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Ruggine su metodi di riduzione degli integrali e sequenze ricorsive.
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Tetis
May 22, 2012, 11:40:45 AM5/22/12
to
Sono molto arruginito probabilmente.
Discutendo su un thread di fisica come si distribuisce la carica elettrica su un conduttore toroidale siamo giunti ad un problema parziale che è quello di calcolare degli integrali di tipo ellittico.
Leggo su un libro che data una funzione razionale Q ed un polinomio di terzo o quarto grado S(x) l'integrale della funzione Q(x,sqrt(S(x))) può essere ridotto alla combinazione lineare di integrali che conducono a funzioni elementari ed agli integrali delle seguenti tre funzioni:
1/sqrt[(1-x^2)(1-(kx)^2)]
sqrt[(1-(kx)^2)/(1-x^2)]
1/[(1+nx^2)sqrt((1-x^2)(1-(kx)^2))]
chiamati rispettivamente integrali ellittici di primo secondo e terzo tipo nella forma normale di Legendre. Non vengono però forniti ulteriori dettagli, come si trattasse di un'ovvietà e forse lo è, perché ripeto mi sembra di avvertire un poco di ruggine.
A me in particolare interessava un caso particolare ben preciso, quello degli integrali definiti di funzioni di questo tipo:
x^n /sqrt[(1-x^2)(a-x^2)] con a>1
sull'intervallo (-1,1).
Per n dispari, questo si riduce ad un integrale abeliano classico ed ho funzioni elementari, ma per di più nel caso in specie posso dire che per n dispari l'integrale è nullo.
Per n pari invece dovrebbe essere essenzialmente ellittico. L'idea è di impostare una ricorsione utilizzando il metodo di integrazione per parti, magari funziona anche nel caso generale, ma non sono abbastanza lubrificato da esserne certo.
Comunque nel mio caso funziona così: completo il numeratore in modo da avere una espressione della forma:
f x^(n-3) S'(x)/(2 sqrt(S(x)))
integrando per parti ottengo in pratica la ricorsione seguente:
F(n) = (a+1)/2 F(n-2) - Int_{-1}^1 [(n-3)x^(n-4) * sqrt(S(x))] dx = (a+1)/2 F(n-2) -(n-3){ F(n-4) - (a+1) F(n-2) + a F(n-4) }
dove ho usato la circostanza che S(-1) = S(1) = 0 ed ho riscritto sqrt(S(x)) come S(x)/sqrt(S(x))
Ora il problema è come sommare la ricorsione:
(1+a (n-3)) F(n) = [(a+1)(1/2+(n-3)] F(n-2) - (n-3) F(n-4)?
qualche idea?
Discutendo su un thread di fisica come si distribuisce la carica elettrica su un conduttore toroidale siamo giunti ad un problema parziale che è quello di calcolare degli integrali di tipo ellittico.
Leggo su un libro che data una funzione razionale Q ed un polinomio di terzo o quarto grado S(x) l'integrale della funzione Q(x,sqrt(S(x))) può essere ridotto alla combinazione lineare di integrali che conducono a funzioni elementari ed agli integrali delle seguenti tre funzioni:
1/sqrt[(1-x^2)(1-(kx)^2)]
sqrt[(1-(kx)^2)/(1-x^2)]
1/[(1+nx^2)sqrt((1-x^2)(1-(kx)^2))]
chiamati rispettivamente integrali ellittici di primo secondo e terzo tipo nella forma normale di Legendre. Non vengono però forniti ulteriori dettagli, come si trattasse di un'ovvietà e forse lo è, perché ripeto mi sembra di avvertire un poco di ruggine.
A me in particolare interessava un caso particolare ben preciso, quello degli integrali definiti di funzioni di questo tipo:
x^n /sqrt[(1-x^2)(a-x^2)] con a>1
sull'intervallo (-1,1).
Per n dispari, questo si riduce ad un integrale abeliano classico ed ho funzioni elementari, ma per di più nel caso in specie posso dire che per n dispari l'integrale è nullo.
Per n pari invece dovrebbe essere essenzialmente ellittico. L'idea è di impostare una ricorsione utilizzando il metodo di integrazione per parti, magari funziona anche nel caso generale, ma non sono abbastanza lubrificato da esserne certo.
Comunque nel mio caso funziona così: completo il numeratore in modo da avere una espressione della forma:
f x^(n-3) S'(x)/(2 sqrt(S(x)))
integrando per parti ottengo in pratica la ricorsione seguente:
F(n) = (a+1)/2 F(n-2) - Int_{-1}^1 [(n-3)x^(n-4) * sqrt(S(x))] dx = (a+1)/2 F(n-2) -(n-3){ F(n-4) - (a+1) F(n-2) + a F(n-4) }
dove ho usato la circostanza che S(-1) = S(1) = 0 ed ho riscritto sqrt(S(x)) come S(x)/sqrt(S(x))
Ora il problema è come sommare la ricorsione:
(1+a (n-3)) F(n) = [(a+1)(1/2+(n-3)] F(n-2) - (n-3) F(n-4)?
qualche idea?
padree...@yahoo.it
May 22, 2012, 11:57:06 AM5/22/12
to
Il giorno martedì 22 maggio 2012 17:40:45 UTC+2, Tetis ha scritto:
> Sono molto arruginito probabilmente.
>
> Discutendo su un thread di fisica come si distribuisce la carica elettrica su un conduttore toroidale siamo giunti ad un problema parziale che è quello di calcolare degli integrali di tipo ellittico.
>
Anche in questo caso il teorema di gauss vale:)
> Sono molto arruginito probabilmente.
>
> Discutendo su un thread di fisica come si distribuisce la carica elettrica su un conduttore toroidale siamo giunti ad un problema parziale che è quello di calcolare degli integrali di tipo ellittico.
>
Se non sbaglio è nel libro di Mencuccini Silvestrini secondo volume che fa vedere una dimostrazione del genere.
Però la faccenda sul toro rimase irrisolta ed anche l'intervento di Elio non ci aiutò a sistemare la situazione che si venne a creare.
Josh
May 23, 2012, 5:43:46 AM5/23/12
to
Tetis
May 23, 2012, 1:18:15 PM5/23/12
to
Il giorno mercoledì 23 maggio 2012 11:43:46 UTC+2, Josh ha scritto:
> > qualche idea?
>
> http://mathworld.wolfram.com/EllipticIntegral.html
Grazie per l'attenzione, parzialmente d'aiuto questo link, pure se contiene dei piccoli refusi. In primo luogo la formula 6 e 7 implicano che Q1 non dipende da w e quindi si può scrivere Q1(x) mentre nella formula 11 viene scritto al contrario Q1(w). Superato questo piccolo "incidente" di percorso la parte seguente, fino alla formula 52, permette di ridursi al caso standard, di questo avevo un'idea abbastanza intuitiva, ma non avevo visto alcuna discussione tanto dettagliata.
Purtroppo la parte che mi è meno chiara è la parte su cui quella pagina si limita appena ad un accenno. Dopo la formula 52 dice solo che con il metodo di integrazione per parti la parte pari può essere ridotta ad integrali ellittici in forma normale di Legendre, pure se non dettaglia il procedimento penso che sia più o meno sulla base della ricorsione a cui sono giunto in apertura di questo thread.
Purtroppo è questo il punto che mi risulta più necessario, cioè la determinazione esatta della espressione in termini degli integrali ellittici elementari dell'integrale di funzioni del tipo:
x^n/sqrt[(1-x^2)(a-x)]
questa si riduce con semplice sostituzione z = 1/x ad integrali quartici da trattare con il metodo descritto fra formula 12 e formula 59. Ma una volta fatto questo quali sono gli integrali ellittici a cui si riduce il risultato? Li si ottiene integrando per parti, d'accordo, ma quantitativamente?
> > qualche idea?
>
> http://mathworld.wolfram.com/EllipticIntegral.html
Grazie per l'attenzione, parzialmente d'aiuto questo link, pure se contiene dei piccoli refusi. In primo luogo la formula 6 e 7 implicano che Q1 non dipende da w e quindi si può scrivere Q1(x) mentre nella formula 11 viene scritto al contrario Q1(w). Superato questo piccolo "incidente" di percorso la parte seguente, fino alla formula 52, permette di ridursi al caso standard, di questo avevo un'idea abbastanza intuitiva, ma non avevo visto alcuna discussione tanto dettagliata.
Purtroppo la parte che mi è meno chiara è la parte su cui quella pagina si limita appena ad un accenno. Dopo la formula 52 dice solo che con il metodo di integrazione per parti la parte pari può essere ridotta ad integrali ellittici in forma normale di Legendre, pure se non dettaglia il procedimento penso che sia più o meno sulla base della ricorsione a cui sono giunto in apertura di questo thread.
Purtroppo è questo il punto che mi risulta più necessario, cioè la determinazione esatta della espressione in termini degli integrali ellittici elementari dell'integrale di funzioni del tipo:
x^n/sqrt[(1-x^2)(a-x)]
questa si riduce con semplice sostituzione z = 1/x ad integrali quartici da trattare con il metodo descritto fra formula 12 e formula 59. Ma una volta fatto questo quali sono gli integrali ellittici a cui si riduce il risultato? Li si ottiene integrando per parti, d'accordo, ma quantitativamente?
Josh
May 24, 2012, 1:18:12 PM5/24/12
to
Il 23/05/2012 19:18, Tetis ha scritto:
>
> Purtroppo la parte che mi č meno chiara č la parte su cui quella pagina si limita appena ad un accenno. Dopo la formula 52 dice solo che con il metodo di integrazione per parti la parte pari puň essere ridotta ad integrali ellittici in forma normale di Legendre, pure se non dettaglia il procedimento penso che sia piů o meno sulla base della ricorsione a cui sono giunto in apertura di questo thread.
>
> Purtroppo č questo il punto che mi risulta piů necessario, cioč la determinazione esatta della espressione in termini degli integrali ellittici elementari dell'integrale di funzioni del tipo:
non so quasi niente su gli integrali ellittici, ma mi interessano.
Ho trovato questo:
http://apps.nrbook.com/bateman/Vol2.pdf
Ciao, Josh.
> Il giorno mercoledě 23 maggio 2012 11:43:46 UTC+2, Josh ha scritto:
>
>>> qualche idea?
>>
>> http://mathworld.wolfram.com/EllipticIntegral.html
>
> Grazie per l'attenzione, parzialmente d'aiuto questo link, pure se contiene dei piccoli refusi. In primo luogo la formula 6 e 7 implicano che Q1 non dipende da w e quindi si puň scrivere Q1(x) mentre nella formula 11 viene scritto al contrario Q1(w). Superato questo piccolo "incidente" di percorso la parte seguente, fino alla formula 52, permette di ridursi al caso standard, di questo avevo un'idea abbastanza intuitiva, ma non avevo visto alcuna discussione tanto dettagliata.
>
>>> qualche idea?
>>
>> http://mathworld.wolfram.com/EllipticIntegral.html
>
>
> Purtroppo la parte che mi č meno chiara č la parte su cui quella pagina si limita appena ad un accenno. Dopo la formula 52 dice solo che con il metodo di integrazione per parti la parte pari puň essere ridotta ad integrali ellittici in forma normale di Legendre, pure se non dettaglia il procedimento penso che sia piů o meno sulla base della ricorsione a cui sono giunto in apertura di questo thread.
>
> Purtroppo č questo il punto che mi risulta piů necessario, cioč la determinazione esatta della espressione in termini degli integrali ellittici elementari dell'integrale di funzioni del tipo:
>
> x^n/sqrt[(1-x^2)(a-x)]
>
> questa si riduce con semplice sostituzione z = 1/x ad integrali quartici da trattare con il metodo descritto fra formula 12 e formula 59. Ma una volta fatto questo quali sono gli integrali ellittici a cui si riduce il risultato? Li si ottiene integrando per parti, d'accordo, ma quantitativamente?
Ciao Tetis,
> x^n/sqrt[(1-x^2)(a-x)]
>
> questa si riduce con semplice sostituzione z = 1/x ad integrali quartici da trattare con il metodo descritto fra formula 12 e formula 59. Ma una volta fatto questo quali sono gli integrali ellittici a cui si riduce il risultato? Li si ottiene integrando per parti, d'accordo, ma quantitativamente?
non so quasi niente su gli integrali ellittici, ma mi interessano.
Ho trovato questo:
http://apps.nrbook.com/bateman/Vol2.pdf
Ciao, Josh.
Tetis
May 24, 2012, 1:59:21 PM5/24/12
to
Dopo dura riflessione, Josh ha scritto :
delle funzioni speciali della prima metà del secolo scorso. Le
equazioni che fanno al caso mio sono i sistemi 11 e 12 dopo pagina
298. Sono tabulati, ma purtroppo non c'è accenno al modo di risolverli.
Un altro aspetto che riguarda il problema in oggetto è la
generalizzazione delle equazioni 5 e 6 di pagina 318 al caso di
integrali ellitici completi derivanti dalle forme incomplete J_n. Anche
questo, purtroppo, non è trattato in esteso.
> Il 23/05/2012 19:18, Tetis ha scritto:
>> Il giorno mercoledì 23 maggio 2012 11:43:46 UTC+2, Josh ha scritto:
>>
>>>> qualche idea?
>>>
>>> http://mathworld.wolfram.com/EllipticIntegral.html
>>
>> Grazie per l'attenzione, parzialmente d'aiuto questo link, pure se contiene
>> dei piccoli refusi. In primo luogo la formula 6 e 7 implicano che Q1 non
>> dipende da w e quindi si può scrivere Q1(x) mentre nella formula 11 viene
>>
>>>> qualche idea?
>>>
>>> http://mathworld.wolfram.com/EllipticIntegral.html
>>
>> Grazie per l'attenzione, parzialmente d'aiuto questo link, pure se contiene
>> dei piccoli refusi. In primo luogo la formula 6 e 7 implicano che Q1 non
>> scritto al contrario Q1(w). Superato questo piccolo "incidente" di percorso
>> la parte seguente, fino alla formula 52, permette di ridursi al caso
>> standard, di questo avevo un'idea abbastanza intuitiva, ma non avevo visto
>> alcuna discussione tanto dettagliata.
>>
>> Purtroppo la parte che mi è meno chiara è la parte su cui quella pagina si
>> la parte seguente, fino alla formula 52, permette di ridursi al caso
>> standard, di questo avevo un'idea abbastanza intuitiva, ma non avevo visto
>> alcuna discussione tanto dettagliata.
>>
>> limita appena ad un accenno. Dopo la formula 52 dice solo che con il metodo
>> di integrazione per parti la parte pari può essere ridotta ad integrali
>> ellittici in forma normale di Legendre, pure se non dettaglia il
>> procedimento penso che sia più o meno sulla base della ricorsione a cui
>> sono giunto in apertura di questo thread.
>>
>> Purtroppo è questo il punto che mi risulta più necessario, cioè la
>>
>> determinazione esatta della espressione in termini degli integrali
>> ellittici elementari dell'integrale di funzioni del tipo:
>>
>> x^n/sqrt[(1-x^2)(a-x)]
>>
>> questa si riduce con semplice sostituzione z = 1/x ad integrali quartici
>> da trattare con il metodo descritto fra formula 12 e formula 59. Ma una
>> volta fatto questo quali sono gli integrali ellittici a cui si riduce il
>> risultato? Li si ottiene integrando per parti, d'accordo, ma
>> quantitativamente?
>
> Ciao Tetis,
>
> non so quasi niente su gli integrali ellittici, ma mi interessano.
> Ho trovato questo:
> http://apps.nrbook.com/bateman/Vol2.pdf
>
> Ciao, Josh.
Grazie, molto buono questo volume, con nomi di primo piano nella teoria
>> ellittici elementari dell'integrale di funzioni del tipo:
>>
>> x^n/sqrt[(1-x^2)(a-x)]
>>
>> questa si riduce con semplice sostituzione z = 1/x ad integrali quartici
>> da trattare con il metodo descritto fra formula 12 e formula 59. Ma una
>> volta fatto questo quali sono gli integrali ellittici a cui si riduce il
>> risultato? Li si ottiene integrando per parti, d'accordo, ma
>> quantitativamente?
>
> Ciao Tetis,
>
> non so quasi niente su gli integrali ellittici, ma mi interessano.
> Ho trovato questo:
> http://apps.nrbook.com/bateman/Vol2.pdf
>
> Ciao, Josh.
delle funzioni speciali della prima metà del secolo scorso. Le
equazioni che fanno al caso mio sono i sistemi 11 e 12 dopo pagina
298. Sono tabulati, ma purtroppo non c'è accenno al modo di risolverli.
Un altro aspetto che riguarda il problema in oggetto è la
generalizzazione delle equazioni 5 e 6 di pagina 318 al caso di
integrali ellitici completi derivanti dalle forme incomplete J_n. Anche
questo, purtroppo, non è trattato in esteso.
KARMAN
Jun 4, 2012, 2:31:03 AM6/4/12
to
"Tetis" <lje...@yahoo.it> ha scritto nel messaggio
news:e9828823-0377-43b8...@googlegroups.com...
> Sono molto arruginito probabilmente.
>
> Discutendo su un thread di fisica come si distribuisce la carica elettrica
> su un conduttore toroidale siamo giunti ad un problema parziale che è
> quello di calcolare degli integrali di tipo ellittico.
Secondo me, piu che le pippe mentali, anche se matematiche , io fossi in te,
>
> Discutendo su un thread di fisica come si distribuisce la carica elettrica
> su un conduttore toroidale siamo giunti ad un problema parziale che è
> quello di calcolare degli integrali di tipo ellittico.
cercherei, (dato che mi mi occupo anche di antigravita) di usare le mie
teorie per creare dei flussi invertiti nell'ambito dei Gravitoni( oltre alla
Medicina conosco la Fisica, e la Relativita') che abbiano applicazioni
pratiche.Avendo fatto esperienze di Ufos, ho notato che variando una barra
centrale all'interno dell'aeromobile, essi possono star fermi nell'aria,
invertire la direzione ad angolo retto, cadere a foglia morta senza che
l'inerzia arrechi nessun danno ai componenti del mezzo che lo controllano.
Che gli integrali siano di tipo ellittico o meno, serve a nulla se essi non
portano ad applicazioni pratiche!
Un cane che giri e rigiri su se stesso cercando di mordersi la coda, fa solo
ridere.
Come mi fan ridere le disquisizioni sui coni gelati e magari al pistacchio.
Provate a ripetere l'esperimento Filadelfia (non e un formaggio..)se
realmente avete i coglioni!
Karman
(mi son permesso di venire su It. Scienza matematica, perche qulcuno, che
posta qui, viene a rompere con la Tunze (mi ricorda Mao.) su It,cultura
religioni, dove si parla di ben altro che di matematicae dove scrivo da una
vita!Ma io la Fisica la mastico,
cosi come masticol'Elettronica, l'Astronomia, e mille altre cosette!(
Dimenticavo:Perche' la Tunze non la aplicano allo sviluppo dei profili alari
di un B 77?
Poiche volo da 15 anni, (anche se virtualmente) mi piacerebbe sapere come
con la medesima si calcoli la portanza, o possa essere adeguata per gestire
un autopilota anche in caso
di atterraggio con nebbia, gelo o vento al traverso.)
Byez..
karman
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