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COMPONENTI COVARIANTI E CONTROVARIANTI
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Michele Ortombina
Sep 22, 2021, 7:56:44 AM9/22/21
to
Buon giorno a tutti, vorrei chiarire un aspetto delle componenti covarianti e controvarianti di un vettore:
base di R^2: V_1=(3,3), V_2=(1,2)
base duale: Ø_1=(2/3,-1/3), Ø_2=(-1,1)
Vettore A=(2,5)
le componenti covarianti del vettore A sono:
A_1=A•V_1 = (2,5)•(3,3)=21
A_2=A•V_2 =(2,5)•(1,2) =12
le componenti controvarianti del vettore A sono:
A^1=A•Ø_1=(2,5)•(2/3,-1/3)=-1/3
A^2=A•Ø_1=(2,5)(-1,1)=3
Come si dimostrano in generale queste relazioni ?
Ho provato a schematizzare un caso specifico (https://we.tl/t-BErhGkpusD) per cercare di chiarire il problema da un punto di vista geometrico ma non mi è chiaro.
grazie a tutti
base di R^2: V_1=(3,3), V_2=(1,2)
base duale: Ø_1=(2/3,-1/3), Ø_2=(-1,1)
Vettore A=(2,5)
le componenti covarianti del vettore A sono:
A_1=A•V_1 = (2,5)•(3,3)=21
A_2=A•V_2 =(2,5)•(1,2) =12
le componenti controvarianti del vettore A sono:
A^1=A•Ø_1=(2,5)•(2/3,-1/3)=-1/3
A^2=A•Ø_1=(2,5)(-1,1)=3
Come si dimostrano in generale queste relazioni ?
Ho provato a schematizzare un caso specifico (https://we.tl/t-BErhGkpusD) per cercare di chiarire il problema da un punto di vista geometrico ma non mi è chiaro.
grazie a tutti
El Filibustero
Sep 22, 2021, 8:29:46 AM9/22/21
to
On Wed, 22 Sep 2021 04:56:42 -0700 (PDT), Michele Ortombina wrote:
>base di R^2: V_1=(3,3), V_2=(1,2)
>base duale: Ø_1=(2/3,-1/3), Ø_2=(-1,1)
>Vettore A=(2,5)
>
>le componenti covarianti del vettore A sono:
>A_1=A•V_1 = (2,5)•(3,3)=21
>A_2=A•V_2 =(2,5)•(1,2) =12
>le componenti controvarianti del vettore A sono:
>A^1=A•Ø_1=(2,5)•(2/3,-1/3)=-1/3
>A^2=A•Ø_1=(2,5)(-1,1)=3
>
>Come si dimostrano in generale queste relazioni ?
Cosa c'e' da dimostrare in una definizione? Ciao
>base di R^2: V_1=(3,3), V_2=(1,2)
>base duale: Ø_1=(2/3,-1/3), Ø_2=(-1,1)
>Vettore A=(2,5)
>
>le componenti covarianti del vettore A sono:
>A_1=A•V_1 = (2,5)•(3,3)=21
>A_2=A•V_2 =(2,5)•(1,2) =12
>le componenti controvarianti del vettore A sono:
>A^1=A•Ø_1=(2,5)•(2/3,-1/3)=-1/3
>A^2=A•Ø_1=(2,5)(-1,1)=3
>
>Come si dimostrano in generale queste relazioni ?
Gianluca
Sep 22, 2021, 10:19:07 AM9/22/21
to
Il 22/09/21 13:56, Michele Ortombina ha scritto:
Avevi già posto la stessa domanda mesi fa. Me lo ricordo bene perché ti
avevo risposto, e io intervengo raramente in questo gruppo (vedi
risposta del 14/01).
La ragione è "costruttiva": si cerca di capire come esprimere lo stesso
vettore in due sistemi di riferimento NON necessariamente ortogonali.
Per trovare le componenti rispetto ad una base qualsiasi occorre
proiettare PARALLELAMENTE agli assi il segmento rappresentato dal vettore.
Se si usano proiezioni ortogonali si ottengono componenti "sbagliate",
infatti con la regola del parallelogramma non è possibile ricostruire il
vettore dato.
Allora ci si pone la domanda: data una base (in cui è espresso il
vettore) è possibile determinare un'altra base (detta base duale) per la
quale le componenti determinate con proiezione ORTOGONALE (agli assi
originali) siano le componenti PARALLELE?
Da qui si deduce che:
1) gli assi della base duale devono essere ortogonali a quelli originali
di diverso indice;
2) il prodotto scalare di ogni vettore duale con l'originale di uguale
indice deve essere =1
Questa in definitiva è una definizione ed è quella che stai applicando.
Se vuoi un libro semplice da consultare: "A Student's Guide to Vectors
and Tensors" di Daniel Fleisch
Gianluca
avevo risposto, e io intervengo raramente in questo gruppo (vedi
risposta del 14/01).
La ragione è "costruttiva": si cerca di capire come esprimere lo stesso
vettore in due sistemi di riferimento NON necessariamente ortogonali.
Per trovare le componenti rispetto ad una base qualsiasi occorre
proiettare PARALLELAMENTE agli assi il segmento rappresentato dal vettore.
Se si usano proiezioni ortogonali si ottengono componenti "sbagliate",
infatti con la regola del parallelogramma non è possibile ricostruire il
vettore dato.
Allora ci si pone la domanda: data una base (in cui è espresso il
vettore) è possibile determinare un'altra base (detta base duale) per la
quale le componenti determinate con proiezione ORTOGONALE (agli assi
originali) siano le componenti PARALLELE?
Da qui si deduce che:
1) gli assi della base duale devono essere ortogonali a quelli originali
di diverso indice;
2) il prodotto scalare di ogni vettore duale con l'originale di uguale
indice deve essere =1
Questa in definitiva è una definizione ed è quella che stai applicando.
Se vuoi un libro semplice da consultare: "A Student's Guide to Vectors
and Tensors" di Daniel Fleisch
Gianluca
Pangloss
Sep 22, 2021, 1:46:12 PM9/22/21
to
[it.scienza.matematica 22 Sep 2021] Gianluca ha scritto:
> Il 22/09/21 13:56, Michele Ortombina ha scritto:
>> .....
> Il 22/09/21 13:56, Michele Ortombina ha scritto:
> .....
> La ragione è "costruttiva": si cerca di capire come esprimere lo stesso
> vettore in due sistemi di riferimento NON necessariamente ortogonali.
>
> Per trovare le componenti rispetto ad una base qualsiasi occorre
> proiettare PARALLELAMENTE agli assi il segmento rappresentato dal vettore.
>
> Se si usano proiezioni ortogonali si ottengono componenti "sbagliate",
> infatti con la regola del parallelogramma non è possibile ricostruire il
> vettore dato.
>
> Allora ci si pone la domanda: data una base (in cui è espresso il
> vettore) è possibile determinare un'altra base (detta base duale) per la
> quale le componenti determinate con proiezione ORTOGONALE (agli assi
> originali) siano le componenti PARALLELE?
>
> Da qui si deduce che:
> 1) gli assi della base duale devono essere ortogonali a quelli originali
> di diverso indice;
> 2) il prodotto scalare di ogni vettore duale con l'originale di uguale
> indice deve essere =1
>
> Questa in definitiva è una definizione ed è quella che stai applicando.
> .....
> vettore in due sistemi di riferimento NON necessariamente ortogonali.
>
> Per trovare le componenti rispetto ad una base qualsiasi occorre
> proiettare PARALLELAMENTE agli assi il segmento rappresentato dal vettore.
>
> Se si usano proiezioni ortogonali si ottengono componenti "sbagliate",
> infatti con la regola del parallelogramma non è possibile ricostruire il
> vettore dato.
>
> Allora ci si pone la domanda: data una base (in cui è espresso il
> vettore) è possibile determinare un'altra base (detta base duale) per la
> quale le componenti determinate con proiezione ORTOGONALE (agli assi
> originali) siano le componenti PARALLELE?
>
> Da qui si deduce che:
> 1) gli assi della base duale devono essere ortogonali a quelli originali
> di diverso indice;
> 2) il prodotto scalare di ogni vettore duale con l'originale di uguale
> indice deve essere =1
>
> Questa in definitiva è una definizione ed è quella che stai applicando.
OK questa e' la risposta piu' consona ai calcoli dell'OP, ma (detto tra di noi)
e' una gran brutta definizione.
Negli spazi vettoriali (strutture algebriche costituite da un gruppo additivo
di vettori ed un corpo R di scalari)) le componenti di un vettore sono di
banalissima definizione. Tali componenti sono dette controvarianti (o anche
parallele per ragioni che non sto qui ad illustrare.
Invece solo negli spazi vettoriali metrici (dotati anche di prodotto scalare)
ha senso il concetto di ortogonalita', necessario per definire le componenti
ortogonali (o covarianti) di un vettore.
L'OP calcola le componenti controvarianti di un vettore avvalendosi del prodotto
scalare e dell'arzigogolata base duale. Essendo inesperto e' ovvio che non ci
capisca un gran che, se la prenda con chi gli ha insegnato a fare cosi'!
--
Elio Proietti
Valgioie (TO)
pcf ansiagorod
Sep 22, 2021, 2:00:48 PM9/22/21
to
> L'OP calcola le componenti controvarianti di un vettore
> avvalendosi del prodotto scalare e dell'arzigogolata base
> duale. Essendo inesperto e' ovvio che non ci capisca un gran
> che, se la prenda con chi gli ha insegnato a fare cosi'!
Posso confessare e fare l'outing più audace per uno che
> avvalendosi del prodotto scalare e dell'arzigogolata base
> duale. Essendo inesperto e' ovvio che non ci capisca un gran
> che, se la prenda con chi gli ha insegnato a fare cosi'!
vorrebbe dire a sé stesso di maneggiare almeno la matematica
del liceo? Non mi sono mai impadronito del concetto, persino
con la dispensa del professor Fabri e tutti i libri che ho e
sono tanti; nemmeno il Fleisch mi aveva molto aiutato a suo
tempo.
In questo thread per la prima volta vedo un minimo di luce :)
El Filibustero
Sep 22, 2021, 7:14:26 PM9/22/21
to
On Wed, 22 Sep 2021 20:00:45 +0200, pcf ansiagorod wrote:
>Posso confessare e fare l'outing piů audace per uno che
>Posso confessare e fare l'outing piů audace per uno che
>vorrebbe dire a sé stesso di maneggiare almeno la matematica
>del liceo? Non mi sono mai impadronito del concetto
Quale concetto? Ciao
>del liceo? Non mi sono mai impadronito del concetto
pcf ansiagorod
Sep 23, 2021, 2:17:35 AM9/23/21
to
> Quale concetto? Ciao
Spazio duale. Ma confido che lo capirò, spesso lascio
sedimentare le cose poi qualche mese dopo si accende la
lampadina :)
Spazio duale. Ma confido che lo capirò, spesso lascio
sedimentare le cose poi qualche mese dopo si accende la
lampadina :)
El Filibustero
Sep 23, 2021, 3:20:04 AM9/23/21
to
On Thu, 23 Sep 2021 08:17:32 +0200, pcf ansiagorod wrote:
>Spazio duale.
In geometria projettiva c'e' il concetto di dualita', per il quale
punti e iperpiani si possono scambiare: uno spazio projettivo puo'
essere visto indifferentemente come insieme di punti o di iperpiani.
In algebra lineare, lo spazio duale non e' altro che l'espressione
algebrica di questo concetto. Ciao
>Spazio duale.
In geometria projettiva c'e' il concetto di dualita', per il quale
punti e iperpiani si possono scambiare: uno spazio projettivo puo'
essere visto indifferentemente come insieme di punti o di iperpiani.
In algebra lineare, lo spazio duale non e' altro che l'espressione
algebrica di questo concetto. Ciao
El Filibustero
Sep 23, 2021, 2:53:00 PM9/23/21
to
On Thu, 23 Sep 2021 08:17:32 +0200, pcf ansiagorod wrote:
>Spazio duale.
Aggiungo: e' molto probabile che tu non capisca per il semplice motivo
>Spazio duale.
che -- in soldoni -- non c'e' nulla di non banale da capire. Infatti,
in dimensione finita, lo spazio duale e' praticamente lo spazio
stesso. Ciao
Elio Fabri
Sep 23, 2021, 3:40:26 PM9/23/21
to
pcf ansiagorod ha scritto:
prof. Fabri" perché io non lo capisco.
Anche perché non ci sono in cirolazione mie dispense.
La cosa dipende probabilmente dal fatto che apparteniamo a
generazioni diverse. Ti spiego perciò che cosa erano le dispense per
gli studenti universitari dei miei tempi, ossia dell'innediato
dopoguerra (già, tra un paio di mesi ricorreranno 70 anni dalla mia
laurea).
A quel tempo gli studenti per avere i testi scritti dei corsi che
frequentavano ricorrevano a librerie o negozi affini, siti nei pressi
dell'università.
Per chi conosce Roma Sapienza, la più usata era Veschi a Viale
dell'Università.
Lì dietro pagamento anticipato si ricevevano i detti testi in forma di
fascicoli sciolti, che uscivano durante l'anno.
Quste erano le "dispense".
Ti fornivano anche la copertina e se volevi potevi fartele rilegare.
Può darsi che nei primissimi tempi in cui ho insegnato a Pisa abbia
anch'io fatto ricorso a dispense per il mio corso di Fisica Superiore,
presso la libreria Pellegrini.
Poi però i sistemi di diffusione si sono moltiplicati. gli istituti
universitari si sono attrezzati, poi è nato internet...
Insommma oggi credo che il sistema delle dispense non esista più.
Comunque, non nel mio caso, dato che distribuisco tutto attraverso il
mio sito (un tempo in www.difi.unipi.it e poi, da quando mi hanno tolto
l'account, ospitato in www.sagredo.eu).
Detto tutto questo, di che dispense stai parlando?
pe aso ti sei mi acorto di un file tensori.pdf che trovi in
http://www.sagredo.eu/varie ?
Non voglio ora entrare nel merito della questione, se non per dire che
non concordo con due affermazioni di El Filibustero.
La prima è questa:
uno spazio lineare e il suo duale algebrico.
Non fosse altro perché uno spazio proiettivo è cosa diversa da uno
spazio lineare, anche se sono parenti.
Potrei andare avanti per un po', discettando sulla storia della
matematica degli ultimi 3 o 4 secoli, ma me ne guardo bene.
Ed ecco la seconda:
La sola cosa vera sottintesa a quella frase è che in dim. finita uno
spazio lineare e il suo duale sono isomorfi.
Il che però è banale, visto che hanno la stessa dimensione e sono
definiti sullo stesso campo.
L'isomorfismo esiste tra qualunque coppia di spazi vettoriali di
uguale dim. sullo stesso campo, anche se non sono duali.
Sarebbe interessante se l'isomorfismo fosse intrinseco o canonico, ma
questo è vero solo se lo spazio è dotato anche di prodotto scalare.
Tutto ciò è spiegato in tensori.pdf, che ho scritto 20 anni fa proprio
per far capire a che servono le componenti co- e contro-varianti.
Nota: so benisimo che ElFil non mi legge o comunque mi ignora, anche
se non ne conosco il motivo.
Peggio per lui.
--
Elio Fabri
> Non mi sono mai impadronito del concetto, persino con la dispensa
> del professor Fabri
Sarebbe opportuno che tu spiegassi che cosa intendi per "dispensa del
> del professor Fabri
prof. Fabri" perché io non lo capisco.
Anche perché non ci sono in cirolazione mie dispense.
La cosa dipende probabilmente dal fatto che apparteniamo a
generazioni diverse. Ti spiego perciò che cosa erano le dispense per
gli studenti universitari dei miei tempi, ossia dell'innediato
dopoguerra (già, tra un paio di mesi ricorreranno 70 anni dalla mia
laurea).
A quel tempo gli studenti per avere i testi scritti dei corsi che
frequentavano ricorrevano a librerie o negozi affini, siti nei pressi
dell'università.
Per chi conosce Roma Sapienza, la più usata era Veschi a Viale
dell'Università.
Lì dietro pagamento anticipato si ricevevano i detti testi in forma di
fascicoli sciolti, che uscivano durante l'anno.
Quste erano le "dispense".
Ti fornivano anche la copertina e se volevi potevi fartele rilegare.
Può darsi che nei primissimi tempi in cui ho insegnato a Pisa abbia
anch'io fatto ricorso a dispense per il mio corso di Fisica Superiore,
presso la libreria Pellegrini.
Poi però i sistemi di diffusione si sono moltiplicati. gli istituti
universitari si sono attrezzati, poi è nato internet...
Insommma oggi credo che il sistema delle dispense non esista più.
Comunque, non nel mio caso, dato che distribuisco tutto attraverso il
mio sito (un tempo in www.difi.unipi.it e poi, da quando mi hanno tolto
l'account, ospitato in www.sagredo.eu).
Detto tutto questo, di che dispense stai parlando?
pe aso ti sei mi acorto di un file tensori.pdf che trovi in
http://www.sagredo.eu/varie ?
Non voglio ora entrare nel merito della questione, se non per dire che
non concordo con due affermazioni di El Filibustero.
La prima è questa:
> In geometria projettiva c'e' il concetto di dualita', per il quale
> punti e iperpiani si possono scambiare: uno spazio projettivo puo'
> essere visto indifferentemente come insieme di punti o di iperpiani.
> In algebra lineare, lo spazio duale non e' altro che l'espressione
> algebrica di questo concetto. Ciao
La dualità della geometria proiettiva è altra cosa dalla relazione tra
> punti e iperpiani si possono scambiare: uno spazio projettivo puo'
> essere visto indifferentemente come insieme di punti o di iperpiani.
> In algebra lineare, lo spazio duale non e' altro che l'espressione
> algebrica di questo concetto. Ciao
uno spazio lineare e il suo duale algebrico.
Non fosse altro perché uno spazio proiettivo è cosa diversa da uno
spazio lineare, anche se sono parenti.
Potrei andare avanti per un po', discettando sulla storia della
matematica degli ultimi 3 o 4 secoli, ma me ne guardo bene.
Ed ecco la seconda:
> Aggiungo: e' molto probabile che tu non capisca per il semplice
> motivo che -- in soldoni -- non c'e' nulla di non banale da capire.
> Infatti, in dimensione finita, lo spazio duale e' praticamente lo
> spazio stesso.
La matematica non si fa coi "soldoni" e i "praticamente".
> motivo che -- in soldoni -- non c'e' nulla di non banale da capire.
> Infatti, in dimensione finita, lo spazio duale e' praticamente lo
> spazio stesso.
La sola cosa vera sottintesa a quella frase è che in dim. finita uno
spazio lineare e il suo duale sono isomorfi.
Il che però è banale, visto che hanno la stessa dimensione e sono
definiti sullo stesso campo.
L'isomorfismo esiste tra qualunque coppia di spazi vettoriali di
uguale dim. sullo stesso campo, anche se non sono duali.
Sarebbe interessante se l'isomorfismo fosse intrinseco o canonico, ma
questo è vero solo se lo spazio è dotato anche di prodotto scalare.
Tutto ciò è spiegato in tensori.pdf, che ho scritto 20 anni fa proprio
per far capire a che servono le componenti co- e contro-varianti.
Nota: so benisimo che ElFil non mi legge o comunque mi ignora, anche
se non ne conosco il motivo.
Peggio per lui.
--
Elio Fabri
pcf ansiagorod
Sep 24, 2021, 4:06:31 AM9/24/21
to
> Sarebbe opportuno che tu spiegassi che cosa intendi per
> "dispensa del prof. Fabri" perché io non lo capisco.
> Anche perché non ci sono in cirolazione mie dispense.
Lo so, ma se pure le nostre età sono separate da 11305 giorni,
> "dispensa del prof. Fabri" perché io non lo capisco.
> Anche perché non ci sono in cirolazione mie dispense.
e le modalità di accesso al materiale didattiche sono cambiate
in quel lasso di tempo, ricordo benissimo le dispense di
Veschi; molte erano già state sostituite dai testi pubblicati
ma alcune mi servirono nello stesso identico formato che hai
descritto. Poi non è sempre facile liberarsi dalle abitudini e
per me un PDF scritto in modo non troppo formale (il che per me
è un complimento) resta una dispensa :)
> Detto tutto questo, di che dispense stai parlando?
> pe aso ti sei mi acorto di un file tensori.pdf che trovi in
> http://www.sagredo.eu/varie ?
iniziato a rileggerlo ieri sera cercando di trovare le
corrispondenze con il post di Filibustero. Beninteso non nel
senso che cercassi le stesse parole ma vedere se riuscissi a
capire che a un certo livello di astrazione un'esposizione del
concetto fosse equivalente all'altra. Già ora qualcosa si sta
schiarendo nella mia mente; ho capito nel tempo diverse cose
che mi credevo inaccessibili, forse riuscirò anche in questo
caso.
> Non voglio ora entrare nel merito della questione, se non per
> dire che non concordo con due affermazioni di El Filibustero.
> La prima è questa:
mai l'avrò) né di che chiedere chiarimenti; almeno al momento
ovviamente ci devo riflettere sopra. Come sempre grazie, in
questo caso a entrambi, e come sempre stamperò i vostri post.
> Tutto ciò è spiegato in tensori.pdf, che ho scritto 20 anni
> fa proprio per far capire a che servono le componenti co- e
> contro-varianti.
qualcosa di nuovo :)
ciao :)
El Filibustero
Sep 24, 2021, 5:35:13 AM9/24/21
to
On Fri, 24 Sep 2021 10:06:28 +0200, pcf ansiagorod wrote:
>[...] Faccio un mega-cut perché non ho nulla da ribattere (né
>mai l'avrò) né di che chiedere chiarimenti; almeno al momento
>ovviamente ci devo riflettere sopra.
Altro addendum: e' IMHO interessante riscontrare come la sostanziale
>[...] Faccio un mega-cut perché non ho nulla da ribattere (né
>mai l'avrò) né di che chiedere chiarimenti; almeno al momento
>ovviamente ci devo riflettere sopra.
banalita' del concetto di dualita' algebricolineare si traduca in
non-banalita' geometricoprojettiva, soprattutto quando entrano in
gioco le coniche: vedi th. di Pascal/Brianzone. Ciao
Pangloss
Sep 24, 2021, 10:32:23 AM9/24/21
to
ed aggiungo qualcosa di mio sull'argomento, senza scendere nei dettagli.
1) Uno spazio vettoriale e' una struttura algebrica costituita da un gruppo additivo V
(di vettori) e da un corpo commutativo A (di scalari). Solitamente A e' il corpo
reale R (ma ad es. in MQ e'il corpo complesso C).
2) Usando questa struttura algebrica se ne possono costruire molte altre (applicazioni
lineari corredate di operazioni che le rendono a loro volta spazi vettoriali su A.
Gli elementi di tali strutture sono detti "tensori".
3) Esempi semplici di spazi tensoriali:
- {V->A} funzioni scalari di un vettore (tensori rango 1 cov)
- {V->V} operatori lineari (tensori rango 2 cov-contr)
- {VxV->A} funzioni scalari di due vettori (tensori rango 2 cov-cov)
- ecc.
4) Il primo esempio e' detto spazio vettoriale V* "duale" dello spazio vettoriale V.
La ragione di cio' e' che l'ulteriore arzigogolata struttura algebrica V** (duale
di V*) risulta essere un tensore rango 1 contr (come lo spazio vettoriale V).
5) Tensori dello stesso tipo, nel nostro caso V ed il biduale V** sono intrinsecamente
isomorfi e possono essere identificati. Di fatto si adotta l'assunzione: V** = V
Si ottiene cosi' una relazione simmetrica detta di dualita' (nel senso che i termini
V e V* possono essere fra loro scambiati senza alterare la logica algebrica):
V* e' il duale di V <-> V e' il duale di V*
6) Se lo spazio vettoriale e' metrico (ossia dotato di prodotto scalare (che e' una
funzione VxV->A privilegiata) tensori dello stesso rango (ma non necessariamente
dello stesso tipo) sono intrinsecamente isomorfi. Diviene lecita l'identificazione
dello spazio duale V* con lo spazio vettoriale V, ossia l'assunzione: V* = V
7) Pertanto il concetto di spazio duale e' di fatto inutile negli spazi V metrici.
Tuttavia a volte lo si usa per definire il prodotto scalare (come fa ad es. Dirac
nel suo mitico libro "I principi della MQ" introducendo prima i vettori ket |A>,
poi i vettori duali bra <B| ed infine il prodotto scalare (complesso) braket <B|A>.
El Filibustero
Sep 24, 2021, 12:25:27 PM9/24/21
to
On Fri, 24 Sep 2021 14:32:21 -0000 (UTC), Pangloss wrote:
>6) Se lo spazio vettoriale e' metrico (ossia dotato di prodotto scalare (che e' una
> funzione VxV->A privilegiata) tensori dello stesso rango (ma non necessariamente
> dello stesso tipo) sono intrinsecamente isomorfi. Diviene lecita l'identificazione
> dello spazio duale V* con lo spazio vettoriale V, ossia l'assunzione: V* = V
Nel caso che V abbia dimensione infinita non e' vero, almeno
>6) Se lo spazio vettoriale e' metrico (ossia dotato di prodotto scalare (che e' una
> funzione VxV->A privilegiata) tensori dello stesso rango (ma non necessariamente
> dello stesso tipo) sono intrinsecamente isomorfi. Diviene lecita l'identificazione
> dello spazio duale V* con lo spazio vettoriale V, ossia l'assunzione: V* = V
intendendo V* nella definizione piu' generale e semplice che si ha in
algebra lineare: lo spazio vettoriale degli omomorfismi di V sul suo
campo. Ciao
Elio Fabri
Sep 25, 2021, 4:48:09 AM9/25/21
to
pcf ansiagorod ha scritto:
si trova nell'ultima riga:
> P.S. Ovviamente tutti i commenti e critiche sono benvenuti...
Nota bene: Quello scritto ha giusto 15 anni d'età. In questi tre lustri
non solo tu, ma *nessuno* mi ha inviato il minimo commento.
Forse non vi rendete conto quanto ciò sia frustrante:
- qualcuno l'ha letto?
- è piaciuto?
- l'hanno capito?
- hanno incontrato difficoltà?
- quali?
- non ci hanno capito niente?
- l'hanno trovato banale?
- c'è qualche punto particolare che andrebbe chiarito?
Forse non vi rendete conto che se uno si mette a scrivere una cosa del
genere:
- non lo fa per guadagnarci
- non lo fa per la gloria
- non lo fa per far vedere quanto è bravo (va bene, apena un pochino
:-) )
- non lo fa per passare il tempo
- non lo fa per far contento qualcuno.
Insomma, perché lo fa? Ve lo siete mai chiesto?
Come rispondete?
--
Elio Fabri
> Certo, e a quello mi riferivo.
Visto che conosci tensori.pdf, perché non hai risposto all'invito che
si trova nell'ultima riga:
> P.S. Ovviamente tutti i commenti e critiche sono benvenuti...
Nota bene: Quello scritto ha giusto 15 anni d'età. In questi tre lustri
non solo tu, ma *nessuno* mi ha inviato il minimo commento.
Forse non vi rendete conto quanto ciò sia frustrante:
- qualcuno l'ha letto?
- è piaciuto?
- l'hanno capito?
- hanno incontrato difficoltà?
- quali?
- non ci hanno capito niente?
- l'hanno trovato banale?
- c'è qualche punto particolare che andrebbe chiarito?
Forse non vi rendete conto che se uno si mette a scrivere una cosa del
genere:
- non lo fa per guadagnarci
- non lo fa per la gloria
- non lo fa per far vedere quanto è bravo (va bene, apena un pochino
:-) )
- non lo fa per passare il tempo
- non lo fa per far contento qualcuno.
Insomma, perché lo fa? Ve lo siete mai chiesto?
Come rispondete?
--
Elio Fabri
pcf ansiagorod
Sep 25, 2021, 5:41:30 AM9/25/21
to
> Forse non vi rendete conto quanto ciò sia frustrante:
> - qualcuno l'ha letto?
Posso darti la mia risposta, quelle degli altri non so. E' da
> - qualcuno l'ha letto?
sempre che leggo i gruppi, credo almeno da 15 anni. Nel 2008 ho
avuto il grandissimo piacere di poterti conoscere di persona e
se ripasserò da Pisa spero di poterti salutare ancora.
Questo per dire che credo di avere un'idea dello spazio delle
tue reazioni e so che non ami i complimenti; una volta mi hai
rimproverato per averlo fatto e io sono uno su cui un
rimprovero pesa, ho taciuto e sono stato lontano da Usenet per
diverse settimane :D Ma in cuor mio ti considero una delle 5-6
persone a cui devo tutto, chiaramente più a livello di metodo e
approccio che di effettivo travaso di conoscenze. Osservazioni
tecniche non sono proprio in grado di fartene, e siccome pochi
come te sembrano saper leggere nella mente degli altri e sapere
di cosa hanno bisogno in quel momento e in quel contesto potrei
solo scrivere in continuazione 'meraviglioso', 'eccezionale',
'unico' e sarei sincero. Credo di sapere come reagiresti e ci
resterei male, nemmeno io sono il tipo perché non mi va di
passare per adultatore. Per cui normalmente tengo per me quello
che sto scrivendo ora.
In tutta sincerità, se non capisco qualcosa spiegata da te e
altri è perché in quel momento non ci potrei arrivare in ogni
caso e sarebbe inutile chiedere spiegazioni; so come sono
fatto, quindi lascio stare e confido che 10 anni dopo si
accenda la lampadina. E' successo con le equazioni di Maxwell,
forse succederà anche con la tua esposizione dei tensori.
Peraltro ricordo tre occasioni in cui mi sono trovato a
chiedere spiegazioni e puntualmente mi hai risposto. Sono più
che sicuro che avrai preso nota del tipo di difficoltà che
possono sorgere e chi sa, avranno contribuito in piccola parte
ad affinare ulteriormente le tue capacità didattiche.
Quindi penso che una piccola parte dei mancati feedback dipenda
anche dal tuo carattere. Che peraltro apprezzo, perché sui
gruppi facebook lo vedo alcuni addetti ai lavori che si
gongolano un po' dei complimenti che ricevono e preferisco la
severità esteriore di Elio Fabri.
Una discreta parte dei mancati feedback è che tu sei una
persona del tutto controcorrente, hai rinunciato alla
divulgazione facile e hai preso una strada che oggi non
'rende'. Su questo e altro ovviamente non ho alcun potere né
saprei dire nulla. Basta prendere un 'tech paper' della HP del
1970 per trovare lo spirito di Elio Fabri se pure nella
tecnica. Ogni manuale è un trattato di grandissima chiarezza.
Oggi non ha nemmeno senso provarci.
Quella parte di feedback che potresti ricevere da diversi
colleghi non arriva perché l'università fa una selezione e
credo ci sia solo tu che dalla Normale hai sempre voluto tenere
il contatto con la SSS, quindi è un tipo di lavoro che a loro
non interessa e non gli passa entro l'orizzonte mentale.
Scusami se qualcosa che ho scritto possa averti urtato :)
Pazienza se passerò per adulatore, tanto tu e io sappiamo
perfettamente che non ci guadagno assolutamente nulla.
Last but not least, avrò riletto la tua dispensa una trentina
di volte; sono io a essere tardo e poco intelligente, detto
assolutamente senza ironia.
pcf ansiagorod
Sep 25, 2021, 5:54:27 AM9/25/21
to
> Quindi penso che una piccola parte dei mancati feedback
> dipenda anche dal tuo carattere.
Come sempre mi scordo i pezzi. Volevo scrivere che
> dipenda anche dal tuo carattere.
probabilmente molti sono nelle mie stesse condizioni e hanno
timore a manifestarti il loro apprezzamento, e forse anche a
muoveri osservazioni data la tua autorità scientifica.
Già che ci sono grazie mille anche per la risposta su ISF;
anche sapere che un certo argomento non si presta a una certa
trattazione è una risposta del tutto costruttiva. Ci sono tante
cose alla mia portata che ancora non so, e ho da scegliere.
Giusto per restare in tema, forse saprai che c'è un gruppo
facebook di tuoi estimatori che credo sia oltre le 200 persone.
Restano poche rispetto ai numeri che fanno gli 'influencer' ma
credo che siano tutti bei cervelli :)
Elio Fabri
Sep 27, 2021, 5:59:44 AM9/27/21
to
Pangloss ha scritto:
La prima non è propriamente un'inesattezzza, ma un uso terminologico
che va contro quello che ritengo oggi universale.
Quello che chiami "corpo" è usalmente chiamato "campo" (la tua scelta
era comune, credo, in un tempo passato).
Oggi un corpo (inglese "skew field") è una struttura algebrica che
differisce dal campo per avere moltiplicazione non commutativa.
Esempio canonico: i quaternioni.
Mi pare però che in francese non si usi l'equivalente di "campo", ma
si dica "corps commutatif").
La precisazione sulla dimensione finita è stata già fatta, ma mi sembra
utile aggiungere qualcosa.
Consideriamo un controesempio: le funzioni continue [-1,1] --> R. E'
usuale per questo insieme (spazio) di funzioni la notazione
C([-1,1],R), ma nel presente post userò V.
V ha una naturale struttura di spazio vettoriale su R (anzi di più: è
anche un'algebra, perché la funzione prodotto di due funzioni continue
è continua, ma questo ora non interessa).
Si tratta però di uno spazio vettoriale a dimensione infinita: basta
osservare che le funzioni F_n(x) = x^n sono linearmente indipendenti.
Occupiamoci del duale. Certamente V^* contiene un sottospazio isomorfo
a V, perché se f e g sono in V è sempre definito int(f(x)*g(x),-1,1,x)
e questo integrale, per fissata f, definisce un reale che dipende
linearmente da g.
Tuttavia V^* contiene altre applicazioni lineari V --> R.
Esempio interessante: l'applicazione d definita da d(g) = g(0).
Poiché non esiste nessuna f tale che
per ogni g di V: int(f(x)*g(x),-1,1,x) = g(0),
si vede che V è isomorfo a un sottoinsieme proprio di V^*.
(Sviluppando questo discorso si definiscono le distribuzioni.)
Osservo anche che in dimensione infinita non è vero che V^** = V.
> Se lo spazio vettoriale e' metrico ossia dotato di prodotto scalare
Non è la stessa cosa. Su uno spazio vettoriale si può definire una
metrica anche senza avere il prodotto scalare.
In particolare la metrica può essere "invariante".
Poi esiste la "norma", che genera un tipo particolare di metrica
invariante.
Infine il prodotto scalare permette di definire una norma.
Perciò dal prodotto scalare si definisce la norma, quindi la metrica.
Ma la strada in discesa non si può rifare: per es. non ogni norma
permette di definire un prodotto scalare.
> 7) Pertanto il concetto di spazio duale e' di fatto inutile negli
> spazi V metrici.
Sempre che ci si limiti a spazi a dim. finita.
Nel caso di dim. infinita (di cui purtrpoppo la MQ non può fare a
meno) le cose si complicano alquanto.
Il duale definito come insiame delle applicazioni lineari è quello che
si chiama "duale algebrico", e abbiamo visto che in dim. infinita
questo è più grande di V.
Se V è dotato di prodotto scalare, da questo di ricava una norma,
quindi una metrica, quindi una topologia in V.
Si dimostra che per una funzione lineare V -- > K dire limitata e dire
continua (in quella topologia) è la stesa cosa.
Indicherò il prodotto scalare di due vettori u, v di V con (u,v)
(notazione non ortodossa). Se K è C, il prodotto scalare si definisce
con le seguenti proprietà:
1) (u,v) = (v,u)^*
2) è lineare su v e antilineare su u:
se u' = cu (u in C) allora (u',v) = c^* (u,v) mentre
se v' = cv allora (u,v') = c (u,v).
(la lista delle proprietà non è compelta).
Un tale prodotto scalare viene detto "hermitiano".
Fissato u, (u,v) è una funzione lineare
f: H --> C, v |--> f(v) = (u,v). (1)
Si vede subito che f è limitata ossia continua.
Si chiama duale topologico l'insiema delle funzioni continue.
Esiste il teorema di rappresentazione di Riesz:
per ogni funzione continua f(v) esiste u in V tale che f è definita
dalla (1).
Ossia, non esistono altre funzioni lineari continue oltre quele date
dal prodotto scalare.
Vorrei poi mettere in rilievo una sottile differenza tra la
definizione di duale come spazio delle funzioni lineari V --> R e
quella come spazio degli omomorfismi V --> R
La differenza è che per parlare di omomorfismo occorre che i due spazi
abbiano la stessa struttura, nel nostro caso siano entrambi spazi
lineari.
V lo è per ipotesi, ma il campo K degli scalari?
Si dà il caso che ogni campo possa anche esere visto come spazio
lineare su un campo coincidente con se stesso.
La moltiplicazione di un vettore per uno scalare diventa la
moltiplicazione tra due elementi di K.
In altri termini in questo caso scalari e vettori coincidono.
Osservo anche che ciò accade sempre per uno spazio lineare
unidimensionale, perché esiste un isomorfismo naturale (diverso dal
generico isomorfismo che sta nel duale) tra V e K.
Questo non è che un caso particolare dell'isomorfismo che esiste
sempre (non in modo unico) tra V e K^n, se n è la dimensione.
Spero di non aver confuso le idee a qualcuno, ma osservo che questo
gioco di vedere un oggetto prima in un modo e poi in un altro è
frequentissimo in matematica, e se non ci si prende familiarità non si
può dire di aver capito alcunché in matematica.
Dato che questo post è già parecchio lungo, dedicherò un altro post a
parlare di Dirac.
--
Elio Fabri
> aggiungo qualcosa di mio sull'argomento, senza scendere nei dettagli
Mi pare ci siano alcune inesattezze, che vorrei commentare.
La prima non è propriamente un'inesattezzza, ma un uso terminologico
che va contro quello che ritengo oggi universale.
Quello che chiami "corpo" è usalmente chiamato "campo" (la tua scelta
era comune, credo, in un tempo passato).
Oggi un corpo (inglese "skew field") è una struttura algebrica che
differisce dal campo per avere moltiplicazione non commutativa.
Esempio canonico: i quaternioni.
Mi pare però che in francese non si usi l'equivalente di "campo", ma
si dica "corps commutatif").
La precisazione sulla dimensione finita è stata già fatta, ma mi sembra
utile aggiungere qualcosa.
Consideriamo un controesempio: le funzioni continue [-1,1] --> R. E'
usuale per questo insieme (spazio) di funzioni la notazione
C([-1,1],R), ma nel presente post userò V.
V ha una naturale struttura di spazio vettoriale su R (anzi di più: è
anche un'algebra, perché la funzione prodotto di due funzioni continue
è continua, ma questo ora non interessa).
Si tratta però di uno spazio vettoriale a dimensione infinita: basta
osservare che le funzioni F_n(x) = x^n sono linearmente indipendenti.
Occupiamoci del duale. Certamente V^* contiene un sottospazio isomorfo
a V, perché se f e g sono in V è sempre definito int(f(x)*g(x),-1,1,x)
e questo integrale, per fissata f, definisce un reale che dipende
linearmente da g.
Tuttavia V^* contiene altre applicazioni lineari V --> R.
Esempio interessante: l'applicazione d definita da d(g) = g(0).
Poiché non esiste nessuna f tale che
per ogni g di V: int(f(x)*g(x),-1,1,x) = g(0),
si vede che V è isomorfo a un sottoinsieme proprio di V^*.
(Sviluppando questo discorso si definiscono le distribuzioni.)
Osservo anche che in dimensione infinita non è vero che V^** = V.
> Se lo spazio vettoriale e' metrico ossia dotato di prodotto scalare
Non è la stessa cosa. Su uno spazio vettoriale si può definire una
metrica anche senza avere il prodotto scalare.
In particolare la metrica può essere "invariante".
Poi esiste la "norma", che genera un tipo particolare di metrica
invariante.
Infine il prodotto scalare permette di definire una norma.
Perciò dal prodotto scalare si definisce la norma, quindi la metrica.
Ma la strada in discesa non si può rifare: per es. non ogni norma
permette di definire un prodotto scalare.
> 7) Pertanto il concetto di spazio duale e' di fatto inutile negli
> spazi V metrici.
Nel caso di dim. infinita (di cui purtrpoppo la MQ non può fare a
meno) le cose si complicano alquanto.
Il duale definito come insiame delle applicazioni lineari è quello che
si chiama "duale algebrico", e abbiamo visto che in dim. infinita
questo è più grande di V.
Se V è dotato di prodotto scalare, da questo di ricava una norma,
quindi una metrica, quindi una topologia in V.
Si dimostra che per una funzione lineare V -- > K dire limitata e dire
continua (in quella topologia) è la stesa cosa.
Indicherò il prodotto scalare di due vettori u, v di V con (u,v)
(notazione non ortodossa). Se K è C, il prodotto scalare si definisce
con le seguenti proprietà:
1) (u,v) = (v,u)^*
2) è lineare su v e antilineare su u:
se u' = cu (u in C) allora (u',v) = c^* (u,v) mentre
se v' = cv allora (u,v') = c (u,v).
(la lista delle proprietà non è compelta).
Un tale prodotto scalare viene detto "hermitiano".
Fissato u, (u,v) è una funzione lineare
f: H --> C, v |--> f(v) = (u,v). (1)
Si vede subito che f è limitata ossia continua.
Si chiama duale topologico l'insiema delle funzioni continue.
Esiste il teorema di rappresentazione di Riesz:
per ogni funzione continua f(v) esiste u in V tale che f è definita
dalla (1).
Ossia, non esistono altre funzioni lineari continue oltre quele date
dal prodotto scalare.
Vorrei poi mettere in rilievo una sottile differenza tra la
definizione di duale come spazio delle funzioni lineari V --> R e
quella come spazio degli omomorfismi V --> R
La differenza è che per parlare di omomorfismo occorre che i due spazi
abbiano la stessa struttura, nel nostro caso siano entrambi spazi
lineari.
V lo è per ipotesi, ma il campo K degli scalari?
Si dà il caso che ogni campo possa anche esere visto come spazio
lineare su un campo coincidente con se stesso.
La moltiplicazione di un vettore per uno scalare diventa la
moltiplicazione tra due elementi di K.
In altri termini in questo caso scalari e vettori coincidono.
Osservo anche che ciò accade sempre per uno spazio lineare
unidimensionale, perché esiste un isomorfismo naturale (diverso dal
generico isomorfismo che sta nel duale) tra V e K.
Questo non è che un caso particolare dell'isomorfismo che esiste
sempre (non in modo unico) tra V e K^n, se n è la dimensione.
Spero di non aver confuso le idee a qualcuno, ma osservo che questo
gioco di vedere un oggetto prima in un modo e poi in un altro è
frequentissimo in matematica, e se non ci si prende familiarità non si
può dire di aver capito alcunché in matematica.
Dato che questo post è già parecchio lungo, dedicherò un altro post a
parlare di Dirac.
--
Elio Fabri
Pangloss
Sep 27, 2021, 9:10:16 AM9/27/21
to
[it.scienza.matematica 27 Sep 2021] Elio Fabri ha scritto:
> Pangloss ha scritto:
> .....
e' chiaramente specificato "corpo _commutativo_ A" e che il contenuto del pdf e'
limitato agli spazi a dimensione finita. Parlandone qui ho dato tuttocio' per scontato:
su usenet pecco talora di superficialita', a dispetto della mia abituale pignoleria. :(
Taglio il resto del tuo lungo post (che intendo esaminare con la dovuta attenzione),
perche' riguardante gli spazi a dimensione infinita. Ho una certa conoscenza dell'
argomento, che pero' vorrei approfondire soprattutto come base matematica per la MQ.
I testi a mia disposizione non mi soddisfano completamente (sono un po' vecchiotti),
tu cosa consiglieresti?
Grazie di tutto caro prof, se tutti gli accademici avessero la tua vasta competenza
e la tua disponibilita' la funzione culturale delle Universita' sarebbe maggiore.
> Pangloss ha scritto:
> .....
> La prima non è propriamente un'inesattezzza, ma un uso terminologico
> che va contro quello che ritengo oggi universale.
> Quello che chiami "corpo" è usalmente chiamato "campo" (la tua scelta
> era comune, credo, in un tempo passato).
> Oggi un corpo (inglese "skew field") è una struttura algebrica che
> differisce dal campo per avere moltiplicazione non commutativa.
> Esempio canonico: i quaternioni.
> Mi pare però che in francese non si usi l'equivalente di "campo", ma
> si dica "corps commutatif").
>
> La precisazione sulla dimensione finita è stata già fatta, ma mi sembra
> utile aggiungere qualcosa.
All'inizio dell'ampia trattazione sui "Tensori" pubblicatata da anni sul mio sito
> che va contro quello che ritengo oggi universale.
> Quello che chiami "corpo" è usalmente chiamato "campo" (la tua scelta
> era comune, credo, in un tempo passato).
> Oggi un corpo (inglese "skew field") è una struttura algebrica che
> differisce dal campo per avere moltiplicazione non commutativa.
> Esempio canonico: i quaternioni.
> Mi pare però che in francese non si usi l'equivalente di "campo", ma
> si dica "corps commutatif").
>
> La precisazione sulla dimensione finita è stata già fatta, ma mi sembra
> utile aggiungere qualcosa.
e' chiaramente specificato "corpo _commutativo_ A" e che il contenuto del pdf e'
limitato agli spazi a dimensione finita. Parlandone qui ho dato tuttocio' per scontato:
su usenet pecco talora di superficialita', a dispetto della mia abituale pignoleria. :(
Taglio il resto del tuo lungo post (che intendo esaminare con la dovuta attenzione),
perche' riguardante gli spazi a dimensione infinita. Ho una certa conoscenza dell'
argomento, che pero' vorrei approfondire soprattutto come base matematica per la MQ.
I testi a mia disposizione non mi soddisfano completamente (sono un po' vecchiotti),
tu cosa consiglieresti?
Grazie di tutto caro prof, se tutti gli accademici avessero la tua vasta competenza
e la tua disponibilita' la funzione culturale delle Universita' sarebbe maggiore.
Gianluca
Sep 27, 2021, 10:54:23 AM9/27/21
to
Il 25/09/21 10:47, Elio Fabri ha scritto:
In quella dispensa, come in quella di Pangloss (sui tensori), ci sono
molti argomenti e richiami che solo gli "addetti ai lavori" possono
comprendere a fondo. Per chi, come me, ha poca familiarità con notazioni
sintetiche è molto difficile seguire l'esposizione ed i concetti vengono
compresi solo a livello intuitivo.
Se mi è permesso avanzare una critica, a te ma anche a Pangloss,
riguardo le vostre dispense (sui tensori) direi che ciò che mi
piacerebbe trovare - da semplice appassionato di matematica - è un
esempio esplicitato; troverei utile "vedere" almeno un caso di
applicazione lineare /sigma/v o qualsiasi altra, anche semplicemente con
dei numeri al posto degli indici.
La richiesta potrà sembrare banale, ma per chi è abituato a portare a
casa la pagnotta con attività molto pratiche, trovarsi un po' di
companatico pronto rappresenterebbe un sollievo non indifferente.
Gianluca
>
> Insomma, perché lo fa? Ve lo siete mai chiesto?
> Come rispondete?
Penso per il solo piacere di chiarezza e soddisfazione personale.
> Insomma, perché lo fa? Ve lo siete mai chiesto?
> Come rispondete?
In quella dispensa, come in quella di Pangloss (sui tensori), ci sono
molti argomenti e richiami che solo gli "addetti ai lavori" possono
comprendere a fondo. Per chi, come me, ha poca familiarità con notazioni
sintetiche è molto difficile seguire l'esposizione ed i concetti vengono
compresi solo a livello intuitivo.
Se mi è permesso avanzare una critica, a te ma anche a Pangloss,
riguardo le vostre dispense (sui tensori) direi che ciò che mi
piacerebbe trovare - da semplice appassionato di matematica - è un
esempio esplicitato; troverei utile "vedere" almeno un caso di
applicazione lineare /sigma/v o qualsiasi altra, anche semplicemente con
dei numeri al posto degli indici.
La richiesta potrà sembrare banale, ma per chi è abituato a portare a
casa la pagnotta con attività molto pratiche, trovarsi un po' di
companatico pronto rappresenterebbe un sollievo non indifferente.
Gianluca
Elio Fabri
Sep 28, 2021, 3:26:14 PM9/28/21
to
Pangloss ha scritto:
Però non ho certo messo in dubbio che tu lo sapessi. Ho rilevato
invece che non si poteva dare per scontato che fossse noto ai lettori.
Tanto più che si tratta di un punto molto delicato (come vedrai dal
seguito che ancora non ho finito di scrivere :-) )
> I testi a mia disposizione non mi soddisfano completamente (sono un
> po' vecchiotti), tu cosa consiglieresti?
Come mi è capitato di dire altre olte, non sono la persona più adatta
a consigliare testi aggiornati.
Quindi dipende un po' da che cosa intendi per vecchiotti.
Io trovo ancora utile un libro di P.Roman che comprai 43 anni fa:
"Some modern mathematics for physicists and other outsiders"
(Pergamon)
Sono due volumi per un totale di circa 700 pagine.
Non dubito che altri più giovani potranno consigliarti trattazioni più
recenti.
--
Elio Fabri
> All'inizio dell'ampia trattazione sui "Tensori" pubblicatata da anni
> sul mio sito e' chiaramente specificato "corpo _commutativo_ è e che
> il contenuto del pdf e' limitato agli spazi a dimensione finita.
> Parlandone qui ho dato tuttocio' per scontato: su usenet pecco talora
> di superficialita', a dispetto della mia abituale pignoleria. :(
Figurati se non so quanto sia dificile dosare le risposte qui...
> Parlandone qui ho dato tuttocio' per scontato: su usenet pecco talora
> di superficialita', a dispetto della mia abituale pignoleria. :(
Però non ho certo messo in dubbio che tu lo sapessi. Ho rilevato
invece che non si poteva dare per scontato che fossse noto ai lettori.
Tanto più che si tratta di un punto molto delicato (come vedrai dal
seguito che ancora non ho finito di scrivere :-) )
> I testi a mia disposizione non mi soddisfano completamente (sono un
> po' vecchiotti), tu cosa consiglieresti?
a consigliare testi aggiornati.
Quindi dipende un po' da che cosa intendi per vecchiotti.
Io trovo ancora utile un libro di P.Roman che comprai 43 anni fa:
"Some modern mathematics for physicists and other outsiders"
(Pergamon)
Sono due volumi per un totale di circa 700 pagine.
Non dubito che altri più giovani potranno consigliarti trattazioni più
recenti.
--
Elio Fabri
Elio Fabri
Sep 29, 2021, 2:44:05 PM9/29/21
to
Pangloss ha scritto:
Ho riletto il capitolo, ed è così.
Ora spiego.
Ecco come procede Dirac.
1. Definisce i ket |v> (adatto la notazione: D. usa lettere greche)
per rappresentare gli stati fisici di un sistema a un dato istante.
L'insieme H dei ket ha proprietà che lo caratterizzano come spazio di
Hilbert su C.
La dimensione di H dipende dal sistema. Per es. nel caso della
polarizzazione dei fotoni, precedentemente discusso a lungo da D., la
dimensione è 2. In altri casi, come per es. un oscillatore armonico,
la dimensione è infinita.
Fin qui tutto bene, anche se mi accorgo che non ho definito uno spazio
di Hilbert, né lo fa D., per cui non è vero che le proprietà dei ket
definiscano uno spazio di Hilbert. manca un ingrediente esseziale: v.
appresso.
Rimedio subito.
Uno spazio di Hilbert (generalmente sottinteso: su C) è uno spazio
vettoriale *dotato di prodotto scalare hermitiano*.
La dimensione può essere finita o infinita; ma se è infinita si assume
che H sia *completo*.
Ciò vuol dire che ogni successione di Cauchy converge.
In realtà la completezza non è un problema, perché uno spazio
(metrico) non completo può sempre essere completato in modo standard.
Il procedimento è lo stesso che fa passare dai razionali (spazio non
completo) ai reali (completo).
Va detto che gli spazi di Hilbert infiniti che si usano in MQ sono
anche *separabili*, il che vuol dire che posseggono una base
numerabile. (Non posso dettagliare ulteriormente.)
Una proprietà degli spazi di Hilbert separabili infiniti su C (a prima
vista incredibile) è che sono tutti isometricamente isomorfi.
Il che vuol dire che in senso astratto c'è un solo spazio di Hilbert,
valido per tutti i sistemi in MQ (quando la dim. è infinita).
Non posso commentare perché pare incredibile e come si spiega
l'apparente paradosso...
2. Definisce i bra come funzioni lineari su H e spende una pagina per
dimostrare che l'insieme delle funzioni lineari su H è uno spazio
vettoriale (lo spazio duale ad H).
Non chiarisce che sta pensando al duale topologico, perché non ha
detto che considera solo funzioni *continue*. Dunque lo spazio dei bra
è H^*.
Non poteva farlo, perché senza prodotto scalare niente topologia,
quindi niente limiti e continuità.
3. Il pasticcio è che se f è un bra, D. pretende d'interpretare f(v)
come "prodotto scalare" tra un bra e un ket, il che non ha senso,
perché il prodotto scalare non è definito tra *due* distinti spazi
vettoriali, ma è un'operazione *interna* a H (non a caso viene anche
chiamato "prodotto interno").
Si deve osservare che questo D. lo sa benissimo, tant'è vero che
scrive (traduco):
"I vettori bra, per come sono stati introdotti, sono un tipo di
vettori del tutto distinto dai ket, e tra loro non c'è alcuna
connessione a parte l'esistenza di un prodotto scalare."
In realtà questo è sbagliato: la connessione è che i bra sono
*funzioni* con dominio H e codominio C.
Naturalmente D. conosce il teorema di Riesz, ma si guarda bene dal
dirlo (è un'operazione che ripete più volte; per es. parlando di
particelle identiche dimostra di saperla lunga sulle rappresentazioni
del gruppo simmetrico, ma ricostruisce la teoria senza dirlo).
Che cosa direbbe il teorema di Riesz? Che *essendo in H definito un
prodotto scalare, a ogni bra f corrisponderà un ket u_f tale che
f(v) = (u_f,v). (1)
Ma se il prodotto scalare non è stato previamente definito, possiamo
usare questa via per definirlo?
Se la dim. è finita non ci sono problemi, ma purtroppo non ci si può
limitare a questo caso speciale.
Se la dim. è infinita, ci ho pensato un po' e non sono proprio sicuro
della risposta che ora scrivo, ma credo che il gioco che fa D. non si
possa fare.
In altre parole, bisogna *prima definire un prodotto scalare (come
assioma, se vogliamo); poi definire il duale topologico come detto
sopra, che è lo spazio H^* dei bra; infine (usando il teorema di
Riesz) assumere l'esistenza di una mappa bigettiva tra bra e ket, che
ci autorizza a fare quello che fa D., ossia usare lo stesso nome per
un ket e per il corrispondente bra.
E soprattutto, consente di usare la geniale notazione di D.: <u|v> col
doppio significato:
1) valore su v della funzione lineare individuata da u;
2) prodotto scalare dei due *ket* |u> e |v> (antilineare sul primo).
La notazione poi si sviluppa quando si scrivono cose cone <u|A|v> per
l'elemento di matrice dell'operatore A tra i due ket |u> e |v>. Ma di
questo non voglio occuparmi.
Su bra e ket voglio dire un'ultima cosa.
L'uso (come notazione) che ne fa D. ormai purtroppo è degenerato.
L'idea di racchiudere bra e ket tra due segni: <...| e |...> permette
di usare lo spazio interno con grande libertà: ci si può scrivere
qualunque cosa, al limite anche un verso della Divina Commedia:
|e se non piangi, di che pianger suoli?>
qualunque cosa che torni comoda per individuare il bra o il ket
particolare.
Invece si è diffuso l'uso confusionario e inutile di scrivere cose come
|psi(x,t)>, per es. nell'eq. di Schroedinger:
i hbar d|psi(x,t)>/dt = H |psi(x,t)>.
Questo è sbagliato perché psi(x,t) è la *funzione d'onda* al tempo t,
e la funzione d'onda *non è un ket*, ma una sua possibile
rappresentazione. La x sta a indicare una coordinata spaziale, quindi
si tratta di quella che viene chiamata "rappresentazione di Schr."
La notazione corretta sarebbe scrivere |s> per indicare il vettore
(ket) di un particolare stato (ma la notazione potrebbe essere più
ricca, magari per ricordare di quale particella si tratta o per
indicare altri dati).
Poi il ket può variare nel tempo (Schr. picture; la traduzione
italiana non credo sia standardizzata, una possibilità è "schema").
Allora si scriverà |s,t> e quindi, per l'eq, di Schr.:
i hbar d|s,t>/dt = H |s,t>.
La funzione d'onda in rappr. di Schr. è invece definita da
psi_s(x,t) = <x|s,t>
dove l'indice s (che si può anche omettere quando non ci sia pericolo
di confusione) sta a indicare che stiamo parlando della funzione
d'onda dello stato s.
--
Elio Fabri
> Tuttavia a volte lo si usa per definire il prodotto scalare (come fa
> ad es. Dirac nel suo mitico libro "I principi della MQ" introducendo
> prima i vettori ket |A>, poi i vettori duali bra <B| ed infine il
> prodotto scalare (complesso) braket <B|A>.
Avevo un ricordo che Dirac pasticciasse un po' su questo argomento.
> ad es. Dirac nel suo mitico libro "I principi della MQ" introducendo
> prima i vettori ket |A>, poi i vettori duali bra <B| ed infine il
> prodotto scalare (complesso) braket <B|A>.
Ho riletto il capitolo, ed è così.
Ora spiego.
Ecco come procede Dirac.
1. Definisce i ket |v> (adatto la notazione: D. usa lettere greche)
per rappresentare gli stati fisici di un sistema a un dato istante.
L'insieme H dei ket ha proprietà che lo caratterizzano come spazio di
Hilbert su C.
La dimensione di H dipende dal sistema. Per es. nel caso della
polarizzazione dei fotoni, precedentemente discusso a lungo da D., la
dimensione è 2. In altri casi, come per es. un oscillatore armonico,
la dimensione è infinita.
Fin qui tutto bene, anche se mi accorgo che non ho definito uno spazio
di Hilbert, né lo fa D., per cui non è vero che le proprietà dei ket
definiscano uno spazio di Hilbert. manca un ingrediente esseziale: v.
appresso.
Rimedio subito.
Uno spazio di Hilbert (generalmente sottinteso: su C) è uno spazio
vettoriale *dotato di prodotto scalare hermitiano*.
La dimensione può essere finita o infinita; ma se è infinita si assume
che H sia *completo*.
Ciò vuol dire che ogni successione di Cauchy converge.
In realtà la completezza non è un problema, perché uno spazio
(metrico) non completo può sempre essere completato in modo standard.
Il procedimento è lo stesso che fa passare dai razionali (spazio non
completo) ai reali (completo).
Va detto che gli spazi di Hilbert infiniti che si usano in MQ sono
anche *separabili*, il che vuol dire che posseggono una base
numerabile. (Non posso dettagliare ulteriormente.)
Una proprietà degli spazi di Hilbert separabili infiniti su C (a prima
vista incredibile) è che sono tutti isometricamente isomorfi.
Il che vuol dire che in senso astratto c'è un solo spazio di Hilbert,
valido per tutti i sistemi in MQ (quando la dim. è infinita).
Non posso commentare perché pare incredibile e come si spiega
l'apparente paradosso...
2. Definisce i bra come funzioni lineari su H e spende una pagina per
dimostrare che l'insieme delle funzioni lineari su H è uno spazio
vettoriale (lo spazio duale ad H).
Non chiarisce che sta pensando al duale topologico, perché non ha
detto che considera solo funzioni *continue*. Dunque lo spazio dei bra
è H^*.
Non poteva farlo, perché senza prodotto scalare niente topologia,
quindi niente limiti e continuità.
3. Il pasticcio è che se f è un bra, D. pretende d'interpretare f(v)
come "prodotto scalare" tra un bra e un ket, il che non ha senso,
perché il prodotto scalare non è definito tra *due* distinti spazi
vettoriali, ma è un'operazione *interna* a H (non a caso viene anche
chiamato "prodotto interno").
Si deve osservare che questo D. lo sa benissimo, tant'è vero che
scrive (traduco):
"I vettori bra, per come sono stati introdotti, sono un tipo di
vettori del tutto distinto dai ket, e tra loro non c'è alcuna
connessione a parte l'esistenza di un prodotto scalare."
In realtà questo è sbagliato: la connessione è che i bra sono
*funzioni* con dominio H e codominio C.
Naturalmente D. conosce il teorema di Riesz, ma si guarda bene dal
dirlo (è un'operazione che ripete più volte; per es. parlando di
particelle identiche dimostra di saperla lunga sulle rappresentazioni
del gruppo simmetrico, ma ricostruisce la teoria senza dirlo).
Che cosa direbbe il teorema di Riesz? Che *essendo in H definito un
prodotto scalare, a ogni bra f corrisponderà un ket u_f tale che
f(v) = (u_f,v). (1)
Ma se il prodotto scalare non è stato previamente definito, possiamo
usare questa via per definirlo?
Se la dim. è finita non ci sono problemi, ma purtroppo non ci si può
limitare a questo caso speciale.
Se la dim. è infinita, ci ho pensato un po' e non sono proprio sicuro
della risposta che ora scrivo, ma credo che il gioco che fa D. non si
possa fare.
In altre parole, bisogna *prima definire un prodotto scalare (come
assioma, se vogliamo); poi definire il duale topologico come detto
sopra, che è lo spazio H^* dei bra; infine (usando il teorema di
Riesz) assumere l'esistenza di una mappa bigettiva tra bra e ket, che
ci autorizza a fare quello che fa D., ossia usare lo stesso nome per
un ket e per il corrispondente bra.
E soprattutto, consente di usare la geniale notazione di D.: <u|v> col
doppio significato:
1) valore su v della funzione lineare individuata da u;
2) prodotto scalare dei due *ket* |u> e |v> (antilineare sul primo).
La notazione poi si sviluppa quando si scrivono cose cone <u|A|v> per
l'elemento di matrice dell'operatore A tra i due ket |u> e |v>. Ma di
questo non voglio occuparmi.
Su bra e ket voglio dire un'ultima cosa.
L'uso (come notazione) che ne fa D. ormai purtroppo è degenerato.
L'idea di racchiudere bra e ket tra due segni: <...| e |...> permette
di usare lo spazio interno con grande libertà: ci si può scrivere
qualunque cosa, al limite anche un verso della Divina Commedia:
|e se non piangi, di che pianger suoli?>
qualunque cosa che torni comoda per individuare il bra o il ket
particolare.
Invece si è diffuso l'uso confusionario e inutile di scrivere cose come
|psi(x,t)>, per es. nell'eq. di Schroedinger:
i hbar d|psi(x,t)>/dt = H |psi(x,t)>.
Questo è sbagliato perché psi(x,t) è la *funzione d'onda* al tempo t,
e la funzione d'onda *non è un ket*, ma una sua possibile
rappresentazione. La x sta a indicare una coordinata spaziale, quindi
si tratta di quella che viene chiamata "rappresentazione di Schr."
La notazione corretta sarebbe scrivere |s> per indicare il vettore
(ket) di un particolare stato (ma la notazione potrebbe essere più
ricca, magari per ricordare di quale particella si tratta o per
indicare altri dati).
Poi il ket può variare nel tempo (Schr. picture; la traduzione
italiana non credo sia standardizzata, una possibilità è "schema").
Allora si scriverà |s,t> e quindi, per l'eq, di Schr.:
i hbar d|s,t>/dt = H |s,t>.
La funzione d'onda in rappr. di Schr. è invece definita da
psi_s(x,t) = <x|s,t>
dove l'indice s (che si può anche omettere quando non ci sia pericolo
di confusione) sta a indicare che stiamo parlando della funzione
d'onda dello stato s.
--
Elio Fabri
Elio Fabri
Sep 29, 2021, 3:31:20 PM9/29/21
to
Gianluca ha scritto:
ascolto alla mia richiesta.
Però debbo anche dirti che hai forse sbagliato bersaglio :)
Mi spiego copiando quello che c'è scritto all'inizio:
"Capita spesso che studenti chiedano chiarimenti circa vettori,
tensori, distinzione tra "covariante" e "controvariante". Si tratta di
argomenti trattati nei corsi di matematica e usati abbondantemente nei
corsi di fisica, ma con un certo "scollamento" fra i due ambiti, sì
che non di rado accade che certe cose, importanti per capire, restino
non dette.
Quanto segue è una parziale risposta a tali domande. I presupposti
sono le conoscenze di un corso di geometria del biennio di fisica o
ingegneria; il destinatario tipo è qualcuno che stia cercando di
capire la relatività (ristretta) e si sia appunto imbattuto nei
termini e concetti che ho detto.
Ma forse la possibile 'audience' potrebbe essere anche più ampia..."
Ho l'impressione che tu non rientri in questa audience.
Da ciò che scrivi credo di poter dedurre che non sei uno studente, e
forse non sei neppure proprio giovane.
Potresti essere un ingegnere, difficilmente un matematico o un fisico.
Insomma, quello scritto non è stato pensato per te.
Non sto dicendo che non potrai mai capire quegli argomenti, ma penso
che ci vorrebbe qualcosa ripensato daccapo.
E purtroppo ormai non me la sento d'impegnarmi in un'impresa del
genere (ricorda che quello scritto ha 20 anni, e anche io ho 20 anni
di più...).
Non sto neppure dicendo che la cosa non m'interessa. Mi sento di
dichiarare con fermezza che sono sempre stato sensibile al problema
didattico, a tutti i livelli e oltre i miei obblighi istituzionali.
Mi sono sempre sforzato di capire perché certi gruppi di persone
trovassero difficoltà in certi argomenti, ho lavorato per superarle,
spesso in collaborazione con coloro che avevano quello come obbligo:
mi riferisco soprattutto agli insegnanti di scuola secondaria
superiore.
Ti voglio raccontare un aneddoto che risale forse al 1952 o 53: quando
mi venne assegnato per la prima volta il compito di tenere le
esercitazioni al corso di Fisica Teorica (quarto anno di Fisica).
Decisi di partire con un argomento che se fossi stato meno sensibile a
ciò che ho detto prima avrei considerato non di mia competenza: prima
di cominciare a lavorare sulla relatività, affrontai un chiarimento di
fondo sul comcetto di vettore.
Dato che ero laureato da pochissimo, sapevo bene che cosa s'insegnava
negli anni precedenti, ed esordii facendo notare ai ragazzi che
avevo di fronte che di vettori ne avevano sentito parlare in ben 4
corsi:
- Analisi I
- Gerometria Analitica
- Fisica Generale I
- Meccanica Razionale.
In 4 modi diversi, e mi dedicai a mettere insieme definizioni
corrispondenze, differenze...
Nota che l'insegnmento della matematica all'Università (almeno Roma,
dove ci trovavmo) era incredibilmente diverso da quello di oggi.
Dico solo una cosa: a me nessuno, in tutto il corso di laurea aveva
mai nominato il concetto di "spazio vettoriale".
Tornando a noi, ti ringrazi per avermi risposto.
Se ci fossero punti specifici dove posso esserti d'aiuto, ben
volentieri.
Ma non mi chiedere di riscrivere il mio lavoro in un altro modo :)
--
Elio Fabri
> In quella dispensa, come in quella di Pangloss (sui tensori), ci
> sono molti argomenti e richiami che solo gli "addetti ai lavori"
> possono comprendere a fondo. Per chi, come me, ha poca familiarità
> con notazioni sintetiche è molto difficile seguire l'esposizione ed
> i concetti vengono compresi solo a livello intuitivo.
Ti debbo una risposta, come minimo perché hai fatto lo sforzo di dare
> sono molti argomenti e richiami che solo gli "addetti ai lavori"
> possono comprendere a fondo. Per chi, come me, ha poca familiarità
> con notazioni sintetiche è molto difficile seguire l'esposizione ed
> i concetti vengono compresi solo a livello intuitivo.
ascolto alla mia richiesta.
Però debbo anche dirti che hai forse sbagliato bersaglio :)
Mi spiego copiando quello che c'è scritto all'inizio:
"Capita spesso che studenti chiedano chiarimenti circa vettori,
tensori, distinzione tra "covariante" e "controvariante". Si tratta di
argomenti trattati nei corsi di matematica e usati abbondantemente nei
corsi di fisica, ma con un certo "scollamento" fra i due ambiti, sì
che non di rado accade che certe cose, importanti per capire, restino
non dette.
Quanto segue è una parziale risposta a tali domande. I presupposti
sono le conoscenze di un corso di geometria del biennio di fisica o
ingegneria; il destinatario tipo è qualcuno che stia cercando di
capire la relatività (ristretta) e si sia appunto imbattuto nei
termini e concetti che ho detto.
Ma forse la possibile 'audience' potrebbe essere anche più ampia..."
Ho l'impressione che tu non rientri in questa audience.
Da ciò che scrivi credo di poter dedurre che non sei uno studente, e
forse non sei neppure proprio giovane.
Potresti essere un ingegnere, difficilmente un matematico o un fisico.
Insomma, quello scritto non è stato pensato per te.
Non sto dicendo che non potrai mai capire quegli argomenti, ma penso
che ci vorrebbe qualcosa ripensato daccapo.
E purtroppo ormai non me la sento d'impegnarmi in un'impresa del
genere (ricorda che quello scritto ha 20 anni, e anche io ho 20 anni
di più...).
Non sto neppure dicendo che la cosa non m'interessa. Mi sento di
dichiarare con fermezza che sono sempre stato sensibile al problema
didattico, a tutti i livelli e oltre i miei obblighi istituzionali.
Mi sono sempre sforzato di capire perché certi gruppi di persone
trovassero difficoltà in certi argomenti, ho lavorato per superarle,
spesso in collaborazione con coloro che avevano quello come obbligo:
mi riferisco soprattutto agli insegnanti di scuola secondaria
superiore.
Ti voglio raccontare un aneddoto che risale forse al 1952 o 53: quando
mi venne assegnato per la prima volta il compito di tenere le
esercitazioni al corso di Fisica Teorica (quarto anno di Fisica).
Decisi di partire con un argomento che se fossi stato meno sensibile a
ciò che ho detto prima avrei considerato non di mia competenza: prima
di cominciare a lavorare sulla relatività, affrontai un chiarimento di
fondo sul comcetto di vettore.
Dato che ero laureato da pochissimo, sapevo bene che cosa s'insegnava
negli anni precedenti, ed esordii facendo notare ai ragazzi che
avevo di fronte che di vettori ne avevano sentito parlare in ben 4
corsi:
- Analisi I
- Gerometria Analitica
- Fisica Generale I
- Meccanica Razionale.
In 4 modi diversi, e mi dedicai a mettere insieme definizioni
corrispondenze, differenze...
Nota che l'insegnmento della matematica all'Università (almeno Roma,
dove ci trovavmo) era incredibilmente diverso da quello di oggi.
Dico solo una cosa: a me nessuno, in tutto il corso di laurea aveva
mai nominato il concetto di "spazio vettoriale".
Tornando a noi, ti ringrazi per avermi risposto.
Se ci fossero punti specifici dove posso esserti d'aiuto, ben
volentieri.
Ma non mi chiedere di riscrivere il mio lavoro in un altro modo :)
--
Elio Fabri
Gianluca
Sep 30, 2021, 11:10:08 AM9/30/21
to
Il 29/09/21 21:31, Elio Fabri ha scritto:
Rientro nella categoria della "possibile 'audience' più ampia", in
particolare nella categoria di "ingegnere diversamente giovane".
Tra l'altro ci siamo già sentiti su diversi argomenti, l'ultimo riguardo
una mia richiesta di spiegazione sui tensori. Ad alcune di quelle
domande, nel tempo, ho trovato risposta consultando materiale e leggendo
gli interventi tuoi e di altri in questo ng
>
> Mi sono sempre sforzato di capire perché certi gruppi di persone
> trovassero difficoltà in certi argomenti, ho lavorato per superarle,
> spesso in collaborazione con coloro che avevano quello come obbligo:
> mi riferisco soprattutto agli insegnanti di scuola secondaria
> superiore.
>
Anch'io ho un aneddoto da raccontare che penso possa interessarti.
Anni fa partecipai per curiosità ad un incontro sulla PNL; la cosa si
dimostrò interessante e successivamente approfondii un po' di questioni.
Secondo gli studiosi dei modelli di apprendimento ognuno di noi, seppur
diverso, utilizza mappe mentali che sono comuni a molti altri soggetti,
cosicché, alla fine, queste mappe mentali dette "canali" sono in numero
limitato e sono su tre diversi livelli.
Il primo canale utilizzato, detto di accesso, è quello che ognuno di noi
usa per filtrare in ingresso ciò che proviene dall'esterno; il secondo
canale riguarda lo schema di elaborazione e l'ultimo si utilizza nelle
relazioni e negli affetti.
Tutto il preambolo mi serve per porre l'attenzione sull'aspetto
didattico, che immagino ti interessi di più: essendo il canale di
accesso unico, per attirare l'attenzione di chi ascolta è necessario
adattare l'esposizione in modo da mantenere attivo l'interesse.
Ma come si fa, se la platea che ascolta è fatta di molti individui?
Occorre cercare di esporre gli stessi concetti fornendo diversi punti di
vista, con approcci diversi, con esempi, ecc.
Un lavoraccio.
Però non c'è alternativa: si possono ad esempio utilizzare le semplici
relazioni algebriche per dimostrare il concetto di vettore
controvariante rispetto alla base - o un qualsiasi altro argomento - ma
se la persona non ha un canale di accesso "auditivo" sarà fatica
sprecata. In questo caso un esempio potrebbe risolvere le difficoltà.
Il processo di apprendimento è come un percorso nel quale si trovano dei
muri da superare: si può cercare di buttarli giù col demolitore, ma se
il muro è di cemento armato, auguri! Magari non è il sistema migliore,
magari basta girarci attorno, oppure basta spingerlo fino a ribaltarsi.
Chi non l'ha mai sperimentato? Ad esempio, leggendo diversi interventi
sullo stesso argomento si trovano aspetti, precisazioni, esempi ecc. che
consentono di comprendere meglio.
Dallo stesso tuo intervento del 29/09 ore 20:43 ho appreso cose che mi
hanno fatto chiarezza su altri argomenti che avevo ancora aperti.
>
> Tornando a noi, ti ringrazi per avermi risposto.
> Se ci fossero punti specifici dove posso esserti d'aiuto, ben
> volentieri.
> Ma non mi chiedere di riscrivere il mio lavoro in un altro modo :)
In realtà il mio era un suggerimento per i futuri lavori...
Ho preso l'abitudine di stendere degli appunti sugli argomenti (i più
diversi) incontrati nel corso di studi o anche dopo: ci impiego giorni
per arrivare ad una presentazione accettabile, e anche dopo giorni mi
vengono in mente correzioni da apportare, quindi non ti chiederei mai un
impegno del genere!
Gianluca
> Ma forse la possibile 'audience' potrebbe essere anche più ampia..."
>
> Ho l'impressione che tu non rientri in questa audience.
> Da ciò che scrivi credo di poter dedurre che non sei uno studente, e
> forse non sei neppure proprio giovane.
Ti ringrazio per la risposta articolata.
>
> Ho l'impressione che tu non rientri in questa audience.
> Da ciò che scrivi credo di poter dedurre che non sei uno studente, e
> forse non sei neppure proprio giovane.
Rientro nella categoria della "possibile 'audience' più ampia", in
particolare nella categoria di "ingegnere diversamente giovane".
Tra l'altro ci siamo già sentiti su diversi argomenti, l'ultimo riguardo
una mia richiesta di spiegazione sui tensori. Ad alcune di quelle
domande, nel tempo, ho trovato risposta consultando materiale e leggendo
gli interventi tuoi e di altri in questo ng
>
> Mi sono sempre sforzato di capire perché certi gruppi di persone
> trovassero difficoltà in certi argomenti, ho lavorato per superarle,
> spesso in collaborazione con coloro che avevano quello come obbligo:
> mi riferisco soprattutto agli insegnanti di scuola secondaria
> superiore.
>
Anni fa partecipai per curiosità ad un incontro sulla PNL; la cosa si
dimostrò interessante e successivamente approfondii un po' di questioni.
Secondo gli studiosi dei modelli di apprendimento ognuno di noi, seppur
diverso, utilizza mappe mentali che sono comuni a molti altri soggetti,
cosicché, alla fine, queste mappe mentali dette "canali" sono in numero
limitato e sono su tre diversi livelli.
Il primo canale utilizzato, detto di accesso, è quello che ognuno di noi
usa per filtrare in ingresso ciò che proviene dall'esterno; il secondo
canale riguarda lo schema di elaborazione e l'ultimo si utilizza nelle
relazioni e negli affetti.
Tutto il preambolo mi serve per porre l'attenzione sull'aspetto
didattico, che immagino ti interessi di più: essendo il canale di
accesso unico, per attirare l'attenzione di chi ascolta è necessario
adattare l'esposizione in modo da mantenere attivo l'interesse.
Ma come si fa, se la platea che ascolta è fatta di molti individui?
Occorre cercare di esporre gli stessi concetti fornendo diversi punti di
vista, con approcci diversi, con esempi, ecc.
Un lavoraccio.
Però non c'è alternativa: si possono ad esempio utilizzare le semplici
relazioni algebriche per dimostrare il concetto di vettore
controvariante rispetto alla base - o un qualsiasi altro argomento - ma
se la persona non ha un canale di accesso "auditivo" sarà fatica
sprecata. In questo caso un esempio potrebbe risolvere le difficoltà.
Il processo di apprendimento è come un percorso nel quale si trovano dei
muri da superare: si può cercare di buttarli giù col demolitore, ma se
il muro è di cemento armato, auguri! Magari non è il sistema migliore,
magari basta girarci attorno, oppure basta spingerlo fino a ribaltarsi.
Chi non l'ha mai sperimentato? Ad esempio, leggendo diversi interventi
sullo stesso argomento si trovano aspetti, precisazioni, esempi ecc. che
consentono di comprendere meglio.
Dallo stesso tuo intervento del 29/09 ore 20:43 ho appreso cose che mi
hanno fatto chiarezza su altri argomenti che avevo ancora aperti.
>
> Tornando a noi, ti ringrazi per avermi risposto.
> Se ci fossero punti specifici dove posso esserti d'aiuto, ben
> volentieri.
> Ma non mi chiedere di riscrivere il mio lavoro in un altro modo :)
Ho preso l'abitudine di stendere degli appunti sugli argomenti (i più
diversi) incontrati nel corso di studi o anche dopo: ci impiego giorni
per arrivare ad una presentazione accettabile, e anche dopo giorni mi
vengono in mente correzioni da apportare, quindi non ti chiederei mai un
impegno del genere!
Gianluca
pcf ansiagorod
Oct 3, 2021, 4:57:27 AM10/3/21
to
Vorrei ringraziare tutti, non solo Elio Fabri, perché tutto mi
ha dato una mano in questo thread per quanto mi riguarda (nel
senso che non l'ho inaugurato io). E' bello che i newsgroup
siano ancora vitali.
Ho molto apprezzo tutti.
ha dato una mano in questo thread per quanto mi riguarda (nel
senso che non l'ho inaugurato io). E' bello che i newsgroup
siano ancora vitali.
Ho molto apprezzo tutti.
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