Perché non esiste inversa di matrice non quadrata?
Michele'74
5x3, non si potrebbe definire l'inversa come una 3x5 tali che moltiplicate
danno una identità di 5x5? Lo so, è una cavolata, ma sarei curioso di sapere
da qualcuno più istruito di me vosa ne pensa.
Michele
Raul
definisce l'inversa di una matrice se e solo se questa è una matrice
quadrata. Per esempio la condizione di esistenza dell'inversa di una matrice
di ordine 2 è che la funzione determinante abbia valore nei R 0.
Michele'74 <07218...@iol.it> ha scritto nel messaggio ...
?manu*
> Mi chiedevo un giorno per diletto questa cosa. Ad esempio, se ho una matrice
> 5x3, non si potrebbe definire l'inversa come una 3x5 tali che moltiplicate
> danno una identità di 5x5? Lo so, è una cavolata, ma sarei curioso di sapere
> da qualcuno più istruito di me vosa ne pensa.
> Michele
Perche' a seconda della matrice rettangolare che vuoi invertire, o non
c'e' nessuna soluzione, oppure ci sono infinite soluzioni.
(almeno credo!!)
ciao,
Em.
Marco Coletti
>> Mi chiedevo un giorno per diletto questa cosa. Ad esempio, se ho una matrice
>> 5x3, non si potrebbe definire l'inversa come una 3x5 tali che moltiplicate
>> danno una identità di 5x5? Lo so, è una cavolata, ma sarei curioso di sapere
>Perche' a seconda della matrice rettangolare che vuoi invertire, o non
>c'e' nessuna soluzione, oppure ci sono infinite soluzioni.
>
>(almeno credo!!)
Credo anch'io.
Pero' si parla a volte di pseudo-inversa, intendendo (se esiste) una delle
infinite soluzioni. O ricordo male?
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Marco Coletti
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A. Caranti
> Mi chiedevo un giorno per diletto questa cosa. Ad esempio, se ho una matrice
> 5x3, non si potrebbe definire l'inversa come una 3x5 tali che moltiplicate
> danno una identità di 5x5?
Il fatto e' che le matrici reppresentano mappe lineari, e la
moltiplicazione di matrici rappresenta la composizione di tali mappe.
Per fissare le idee, consideriamo i vettori come vettori riga (lo so che
in genere uno li prende come colonne, ma io sono abituato cosi' e se
cambio ora rischio di sbagliarmi). Allora una matrice A che sia 3 x 5
rappresenta una mappa lineare f : R^3 -> R^5. (Diciamo che stiamo
parlando di matrici e spazi vettoriali reali, ma non fa differenza.)
Ora se f e' iniettiva (ovvero A ha rango massimo 3), non c'e'
difficolta' a trovare una mappa lineare g : R^5 -> R^3 tale che la
composizione di f e g (in quest'ordine, prima applichi f e poi g), che
e' una mappa R^3 -> R^3 sia l'identita'. Questo equivale a dire che c'e'
una matrice B che sia 5 x 3 tale che il prodotto A x B sia la matrice
identica 3 x 3.
Ma non potrai mai trovare una mappa lineare h : R^5 -> R^3 tale che la
composizione di h e f (in quest'ordine), che e' una mappa R^5 -> R^5 sia
l'identita'. Questo le vedi per esempio notando che h non puo' essere
iniettiva, per ragioni di dimensione, e quindi la composta di h e f non
e' iniettiva, e non puo' quindi essere la mappa identica. In altro modo,
l'immagine di h ha dimensione al piu' 3, quindi componendola con f non
arriverai mai alla dimensione 5 necessaria per coprire tutto R^5. Tutto
cio' si puo' naturalmente formulare in termini di ranghi di matrici, ma
credo convenga sempre pensare alle mappe lineari.
Dunque non puo' esistere una matrice C che sia 5 x 3 tale che il
prodotto C x A sia la matrice identica 5 x 5: infatti mappa h e matrice
C sono del tutto equivalenti qui.
Spero si capisca, e che non ci siano misprints.
Andreas
Luca Valnegri
wrote:
>Mi chiedevo un giorno per diletto questa cosa. Ad esempio, se ho una matrice
>5x3, non si potrebbe definire l'inversa come una 3x5 tali che moltiplicate
>danno una identità di 5x5? Lo so, è una cavolata, ma sarei curioso di sapere
>da qualcuno più istruito di me vosa ne pensa.
>Michele
>
La definizione di inversa così come è nota dai primi corsi di algebra
lineare può essere estesa introducendo il concetto di matrice
"generalizzata" valida anche per matrici singolari, introdotto in modo
indipendente da Moore (1935) e Penrose (1955). A grandi linee possono
essere così introdotte.
L'usuale matrice inversa S di una matrice quadrata non singolare A di
ordine n è una matrice anch'essa quadrata, non singolare e di ordine n
tale che
(*) AS=SA=I,
dove I è la matrice identità di ordine n.
Ora, è noto che S consente di risolvere il sistema di equazioni
lineari Ax=y, cioè S è tale che x=Sy, dove x ed y sono vettori colonna
di ordine n. E' a volte possibile che tale proprietà sia soddisfatta
anche nel caso in cui A sia non singolare ovvero rettangolare di
ordine mn, sebbene, ovviamente, non si avrà più in tal caso la
validità della (*). Se ciò accade, allora la matrice G di ordine mn
tale che x=Gy dove Ax=y è un sistema consistente, è detta matrice
"inversa generalizzata" di A o g-inversa di A. Si noti che se A è
rettangolare non deve necessariamente essere di rango massimo.
Si dimostra, in particolare, che cns affinché G sia g-inversa di A è
che risulti AGA=A.
Per approfondimenti consiglio il libro, anche se un po' vecchiotto:
C.R.Rao & S.K.Mitra, Generized Inverse of matrices and its
applications, Wiley, 1971
Luca Valnegri
po...@iumisp.spoc.unimi.it
diabolico
generale vincenzo aversa
A. Caranti <car...@science.unitn.it> wrote in message
37CD258F...@science.unitn.it...
> Michele'74 si chiede:
>
> > Mi chiedevo un giorno per diletto questa cosa. Ad esempio, se ho una
matrice
> > 5x3, non si potrebbe definire l'inversa come una 3x5 tali che
moltiplicate
> > danno una identità di 5x5?
>
Valter Moretti
>
> esiste e si chiama inversa generalizzata. vedi libro appunti matematica
Ciao, un' *inversa* non esiste per i motivi che ha esposto Andrea
Caranti e non c'e' molto altro da dire. Probabilmente tu stai
parlando di inverse SOLO sinistre o SOLO destre.
Un a matrice *inversa*, per definizione, deve essere contemporaneamente
inversa destra e sinistra e per il teorema che dice che
dim (nucleo f) + dim (immagine f) = dim (dominio f) (1)
se la matrice non e' quadrata, non esistono inverse
*contemporaneamente* destre e sinistre.
Se infatti f non e' quadrata accade che dim (dominio f) diverso da
dim (codominio f). Allora hai due casi (uso la convenzione dei
vettori visti come colonne):
i) dim (dominio f) > dim (codominio f)
in tal caso essendo dim (immagine f) minore o uguale a
dim( codominio f), si ha dim (dominio f) > dim (immagine f), dalla
(1) segue che dim (nucleo f) non e' nullo, quindi la funzione
associata alla matrice e' non *iniettiva* e quindi NON esistono
inverse sinistre, cioe' funzioni (matrici) g tali che
g ° f = id_{dominio f}.
ii) dim (dominio f) < dim (codominio f)
in tal caso dalla (1) hai subito che
dom (nucleo f) + dim (immagine f) < dim (codominio f) e quindi
dim (immagine f) < dim (codominio f) e quindi la funzione associata
alla matrice non e' *surgettiva*. In questo caso non puo' esistere
alcuna inversa destra cioe' funzioni (matrici) g tali che
f ° g = id_{codominio}.
Per evitare fraintendimenti potresti esporre bervemente la definizione
del testo che citi? Grazie, Ciao, Valter Moretti
carme...@live.it
Wakinian Tanka
:-)
--
Wakinian Tanka