CONFRONTO TRA POTENZE CON BASE DIVERSA ED ESPONENTE RAZIONALE.
D.Z.
il mio problema č di decidere tra due potenze a base diversa, quale č la
minore tra le due. Il confrontro tra potenze della stessa base mi pare
invece banale).
Per esempio: 2^(1/5) e 3^(3/7). Ma il metodo dovrebbe essere generale.
Si tratta di un quesito che fa parte di un test propedeutico agli esami di
matematica per il corso di architettura.
Quindi l'approccio deve essere al massimo quello del liceo scientifico.
Grazie.
davide
brazov.a
> Buongiorno,
> il mio problema è di decidere tra due potenze a base diversa, quale è la
> minore tra le due. Il confrontro tra potenze della stessa base mi pare
> invece banale).
>
> Per esempio: 2^(1/5) e 3^(3/7).
Beh, questa e' facile.
2<3
1/5 < 3/7
quindi il primo termine e' minore.
Pero' gia' per 2^(3/7) e 3^(1/5) il confronto diventa piu' difficile.
Devi usare i logaritmi in questo caso.
Ricorda che log(a^b) = b*log(a).
Dalet
>il mio problema è di decidere tra due potenze a base diversa, quale è la
>minore tra le due. Il confrontro tra potenze della stessa base mi pare
>invece banale).
>Per esempio: 2^(1/5) e 3^(3/7). Ma il metodo dovrebbe essere generale.
>Si tratta di un quesito che fa parte di un test propedeutico agli esami di
>matematica per il corso di architettura.
>Quindi l'approccio deve essere al massimo quello del liceo scientifico.
Ridurre allo stesso denominatore gli esponenti fratti.
2^(1/5) = 2^(7/35)
3^(3/7) = 3^(15/35)
2^(1/5) vs 3^(3/7) <--> 2^(7/35) vs 3^(15/35)
vince il 3 perche' il radicando 3^15 e' maggiore del
radicando 2^7.
(le radici sono entrambe radici 35-esime)
--
Saluti, Dalet
D.Z.
"brazov.a" <braz...@gmail.com> ha scritto nel messaggio
news:i5rigb$8nl$4...@news.albasani.net...
Ciao, si questa proprietà dei logaritmi la conosco, naturalmente.
Il problema sarebbe semplice se fosse ammesso l'uso di una calcoaltrice, ma
così non è.
Per cui so solo che il log 2 è uguale a zero virgola qualcosa. Il che non mi
aiuta molto.
Non ti pare?
Buona giornata.
davide
D.Z.
"Dalet" <da...@address.invalid> ha scritto nel messaggio
news:slrni82m7b...@e8400.casamia...
Si questo metodo è corretto, ma presuppone l'uso di una calcolatrice, che
non è ammessa in questo test.
Non in questo caso particolare, perchè essendo maggiore sia la la base sia
l'esponente è ovvio qual è il maggiore dei due numeri.
In generale però non saprei come cavarmela.
Buona giornata.
davide.
Pangloss
formulazione *esatta* del "test propedeutico" a cui ti riferisci.
--
Elio Proietti
Valgioie (TO)
superpollo
> Se non ti soddisfano le risposte che hai gia' ricevuto, spedisci la
> formulazione *esatta* del "test propedeutico" a cui ti riferisci.
>
buongiorno a tutti.
mi inserisco nella conversazione, per osservare che esistono molti
classici problemi "da olimpiade" che richiedono di stabilire un
confronto tra potenze intere di numeri interi: tali problemi tendono a
risolversi "facilmente" mediante una stima per eccesso o per difetto di
una somma di N termini (una "serie troncata" se volete); spesso
interviene la formula del binomio di newton. esempi:
(1) stabilire per quali valori interi positivi di N risulta 99^N+100^N>101^N
(2) stabilire il piu' grande fra 100^300 e 300!
(3) stabilire il piu' grande fra (1.000001)^1000000 e 2
(4) stabilire il piu' grande fra 1000^1000 e 1001^999
buon divertimento ;-)
bye
--
Mi dispiace per voi, ma la Tunze è facile, lineare,
quadrata, cubica, e risolve brillantemente ogni cosa
Barone Barolo
> Ciao, si questa proprietà dei logaritmi la conosco, naturalmente.
> Il problema sarebbe semplice se fosse ammesso l'uso di una calcoaltrice, ma
> così non è.
> Per cui so solo che il log 2 è uguale a zero virgola qualcosa. Il che non mi
> aiuta molto.
> Non ti pare?
In realtà in questo caso specifico le proprietà dei logaritmi sono
sufficienti:
2^(3/7) <>? 3^(1/5) = 2^(lb(3)/5)
3/7 <>? lb(3)/5
15/35 <>? 7*lb(3)/35
15 <>? 7*lb(3)
15/7 <>? lb(3)
(dove lb è il logaritmo in base 2)
non ci vuole molto a vedere che 15/7 > 14/7 = 2 > lb(3)
Quindi 2^(3/7) > 3^(1/5).
-- bb
Coso
<4c81ee36$0$18654$4faf...@reader3.news.tin.it>:
> Si questo metodo è corretto, ma presuppone l'uso di una calcolatrice, che
> non è ammessa in questo test.
No, quanto suggeritoti da Dalet non presuppone l'uso della
calcolatrice... e` un modo *generale* per passare dal caso di esponenti
razionali a quello con esponenti interi...
> Non in questo caso particolare, perchè essendo maggiore sia la la base sia
> l'esponente è ovvio qual è il maggiore dei due numeri.
Proviamo ad invertire gli esponenti... avrai:
2^(3/7) e 3^(1/5)...
troverai, seguendo Dalet:
2^(15/35) e 3^(7/35)
che in pratica significa trovarsi a confrontare:
2^15 e 3^7 [non abbiamo usato la calcolatrice, finora, giusto?]
Questo e` un confronto piuttosto semplice, grazie al fatto che:
2^15 > 2^14 = (2^2)^7 = 4^7 > 3^7
Naturalmente non sempre le cose sono cosi` facili [non li ho provati,
ma immagino che gli esempi di superpollo siano tra quelli *non
facili* :-)]...
Ciao ciao
Claudio
Pangloss
> mi inserisco nella conversazione, per osservare che esistono molti
> classici problemi "da olimpiade" che richiedono di stabilire un
> confronto tra potenze intere di numeri interi: tali problemi tendono a
> risolversi "facilmente" mediante una stima per eccesso o per difetto di
> una somma di N termini (una "serie troncata" se volete); spesso
> interviene la formula del binomio di newton. esempi:
>
> (1) stabilire per quali valori interi positivi di N risulta 99^N+100^N>101^N
>
> (2) stabilire il piu' grande fra 100^300 e 300!
>
> (3) stabilire il piu' grande fra (1.000001)^1000000 e 2
>
> (4) stabilire il piu' grande fra 1000^1000 e 1001^999
>
> buon divertimento ;-)
Complimenti per il tuo vasto repertorio di problemini e problemacci!
Direi che (3) e (4) sono di facile risoluzione.
Anche (2) si risolve facilmente usando l'espansione asintotica del
fattoriale. Esiste forse un metodo piu' elementare?
Invece (1) mi lascia perplesso; si intravede facilmente che deve
necessariamente essere N<50. Usando poi un algoritmo iterativo che
avevo sviluppato anni fa constato che per N=48.2 circa i due membri
sono uguali. Almeno per ora non sono riuscito a dimostrare che
la soluzione e' N<49 usando solo carta e matita. Si puo' fare?
superpollo
> [it.scienza.matematica 04 Sep 2010] superpollo ha scritto:
>> mi inserisco nella conversazione, per osservare che esistono molti
>> classici problemi "da olimpiade" che richiedono di stabilire un
>> confronto tra potenze intere di numeri interi: tali problemi tendono a
>> risolversi "facilmente" mediante una stima per eccesso o per difetto di
>> una somma di N termini (una "serie troncata" se volete); spesso
>> interviene la formula del binomio di newton. esempi:
>>
>> (1) stabilire per quali valori interi positivi di N risulta 99^N+100^N>101^N
>>
>> (2) stabilire il piu' grande fra 100^300 e 300!
>>
>> (3) stabilire il piu' grande fra (1.000001)^1000000 e 2
>>
>> (4) stabilire il piu' grande fra 1000^1000 e 1001^999
>>
>> buon divertimento ;-)
>
> Complimenti per il tuo vasto repertorio di problemini e problemacci!
>
> Direi che (3) e (4) sono di facile risoluzione.
>
> Anche (2) si risolve facilmente usando l'espansione asintotica del
> fattoriale. Esiste forse un metodo piu' elementare?
si', lo sviluppo in serie della f. esp. e' il metodo a mio avviso piu'
naturale, ma forse non utilizzabile nelle olimpiadi per studenti di liceo...
propongo invece di dimostrare che N!>(N/3)^N per ogni N intero positivo
abbastanza grande, per esempio per N>10 ... per induzione e' abbastanza
semplice, credo.
> Invece (1) mi lascia perplesso; si intravede facilmente che deve
> necessariamente essere N<50. Usando poi un algoritmo iterativo che
> avevo sviluppato anni fa constato che per N=48.2 circa i due membri
> sono uguali. Almeno per ora non sono riuscito a dimostrare che
> la soluzione e' N<49 usando solo carta e matita. Si puo' fare?
>
e' corretto. non riesco a immaginare l'algoritmo iterativo che tu hai
usato, pero'.
invece, mediante espansione binomiale si vede che il rapporto
(101^N-99^N)/(100^N)=((100+1)^N-(100-1)^N)/(100^N)=2(N/100+(N*(N-1)*(N-2))/(3!*100^3)+...)
e' >1 per N>48, e <1 per N<49...
bye
--
In realta, le file del gioco le tiro io, perche' dirai.
perche' io sono corretto, dico la verita',
ho una logica superiore, e la coscienza a posto.
Pangloss
> invece, mediante espansione binomiale si vede che il rapporto
> (101^N-99^N)/(100^N)=((100+1)^N-(100-1)^N)/(100^N)
> =2(N/100+(N*(N-1)*(N-2))/(3!*100^3)+...)
> e' >1 per N>48, e <1 per N<49...
Bah, questo sviluppo l'avevo scritto ovviamente, ma continuo a non
"vedere" che esso sia >1 per N>48 e <1 per N<49.
Forse non ci vedo bene, provero' ad inforcare un paio di occhiali,
ma cosi' a fiuto non mi sembra un problema semplice...
D.Z.
"Coso" <claudio.s...@gmail.com> ha scritto nel messaggio
news:i5tv7h$kta$1...@tdi.cu.mi.it...
Ciao ciao
Claudio
Si, quest'ultima osservazione è indubbiamente interessante, e può suggerire
una via da seguire in molti casi.
Quanto a superpollo, che è una delle varianti di radicale, socratis ecc, io
non lo vedo perchè uso il metodo del filtraggio dei trolls, veri e propri
malati di mente.
Ciao grazie.
davide
superpollo
...
> Quanto a superpollo, che è una delle varianti di radicale, socratis ecc, io
> non lo vedo perchè uso il metodo del filtraggio dei trolls, veri e propri
> malati di mente.
ne sono addolorato.
bye
--
Secondo me 0^0 è uguale a INFINITO ! Ci sono arrivato con lo stesso tipo di
ragionamento che ti fa concludere che un numero n/0 è uguale a infinito.
Dalet
>Proviamo ad invertire gli esponenti... avrai:
>2^(3/7) e 3^(1/5)...
>troverai, seguendo Dalet:
>2^(15/35) e 3^(7/35)
>che in pratica significa trovarsi a confrontare:
>2^15 e 3^7 [non abbiamo usato la calcolatrice, finora, giusto?]
>Questo e` un confronto piuttosto semplice, grazie al fatto che:
>2^15 > 2^14 = (2^2)^7 = 4^7 > 3^7
>Naturalmente non sempre le cose sono cosi` facili [non li ho provati,
Be' ma e' un passo molto importante per la meta, perche'
ti porta dal confronto di radicali a quello di sole potenze
intere.
Voglio dire: non credo che un quiz senza calcolatrice possa
includere numeri troppo grandetti.
--
Saluti, Dalet