Somma di due onde sinusoidali sfasata. aiuto.

[MrLog]

Devo sommare due onde sinusoidali con stessa pulsazione (w=omega) e AMPIEZZA
(A) E FASE (FI) DIVERSA.

il risultato dovrebbe essere una singola funzione "A1"sen( "w1" + "FI1" )

come si fa?

ho utilizzato tutti i concetti che sapevo... dai fasori ai complessi... ma
alla fine mi viene sempre una funzione composta di SEN+COS

a me invece serve un onda finale (chiamiamola ONDA_SOMMA) che ha un solo
termine sinusoidale.

non trovo formule su nessun libro.

avete consigli?

grazie!

Alex

[El Filibustero]

On Thu, 23 Apr 2009 15:59:20 +0200, MrLog wrote:

>Devo sommare due onde sinusoidali con stessa pulsazione (w=omega) e AMPIEZZA
>(A) E FASE (FI) DIVERSA.

A1 sin(wt + fi1) + A2 sin(wt + fi2) = (formule di somma del seno)

(A1 cos(fi1) + A2 cos(fi2) ) sin(wt) + (A1 sin(fi1) + A2 sin(fi2) )
cos(wt)

Ora si tratta di determinare una fase fi e un'ampiezza A tale che

A1 cos(fi1) + A2 cos(fi2) = A cos(fi)
A1 sin(fi1) + A2 sin(fi2) = A sin(fi)

cosi', assumendo

A = sqrt((A1 cos(fi1) + A2 cos(fi2))^2 + (A1 sin(fi1) + A2 sin(fi2))^2)

fi = arcsin((A1 sin(fi1) + A2 sin(fi2))/A) (oppure il suo supplementare,
in modo che risulti anche A1 cos(fi1) + A2 cos(fi2) = A cos(fi) ),

la somma data sara' equivalente a A sin(wt + fi). Ciao

[MrLog]

"El Filibustero" <spal...@gmail.com> ha scritto nel messaggio

> A1 sin(wt + fi1) + A2 sin(wt + fi2) = (formule di somma del seno)
>
> (A1 cos(fi1) + A2 cos(fi2) ) sin(wt) + (A1 sin(fi1) + A2 sin(fi2) )
> cos(wt)

ok, qui ci siamo.

> Ora si tratta di determinare una fase fi e un'ampiezza A tale che
>
> A1 cos(fi1) + A2 cos(fi2) = A cos(fi)
> A1 sin(fi1) + A2 sin(fi2) = A sin(fi)

perdonami, non afferro perchè e come fai la separazione di queste due
equazioni.
mi dai un accenno?

> cosi', assumendo
>
> A = sqrt((A1 cos(fi1) + A2 cos(fi2))^2 + (A1 sin(fi1) + A2 sin(fi2))^2)
>
> fi = arcsin((A1 sin(fi1) + A2 sin(fi2))/A) (oppure il suo supplementare,
> in modo che risulti anche A1 cos(fi1) + A2 cos(fi2) = A cos(fi) ),

fi, OK.
A... come esce? sembra il modulo di qualcosa ma... non riesco a capire come
ci si arriva.

> la somma data sara' equivalente a A sin(wt + fi). Ciao

Grazie 1000! spero darai una spolverata ai miei dubbi. purtroppo se non
afferro bene il concetto non mi sarà utile impararlo a memoria.

Ciao!

[El Filibustero]

On Thu, 23 Apr 2009 19:44:27 +0200, MrLog wrote:

>perdonami, non afferro perchè e come fai la separazione di queste due
>equazioni.

L'intento e' di arrivare a una formula A sin(wt + fi). Applicando su
questa le formule di somma del seno, abbiamo

A cos(fi) sin(wt) + A sin(fi) cos(wt)

che sarebbe proprio coincidente con

[A1 cos(fi1) + A2 cos(fi2)] sin(wt) + [A1 sin(fi1) + A2 sin(fi2)] cos(wt)

(uguale alla somma di partenza A1 sin(wt+fi1) + A2 sin(wt+f12)) se la
prima parentesi [] corrispondesse a Acos(fi) e la seconda [] a Asin(fi).
Ecco perche' richiedere che

>> A1 cos(fi1) + A2 cos(fi2) = A cos(fi)
>> A1 sin(fi1) + A2 sin(fi2) = A sin(fi)

>A... come esce? sembra il modulo di qualcosa ma... non riesco a capire come
>ci si arriva.

Certo che e' un modulo. Non avevi detto di averci provato coi fasori? E'
il modulo della somma vettoriale dei fasori di modulo A1 e fase fi1 e A2
e fase fi2. Infatti tra questi vettori c'e' uno sfasamento di f1-f2: il
modulo della loro somma vettoriale si puo' determinare col th. di Carnot,
osservando il parallelogramma di lati A1 e A2 e angolo compreso fi1-fi2.
La diagonale della somma vettoriale e' lunga

sqrt(A1^2 + A2^2 + 2 A1 A2 cos(fi1-fi2))

formula di A preferibile perche' piu' sintetica, ma corrispondente
esattamente a..

>> A = sqrt((A1 cos(fi1) + A2 cos(fi2))^2 + (A1 sin(fi1) + A2 sin(fi2))^2)

... se solo si sviluppano in questa i quadrati di binomio e si applica la
formula di sottrazione del coseno. Comunque ho trovato la formula di A
elevando a quadrato entrambi i membri delle formule

>> A1 cos(fi1) + A2 cos(fi2) = A cos(fi)
>> A1 sin(fi1) + A2 sin(fi2) = A sin(fi)

e sommando membro a membro: la somma dei quadrati dei secondi membri e'
A^2. Ciao

[Elio Fabri]

MrLog ha scritto:

> Devo sommare due onde sinusoidali con stessa pulsazione (w=omega) e
> AMPIEZZA (A) E FASE (FI) DIVERSA.
>
> il risultato dovrebbe essere una singola funzione "A1"sen( "w1" +
> "FI1" )
>
> come si fa?
> ho utilizzato tutti i concetti che sapevo... dai fasori ai
> complessi... ma alla fine mi viene sempre una funzione composta di
> SEN+COS

Non capisco: con tutti quegli strumenti :) e una banalita'...

Hai due fasori, ossia due numeri complessi che ruotano con la stessa
velocita' angolare.
La somma e' una semplice somma vettoriale: che cosa potrai ottenere?
Ancora un fasore con la stessa frequenza.
Per trovare ampiezza e fase dovrai solo risolvere il triangolo formato
dai tre vettori.
Fai la figura fissando un istante t...

--
Elio Fabri