazione, è un punto limite che non viene
raggiunto se non dai numeri, perché i numeri possono essere pensati
anche come un infinito in atto sia nel grande che nel piccolo(le
frazioni). Ma queste frazioni sono un TENDERE verso un'altra frazione
e così all'infinito, ed ecco che la posizione si approssima sempre di
più anche nel caso IDEALE.
Purtroppo, nel caso ideale, così come si scopre la incommensurabilità
che sconvolge ancora oggi, si scopre anche questa NON esiste del punto
che denota una POSIZIONE ideale.
Il punto denota un posizione ideale perché è idealizzato il tutto, la
geometria. Ma purtroppo il punto inteso come posizione rimane
irraggiungibile. Se così non fosse, non si potrebbe parlare di punto
di accumulazione in modo coerente.
La posizione esiste come LIMITE NUMERICO. Ma non come limite
geometrico.
In base ai ragionamenti topologici, se pensiamo in termini solo
geometrici andiamo incontro a queste contraddizioni. Se invece
ragioniamo in termini di numeri, ecco che continuiamo a pensare ad una
approssimazione.
La differenza tra una posizione pensata ideale ed esistente( il punto
del grafico, il punto sulla retta ecc) ed il punto pensato come
LIMITE, è la stessa che corre tra sqrt2 pensato come simbolo, come
numero infinito in atto, e 1,414....
Pensato come simbolo, come numero, esiste, e ci illudiamo che possa
denotare una posizione ideale, anche immaginata nella nostra mente,
senza alcun disegno. Ma invece dimentichiamo che abbiamo parlato di
punto di accumulazione.
Ora, sia al razionale che all'irrazionale noi possiamo avvicinarci
solo per approssimazioni. La numerabilità o meno non interessa, non è
questo il problema.
Il problema è che la stessa corrispondenza biunivoca conduce ad una
ulteriore idealizzazione del segmento di retta oltre a quello già
idealizzato da Euclide.
Questa corrispondenza biunivoca è possibile, ha senso, ma ha senso se
pensiamo che i punti siano dei punti LIMITE e non dei punti esistenti.
Quindi i punti adimensionali NON sono un infinito in atto ma un
infinito POTENZIALE.
E il concetto di punto di accumulazione trae spunto da questo tipo di
approccio.
Se però si pensano i numeri razionali come ad un infinito in atto,
ecco che anche i punti (corrispondenti sulla retta) vengono pensati
come infinito in atto.
E' qui che nasce un altro grave errore. Da una parte si pensa ad un
infinito in atto e dall'altra è stato elaborato un infinito
potenziale.
Inoltre, nei calcoli(visto che bisogna avere i risultati come è giusto
che sia) si è portati a dimenticare il concetto di limite e si pensa
alla esistenza di quei numeri, salvo poi accorgersi che ci si è
approssimati già nel caso IDEALE(come nel caso di sqrt2) e ovviamente
nel caso reale esistono gli errori di misura.
Per quanto astratta la matematica del punto e del numero rimane
saldamente ancorata in considerazioni che partono dal mondo reale e
con questo devono fare sempre i conti.
Quindi, l'infinità dei numeri reali in un intervallo è da pensarsi
come una infinità POTENZIALE: la numerabilità è altro discorso e NON
c'entra nulla.
In questo modo la corrispondenza biunivoca ha maggiore senso logico e
non trae in inganno e non crea contraddizioni.
In particolare non ci si illude che sommando i numeri l'uno all'altro
(intesi come punti posizione) si abbia una estensione.
In realtà noi sommiamo già distanze le une alle altre.
Sommare due punti l'uno di seguito all'altro è impossibile perché
questi NON esistono né in caso IDEALE(vedi concetto di punto di
accumulazione) né in caso reale ovviamente.
Quello che esiste è il LIMITE, bisogna pensarli come infinito
potenziale.
Ogni punto del segmento è una posizione LIMITE a cui ci si approssima
e non bisogna farsi trarre in inganno dal fatto che non sia il punto
di PARTENZA, come a dire: dopo c'è il nulla ed ecco che quindi questo
punto esiste. NO! Come dice la topologia elementare, ci si approssima
infinitamente: infinito POTENZIALE.
E chiaro quindi che se non si applica bene il concetto di LIMITE alla
matematica, continueranno ad esserci critiche(anche bizzzarre e
astruse e confuse), come quelle rivolte giustamente ma logiche a
Leibniz sugli infinitesimi. Ma il concetto di limite ha sistemato
queste problematiche.
Altro discorso per la retta, che può anche essere pensata come una
infinità di segmenti lunghi a piacere. Ma anche in questo caso si può
pensare all'ennesimo segmento e NON all'ultimo segmento infinito.
Quindi noi CREIAMO nella nostra mente un infinità di segmenti e
diciamo che esistono in atto. Ma sono esistenti in atto che NON creano
contraddizione nel ragionamento, e per questo allora diciamo che
esistono in ATTO.
Ma se creano contraddizione nel nostro ragionamento, allora ecco che
non esistono più in atto, e si usa il concetto di infinito potenziale.
Insomma, la scelta tra infinito in atto ed infinito potenziale
prescinde dalla ESISTENZA metafisica mentale degli oggetti, ma diventa
una pura questione logica. Per noi logico significa senza
contraddizione. Quindi quello può essere un infinito in atto. Ma
l'infinito in atto IMPLICA il concetto di infinito potenziale.
Mentre il concetto di infinito potenziale non IMPLICA(ed anzi esclude)
il concetto di infinito in atto.
Questo perché se un infinito è stato pensato potenziale è perché se
viene pensato come in atto, crea contraddizione. Un infinito che
invece viene pensato come IN ATTO non crea contraddizione e quindi
quel ragionamenton REGGE, RESISTE anche se sostituiamo l'infinito in
atto con quello potenziale.
Per questo spesso non sappiamo che tipo di infinito bisogna scegliere.
SEGMENTINI E PUNTI ADIMENSIONALI
Ora possiamo capire meglio cosa intendiamo dire quando parliamo del
segmento di retta che è composto da una infinità di punti
adimensionali.
I punti sono, appunto, adimensionali. Dire che il segmento è
costituito da una infinità di punti adimensionali NON significa dire
che un insieme di punti adimensionali di estensione pari a ZERO darà
come lunghezza un segmento pari a 1 per esempio.
Abbiamo visto all'inizio che il segmentino dovrà avere sempre una sua
estensione. E per poter chiarire meglio il concetto dal punto di vista
logico(l'infinito in questo caso) abbiamo introdotto il concetto di
limite.
Quindi noi possiamo dire che il segmento è costituito da una infinità
POTENZIALE di segmentini piccoli a piacere.
Ma è tutt'altro concetto, è tutt'altro modo di ragionare, tanto è vero
che è stato introdotto il concetto di limite con relativa
formalizzazione e notazione matematica.
Il concetto di limite risponde a questa esigenza logica e non è un
capriccio dei filosofi.
Il punto adimensionale quindi non c'entra assolutamente nulla col
segmentino piccolo a piacere. Sono due cose PROFONDAMENTE diverse.
Ora il punto è adimensionale, e quindi non ha alcuna estensione.
E NESSUNO ha mai detto che il segmento è costituito da una infinità di
punti adimensionali, volendo intendere che poi la somma di questi
infiniti punti(che hanno estensione ZERO, per definzione) se sommati
tra loro daranno l'intero segmento.
Qui mi corre l'obbligo di far notare come questa confusione si crea
proprio nelle nostre scuole, anche in quelle superiori.
Dove in modo superficiale, troppo superficiale, si lasciano questi
concetti "in sospeso" senza approfondire.
Ebbene questa è una riflessione sviluppata dai matematici e filosofi
greci che non deve essere presa come dogma. Bisogna sviluppare la
riflessione stessa, magari alle superiori, e mettere in guardia fin
dalle medie inferiori e anche agli ultimi anni delle elementari che si
sta parlando di cose IDEALI e non reali.
Inoltre non è più il caso di dire: il segmento di retta è formato da
una infinità di punti adimensionali.
Questo genera una equazione sbagliata nella mente di chi apprende(ma a
mio parere è la mente di chi spiega che ha questa confusione il più
delle volte).
E' qui che nasce l'errore. E' qui che si comincia a pensare al fatto
che il segmento di retta costituito da una infinità di punti
adimensionali vada a creare per magia una estensione.
Questo poi, darà problemi ulteriori quando si introduce il concetto di
limite, perché da una parte si comincia a parlare del tema
dell'infinito, e però lo si fa pensando all'infinito potenziale senza
pensare all'infinito in atto. Con una totale confusione tra limite,
infinito in atto, infinito potenziale, punti adimensionali, segmento
composto da infiniti punti adimensionali ecc.
Ebbene, un ragazzo DOTATO avrà le sue prime confusioni, ed accetterà
per dogma tutto questo. Ma quando tenterà di mettere ordine si accorge
che gli hanno insegnato qualcosa che non funziona, qualcosa che non
quadra.
La maggioranza(che sono quelli non dotati in matematica e a svolgere
le riflessioni su questi temi) lascerà tutto intatto, neppure si
curerà GIUSTAMENTE di approfondire. Ma chi approfondisce e lo fa in
maniera rapida, subitanea, ecco che potrebbe avere equivocato il
tutto.
Ora in conclusione vediamo quanto segue.
I punti del segmento di retta sono adimensionali perché solo così è
possibile avere l'oggetto monodimensionale in senso ideale. E solo
così è possibile avere l'oggetto bidimensionale in senso ideale.
Se invece il punto avesse estensione, ecco che avrebbe la TERZA
dimensione!!!
Questo a scuola NON viene MAI detto. E a mio paere perché NON sanno
come si è giunti e perché alla geometria euclidea.
La si prende come dogma, ma si tratta di una costruzione UMANA e come
tale va spiegata ragionando, non imposta come se fosse la religione
cattolica!!
Quindi il punto adimensionale risponde a questa prima esigenza.
Nel seguito, quando Cartesio e Fermat cominciarono a ragionare su
questi temi si resero conto che era possibile far corrispondere ogni
punto ADIMENSIONALE del piano(se i punti non sono adimensionali, non
esiste il piano ma una figura solida) con i numeri reali: la cosa è
più complessa perché non tutti accettavano gli irrazionali ecc ecc. Ma
questa è altra faccenda storica.
Però quando si crea questa corrispondenza biunivoca tra punti
adimensionali e numeri reali, ecco che la confusione(per chi non ha
ben chiaro i concetti precedenti) aumenta.
Si pensa: come è mai possibile che entità discrete(i numeri) possono
andare a denotare i punti della retta?
Ma se i punti di un segmento di retta mi daranno l'intero segmento,
ecco che l'insieme dei reali presenti nell'intervallo 0,1 mi darà la
lunghezza dell'intero intervallo.
Ma allora(continua a ragionare il tizio) io sto pensando al numero
come entità discreta o come entità che ha una estensione?
E ancora, continua il tizio, con un numero reale denoto la lunghezza
del punto? Ma se il punto è adimensionale ?
Ecco che si genera ulteriore confusione. E tutto questo perché non
viene chiarito bene cosa è la geometria euclidea e si dice che la
retta è costituita da una infinità di punti adimensionali senza
spigare cosa si vuole intendere.
E giustamente la prima cosa che si intende è che se togli i punti
togli pure la retta e quindi i punti hanno estensione e i relativi
reali che li denotano, denotano qualcosa che ha estensione quindi. Ma
se mi hanno detto che il punto è adimensionale come è possibile che ha
estensione?
Ecco che si genera una confunsione che in molti(insegnanti di scuola
compresi) dura fino alla fine dei loro giorni.
Ora però dopo i chiarimenti è facile capire in che senso si vuole
parlare di punti messi in corrispondenza dei numeri reali.
Il numero non fa altro che denotare una POSIZIONE LIMITE in senso
IDEALE.
Questo deve essere ben chiarito. Noi parliamo di assi cartesiani, ma
questi assi sono IDEALI. Non esistono nella realtà. Nella realtà i
riferimenti sono APPROSSIMATI, ci sono gli errori di misura.
Nel piano con gli assi cartesiani noi abbiamo una costruzione IDEALE e
poi notiamo che la realtà si approssima a questo ideale(e così non ci
si meraviglierà più del fatto che la matematica funziona per spiegare
i fenomeni naturali) visto che gli enti primitivi della matematica
sono IDEALIZZAZIONI di cose reali, come il concetto di quantità(da cui
si astrae il concetto di numero, di insieme ecc) e le figure
geometriche DISEGNATE(da cui si astraggono i concetti della geometria
euclidea).
Quindi quelle posizioni sono IDEALI, e i numeri reali possono denotare
quelle posizioni LIMITE.
Ma NON è l'insieme delle posizioni che darà estensione
monodimensionale e ci farà giungere al segmento di retta.
La estensione monodimensionale è posta a priori, ovvero non si fa
altro che dire quanto segue:
Noi vogliamo considerare la figura solida ideale. Per poterlo fare
però abbiamo bisogno di pensare alle facce lisce(pensiamo a un cubo),
ma per fare questo devo pensare alle facce come a dei piani. Ed ecco
che nasce il concetto di piano che ha DUE sole dimensioni, perché se
ne avesse una terza, non potrebbe conferire al cubo(come ad altri
solidi) quella perfezione ideale.
Dopo aver pensato al concetto di piano, ci si accorge che esistono due
dimensioni ma allo stesso tempo non esiste più la terza. Ma per avere
questo però bisogna pensare ai punti adimensionali, che magari hanno
estensione bidimensionale ma non di certo quella tridimensionale.
Poi però si pensa alle figure geometriche REALI disegnate sui fogli di
carta.
E ci si accorge che questi segmenti REALI disegnati, non sono
perfetti. Questi segmenti hanno solo la lunghezza e non hanno la
larghezza e tanto meno la profondità. Insomma ci si accorge che per
poter parlare di quei segmenti bisogna pensarli senza neppure la
seconda dimensione.
Qui nasce il concetto di ente monodimensionale.
Ma questo ente monodimensionale ha solo lunghezza.
Però se deve essere monodimensionale da cosa può essere costituito?
Ci si accorge che è possibile ancora trattarlo come un ente su cui
poter trovare le posizioni. Quindi è ideale ma tuttavia(come il piano
e il solido) ha la possibilità di dare le posizioni. Ed ecco che si
rende IDEALE anche il concetto di posizione.
Ma questo implica che il punto adimensionale(tale perché altrimenti il
segmento avrebbe tre dimensioni) deve essere un concetto che ci serve
per continuare ad indicare le posizioni sul segmento e basta.
Quindi il concetto di punto è necessario sul segmento(come su piano e
solidi) perché ci serve per denotare le posizioni, e se così non
fosse, non potrebbe esistere la geometria. Eliminando le posizioni non
sarebbero possibili i teoremi, le lunghezze ecc ecc.
Ma questo punto però denota posizioni IDEALI ed allo stesso tempo NON
deve avere alcuna estensione, perché sarebbe immediatamente un ente
tridimensionale.
Da qui la sistematizzazione di Euclide(e di altri a cui si ispirò),
che parla di punti adimensionali per rendere rigoroso l'intero
sistema.
Ma questi concetti li usiamo ancora oggi e li abbiamo riportati in
topologia. Quindi la topologia parte da ulteriori astrazioni su enti
ideali che a loro volta partono da considerazioni su enti reali che
vengono appunto resi ideali.
Ad un certo punto ci si accorge che la corrispondenza tra punti e
reali è talmente proficua che possiamo parlare direttamente di numeri,
ed ecco che la geometria diventa algebra già a partire da Cartesio. Ma
allo stesso tempo si va oltre le tre dimensioni, perché ci si rende
conto che il tutto è ideale.
Questa corrispondenza tra punti e numeri reali permette la geometria
ad n dimensioni.
Poi arrivano maggiori astrazioni e si capisce che esistono delle
strutture. Queste strutture algebrico-geometriche non sono qualcosa
che riguarda solo la applicazione dei numeri agli enti geometrici n
dimensionali, ma possono essere applicate anche ad altri enti: le
funzioni, le matrici ecc ecc.
Quindi nasce l'idea di struttura ASTRATTA: quella di spazio vettoriale
ne è un esempio lampante.
E' chiaro quindi che uno studente delle superiori che si trova ancora
alle prese col punto adimensionale, si ritrova immediatamente
catapultato nel mondo di DUEMILA ANNI DOPO, senza aver ben chiaro
neppure le cose di duemila anni fa.
Ed è ben comprensibile che anche se dotato(come spiega K. Nicholson
nella prefazione del suo Algebra lineare) avrà un impatto duro perché
messo immediatamente difronte al concetto di struttura astratta(e lui
nel libro per questa parte da una struttura applicata ai vettori
geometrici e poi rende il tutto astratto e lo generalizza) e al
concetto di trasformazione lineare.
Un doppio salto mortale praticamente: che sicuramente avrà il suo
influsso sul numero di abbandoni. Magari una minima percentuale.
Oppure serie difficoltà di apprendimento anche per chi resta e metterà
più tempo per prendere la laurea.
Ma abbandonando immediatamente questa parentesi sulla didattica,
possiamo pensare come certi concetti se non chiariti bene a scuola e
se non ripresi e chiariti neppure al primo anno di università, ecco
che creano un sapere DOGMATICO o un sapere parziale e pieno di
ambiguità sui fondamenti, dove sembra quasi impossibile ragionare di
testa propria fino in fondo. E dove una dimostrazione è tale solo se
segue bene l'ambito SINTATTICO abbandonando per sempre(perché di
questo si tratta: ed è qui che interviene la filosofia della
matematica) la relazione obbligata tra ambito sintattico e ambito
semantico.
A questo punto la matematica esiste solo nei libri, solo nella testa
dei grandi matematici, ed esiste come un corpus di dogmi nella mente
dell'allievo che apprende una dottrina prima ancora che una serie di
ragionamenti, perché se la stessa geometria euclidea non viene
spiegata a partire dalla sua essenza, si parte da dogmi e non da
ragionamenti condivisi.
Questo però non si nota, perché nessuno si fa venire in mente certe
idee, pensa al prosieguo, ai risultati. Ma se qualcuno si fissa su
certi ambiti ecco che può prendere una strada sbagliata che NON vuole
tenere conto della matematica attuale, perché nessuno gli ha mai
chiarito in profondità il perché si sia arrivati a quella matematica
piuttosto che ad un'altra. E non basta fargli notare che quella
matematica funziona e produce tecnologia.
Grazie ancora per l'attenzione ad un post così lungo. Ma l'argomento
richiedeva chiarimenti ed esempi. Altrimenti avrebbe generato maggiori
equivoci.
Ci sono degli argomenti che(come detto all'inizio) per essere trattati
anche su un ng, hanno bisogno di più tempo e di una serie di
chiarimenti anche lunghi.
Non sempre si tratta di richieste o di domande veloci. Esistono anche
le riflessioni che durano delle ore e prodotte e che sono il risultato
di anni di studio e riflessioni. Nessuno è obbligato ad approfondire,
ma chi lo fa si troverà davanti a qualcosa di decente e non a qualcosa
di buttato lì senza alcun chiarimento. Tuttavia ho limitato il tutto,
senza andare oltre e parlare della retta e di altre ulteriore
implicazioni.
Inoltre, mi scuso per non aver sistematizzato il tutto in modo da
renderlo più leggibile: ma questa non mi sembra esattamente una
rivista a cui spendire degli articoli.
In tal caso, avrei impiegato più tempo nella elaborazione del testo,
che non ho neppure riletto se non in alcuni punti. Quindi potrebbero
esservi degli errori che non ho avuto il tempo di eliminare dal testo.
Questo purtroppo nasce dalla consapevolezza che nella maggioranza dei
casi, i post lunghi non solo non sono ben accetti(mi si dice di essere
breve) ma neppure letti attentamente. Ed io, sinceramente, non me la
sento di perdere tempo nella elaborazione e rielaborazione e
correzione ecc di un testo.
Doppiamente grazie a chi avrà la pazienza di leggere.
Antonio
"Arcobaleno" <arcobalen...@freemail.it> ha scritto ...
Ho notato che qualcuno ancora oggi fa molta confusione tra punti
adimensionali ed estensione di un segmento di
.............................................................................................................
Il tuo lungo e articolato post, di non facile lettura, e' una disquisizione
di natura filosofica che non fa mai il passo verso il rigore matematico.
Sembra confermare l'aforisma di Wittgenstein: "Nessuna religione ha abusato
di espressioni metafisiche come la Matematica".
AndreaM
>
> DEFINIZIONE
> Un segmento di retta NON è costituito da una infinità di segmentini
> piccoli a piacere.
>
> Per dimostrare questa definizione .........
Io avverto sempre i miei studenti (scherzando, ma solo fino ad un
certo punto) che se all'esame mi dicono che vogliono dimostrare una
definizione li prendo a bacchettate sulle mani.
Il fatto è che la tua affermazione NON E' una definizione (in quanto
non definisce nulla). Piuttosto, è una PROPOSIZIONE, visto che fai
un'affermazione.
Non ho letto tutto il tuo lunghissimo post, ne lo farò, ma osservo che
la Proposizione usa in modo ambiguo il termine segmento che dovrebbe
essere preventivamente definito (questa volta sì)
Se per segmento intendi un intervallo aperto o aperto/chiuso la
Proposizione è falsa.
Se per segmento intendi esclusivamente un intervallo chiuso [a,b],
allora la Proposizione è vera, ma la dimostrazione è estremamente
breve:
Supponiamo [a,b]=unione J(i), dove J(i) è un intervallo chiuso di
lunghezza positiva e per i diverso da j, J(i) e J(j) hanno al più un
estremo in comune. Supponiamo i J(i) siano infiniti.
Sia allora P(i) il punto di mezzo dell'intervallo J(i). L'insieme {P
(i)} è infinito, discreto e contenuto in [a,b]. Questo contraddice la
compattezza di [a,b]. qed
Giovanni
Di solito, la dimostrazione che un segmento non puo' essere composto
da punti adimensionali, ossia di estensione nulla e' piu' semplice:
mettendo in successione dei punti senza estensione non ci si muove dal
punto di partenza, cioe', non si puo' produrre nessuna estensione, per
quanti siano i punti.
Il tuo confronto tra realta' e idealita' non mi sembra ben posto.
Basta solo dire che tutte le cose reali sono composte di ATOMI, e
percio' non si puo' formare una cosa continua.
E poi ritengo ininfluente il fatto che un "punto reale" sara' sempre
esteso.
Direi che l'antichita' ha potuto ignorare la controversia
semplicemente considerando i punti come mere POSIZIONI (definite come
intersezioni di figure geometriche).
La differenza tra segmenti piccoli a piacere e punti e' una tautologia
(e' per definizione)
Sono d'accordo sul fatto che i concetti matematici dovrebbero essere
maggiormente approfonditi e non semplicemente acquisiti, per poi
essere semplicemente sfornati tali e quali (tra i due atti, di mezzo
dovrebbe starci un cervello pensante e non un semplice esecutore
meccanico)
C'e' un problema.
Per la DENSITA' dei punti (come vengono definiti) non si puo' parlare
di *punti consecutivi* e quindi cade la possibilita' dell'obiezione
che punti consecutivi di dimensione zero non fanno un estensione.
.
Giovanni
Giovanni
Scusami, mi sfuggira' una banalita', ma perche' un normale intervallo
[a,b] non puo' contenere un insieme infinito discreto di punti ?
.
Giovanni
Arcobaleno
>
> Sono d'accordo sul fatto che i concetti matematici dovrebbero essere
> maggiormente approfonditi e non semplicemente acquisiti, per poi
> essere semplicemente sfornati tali e quali (tra i due atti, di mezzo
> dovrebbe starci un cervello pensante e non un semplice esecutore
> meccanico)
>
E' quello che ho fatto io, anche se purtroppo non sono partito né da
zero, né ho sviscerato tantissimi altri concetti.
Pur non facendo una operazione tanto lunga(ci vorrebbero varii volumi)
mi hanno subito messo davanti alle acquisizioni recenti, alle
elaborazioni recenti, prendendo quelle come verità da non mettere in
discussione. E siccome il mio ragionamento non va immediatamente in
quella direzione, ecco che il mio ragionamento(come tu proponi che
dovrebbe essere) a parere della maggior parte non dovrebbe neppure
partire.
Quindi hai avuto la prova(neppure si entra in topic ho notato) che
nessuno è disposto a partire da zero, come tu stesso ti auguri.
Anche tu, purtroppo, pur essendo ben disposto a questa pratica,
tuttavia usi quello che già sai.
E' come un film. Mentre lo giri commetti errori, poi rigiri le scene,
poi fai il montaggio, poi le musiche, poi le riascolti poi cambi, poi
va a rigirare una scena, poi lo rivedi e allora cambi ancora il
montaggio e dopo tanto tempo(Kubrick impiegava due anni per ogni suo
film) lo mandi in onda.
Qui è come se qualcuno che ha già visto il film mi viene a dire,
mentre io ho girato appena una scena(ho trattato un mero argomento che
deve essere approfondito) che devo cambiarla perché lui ha visto
l'intero film e quella scena va sistemata diversamente affinché si
vada da subito verso quel finale.
Ora, siccome il film è stato già girato, e ognuno ce l'ha a modo suo
nella propria testa(il film è la storia della matematica) è ovvio che
nessuno è disposto a rigirarlo perché richiede un impegno non da poco.
Sei ancora convinto che il matematico possa insegnare la propria
materia partendo dai fondamenti, dalla filosofia dei greci, da
considerazione a posteriori su come noi percepiamo il mondo(fare
teoria della conoscenza) ecc ecc?
Non è che da questi matematici si cominci a pretendere un po' troppo?
Non è che quando fanno qualche passo avanti apparentemente troppo
ardito, anche loro si scontrano all'interno di una comunità e vince la
maggioranza? Siamo sicuri che lo sviluppo della matematica sia stato
normale e non piuttosto un GUERRA dove hanno vinto delle fazioni su
altre?
Perché altrimenti non saprei spiegarmi le varie scuole sui fondamenti,
non saprei spiegarmi i problemi di Leibnizi con Berkeley, non saprei
spiegarmi Cauchy che elabora meglio il concetto di limite, e non mi
saprei spiegare un Dedekind che dice: qui ognuno ha la sua idea di
continuo e mettiamo ordine. E non mi saprei spiegare un Cantor
superosteggiato.
Non mi saprei spiegare i numeri !"IMMAGINARI".
Insomma, a mio parere noi siamo NELLA storia, e pretendere che un
ripercorrere la storia, ragionandoci sopra(cosa ancora più complessa
perché non vedono nulla di nuovo) con aggiungiunte riflessioni a
posteriori di teoria della conoscenza, è ovvio che non può essere né
mera matematica e tanto meno qualcosa che non genere GUERRA.
Ovviamente è una guerra motivata, ognuno ha i suoi motivi, il suo buon
motivo per occuparsi di altro piuttosto che di questo.
Io stesso passo solo poche ore ad occuparmi di questi problemi. Mi
pare normale che la maggioranza se ne occupi ancora di meno.
Io stesso do priorità allo studio di altra matematica e non a rifare
questo percorso che ho già fatto studiando.
Più che i matematici ci vogliono quelli che amano il sapere, i
filosofi. Un filosofo che conosce la matematica e non un matematico
che conosce la filosofia(la filosofia non è una branca del sapere, è
una attività, una attitudine).
Sarebbe bello INCASTRARE i prof a scuola quando ti parlano di punto
adimensionale e fargli spiegare perché e per come giunge a quella roba
invece di assorbirlo come dogma.
L'alfabeto ha un suo ordine(a , b, d) e lo impari perché tanto un
ordine vale l'altro, perché forse dipendeva dalle divinità(alfabeto
greco prima quello ebraico).
Ma la matematica è puro ragionamento.
Chi ha voglia ragiona, chi non ha voglia non ragiona, si rifà all'ipse
dixit di tizio o di caio, dice che sta nel libro e con questo si mette
la coscienza a posto:))
Ciao e grazie per il tuo intervento
A.
p.s sai dirmi cosa è una dimostrazione? E sai dirmi perché proprio
quella che tu stesso spieghi deve essere una dimostrazione?
Insomma ti va di fare un po' di FILOSOFIA della logica:))))
Siamo tutti trascesi, ipercondizionati. E la chiamano verità:) Al
massimo è una verità per UNA specie nell'universo. Chissà senza il
senso della vista che verità avrebbero trovato gli umani.
Ah ah ah ah ah:))
Giovanni Ruggieri
concetto di punto adimensionale nasce dalla esigenza di poter
definire il segmento come "costituito" da punti, dove per "costituire"
si debba intendere il mezzo per stabilire. Cioè i punti indicano la
posizione tramite la quale "statuere", cioè stabilire, il segmento.
Hai scritto che "Ora, per prima cosa dimostreremo che un segmento di
retta NON è
costituito da una infinità ATTUALE di segmentini piccoli a piacere. ".
Io penso, e bacchettatemi se sbaglio, che se non è formato da
un'infinità ATTUALE di segmentini piccoli a piacere, comunque sembra
ritrovare un'infinità attuale in una somma infinita di segmenti. Cioè
il segmento è formato da 1/2+1/3+1/4+1/5..... di segmenti. Quindi come
per la retta possiamo riconoscere un infinito in atto così a me sembra
riconoscerlo anche nel segmento.
>Siamo tutti trascesi, ipercondizionati. E la chiamano verità:) Al
>massimo è una verità per UNA specie nell'universo. Chissà senza il
>senso della vista che verità avrebbero trovato gli umani.
Senza tanti altri sensi, ma a questo punto sarebbe difficile poter
dare testimonianza della propria realtà.
Saluti
Giovanni
> On 28 Ott, 12:37, Giovanni <stlam...@alice.it> wrote:
>
>
>
> > Sono d'accordo sul fatto che i concetti matematici dovrebbero essere
> > maggiormente approfonditi e non semplicemente acquisiti, per poi
> > essere semplicemente sfornati tali e quali (tra i due atti, di mezzo
> > dovrebbe starci un cervello pensante e non un semplice esecutore
> > meccanico)
> E' quello che ho fatto io, anche se purtroppo non sono partito né da
> zero, né ho sviscerato tantissimi altri concetti.
> Pur non facendo una operazione tanto lunga(ci vorrebbero varii volumi)
> mi hanno subito messo davanti alle acquisizioni recenti, alle
> elaborazioni recenti, prendendo quelle come verità da non mettere in
> discussione. E siccome il mio ragionamento non va immediatamente in
> quella direzione, ecco che il mio ragionamento(come tu proponi che
> dovrebbe essere) a parere della maggior parte non dovrebbe neppure
> partire.
> Quindi hai avuto la prova(neppure si entra in topic ho notato) che
> nessuno è disposto a partire da zero, come tu stesso ti auguri.
C'e' un discorso importante da tener in conto.
In effetti, si puo', in qualche modo, partire da zero.
Lo zero sono i famosi assiomi e definizioni.
Si puo' dire che, dando assiomi e definizioni ti puoi permettere di
tagliare con tutto quello che ci sta dietro, con tutta la storia.
Gli assiomi e le definizioni ti danno tutto cio' che ti serve per
poter parlare di un certo campo.
Infatti, nota come tu lavori molto di intuizioni, di immagini, mentre
spesso quelli che ti rispondono ti rispondono con dei passaggi FORMALI
(v. per es AndreaM).
Ti diro' un esperienza personale.
Al primo anno di universita' mi trovai alle lezioni di GEOMETRIA:
alla lavagna vedevi SOLO NUMERI (equazioni, matrici) e nessuna figura.
Ma la matematica e' questo.
Il formalismo e' essenziale della matematica stessa.
Il rapporto con l'intuizione, l'immaginazione, il significato, la
semantica, e' abbastanza complesso, non scontato e semplice.
Ecco che nella semantica rientra il momento storico, il rapporto con
la realta'.
In teoria e' possibile muoversi nel piu' completo formalismo o con
poco spazio all'intuizione. In realta' l'intuizione c'e' sempre in
quantita' piu' o meno grande.
Bisogna vedere il rapporto con l'intuizione.
L'intuizione funziona come MODELLO dei formalismi:
il formalismo proietta una STRUTTURA logica astratta, una specie di
scheletro; l'intuizione riempie la vuota struttura con qualche
sostanza.
L'intuizione ha il vantaggio di far cogliere D'UN COLPO solo l'intera
struttura, e puo' suggerire delle informazioni aggiuntive (che poi
possono essere formalizzate).
Il problema e' che l'intuizione puo' NON essere adeguata al
formalismo, puo', senza accorgersi, sottendere un altra struttura o
contraddire quella di partenza.
E poi, l'intuizione se usata in maniera esclusiva e' meno potente del
formalismo e puo' facilmente portare fuori strada.
> Anche tu, purtroppo, pur essendo ben disposto a questa pratica,
> tuttavia usi quello che già sai.
>
> E' come un film. Mentre lo giri commetti errori, poi rigiri le scene,
> poi fai il montaggio, poi le musiche, poi le riascolti poi cambi, poi
> va a rigirare una scena, poi lo rivedi e allora cambi ancora il
> montaggio e dopo tanto tempo(Kubrick impiegava due anni per ogni suo
> film) lo mandi in onda.
>
> Qui è come se qualcuno che ha già visto il film mi viene a dire,
> mentre io ho girato appena una scena(ho trattato un mero argomento che
> deve essere approfondito) che devo cambiarla perché lui ha visto
> l'intero film e quella scena va sistemata diversamente affinché si
> vada da subito verso quel finale.
>
> Ora, siccome il film è stato già girato, e ognuno ce l'ha a modo suo
> nella propria testa(il film è la storia della matematica) è ovvio che
> nessuno è disposto a rigirarlo perché richiede un impegno non da poco.
Vedi, potevo anche risponderti in maniera piu' puntuale, piu' aderente
al tuo testo, ma avrei avuto bisogno di piu' tempo. Ma era veramente
utile ?
Invece ho cercato di cogliere l'essenza del tuo discorso e ho risposto
con cio' che mi pareva piu' importante e, appunto, essenziale.
> Sei ancora convinto che il matematico possa insegnare la propria
> materia partendo dai fondamenti, dalla filosofia dei greci, da
> considerazione a posteriori su come noi percepiamo il mondo(fare
> teoria della conoscenza) ecc ecc?
v. sopra
> Non è che da questi matematici si cominci a pretendere un po' troppo?
> Non è che quando fanno qualche passo avanti apparentemente troppo
> ardito, anche loro si scontrano all'interno di una comunità e vince la
> maggioranza? Siamo sicuri che lo sviluppo della matematica sia stato
> normale e non piuttosto un GUERRA dove hanno vinto delle fazioni su
> altre?
Certo, ma credo che non essenziale al discorso che facevi sul segmento
e i punti.
> Perché altrimenti non saprei spiegarmi le varie scuole sui fondamenti,
> non saprei spiegarmi i problemi di Leibnizi con Berkeley, non saprei
> spiegarmi Cauchy che elabora meglio il concetto di limite, e non mi
> saprei spiegare un Dedekind che dice: qui ognuno ha la sua idea di
> continuo e mettiamo ordine. E non mi saprei spiegare un Cantor
> superosteggiato.
> Non mi saprei spiegare i numeri !"IMMAGINARI".
>
> Insomma, a mio parere noi siamo NELLA storia, e pretendere che un
> ripercorrere la storia, ragionandoci sopra(cosa ancora più complessa
> perché non vedono nulla di nuovo) con aggiungiunte riflessioni a
> posteriori di teoria della conoscenza, è ovvio che non può essere né
> mera matematica e tanto meno qualcosa che non genere GUERRA.
>
> Ovviamente è una guerra motivata, ognuno ha i suoi motivi, il suo buon
> motivo per occuparsi di altro piuttosto che di questo.
> Io stesso passo solo poche ore ad occuparmi di questi problemi. Mi
> pare normale che la maggioranza se ne occupi ancora di meno.
>
> Io stesso do priorità allo studio di altra matematica e non a rifare
> questo percorso che ho già fatto studiando.
>
> Più che i matematici ci vogliono quelli che amano il sapere, i
> filosofi. Un filosofo che conosce la matematica e non un matematico
> che conosce la filosofia(la filosofia non è una branca del sapere, è
> una attività, una attitudine).
Io sono un filosofo (non di professione) :-)
> Sarebbe bello INCASTRARE i prof a scuola quando ti parlano di punto
> adimensionale e fargli spiegare perché e per come giunge a quella roba
> invece di assorbirlo come dogma.
>
> L'alfabeto ha un suo ordine(a , b, d) e lo impari perché tanto un
> ordine vale l'altro, perché forse dipendeva dalle divinità(alfabeto
> greco prima quello ebraico).
>
> Ma la matematica è puro ragionamento.
Giusto
> Chi ha voglia ragiona, chi non ha voglia non ragiona, si rifà all'ipse
> dixit di tizio o di caio, dice che sta nel libro e con questo si mette
> la coscienza a posto:))
>
> Ciao e grazie per il tuo intervento
> A.
> p.s sai dirmi cosa è una dimostrazione?
La *logica matematica* e' nata proprio per rispondere a questa
domanda.
La dimostrazione piu' determinata, piu' semplice e piu' controllabile
e' la dimostrazione formale.
Una dimostrazione informale (quelle solite dei libri di testo, quelle
dei professori) e' valida se (almeno in linea di principio) e'
traducibile in dimostrazione formale.
> E sai dirmi perché proprio
> quella che tu stesso spieghi deve essere una dimostrazione?
V. sopra
> Insomma ti va di fare un po' di FILOSOFIA della logica:))))
Nei miei limiti di tempo e di altro.
> Siamo tutti trascesi, ipercondizionati. E la chiamano verità:)
"Che cos'e' la verita' ?"
(Gv 18, 37 - 38)
.
Giovanni
?manu*
> Ora se noi proviamo a dividere il segmento di retta in infinite parti
> 0.
S�, ma tu non avevi mica detto che dovevano essere infiniti segmentini
uguali. In effetti il segmento (0,1] � unione degli infiniti segmenti:
(1/(n+1),1/n]. Questi segmentini sono tutti di lunghezza non inferiore a
1/2, ma volendo li puoi fare di lunghezza piccola a piacere.
Se vuoi segmenti di lunghezza nulla, lo puoi comunque fare. Il segmento
[0,1] � unione dei segmenti (degeneri) [x,x] al variare di x in [0,1].
> In termini pi� generali possiamo dire che dividere in infinite parti
> uguali qualcosa di finito conduce all'assurdo di avere infinite parti
> di estensione 0.
Non � assurdo, come ho gi� detto.
> Dimostrato questo allora si cambiano i termini del discorso generale
> ed invece di parlare di infinito, si parla di LIMITE.
>
> Il concetto di LIMITE � un concetto che nasce proprio per mettere
> ordine in questa materia, cio� la materia dell'infinito in matematica.
Direi invece che Cantor viene dopo Leibniz. Cantor usa l'infinito in
maniera assiomatizzata.
> Ebbene, se il punto di partenza della misura conicide col punto di
> partenza della matita, allora dovremmo ammettere che sia possibile
> avere un punto adimensionale nella REALTA'.
> Ma questo � impossibile. Perch�?
Questa discussione la dovresti fare in it.scienza.fisica. L� si discute
di come � fatto il mondo reale.
> Ora � immaginabile che questo millimetro si potrebbe ridurre in
> miliardesimi di millimetro. Segare anche il miliardesimo di
> millimetro. E cos� proseguire all'infinito.
>
> Ma non si arriver� mai ad avere un punto di partenza inteso come tale.
Perch� no?
> Quindi nel caso reale NON esiste il punto di partenza in senso ideale,
> ma un punto di partenza che pu� essere piccolo(preciso) a piacere, ma
> � pur sempre qualcosa di esteso e quindi qualcosa che ci fa parlare di
> errore di misura nella sovrapposizione gi� solo a livello ideale.
Uhm... dunque il punto ha un inizio e una fine?
> Ma se noi rimpiccioliamo il tutto e avremo sempre una estensione,
> allora il punto adimensionale non esiste nella realt� e quindi anche
> il punto di partenza della misura(dove si sovrappone metro e matita)
> avr� una sua estensione.
Mi pare che hai ripetuto questo concetto almeno 4 volte, finora, ma non
ne dai nessuna giustificazione. L'idealizzazione matematica di retta �
perfettamente coerente. Certo non siamo sicuri che corrisponda alla
realt�, ma non abbiamo neanche evidenza che la realt� sia diversa.
> Quindi ecco dimostrato che il segmento NON � composto da una infinit�
> di punti IDEALI(il discorso sui limiti) come gi� precisato.
E' vero il contrario.
> Ed � stato dimostrato che anche il metro (caso REALE) non � composto
> da una infinit� di punti.
Allora mi puoi dire quanti punti ci starebbero, secondo te, in un metro?
> Sommare due punti l'uno di seguito all'altro � impossibile perch�
> questi NON esistono n� in caso IDEALE(vedi concetto di punto di
> accumulazione) n� in caso reale ovviamente.
Sommare i punti � sbagliato di per s�. Cosa vorrebbe dire? Caso mai si
fa l'unione di un insieme di punti. Inoltre non esiste un punto
"successivo" ad un altro.
> Dire che il segmento �
> costituito da una infinit� di punti adimensionali NON significa dire
> che un insieme di punti adimensionali di estensione pari a ZERO dar�
> come lunghezza un segmento pari a 1 per esempio.
Invece direi proprio di s�. Un insieme di punti pu� avere lunghezza 1.
> Il punto adimensionale quindi non c'entra assolutamente nulla col
> segmentino piccolo a piacere. Sono due cose PROFONDAMENTE diverse.
Non esiste "un segmentino piccolo a piacere", cos� come non esiste un
"numero positivo piccolo a piacere". Queste frasi denotano una
quantificazione, all'interno di un predicato.
> Ora il punto � adimensionale, e quindi non ha alcuna estensione.
> E NESSUNO ha mai detto che il segmento � costituito da una infinit� di
> punti adimensionali, volendo intendere che poi la somma di questi
> infiniti punti(che hanno estensione ZERO, per definzione) se sommati
> tra loro daranno l'intero segmento.
Nessuno somma i punti.
> [...]
Mi pare che continui a ripetere gli stessi concetti... non proseguo
nella lettura.
E.
AndreaM
TEOREMA: Sia T uno spazio topologico di Hausdorff compatto e sia S un
sottoinsieme di T discreto. Allora S è finito.
(Vado di fretta e l'ipotesi Hausdorff la metto per "sicurezza". Non è
restrittivo per l'applicazione al caso in cui T è un intervallo chiuso
della retta reale che ssendo uno spazio metrico è addirittura T_4)
Suggerimento per la dimostrazione: Osservato che S deve essere chiuso,
usare di nuovo l'ipotesi discreto per costruire un ricoprimento in
aperti di T. Usare la definizione di compattezza
Josh
>
> TEOREMA: Sia T uno spazio topologico di Hausdorff compatto e sia S un
> sottoinsieme di T discreto. Allora S � finito.
Checazzo sto teorema :-)
Mi sa che c'� qualcosina che non va :-)
Alexander
> Proposizione è falsa.
Lui stava parlando di segmenti.
Ma anche fosse, perchè dovrebbe essere falsa?
--
Alexander
Alexander
> Basta solo dire che tutte le cose reali sono composte di ATOMI, e
> percio' non si puo' formare una cosa continua.
essere formati da punti adimensionali.
> Direi che l'antichita' ha potuto ignorare la controversia
> semplicemente considerando i punti come mere POSIZIONI (definite come
> intersezioni di figure geometriche).
Hanno fatto MOLTO male allora! Un punto NON è un'intersezione.
> C'e' un problema.
> Per la DENSITA' dei punti (come vengono definiti) non si puo' parlare
> di *punti consecutivi* e quindi cade la possibilita' dell'obiezione
> che punti consecutivi di dimensione zero non fanno un estensione.
Questo forse può essere vero in matematica, ma di certo non in
geometria (e tanto meno nella realtà)!
--
Alexander
AndreaM
>
> Questo forse può essere vero in matematica, ma di certo non in
> geometria (e tanto meno nella realtà)!
> --
Interessante! La geometria non è matematica..........
marcofuics
> Infatti sia 1 la estensione del segmento di retta, sia ns il numero di
> segmentini, e sia es la estensione di ognuno dei segmentini come già
> detto.
>
> Quindi poniamo es = 1 / ns.
>
> Ora per ns = inf, abbiamo che es = 0.
>
> Quindi ne deduciamo come nel caso di divisione in parti FINITE (per
> esempio in 3 parti), che es = 0.
>
> 0 + 0...0.... = 1 che è ASSURDO.
no
ottieni semplicemente che
1/ns + 1/ns + 1/ns + 1/ns + 1/ns + ..... NS volte = 1
feynman
> Ho notato che qualcuno ancora oggi fa molta confusione tra punti
> adimensionali ed estensione di un segmento di retta.
>
> Dimosteremo qui(con l'aiuto quindi di TUTTI) che i punti ed i segmenti
> sono due concetti PROFONDAMENTE diversi tra di loro.
"punto" � un ente primitivo, non definito.
"segmento" � un ente che invece viene definito attraverso altri.
Dimostrazione finita.
Il resto di quel che scrivi ha poco o niente a che vedere con la
matematica.
Sembra che il calcolo infinitesimale sia passato invano attaverso i
secoli...
ciao
feynman
Giovanni
E' possibile definire un sottoinsieme discreto infinito ma non chiuso:
se e' chiuso e infinito deve contenere almeno un punto di
accumulazione e quindi non e' piu' discreto.
Dico bene ?
.
Giovanni
Giovanni
> Arcobaleno ha scritto:
>
> > Ora se noi proviamo a dividere il segmento di retta in infinite parti
> > 0.
>
> Sì, ma tu non avevi mica detto che dovevano essere infiniti segmentini
> uguali. In effetti il segmento (0,1] è unione degli infiniti segmenti:
> (1/(n+1),1/n]. Questi segmentini sono tutti di lunghezza non inferiore a
> 1/2,
non inferiori a 1/2 ?!
.
Giovanni
Josh
Il teorema che ha postato AndreaM
TEOREMA: Sia T uno spazio topologico di Hausdorff compatto e sia S un
sottoinsieme di T discreto. Allora S � finito.
� falso.
Controesempio. Basta prendere l'intervallo T=[0,1] e il sottoinsieme
S={1/n : n\in N}. S � costituito da tutti punti isolati, ma non �
discreto. Il teorema vero � il seguente:
TEOREMA: Sia T uno spazio topologico compatto e sia S un
sottoinsieme di T *chiuso* e discreto. Allora S � finito.
Ciao.
Josh
> Giovanni ha scritto:
>> Ok.
>> E' possibile definire un sottoinsieme discreto infinito ma non chiuso:
>> se e' chiuso e infinito deve contenere almeno un punto di
>> accumulazione e quindi non e' piu' discreto.
>> Dico bene ?
>>
>> .
>> Giovanni
>
> Il teorema che ha postato AndreaM
>
> TEOREMA: Sia T uno spazio topologico di Hausdorff compatto e sia S un
> sottoinsieme di T discreto. Allora S � finito.
>
> � falso.
>
> Controesempio. Basta prendere l'intervallo T=[0,1] e il sottoinsieme
> S={1/n : n\in N}. S � costituito da tutti punti isolati, ma non �
> discreto. Il teorema vero � il seguente:
^^^^^^^^
finito
Giovanni
> Giovanni ha scritto:
>
> > Ok.
> > E' possibile definire un sottoinsieme discreto infinito ma non chiuso:
> > se e' chiuso e infinito deve contenere almeno un punto di
> > accumulazione e quindi non e' piu' discreto.
> > Dico bene ?
>
> > .
> > Giovanni
>
> Il teorema che ha postato AndreaM
>
> TEOREMA: Sia T uno spazio topologico di Hausdorff compatto e sia S un
>
> è falso.
>
> Controesempio. Basta prendere l'intervallo T=[0,1] e il sottoinsieme
> discreto. Il teorema vero è il seguente:
>
> TEOREMA: Sia T uno spazio topologico compatto e sia S un
>
> Ciao.
Infatti, se non e' richiesta la chiusura, anch'io avevo pensato subito
a un possibile sottoinsieme infinito discreto.
Anche da Wikipedia:
"Ogni insieme finito in uno spazio metrico è discreto. Il viceversa è
vero se lo spazio metrico è compatto e S è chiuso: in uno spazio
compatto, ogni sottoinsieme chiuso discreto è finito."
[http://it.wikipedia.org/wiki/Punto_isolato]
.
Giovanni
Josh
> On 29 Ott, 14:05, Josh <nom...@nomail.not> wrote:
>> Giovanni ha scritto:
>>
>>> Ok.
>>> E' possibile definire un sottoinsieme discreto infinito ma non chiuso:
>>> se e' chiuso e infinito deve contenere almeno un punto di
>>> accumulazione e quindi non e' piu' discreto.
>>> Dico bene ?
>>> .
>>> Giovanni
>> Il teorema che ha postato AndreaM
>>
>> TEOREMA: Sia T uno spazio topologico di Hausdorff compatto e sia S un
>>
>> � falso.
>>
>> Controesempio. Basta prendere l'intervallo T=[0,1] e il sottoinsieme
>> discreto. Il teorema vero � il seguente:
>>
>> TEOREMA: Sia T uno spazio topologico compatto e sia S un
>>
>> Ciao.
>
> Infatti, se non e' richiesta la chiusura, anch'io avevo pensato subito
> a un possibile sottoinsieme infinito discreto.
>
> Anche da Wikipedia:
> vero se lo spazio metrico � compatto e S � chiuso: in uno spazio
> compatto, ogni sottoinsieme chiuso discreto � finito."
> [http://it.wikipedia.org/wiki/Punto_isolato]
>
> .
> Giovanni
S� nelle ipotesi poste infatti la topologia indotta da T in S � quella
discreta e dunque ogni singleton di S e aperto in S. Dunque l'insieme
dei singleton di S costituisce un ricoprimento aperto di S, ed essendo S
chiuso e quindi compatto (perch� sottoinsieme chiuso di un compatto) da
tale famiglia aperta di singleton e possibile estrarre un ricoprimento
finito. Quindi S � unione di un numero finito di singleton e l'asserto �
provato.
Ciao.
?manu*
> On 28 Ott, 17:16, ?manu* <paol...@no.spam.unifi.it> wrote:
>> Arcobaleno ha scritto:
>>
>>> Ora se noi proviamo a dividere il segmento di retta in infinite parti
>>> 0.
>> uguali. In effetti il segmento (0,1] � unione degli infiniti segmenti:
>> (1/(n+1),1/n]. Questi segmentini sono tutti di lunghezza non inferiore a
>> 1/2,
>
> non inferiori a 1/2 ?!
volevo dire non superiori. Insomma li posso scegliere piccoli a piacere.
E.
Josh
>>
>> Anche da Wikipedia:
>> "Ogni insieme finito in uno spazio metrico � discreto. Il viceversa �
>> vero se lo spazio metrico � compatto e S � chiuso: in uno spazio
>> compatto, ogni sottoinsieme chiuso discreto � finito."
>> [http://it.wikipedia.org/wiki/Punto_isolato]
>>
>> .
>> Giovanni
>
> S� nelle ipotesi poste infatti la topologia indotta da T in S � quella
> discreta e dunque ogni singleton di S e aperto in S. Dunque l'insieme
> dei singleton di S costituisce un ricoprimento aperto di S, ed essendo S
> chiuso e quindi compatto (perch� sottoinsieme chiuso di un compatto) da
> tale famiglia aperta di singleton e possibile estrarre un ricoprimento
> finito. Quindi S � unione di un numero finito di singleton e l'asserto �
> provato.
Tra l'altro credo che sia meglio chiamare Lemma tale "Teorema" per il
motivo seguente:
Lemma: Sia T uno spazio topologico compatto e sia S un
sottoinsieme di T chiuso e discreto. Allora S � finito.
Teorema (di Bolzano-Weierstrass): Sia T uno spazio topologico compatto.
Allora qualunque sottoinsieme infinito S di T ha almeno un punto di
accumulazione in T.
-------
Dim. Osservazione preliminare: per un insieme discreto la chiusura di S
si esprime nella forma:
(*) Cl(S) = S .U. D(S)
dove ho indicato con D(S) il derivato di S.
Se S non ha punti di accumulazione in T allora S � discreto e infinito.
Per il lemma precedente S non pu� quindi essere chiuso. Ne consegue che
D(S) diverso dal vuoto per la (*).
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Ciao.