Introduzione elementare ai concetti di ricoprimento e di compattezza di un insieme
Arcobaleno
Introduzione elementare ai concetti di ricoprimento e di compattezza
di un insieme
Qui di seguito propongo una breve spiegazione di cosa è un
ricoprimento. Inoltre propongo nel seguito un chiarimento su cosa è la
compattezza da un punto di vista elementare.
Prima di procedere ringrazio Enrico, Tetis, Manu, Lordbeotian,
Giovanni che mi hanno dato preziosi consigli, spiegazioni e mi hanno
dato uno stimolo ulteriore per approfondire questa tematica tanto
interessante.
Spero ovviamente in vostri interventi, in modo che il tutto possa
essere corretto, ampliato, integrato da osservazioni, commenti ecc
ecc.
Spero che non sia fonte di litigi, di insulti e cose del genere.
Infondo siamo tutti qui per parlare di matematica perché a varii
livelli tutti noi ne siamo appassionati.
RICOPRIMENTI
Definizione. Siano A un insieme qualunque e F = [ A_i] una famiglia di
insiemi. Diciamo che F ricopre A, quando l'unione degli insiemi A_i
della famiglia include A.
ESEMPIO DI RICOPRIMENTO DI UN INSIEME CHIUSO E LIMITATO
[4, 7] è un intervallo su R(insieme) chiuso e limitato.
Questo intervallo può essere ricoperto dall'unione di due insiemi
aperti, e cioè:
(2, 6) U (5, 9) = (2 , 9 )
(2, 6 ) può essere ricoperto da (2 , 5 ) U ( 3, 6 ) = (2, 6)
ATTENZIONE! Stiamo parlando SOLO di ricoprimenti.
ESEMPIO DI RICOPRIMENTO DI UN INSIEME APERTO
(4, 7 ) è un intervallo aperto.
(2, 6 ) U ( 5, 9 ) = (2, 9) NON ricopre (4, 7) perché sia il 4 che il
7 NON appartengono all'intervallo dato (4, 7). Mentre appartengono
all 'intervallo e quindi non possono essere ricoperti dall'unione (2,
6) U (5, 9).
Questo perché come da definizione F ricopre A, quando l'unione degli
insiemi A_i della famiglia INCLUDE A.
Ma come visto (2, 6 U ( 5, 9) NON include A, perché ad A NON
appartengono i numeri 4 e 7, visto che si tratta di punti di frontiera
di un insieme aperto.
Tuttavia è possibile ricoprire (4, 7) con (4, 6 ) U ( 5, 7).
ATTENZIONE si parla UNICAMENTE di ricoprimento e NON di compattezza.
In questo caso 4 e 7 NON appartengono né all'intervallo (4, 7) né
all'unione dei due intervalli ( 4, 6 ) U ( 5, 7 ), quindi questa
unione ricopre A.
COMPATTEZZA
Definizione. Un sottoinsieme A si dice compatto quando OGNI
ricoprimento di A costituito da aperti ha una sottofamiglia
(sottoclasse) FINITA che è ancora un ricoprimento di A.
Esempi di insiemi(intervalli) compatti.
[ 4, 7] viene ricoperto da (2, 6 ) U ( 5, 9) = (2, 9)
[ 4, 7] viene ricoperto anche da ( 3, 6) U ( 5, 8 ) = (3, 8 ).
Come si nota è possibile ottenere una sottofamiglia finita che ricopre
ancora [4, 7] data dall'unione di DUE(numero di insiemi finito)
intervalli.
Questo quindi significa avere la possibilità di avere unioni composte
da un numero FINITO di elementi che ancora ricoprono A.
(2, 6 ) viene ricoperto da ( (2 , 4 ) U (3, 6 ) Ma anche (2, 4) può
essere ricoperto da (1, 3) U ( (2, 4).
Quindi si nota che OGNI ricoprimento di A è costituito da aperti che
sono in numero finito e fanno parte di ogni sottofamiglia di A. In
questo modo come si nota ogni sottofamiglia FINITA riesce ancora a
ricoprire A.
Ovvero...... [ 4, 7] è ricoperto da ( 3, 6 ) U (5.5 , 8 ) che è a sua
volta ricoperto da (2, 4) U (3, 5.5) U (5, 8)
Quindi ecco ancora un'altra sottofamiglia che ricopre ancora A che si
ottiene ricoprendo ogni elemento della sottofamiglia precedente e
cioè (1, 3) U ( 2, 4) U ( 3, 5.5) U (5, 8).
Come si vede è possibile scomporre OGNI elemento della sottofamiglia
(cioè ogni intervallo che la compone) i cui elementi se UNITI daranno
ancora un ricoprimento di [4, 7].
ESEMPI DI INSIEMI(intervalli) NON compatti.
(4, 7 ) NON è ricoperto da (2, 6) U (5, 9) perché in questa unione di
due intervalli sono presenti sia il 4 che il 7 che ovviamente come si
nota non fanno parte dell'insieme aperto (4, 7).
Ma questo intervallo può anche essere ricoperto da F = [F_n = 7 / n +
2 , 7/n n € N ].
In questo modo è possibile ricoprire A = (4, 7).
Però NON esiste una sottofamiglia finita la cui unione contenga
includa ancora A.
Per facilitare, proviamo con l'intervallo (0, 1) ed ecco che F = [ F_n
= ( 1 / n +2 , 1/ n ) ].
Quindi A è INCLUSO in ( 1/3, 1 U ( 1/4 , 1/2) U (1/ 5 , 1/3 ) U ...
Questa sottofamiglia contiene come si può notare INFINITI elementi
(intervalli) che RICOPRONO (0, 1). Secondo la definizione di
compattezza, ecco che questa unione di infiniti intervalli NON è
compatta pur se ricopre A.
CONCLUSIONE
Questa definizione di compattezza è un metodo che porta ad
identificare insiemi compatti ed insiemi non compatti. La definizione
(metodo) si ispira all'esigenza di poter identificare un intervallo
aperto e differenziarlo da uno chiuso.
In questo modo si ottiene una ASTRAZUIBE con relativa generalizzazione
del teorema di Weierstrass applicabile però all'analisi funzionale
(spazi normati ecc).
In questo caso per noi un insieme compatto deve essere un insieme
chiuso e limitato. E questo è tale se è possibile trovare un
ricoprimento costituito da aperti tale che una sottofamiglia FINITA è
ancora un ricoprimento dell'insieme(intervallo).
Con questo metodo(definizione) è possibile identificare SOLO
intervalli chiusi e limitati.
Invece l'intervallo aperto NON è compatto, e cioè NON può essere
ricoperto da una sottofamiglia FINITA. Se si riesce a trovare un
ricoprimento, questo, come mostrato, sarà sempre costituito da
infiniti elementi che uniti daranno la copertura dell'insieme aperto.
Questo metodo quindi ha ispirato la definizione di compattezza che
così diventa uno strumento più potente ed applicabile ad altri ambiti
dell'analisi matematica.
Grazie a tutti per la gentile attenzione
A.
radicale
> Grazie a tutti per la gentile attenzione0.
Si ...
Ma queste cose stanno gia' sui libri. Dove' il
valore aggiunto ?
?manu*
> (2, 9) NON ricopre (4, 7)
Certo che lo ricopre! (4,7) � un sottoinsieme di (2,9).
E.
Arcobaleno
> Arcobaleno ha scritto:
>
> > (2, 9) NON ricopre (4, 7)
>
>
> E.
>
Ciao Manu,
ho scritto tutto di getto, poi inviato, e mentre scrivevo la febbre
aumentava, Mi sono accorto dell'errore così grossolano ma non ce la
facevo più e la tachipirina non faceva effetto e solo ora dopo una
nottataccia arrivo qui e noto sta cosa tanto grossolana quanto strana.
Evidentemente la frebbre fa brutti scherzi. Ci pensavo di continuo e
a come sia potuto accadere.
Forse ero talmente preso dalla voglia di trovare una netta differenza
su come si ricopre un aperto e un chiuso che la mente mi ha spinto
all'errore: come a dire trova sta differenza, molla e va a letto che
sono stanca........
Questi errori mi fanno rabbia, molta rabbia e l'unico motivo è quello
di analizzarne motivi inconsci.
Mi farebbe piacere se tu dessi un'occhiata al resto, alla
presentazione generale.
A tuo parere anche se in modo elementare ho resto l'idea, ho c'entrato
un po' l'obiettivo nel dare i rudimenti di cosa è un ricoprimento, la
compattezza oppure la cosa è tutta sbagliata?
Tu come l'avresti buttata giù?
Ciao e grazie
A.
Arcobaleno
Ciao,
il valore che ho aggiunto è quell'errore grossolano di cui spiegavo a
Manu.
Cmq i libri giustamente sono più formali, io per quanto possibile
cerco di metterla terra terra. E poi mica l'ho scritto per metterlo on
line e farlo leggere agli studenti. L'ho scritto per vedere se ho
capito questi concetti alla base, in profondità.
Era ed è questo il mio interesse. Come sai, quando ti comincia a
girare per la testa una cosa di matematica poi diventa un'ossessione
fino a quando non la sviluppi in qualche modo.
Io ste ossessioni le ho, me ne vado a letto e ci penso per ore.
Capita anche a te qualcosa del genere?
Ciao
A.
?manu*
> A tuo parere anche se in modo elementare ho resto l'idea, ho c'entrato
> compattezza oppure la cosa � tutta sbagliata?
Leggendo quello che hai scritto ho avuto l'impressione che tu non abbia
capito cos'� un sottoricoprimento. Un ricoprimento � un insieme i cui
elementi sono insiemi. Ad esempio:
{[0,1), (0,0.5), (0.2,1]}
� un ricoprimento aperto di [0,1]. Un suo sottoricoprimento potrebbe essere
{[0,1),(0.2,1]}
ma non certo
{[0,2),(2,1]}
come mi sembra tu intendevi in quel messaggio.
Nota poi che la compattezza � una propriet� intrinseca di uno spazio
topologico, quindi � un po' fuorviante prendere nei ricoprimenti degli
insiemi che non sono completamente inclusi in esso.
E.
sempre_radicale
> Ciao,
Ciao :-)
>il valore che ho aggiunto è quell'errore grossolano di >cui spiegavo a Manu.
Capito.
>Cmq i libri giustamente sono più formali, io per quanto >possibile cerco di metterla terra terra. E poi mica l'ho >scritto per metterlo on line e farlo leggere agli >studenti. L'ho scritto per vedere se ho
>capito questi concetti alla base, in profondità.
Capito.
>Era ed è questo il mio interesse. Come sai, quando ti >comincia a girare per la testa una cosa di matematica
>poi diventa un'ossessione fino a quando non la sviluppi >in qualche modo.
E si.
>Io ste ossessioni le ho, me ne vado a letto e ci penso >per ore.
>Capita anche a te qualcosa del genere?
SIIIII ! Sempre ! :-)
Arcobaleno
>
>
> Leggendo quello che hai scritto ho avuto l'impressione che tu non abbia
> elementi sono insiemi. Ad esempio:
>
> {[0,1), (0,0.5), (0.2,1]}
>
>
> {[0,1),(0.2,1]}
>
> ma non certo
>
> {[0,2),(2,1]}
>
> come mi sembra tu intendevi in quel messaggio.
>
Capito, grazie:)
Quindi dalla famiglia che ricopre l'insieme noi possiamo estrarre n
elementi(insiemi che compongono la famiglia) e continuare ad avere un
ricoprimento dell'insieme, tale ricoprimento essendo incluso nella
famiglia lo chiamiamo sottofamiglia.
Così come da un insieme possiamo estrarre degli elementi e otteniamo
un sottoinsieme, dalla famiglia possiamo estrarre degli elementi ed
abbiamo una sottofamiglia.
I libri di analisi questo non lo spiegano bene comunque. Almeno quelli
che ho letto io.
>
> Nota poi che la compattezza è una proprietà intrinseca di uno spazio
> topologico, quindi è un po' fuorviante prendere nei ricoprimenti degli
> insiemi che non sono completamente inclusi in esso.
>
>
Quando dici "insiemi che non sono completamente inclusi in esso,
intendi quei ricoprimenti che contengono anche PARTE del complementare
dell'insieme da ricoprire?
Per es.
(0 , 1) lo ricopro con (0, 1/2 ) U (1/ 3 , 1 ) e questo sarebbe se
ho capito bene un ricoprimento composto da due insiemi completamente
inclusi in (0, 1 ).
Invece se prendo (-1 , 1/2 ) U ( 1/ 4 , 3) si tratta di un
ricoprimento che non è completamente incluso.
Ho capito?
Cosa devo intendere quando dici che la compattezza è una proprietà
intrinseca di uno spazio topologico? Cioè devo intendere che lo spazio
topologico è tale proprio perché compatto?
Puoi per favore chiarire questo punto?
Ciao
A.
?manu*
> Quando dici "insiemi che non sono completamente inclusi in esso,
> intendi quei ricoprimenti che contengono anche PARTE del complementare
> dell'insieme da ricoprire?
S�.
> Cosa devo intendere quando dici che la compattezza � una propriet�
> intrinseca di uno spazio topologico?
Che la compattezza di un insieme dipende solo dalla topologia
dell'insieme e non da quella dell'eventuale spazio in cui vive.
Cosa diversa � la propriet� di essere aperto o chiuso, che � relativa
allo spazio ambiente.
E.
Arcobaleno
>
>
> Che la compattezza di un insieme dipende solo dalla topologia
> dell'insieme e non da quella dell'eventuale spazio in cui vive.
>
Qui devo intendere la topologia indotta dalla metrica e basta?
Per favore puoi fare degli esempi di topologie e di spazi in cui
queste vivono?
>
> Cosa diversa è la proprietà di essere aperto o chiuso, che è relativa
> allo spazio ambiente.
>
Qui capisco per es. che lo spazio ambiente potrebbe essere R. Ma la
topologia non è qualcosa che riferiamo ad R stesso? Oppure devo
pensare a quella indotta dalla metrica? Oppure devo pensare agli
assiomi che denotano la topologia che vado a considerare?
Mi sembra, correggimi se sbaglio, che questo sia un passo ulteriore
che poi ci porta a dire quando una topologia è più fine e meno fine
ecc.
Ciao
A.
?manu*
> Per favore puoi fare degli esempi di topologie e di spazi in cui
> queste vivono?
Voglio dire che l'intervallo [0,1] pu� essere aperto o chiuso a seconda
dello spazio ambiente in cui lo metti. Se ad esempio consideri [0,1] in
R, allora � chiuso e non � aperto. Se lo consideri come sottoinsieme di
[0,1] allora � aperto e chiuso. Ma in ogni caso [0,1], con la topologia
indotta dal suo spazio ambiente, � compatto. Di solito la definizione di
compattezza si d� quindi per lo spazio topologico intero, non per i suoi
sottoinsiemi. Dunque i ricoprimenti devono essere formati da sottoinsiemi.
Comunque queste sono nozioni di base di topologia, � difficile per me
darti delle spiegazioni esaurienti in poche righe.
E.
Arcobaleno
>
>
> Comunque queste sono nozioni di base di topologia, è difficile per me
> darti delle spiegazioni esaurienti in poche righe.
>
Hai fatto TANTISSIMO Manu:)) Anche in poche righe per ogni post ho
imparato qualcosa che spesso sui manuali non si capiscono bene. In
questi giorni non sono uscito di casa per andare in biblioteca ed ecco
che ho chiesto maggiormente a voi.
Mi piacerebbe poter ricambiare in qualche modo. Magari hai bisogno di
sapere qualcosa riguardo a qualche libro che non hai tempo di poter
vedere in biblioteca o altro. Non esitare a chiedere, se mi è
possibile sarò davvero contento di poter ricambiare:))
Magari qualche curiosità su qualche prefazione, indice, e cose del
genere. A me piace molto consultare i libri, quindi non sarebbe un
problema e posso consultare in dipartimento di matematica o anche di
fisica.
Te lo propongo perché tempo fa tu volevi scrivere un libro on line
insieme ad altri. Come è andata poi? Hai ancora idee a riguardo?
Sarebbe davvero una cosa molto bella!!
Ciao
A.
?manu*
> Te lo propongo perch� tempo fa tu volevi scrivere un libro on line
> insieme ad altri. Come � andata poi? Hai ancora idee a riguardo?
> Sarebbe davvero una cosa molto bella!!
Qualche idea ce l'ho, ma la cosa � naufragata. Chiss�, magari in futuro...
E.