processi ergodici e stazionari
Marco Trapanese
Ciao,
il mio libro di teoria dei segnali definisce i processi ergodici ma non
dice come si possono identificare. In altre parole, se mi trovo davanti
delle realizzazioni di un processo, posso "guardandolo" capire se è
ergodico? oppure devo calcolare la media temporale e verificare che è
uguale a quella d'insieme?
Inoltre c'è scritto che tutti i processi stazionari sono anche ergodici.
E' vero anche il contrario? E' poi presente la dimostrazione analitica
di ciò che si basa sul fatto che "[...] il valore di aspettazione è un
operatore lineare e può essere portato sotto il segno d'intergale." a
cui seguono i vari passaggi. Ok, ma da un punto di vista fisico, per
quale motivo un processo stazionario è anche ergodico?
Grazie,
Marco / iw2nzm
Marco Trapanese
>
> Ciao,
>
> il mio libro di teoria dei segnali definisce i processi ergodici ma non
> dice come si possono identificare. In altre parole, se mi trovo davanti
> delle realizzazioni di un processo, posso "guardandolo" capire se è
> ergodico? oppure devo calcolare la media temporale e verificare che è
> uguale a quella d'insieme?
naturalmente il discorso vale anche per l'autocorrelazione, a seconda
che si voglia verificare l'ergodicità per la media o - appunto - per
l'autocorrelazione.
Marco / iw2nzm
Marco Dalai
> Inoltre c'è scritto che tutti i processi stazionari sono anche ergodici.
Sei sicuro che ci sia scritto così?
Ciao
marco
Marco Trapanese
Riporto il brano del paragrafo interessato, tralasciando le varie formule.
6.5 Processi casuali ergodici
Si abbia un processo casuale stazionario. [...] Si definisce valor medio
temporale [...] e autocorrelazione temporale [...].
Dato che il processo è stazionario il valor medio d'insieme non dipende
dal tempo e in alcuni casi può coincidere con la media temporale [...]
in questo caso il processo viene detto ergodico per la media. [...]
Analogamente il processo casuale viene detto ergodico per
l'autocorrelazione se l'autocorrelazione d'insieme coincide con quella
temporale.
[...]
E' comunque sempre vero che per un processo casuale stazionario il
valore atteso della media e dell'autocorrelazione temporale coincidono
rispettivamente con il valor medio e l'autocrrelazione d'insieme.
Claudio Prati, Segnali e Sistemi per le telecomunicazioni, McGraw-Hill
--------
Forse ho esteso troppo il concetto di valore atteso nell'ultima frase.
Da lì avevo dedotto che tutti i processi stazionari fossero anche
ergodici. Quindi rileggendo meglio, ciò che coindice *sempre* è il
valore atteso della media (o autocorrelazione) temporale con quella
d'insieme. Questo non è però sufficiente a rendere il processo
stazionario ergodico, giusto?
Grazie,
Marco / iw2nzm
Marco Dalai
>
> 6.5 Processi casuali ergodici
>
> Si abbia un processo casuale stazionario. [...] Si definisce valor medio
> temporale [...] e autocorrelazione temporale [...].
>
> Dato che il processo è stazionario il valor medio d'insieme non dipende
> dal tempo
ok su questo
> e in alcuni casi può coincidere con la media temporale [...]
> in questo caso il processo viene detto ergodico per la media. [...]
ok anche su qusto
> Analogamente il processo casuale viene detto ergodico per
> l'autocorrelazione se l'autocorrelazione d'insieme coincide con quella
> temporale.
>
> [...]
ok ancora
>
> E' comunque sempre vero che per un processo casuale stazionario il
> valore atteso della media e dell'autocorrelazione temporale coincidono
> rispettivamente con il valor medio e l'autocrrelazione d'insieme.
>
ok di nuovo! :)
Attento che non dice che è ergodico ma che *il valore atteso della media
temporale* coincide con il valor medio d'insieme. Se fosse ergodico
avresti che *la media temporale* coincide con quella d'insieme. E'
diverso. Cioè, se fai la media temporale e poi ne calcoli il valore
atteso ottieni nient'altro che il valore atteso.
Per inciso, fai molta bene al significato di media d'insieme. Cosa sia
la media temporale è chiaro e intuitivo, ma cerca di aver chiarissimo
cosa si intende per media d'insieme (o valore atteso). Se chiami
f(t,omega) il processo, la media d'insieme (valore atteso di f(t,omega))
all'istante t è
E[f(t,omega)] (è una media di insieme e quidi sulle omega, con t fisso)
La media temporale per un omega fisso è
1/T*Int_0^T f(t,omega)dt
e il valore atteso della media temporale è
E[1/T*Int_0^T f(t,omega)dt]
(quindi integri per ogni omega e poi fai la media sulle omega)
Se il processo è stazionario hai
E[f(t,omega)]=E[f(omega)] (non dipende da t)
e
E[1/T*Int_0^T f(t,omega)dt]=E[f(omega)]
> Claudio Prati, Segnali e Sistemi per le telecomunicazioni, McGraw-Hill
Non ce l'ho quindi non posso controllare, ma per come hai scritto sopra
sembra tutto apposto.
Ciao
marco
Marco Trapanese
> ok di nuovo! :)
> Attento che non dice che è ergodico ma che *il valore atteso della media
> temporale* coincide con il valor medio d'insieme. Se fosse ergodico
> avresti che *la media temporale* coincide con quella d'insieme. E'
> diverso. Cioè, se fai la media temporale e poi ne calcoli il valore
> atteso ottieni nient'altro che il valore atteso.
{cut}
> Non ce l'ho quindi non posso controllare, ma per come hai scritto sopra
> sembra tutto apposto.
> Ciao
> marco
Ti ringrazio, in effetti avevo fatto un po' di confusione tra il valore
atteso e le varie medie... ora dovrebbe essere più chiaro. Al massimo
tornerò a rompere le scatole :)
Ciao!
Marco / iw2nzm