Tensori sferici e Wigner-Eckart
Adriano Amaricci
non che non li abbia studiati ma sembrano non volermi entrare in testa,
forse per colpa del libro....
grazie mille, saluti, Adriano
Gianmarco
e ringrazio chi riuscisse a rendermi semplice il teorema in oggetto.
Gianmarco
_____________________________
Posted from IP 192.167.204.128
via Studenti.it Gateway
http://www.studenti.it
Mirco Cantoro
On Fri, 29 Jun 2001, Gianmarco wrote:
> Mi associo a questa difficoltà
> e ringrazio chi riuscisse a rendermi semplice il teorema in oggetto.
>
leggi il Sakurai (Modern Quantum Mechanics) ed avrai le idee completamente
chiare. Garantito. Se non lo sara'.. chiama GL!!
Adriano Amaricci
Mirco Cantoro ha scritto nel messaggio ...
leggi il Sakurai (Modern Quantum Mechanics) ed avrai le idee completamente
chiare. Garantito. Se non lo sara'.. chiama GL!!
ciao, ehm ehm. E' proprio perchè il sakurai mi sembra un attimo incompleto
che chiedo qui........GL: se mi sa rispondere....
saluti, Adriano
Valter Moretti
Ciao, dovresti dare un'occhiata al cap XI del Caldirola...anche se
secondo me non e` chiaro nemmeno su quel libro.
In ogni caso la questione e` un po` un casino se non sei pratico
di rappresentazioni du SU(2).
In pratica si usa un isomorfismo tra un sottospazio invariante ed
irriducibile dello spazio di spinori su cui agisce la rappresentazione
SU(2) tensor (SU(2) coniugato) e lo spazio dei vettori reali in 3
dimensioni. Quindi puoi pensare i vettori reali in 3 D come spinori
dello spazio irriducibile detto: in pratica sono gli spinori
a due indici (uno normale e l'altro coniugato) hermitiani a traccia
nulla. Forse sai che tale sottospazio di spinori e` quello che
rappresenta i vettori di spin per le particelle a spin 1.
L'isomorfismo di cui sopra e` tale che se fai agire sullo spinore S
corrispondente al vettore V, una trasformazione di
SU(2) tensor (SU(2) coniugato), allora sul vettore V agisce una
rotazione di SO(3) (quella ottenuta dalla proiezione naturale di
SU(2) su SO(3).
L'azione di SU(2) tensor (SU(2) coniugato) sugli spinori detti
e` quella che corrisponde alla rappresentazione delle rotazioni
sugli stati di spin 1 sulla base |-1>, |0>, |1>.
In definitiva, un vettore reale a tre dimensioni e` isomorfo
ad uno spinore che rappresenta stati di spin di una particella
a spin 1, in modo tale che quando ruoti il vettore, lo spinore
"ruota" con la corrispondente rappresentazione irriducibile di
SU(2) (quasta e` l'azione di SU(2) sulle armoniche sferiche con
l=1 per intenderci).
Le componenti di tale spinore vengono dette componenti sferiche del
vettore di partenza.
A questo punto se parti non da un vettore, ma da un tensore reale
a n indici, per linearita` (ovvero usando il teorema di universalita`)
puoi rappresentare il tensore in termini di spinori a 2n indici.
Ci sarebbe da spiegare come l'irriducibilita` passi da uno spazio
all'altro...
Il teorema di Wigner Eckart riguarda terne di operatori autoaggiunti
che si trasformano come vettori reali sotto l`azione delle
rappresentazioni unitarie del gruppo delle rotazioni (piu` precisamente
SU(2)). Un esempio le tre componenti dell'operatore impulso, oppure
del momento angolare, o altro. Quando hai una terna di tali operatori,
puoi passare alla rappresentazione in componenti sferiche nel senso
detto sopra. Quest'altra terna di operatori porta tutte le informazioni
della prima, ma sotto l'azione delle rotazioni si trasforma come le
armoniche sferiche con l=1.
In questa rappresentazione degli operatori, ti puoi calcolare
gli elementi di matrice degli operatori detti sulla base di autostati
del momento angolare del sistema fisico. Il teorema di WE spiega
la struttura di tali elementi di matrice.
Dato che le due rappresentazioni sono legate linearmente, cio`
ti permette di calcolare gli elementi di matrice, per es di P_x
rispetto alla base a momento angolare definito, con una semplice
trasformazione lineare.
In realta` si puo` generalizzare a operatori tensoriali...
Spero di averti detto qualcosa di comprensibile.
Volevo mettere qualcosa di questo sulle mie dispense
di calcolo tensoriale ma poi gli studenti mi avrebbero ucciso...
Magari l'anno prossimo.
Ciao, Valter
Adriano Amaricci
Valter Moretti ha scritto nel messaggio
<3B3DE511...@science.unitn.it>...
>Ciao, dovresti dare un'occhiata al cap XI del Caldirola...anche se
>secondo me non e` chiaro nemmeno su quel libro.
ciao, lunedì andrò in biblioteca, magari ci do un occhiata.
>
>In ogni caso la questione e` un po` un casino se non sei pratico
>di rappresentazioni du SU(2).
be' diciamo che non sono proprio la mia specialità....:)))))))
>In pratica si usa un isomorfismo ...................
>........................[cut]
>` passi da uno spazio all'altro.
Creod di aver intuito qualche cosa: I tensori sferici sarebbero spinori a
due indici, questi abitano nello spazio prodotto tensore di SU(2) e
SU(2)conugato, l'isomorfismo con lo spazio vettoriale 3-dim, mi permette di
identificare vettori a tre componenti con spinori a due indici, ma
sopratutto di sfruttarne le proprietà sotto rotazione, che guarda caso è
proprio quello che mi serve per capire come ruotano oggetti venuti fuori
dalla composizione di momenti angolari...o almeno spero.
Comunque almeno ora ho un idea di cosa sia uno spinore!!!! mi sembrava di
essere tornato ai tempi in cui si cercava di capire bene cosa fosse un
tensore....mezze definizioni, mezze proprietà, che incubo!
>Il teorema di Wigner Eckart .............
questo comincia ad essermi chiaro, mi sembra importante il fatto di poter
passare da una rappresentazione all'altra, questo sul libro non era proprio
sottolineato. In sostanza posso capire come sono fatti gli elementi di
matrice di un operatore "vettoriale" (cioè con tre componenti) relativamente
alla rappresentazione del mom. ang,, cioè WE mi dice che questi elementi in
questa rappresentazione sono indipendenti da m (numero quantico di Lz)
ovvero ne dipendono solo attraverso un fattore geometrico che è proprio il
coeff. di Flash-gordon dovuto al cambio di rappresentazione. Adesso capisco
perchè era così importante....
>Spero di averti detto qualcosa di comprensibile.
non proprio tutto, ma qui per colpa mia...
>Volevo mettere qualcosa di questo sulle mie dispense
>di calcolo tensoriale ma poi gli studenti mi avrebbero ucciso...
>Magari l'anno prossimo.
E' proprio vero come si dice a Roma: "chi c'ha er pane nun c'ha i denti,
chi c'ha i denti nun c'ha er pane"
>Ciao, Valter
salutoni, Adriano
Elio Fabri
ftp://sun1.df.unipi.it/pub/sagredo/gruppi
Il cap. 10 tratta appunto il Teorema di W-E.
Ma era un corso di perfezionamento ... Valter, che gli fai ai tuoi
poveri studenti?
--
Elio Fabri
Dip. di Fisica "Enrico Fermi" - Univ. di Pisa
Sez. Astronomia e Astrofisica
------------------------------------
Valter Moretti
>
> Prova a dare un'occhiata a
> ftp://sun1.df.unipi.it/pub/sagredo/gruppi
> Il cap. 10 tratta appunto il Teorema di W-E.
> Ma era un corso di perfezionamento ... Valter, che gli fai ai tuoi
> poveri studenti?
Ciao, non ti preoccupare, non era mia intenzione fare
W-E in un corso introduttivo di calcolo tensoriale
e non l'ho fatto! Pensavo solo di far loro vedere
qualche applicazione della teoria delle rappresentazioni
dei gruppi in particolare le rappresentazioni irriducibili...
Ma mi sono fermato ben prima.
Ciao, Valter