derivate direzionali
Stefano
Per calcolare le derivate direzionali faccio un prodotto scalare tra
gradiente
e vettore direzione.
Quello che non mi è chiaro è che mentre per calcolare le derivate parziali
rispetto a x ed a y faccio il limite del rapporto incrementale lungo i
versori
e1, e2, per le derivate direzionali faccio una combinazione lineare delle
due
derivate parziali individuando in questo modo delle rette che appartengono
al
piano tangente; ma in questo modo non approssimo l'intorno del punto (ad
eccezione delle due derivate parziali) a differenza di quanto accadrebbe se
calcolassi ipoteticamente la derivata per ogni direzione mediante il limite
del
rapporto incrementale ?
grazie
--------------------------------
Inviato via http://arianna.libero.it/usenet/
Simone
> ciao a tutti, spero che il quesito non sia troppo banale.
>
> Per calcolare le derivate direzionali faccio un prodotto scalare tra
> gradiente
> e vettore direzione.
> Quello che non mi è chiaro è che mentre per calcolare le derivate parziali
> rispetto a x ed a y faccio il limite del rapporto incrementale lungo i
> versori
> e1, e2, per le derivate direzionali faccio una combinazione lineare delle
> due
> derivate parziali individuando in questo modo delle rette che appartengono
> al
> piano tangente; ma in questo modo non approssimo l'intorno del punto (ad
> eccezione delle due derivate parziali) a differenza di quanto accadrebbe se
> calcolassi ipoteticamente la derivata per ogni direzione mediante il limite
> del
> rapporto incrementale ?
Personalmente, non capisco quale sia la domanda che vuoi porre.
Arcobaleno
> ciao a tutti, spero che il quesito non sia troppo banale.
>
> Per calcolare le derivate direzionali faccio un prodotto scalare tra
> gradiente
> e vettore direzione.
>
1. Studiare cosa è l'equazione del piano tangente e come si arriva ad
essa.
Questa equazione presenta due derivate parziali. Se uno ci crede va
bene, se non ci crede è meglio capire PERCHE' si arriva a quella
equazione per il piano tangente.
2. Quando è che il prodotto scalare è uguale a ZERO?
Vedendo questi casi ecco che si arriva a quelle formule per il calcolo
specifico.
Consiglio Binmore, Calcolo differenziale di più variabili. Ogni pagina
una illustrazione e fa capire benissimo cosa è il gradiente e la
derivata direzionale.
>
>Quello che non mi è chiaro è che mentre per calcolare le derivate >parziali
> rispetto a x ed a y faccio il limite del rapporto incrementale lungo i
> versori
> e1, e2,
>
Lo si può fare anche per la derivata direzionale, dove però al
denominatore del rapporto incrementale si mette altro. Prova a vedere
nella collana esami TECNOS il quaderno sulle derivate parziali. Ci
sono esempi semplicissimi.
>
>per le derivate direzionali faccio una combinazione lineare delle
> due
> derivate parziali individuando in questo modo delle rette che appartengono
> al
> piano tangente; ma in questo modo non approssimo l'intorno del punto (ad
> eccezione delle due derivate parziali) a differenza di quanto accadrebbe se
> calcolassi ipoteticamente la derivata per ogni direzione mediante il limite
> del
> rapporto incrementale ?
>
Tu sai che l'equazione della retta in forma vettoriale esiste. E'
questo approccio che bisogna usare. L'approccio tramite vettori non è
solo un mero cambio di notazione ma qualcosa di più profondo per la
geometria analitica e per la stessa analisi. Poi l'algebra lineare non
fa altro che astrarre e generalizzare il tutto.
Ma tanto per fare un esempio, basta prendere un parametro t. Ora puoi
avere l'equazione nello spazio 3D di una curva in forma vettoriale
usando t come parametro.
per es. r(t) = x (t) i + y(t) j + z(t) k.
La NOVITA' sta nel notare che noi facciamo variare SOLO t, una sola
variabile indipendente. Ma la t varia sia sull'asse x, su y e su z.
per (t) si intende t^2, oppure 2t, o altro che abbia come variabile
indipendente t.
E' questo l'approccio vettoriale.
Quindi il problema del limite non si pone, perché alla fine
approssimiamo comunque una variabile indipendente.
Ciao:)
A.
P.S. sono solo indizi i miei, solo un piccolo aiuto, una motivazione,
nella speranza che qualcuno più bravo di me possa dare maggiori
chiarimenti.
Arcobaleno
>
>
> Personalmente, non capisco quale sia la domanda che vuoi porre
>
>
IMHO non ha capito bene cosa è l'uso dei vettori per parlare di
funzioni a valori vettoriali di variabile reale.
Quando molti anni fa mi cimentai con questo argomento, io pensavo che
fosse un mero cambio di notazione, invece è una rivoluzione:))
Ciao
A.
Giuseppe
> piano tangente; ma in questo modo non approssimo l'intorno del punto (ad
> eccezione delle due derivate parziali) a differenza di quanto accadrebbe se
> calcolassi ipoteticamente la derivata per ogni direzione mediante il limite
> del
> rapporto incrementale ?
Anche io sto studiando questo argomento totalmente nuovo per
me...quindi provo solamente ad aiutarti:
Innanzitutto chedo che ti stia confondendo sul fatto che mediante il
rapporto incrementale, non calcoli affatto la derivata per ogni
direzione. Per ogni direzione significa: lungo la direzione degli assi
coordinati: quindi il semplice gradiente o -gradiente se vai
verso destra. Nella direzione di un vettore x,kx (e qui già fai una
derivata direzionale) cioè lungo una retta (come gli assi solo che è
una retta qualsiasi) che passa per l'origine. Ma anche nella direzione
di qualsiasi altra curva (ad esempio direzione di un vettore (u,u^2).
La cosa che ci frega a noi neofiti è proprio la direzione. Fai conto
che nel calcolo vettoriale la direzione c'è sempre solo che quando usi
la direzione degli assi, usi la base standard e non la vedi ma in
realtà c'è. Se vuoi "cambiare" direzione, sei costretto a usare un
altro vettore unitario che ti deve dare quella direzione che tu vuoi
(lo prendi unitario proprio perchè non vuoi che ti cambi la posizione
del piano tangente ma solo la direzione). Il resto del procedimento
viene dal calcolo vettoriale e piu' precisamente dai calcoli per
ottenere il piano tangente.
In conclusione, fai sempre il lim del rapporto incrementale. Lo fai
come sempre usando un vettore unitario per la direzione. Solo che nn
usi come vettore unitario la base standard ma uno qualsiasi, quindi
sei costretto a capire a che cosa serve l'elemento direzione, nel
calcolo vettoriale.
Ovviamente il mio intervento vuole anche essere da stimolo a quelli
piu' esperti, ad intervenire a loro volte per correggere eventuali
imperfezioni del mio ragionamento.
Saluti,
g
stefano
scritto:
> On 2 Dic, 07:48, st...@gmail.com (Stefano) wrote:
> > ciao a tutti, spero che il quesito non sia troppo banale.
> >
> > Per calcolare le derivate direzionali faccio un prodotto scalare tra
> > gradiente
> > e vettore direzione.
> >
>
> essa.
>
> Questa equazione presenta due derivate parziali. Se uno ci crede va
> equazione per il piano tangente.
>
>
> Vedendo questi casi ecco che si arriva a quelle formule per il calcolo
> specifico.
>
> una illustrazione e fa capire benissimo cosa � il gradiente e la
> derivata direzionale.
>
>
>
>
> >
> >Quello che non mi � chiaro � che mentre per calcolare le derivate
>parziali
> > rispetto a x ed a y faccio il limite del rapporto incrementale lungo i
> > versori
> > e1, e2,
> >
>
> denominatore del rapporto incrementale si mette altro. Prova a vedere
> nella collana esami TECNOS il quaderno sulle derivate parziali. Ci
> sono esempi semplicissimi.
>
>
>
> >
> >per le derivate direzionali faccio una combinazione lineare delle
> > due
> > derivate parziali individuando in questo modo delle rette che
appartengono
> > al
> > piano tangente; ma in questo modo non approssimo l'intorno del punto (ad
> > eccezione delle due derivate parziali) a differenza di quanto accadrebbe
se
> > calcolassi ipoteticamente la derivata per ogni direzione mediante il
limite
> > del
> > rapporto incrementale ?
> >
>
>
> Tu sai che l'equazione della retta in forma vettoriale esiste. E'
> solo un mero cambio di notazione ma qualcosa di pi� profondo per la
> geometria analitica e per la stessa analisi. Poi l'algebra lineare non
> fa altro che astrarre e generalizzare il tutto.
>
>
> Ma tanto per fare un esempio, basta prendere un parametro t. Ora puoi
> avere l'equazione nello spazio 3D di una curva in forma vettoriale
> usando t come parametro.
>
> per es. r(t) = x (t) i + y(t) j + z(t) k.
>
> La NOVITA' sta nel notare che noi facciamo variare SOLO t, una sola
> variabile indipendente. Ma la t varia sia sull'asse x, su y e su z.
>
> per (t) si intende t^2, oppure 2t, o altro che abbia come variabile
> indipendente t.
>
> E' questo l'approccio vettoriale.
>
> approssimiamo comunque una variabile indipendente.
>
> Ciao:)
> A.
>
>
> P.S. sono solo indizi i miei, solo un piccolo aiuto, una motivazione,
> chiarimenti.
>
grazie 1000 per la risposta.
L'approccio vettoriale mi è abbastanza chiaro.
Credo che il casino che stò facendo derivi dal concetto di "continuità"
nell'intorno del punto.
E' come se derivando su due direzioni (x ed y) e "appoggiandoci" il piano
tangente,
in tutte le altre possibili direzioni esista una "irregolarità"
nell'intorno del punto tale che
in quella direzione la retta tangente non appartenga al piano.
Forse è meglio non pensarci e calcolare il prodotto scalare con la nota
formulina.
grazie ancora !!
Simone
> E' come se derivando su due direzioni (x ed y) e "appoggiandoci" il piano
> tangente,
> in tutte le altre possibili direzioni esista una "irregolarità"
> nell'intorno del punto tale che
> in quella direzione la retta tangente non appartenga al piano.
Certo che puo' succedere. L'esistenza del vettore gradiente non e'
equivalente all'esistenza del piano tangente. Nemmeno per sogno. SE
esiste il piano tangente, ALLORA e' il piano perpendicolare al
gradiente. Ma il viceversa non e' vero. D'altronde, conoscere due
derivate parziali non puo' certo bastare a descrivere l'andamento di
una funzione arbitraria in ogni direzione.
Si danno esempi di funzioni che in un punto hanno tutte le derivate
parziali nulle, ma che non possiedono alcun piano tangente in quel
punto.
Giuseppe
> Il 02 Dic 2009, 10:17, Arcobaleno <arcobalenocolor...@freemail.it> ha
Non capisco cosa c'entri la continuità. E nemmeno perchè dici nelle
altre direzioni. Guarda che se cambi la direzione per calcolare la
derivata, allora cambia anche il piano tangente (la direzione del).
?manu*
> ciao a tutti, spero che il quesito non sia troppo banale.
>
> Per calcolare le derivate direzionali faccio un prodotto scalare tra
> gradiente
> e vettore direzione.
> rispetto a x ed a y faccio il limite del rapporto incrementale lungo i
> versori
> e1, e2,
Sￜ,
> per le derivate direzionali faccio una combinazione lineare delle
> due
> derivate parziali individuando in questo modo delle rette che appartengono
> al
> piano tangente;
Questo lo puoi fare solo se la funzione ￜ differenziabile. Altrimenti
devi usare la definizione di derivata direzionale che ￜ (come per le
derivate parziali) il rapporto incrementale lungo il versore interessato.
> ma in questo modo non approssimo l'intorno del punto (ad
> eccezione delle due derivate parziali) a differenza di quanto accadrebbe se
> calcolassi ipoteticamente la derivata per ogni direzione mediante il limite
> del
> rapporto incrementale ?
Come ti ￜ stato giￜ detto, se la funzione non fosse differenziabile
avresti ben ragione di dubitare. Se invece la funzione ￜ differenziabile
ￜ sufficiente calcolare due derivate direzionali per conoscerle tutte
(stiamo parlando di funzioni di 2 variabili).
E.
Arcobaleno
> Credo che il casino che stò facendo derivi dal concetto di "continuità"
> nell'intorno del punto.
>
Parlando in generale, IMHO noi siamo un po' "vittime" dell'approccio
geometrico all'analisi. Per noi l'analisi è piano cartesiano, è
grafico di funzioni, sono tangenti ecc ecc.
Questo è un discorso molto generale e stimolante e per nulla facile.
Però è in questo modo che noi ruisciamo a capire l'analisi, oppure con
l'approccio cinematico. Ma anche in quel caso riduciamo la intuizione
del fenomeno fisico(velocità istantanea) ad un grafico, ed alla fine
il caso cinematico diventa un caso geometrico. Infatti la geometria è
usatissima in fisica perché è l'interfaccia tra moto concreto e moto
ideale(quello sui piani cartesiani).
Ora tutta sta roba c'entra molto, perché i vettori furono introdotti
per questo motivo, e cioè per avere dei modelli geometrici più vicini
ai modelli fisici. Fu Maxwell che ne fece molto uso, Hamilton cominciò
e ne vennero fuori i quaternioni, poi verso la fine dell'Ottocento vi
fu una disputa tra quaternionisti e vettorialisti(vedi differenza tra
quaternioni e vettori, partendo dai numeri complessi).
Queste dispute se ci furono e furono molto accese è perché non è che
ci si possa convincere in due orette di un approccio. La nostra mente
ha bisogno di controllare, ricontrollare ecc.
Chi accetta la formuletta e basta, non farà strada. Chi invece vuole
andare oltre, allora fa il matematico(al suo livello) fa il fisico(al
suo livello) ecc ecc.
Quindi se uno si pone i problemi che ti poni tu, è un bene. Cioè
significa che ci si vuole ragionare, si vuole capire bene e non ci si
accontenta della formuletta.
Purtroppo devo darti una brutta notizia, e cioè l'analisi vettoriale è
spiegata malissimo sui libri. Quello di Binmore è uno dei pochi che la
spiega bene perché fa un uso enorme di grafici, disegni, uso del
colore. I due autori hanno fatto uno sforzo enorme in tal senso e però
riescono a dare un'idea più approfondita.
Per andare un po' alla basi, noi dobbiamo capire che la cosa
FONDAMENTALE è ragionare in termini di parametri.
Quando io ebbi i primo problemi molti anni fa, mi resi conto che il
vero problema è ragionare SEMPRE in termini di parametri, e nel farlo
non è affatto facile.
Si vede l'asse x, e bisogna pensare che ogni valore su questo asse
DIPENDE da t, ed ecco che comincio a pensare ad x = x(t).
E' da qui che bisogna partire per avere la mentre sgombra
dall'approccio classico: che bisogna imparare benissimo.
Poi una volta che ci si abitua a ragionare in termini di x= x(t) si
passa ai DUE assi(da NON confondere con le due variabili.
Ora cosa ottengo se penso a DUE assi, cioè all'asse x e all'asse y?
A questo punto introduco li concetto di vettore. Questo concetto
sembra facile, perché vediamo le freccette a scuola ma non è affatto
banale.
Se uno pensa a come si arrivi alla SOMMA tra due vettori, cioè alla
regola del parallelogramma, si rende conto che la accettiamo
acriticamente, senza capirne il perché. Ma diamola per scontata:)
Allora l'idea, quando abbiamo due o più assi, è quella di pensare ai
vettori sugli assi. Questo è il modo più facile.
Quindi r(t) = x(t) è un vettore che giace sull'asse x. Lo DEVO pensare
come vettore NEL PIANO che però giace per quanto riguarda verso e
direzione sempre sull'asse x, cambia solo modulo, lunghezza, ma ri
mane sempre sull'asse x.
Quindi se cambia il parametro t, ecco che varia in lunghezza sull'asse
x.
Allo stesso modo per l'asse y, z e poi oltre le TRE dimensioni.
Qui però non dobbiamo pensare subito alla base standard, ai versori
ecc ecc, perché la mente comincia a girare su cose già viste e
perdiamo di vista le novità profonde. Continuiamo a pensare a questa
costruzione che stiamo facendo, dimenticando quello già imparato: che
tornerà utile dopo, alla fine.
Noi ora abbiamo un NUOVO modo per pensare agli assi x, y, z ecc.
Abbiamo un solo parametro t.
Quindi ho una funzione x = x(t). Faccio variare t sui reali ed avrò i
rispettivi valori su x, ma x è UN VETTORE. In questo senso ho una
funzione che varia sui reali (la t varia sui reali, oppure chiamiamoli
gli scalari, varia sugli scalari). Ma x(t) cosa è? x(t) è UN VETTORE,
quindi ha VALORI VETTORIALI.
Ad ogni reale t, ad ogni scalare t corrisponde un VALORE del vettore x
(t). Questo è FONDAMENTALE, da non trascurare. Io facendo variare gli
scalari, i reali, faccio variare i valori dei vettori sull'asse x,
cioè le loro lunghezze, moduli.
Ecco che x = x(t) è una funzione di variabile(la t) scalare(reale) a
VALORI vettoriali.
Quando scrivo per es. r(t) = x(t) i + y(t) j, ecco che ho fatto già un
enorme passo avanti.
In questo modo sto pensando a DUE assi che però chiamo i e j. In
questo modo non mi confondo con x ed y. Tuttavia la notazione usata
fin qui non ci farà confondere come si nota, anzi è ridondante.
In questo caso il mio obiettivo è far variare il VALORE della funzione
vettoriale nel piano.
Ripeto:
nel caso di x = x(t) io faccio variare il vettore sull'asse x e basta,
è nel piano ma non si muove dall'asse x, varia lo scalare t, ed ecco
che varia il vettore x(t). Fino a qui stiamo in UNA DIMENSIONE. Il
vettore è monodimensionale. E' nel piano ma si sposta solo sull'asse
x.
Per non andare oltre nel campo della filosofia della matematica(cosa è
monodimensionale e cosa bidimensionale quando c'è vicinanza tra assi
ecc, evitiamo approfondimenti ulteriori) e limitiamoci a dire che il
vettore x(t) o y(t) si trovi nel piano ma SEMPRE sul suo rispettivo
asse x o y o z.
Ora noi passiamo da una dimensione, da a DUE dimensioni, cioè facciamo
variare il nostro vettore nel piano e non solo sugli assi.
Quindi non faccio altro che fare una bella SOMMA tra i due vettori e
così con la regola del parallelogramma ottengo il mio nuovo vettore
che varia su tutto il piano x,y.
Ed eccolo qua: r(t) = x(t) i + y(t) j.
Versore o non versore, base standard e non base standard(per ora non
ci interessa) noi abbiamo capito che sommando i vettori x(t) ed y(t)
abbiamo il vettore r(t). r sta per RISULTANTE, e non è un caso:))
Quindi con questo sistema io posso far variare il vettore nel piano
x,y, ed aggiungendo z lo faccio variare nello spazio 3D e così via ad
n dimensioni.
Quindi io ho una funzione di variabile reale(scalare) che è t che
varia. E i valori sono vettori nel piano x,y, cioè il valore della
funzione è r(t).
Ora se noi facciamo variare i valori di t con CONTINUITA', ecco che
possiamo avere un vettore che si muove nel piano, si allunga e si
accorcia e si muove da sinistra verso destra e ci descrive una bella
curva.
A questo punto mi accorgo che ho ottenuto una y = f(x). Cosa faccio?
Mi metto ad indagare le relazioni tra la f(x) "classica" e quello che
ho ottenuto a livello vettoriale.
La derivata la posso fare, e si vede bene sui libri. Si incrementa t.
Ma fino ad ora di quante variabili stiamo parlando? Di UNA variabile,
ciè t. E possiamo andare ad n dimensioni con una sola variabile.
Ovviamente questo è possibile perché possiamo avere t +1, poi t^2, poi
t^3 +4 ecc ecc.
Sta di fatto che alla fine posso trovare la tangente alla curva
vettoriale(cioè a r(t) che per convenienza chiamo curva vettoriale nel
piano o nello spazio a n di mensioni) incrementando t. E questo si
vede bene sui libri e non lo riporto:)
Ora, come facevo notare Manu, il passaggio DUE variabili, cioè ad t
ed s non è mica un giochetto:))
Io ora parlo solo dell'asse x e BASTA.
Ed ecco che ho x = x(s, t). Per esempio posso avere x = s^2 + t +1.
Gli scalari sono DUE(posso parlare di CAMPO SCALARE), cioè due
variabili, due reali, due scalari, un insieme di scalari, campo
scalare. Campo perché mi muove su DUE variabili, e non su una.
Questo è un bel passo avanti e non è per nulla banale.
Ora forse si capisce perché prima mi sono dilungato molto sul caso di
una variabile.
Ora tu noterai che si poteva già parlare prima di derivata
direzionale. E' vero, ma non conviene farlo, perché altrimenti si
perde il filo di questa nuova costruzione e ci viene in mente subito
il parallelismo con quella classica, e allora tanto vale lasciar
perdere l'analisi vettoriale e fare l'analisi classica:))
nel caso di x = x(s, t) io non ho grandi problemi se rimango sull'asse
x. Poi però mi sposto nel piano e cosa ottengo?
F( s, t) = x(s, t ) i + y ( s, t) j.
Qui c'è una grossa novità che però non si nota facilmente.
Per es. mettiamo che io ho f(x, y) e con r(t) = x(t) i + y(t) j + f(x,
y) k voglia avere un PIANO nello spazio.
Tu capisci che posso avere SOLO curve nel piano, nello spazio 3D e
nello spazio n dimensionale.
Come posso fare per avere i PIANI ?
Classicamente io uso z = f(x, y). Ogni DUE valori del piano x, y
corrisponde la quota z e così vado a costruire una superficie nello
spazio 3D: che è una bella cosa:))
z = x^ 2 + y^ 2 + 4. Quindi io pongo per es. x = 1, poi y = 2 e poi
vedo quale valore di z ottengo. In questo modo dando via via tutti i
valori reali a x e y, ottengo la rispettiva quota z. così facendo
ottengo una superficie immersa in R^3.
Sembra una cosa banale, ma non lo è.
Ora se invece di usare l'analisi classica voglio usare l'analisi
vettoriale, come posso fare per avere le superfici al posto delle
curve?
Tracciare una curva nel piano o nello spazio 3D con un vettore che si
muove è intuitivo, è facile, ma tracciare una superficie non lo è.
Quindi noi ricorriamo a z =f (x, y).
Come si nota, abbiamo le due varabili x e y del piano, e ad ogni
valore di queste due facciamo corrispondere la RISPETTIVA quota z.
E su questo siamo convinti:)
Se però scrivo k = f( x, y) i + f( x, y) j cosa sto costruendo?
I valori k sono le quote, cioè k = z.
I valori i sono le x, e i valori j sono le y.
Cioè io ho z = f(x,y) che sono le quote. f(x,y) sono le quote.
x i sono i valori x, e y j sono i valori y.
Quindi posso scrivere f(x,y ) = x i + y j + f(x, y).
Per es. f(x, y) = x i + y j + ( 3 x^2 + y^2 +1) k.
Ora per x = 2 e y = 3 ottengo..... 2 i + 3 j + ( 3 * 2^2 + 3^2 +1) k.
In pratica sto dando i valori all'asse x(tramite i) poi all'asse y
(tramite j) e poi ne ricavo la QUOTA z, tramite la f(x, y), cioè i
valori k. Che sono SCALARI. Valori scalari, cioè numeri e NON vettori.
Quindi avendo come parametri s e t, posso scrivere:
r = r(s, t) = s I + t J + f(s, t) k.
Come si nota con DUE parametri s, t riesco ad ottenere la superficie
immersa in R^3 usando la notazione vettoriale.
Se uso un solo parametro, ottengo solo curve, se uso due parametri
ottengo la superficie.
Ora cosa è un piano tangente ad una superficie?
Devo ricordarmi che sto usando f(s, t), e cioè DUE variabili.
Un conto è fare la derivata usando una variabile, altro è usarne due.
Il concetto di gradiente arriva DOPO che si è capito cosa è la
derivata, cioè un piano tangente in due variabili.
Il concetto di gradiente arriva DOPO che si è capito cosa è la
derivata lungo una direzione.
Qui si chiude con l'analisi vettoriale e si riapre l'analisi classica
e dobbiamo capire cosa è la derivata.
Noi, come detto, siamo legati all'aspetto geometrico o cinematico(che
poi rinvia a quello geometrico), e deriviamo secondo la direzione
dell'asse x(è qui che avvengono gli incrementi) cioè varia la x,
oppure sull'asse y.
Ora se noi volessimo incrementare un'altra direzione, possiamo
prendere un punto nel piano, con il teorema di Pitagora otteniamo
proprio la distanza tra l'origine e questo punto, e possiamo
incrementare lungo questa direzione.
Non c'è obbligo di prendere subito i vettori. Si può usare il teorema
di Pitagora. Si può fare la derivata direzionale NEL PIANO x y e
BASTA, senza andare nello spazio 3D.
Questo lo puoi vedere nel quaderno tecnos dedicato alle derivate
parziali.
Già questa è una bella novità!! E su questo vale la pena passarci un
po' di tempo, cioè NEL PIANO e NON nello spazio 3D, cioè con UNA
variabile, e cambia SOLO la direzione che NON è più x o y, ma una
direzione qualsiasi nel piano!!
Solo DOPO si passa a fare la derivata direzionale nello spazio 3D,
pensando al PIANO TANGENTE e non più a UNA tangente.
Come noti questi libri fanno dei salti mortali, doppi, tripli, ed ecco
che ci si confonde:))
Prima si fa la derivata direzionale nel piano, come si è fatta quella
"normale", e poi si va nello spazio a disturbare i piani tangenti:))
Ora è chiaro che nello spazio 3 D tutto si complica, ed inoltre si va
a toccare l'analisi vettoriale: ed ecco che i libri non sempre vengono
scritti bene!!!
Quando noi però andiamo a disturbare il piano tangente e lo facciamo
con l'uso dell'analisi vettoriale, dobbiamo saper già usare questa
analisi nel piano e sapere già fare la derivata direzionale nel piano
e stop.
Quindi ecco che torniamo all'algebra lineare! Ecco che ora capiamo
come ci serve il concetto di base standard, di altra base per ottenere
già nel piano una NUOVA direzione sulla quale incrementare la nostra
variabile t.
Quindi i e j aquistano altri significati più profondi. Stabilisco una
direzione, cioè invece di incrementare su i, cioè sull'asse delle x o
su j, incremento verso una nuova direzione.
La nuova direzione viene data da cosa? Da un vettore. Quindi possiamo
avere un'altra base. E questo tu lo hai capito e non mi dilungo, anzi
ti pregherei di fare tu stesso degli esempi: tutto questo che scrivo
può aiutare altri e può essere corretto ed integrato e tu puoi già
integrarlo con dei tuoi esempi precisi.
Poi si passa allo spazio 3D, ed in quel caso al cambio di direzione
nel piano x,y, corrisponde una nuova direzione anche nello spazio 3D.
Quando noi ci spostiamo sulla superficie, abbiamo già DUE DIREZIONI,
perché deriviamo secondo x e secono y, come ben sai e non mi dilungo.
Quindi in questo caso il discorso sulla direzione non è una NOVITA',
la vera novità è nel piano, nel caso di UNA VARIABILE. Per questo
bisogna introdurre il concetto di derivata direzionale nel caso di una
variabile, perché nel caso di due, nello spazio, già abbiamo le due
direzioni.
Ora cosa è il piano tangente?
Ovviamente se uso una sola direzione il piano poggia ma posso muovermi
sempre su questa direzione. Immaginiamo di fissare il piano su una
superficie, e lo fissiamo solo lungo una direzione, ma questo potrà
continuare ad oscillare. Per bloccarlo, per fissarlo, dobbiamo dare un
altro vincolo, e cioè un'altra direzione. Dando un'altro vincolo il
piano non oscilla più ed ecco che abbiamo trovato il piano tangente.
Infatti ti facevo notare nella prima risposta, che l'equazione del
piano tangente si ottiene FISSANDO due derivate parziali, cioè DUE
DIREZIONI.
Infatti il gradiente ha due componenti scalari delle rette tangenti
nelle due direzioni .
Insomma, si parla di gradiente rispetta alla CURVA di livello.
Ora la derivata direzionale nello spazio 3D, NON è una derivata che ci
darà qualcosa in riferimento ad un piano tangente. NO!!!
Ci darà qualcosa di simile alla derivata rispetto a x o rispetto ad y,
e stop.
E' il concetto di gradiente ad essere la NOVITA' nello spazio 3D e non
il concetto di derivata direzionale. Per questo il concetto di
gradiente deve essere studiato DOPO e non prima.
>
>E' come se derivando su due direzioni (x ed y) e "appoggiandoci" il piano
> tangente,
> in tutte le altre possibili direzioni esista una "irregolarità"
> nell'intorno del punto tale che
> in quella direzione la retta tangente non appartenga al piano.
>
E' ovvio quello che dici. Noi per avere il piano tangente abbiamo
bisogno di due direzioni e così il piano viene vincolato. Cambiando
una SOLA direzione e tenendo fissa l'altra, il piano tangente CAMBIA.
Le irregolarità nell'intorno del punto sono nell'intorno e NON nel
punto.
Su questo ha chiarito Simone e non vado oltre. Il discorso qui a mio
parere DEVE essere svincolato dall'intuizione geometrica, come ha
fatto Simone e vedere se le funzioni sono differenziabili ecc.
Non vado oltre perché penso di aver scritto già troppo per gli usi del
ng:)
Ciao e grazie a te per l'attenzione
A.
p.s. poi si arriva al concetto di campo vettoriale, perché ad ogni
punto dello spazio(ogni punto che è uno scalare) viene ASSOCIATO un
vettore:)) Se vuoi possiamo continuare su questo punto.