Norma naturale
Kiuhnm
matrice A nxn (mi aspettavo mxn) �, per ogni x in R^n, x<>0, il pi�
piccolo valore reale C t.c.
|Ax| <= C|x|,
(cio� tale che ||.|| e |.| siano compatibili, giusto?)
Questo equivale a dire che
||A|| = sup_{x<>0} |Ax|/|x| = sup_{|u|=1}|Au|.
Ma poi dice
"poich� S = {u : ||u||=1} � chiuso e limitato ed Au � una funzione
continua di u,
||A|| = max_{|u|=1}|Au|."
In che senso S � chiuso e limitato? La mia def. di Analisi I non va
oltre i reali.
Un'altra domanda. La dispensa si restringe al caso nxn e aggiunge delle
gran 'p' in pedice alle norme, cio� parla di ||A||_p.
Cosa significano?
Kiuhnm
Valter Moretti
> In che senso S chiuso e limitato? La mia def. di Analisi I non va
> oltre i reali.
Nel senso della topologia metrica naturale di R^n...poi usa il teorema
di Weierstrass...
Ciao, Valter
Enrico Gregorio
> Sia |.| una norma su vettori. La norma indotta (o naturale) ||.|| di una
> matrice A nxn (mi aspettavo mxn) �, per ogni x in R^n, x<>0, il pi�
> piccolo valore reale C t.c.
> |Ax| <= C|x|,
> (cio� tale che ||.|| e |.| siano compatibili, giusto?)
> Questo equivale a dire che
> ||A|| = sup_{x<>0} |Ax|/|x| = sup_{|u|=1}|Au|.
> Ma poi dice
> "poich� S = {u : ||u||=1} � chiuso e limitato ed Au � una funzione
> continua di u,
> ||A|| = max_{|u|=1}|Au|."
>
> In che senso S � chiuso e limitato? La mia def. di Analisi I non va
> oltre i reali.
Aggiungo qualcosa alla risposta di Valter; come supponi giustamente,
puoi definire la norma anche per matrici non quadrate; naturalmente
devi fissare una norma su R^n e una su R^m, per avere con la formula
la norma di una matrice m x n.
La questione sui chiusi e limitati si giustifica con il fatto che
ogni norma su R^n induce la topologia usuale nella quale i compatti
sono chiusi e limitati.
> Un'altra domanda. La dispensa si restringe al caso nxn e aggiunge delle
> gran 'p' in pedice alle norme, cio� parla di ||A||_p.
> Cosa significano?
Non ho idea.
Ciao
Enrico
Massimo Borsero
> (cio� tale che ||.|| e |.| siano compatibili, giusto?)
Perdona l'ignoranza, ma cosa intendi per "compatibili"?
> Questo equivale a dire che
> ||A|| = sup_{x<>0} |Ax|/|x| = sup_{|u|=1}|Au|.
> Ma poi dice
> "poich� S = {u : ||u||=1} � chiuso e limitato ed Au � una funzione
> continua di u,
> ||A|| = max_{|u|=1}|Au|."
>
> In che senso S � chiuso e limitato? La mia def. di Analisi I non va oltre
> i reali.
>
Beh cosa sai di topologia?
Consideriamo la funzione f : R^n -> R che associa al vettore x la sua norma
f(x) = || x || . Questa funzione � ovviamente continua.
Ora concentriamoci su S
a) S � chiuso. Un insieme di R^n si dice chiuso se il suo complementare �
aperto, cio� tale che per ogni punto dell'insieme si possa trovare un
intorno del punto tutto contenuto in esso. Allora nel nostro caso il
complementare � formato dai punti u in R^n tali che
{||u|| > 1} unione {||u|| < 1}
si vede immediatamente che � un insieme aperto. Quindi S � chiuso. Un altro
modo di procedere pi� rapido consiste nel conoscere il seguente fatto: "la
controimmagine di un chiuso mediante una funzione continua � un chiuso".
Allora in R il singleton {1} � ovviamente un chiuso, quindi S = f^(-1) (1) �
chiuso perch� f � continua.
b) S � limitato. Un insieme di R^n si dice limitato se � contenuto in una
palla di raggio finito. Allora S � limitato in quanto, ad esempio, sta
dentro alla palla centrata nell'origine e di raggio 2.
(ma anche di raggio, chess�, 34,5)
> Un'altra domanda. La dispensa si restringe al caso nxn e aggiunge delle
> gran 'p' in pedice alle norme, cio� parla di ||A||_p.
> Cosa significano?
>
In uno spazio si possono introdurre varie norme, e spesso si mette un pedice
per distinguerle, credo sia questo il senso del tuo libro. Comunque, in uno
spazio vettoriale di dimensione finita (come quello delle matrici nxn) TUTTE
LE NORME SONO EQUIVALENTI, quindi se ne pu� usare uno piuttosto che un'altra
a seconda delle necessit�.
Kiuhnm
>> (cio� tale che ||.|| e |.| siano compatibili, giusto?)
>
> Perdona l'ignoranza, ma cosa intendi per "compatibili"?
Se |.| � una norma su vettori di R^n e ||.|| una norma su matrici di
R^{mxn} allora tali norme si dicono compatibili se per ogni A in R^{mxn}
e x in R^n
|Ax| <= ||A|| |x|.
Forse tu le chiami "consistenti" come wikipedia.
Credo che sia proprio per avere questa propriet� che si definiscono le
norme indotte (o naturali).
>> Questo equivale a dire che
>> ||A|| = sup_{x<>0} |Ax|/|x| = sup_{|u|=1}|Au|.
>> Ma poi dice
>> "poich� S = {u : ||u||=1} � chiuso e limitato ed Au � una funzione
>> continua di u,
>> ||A|| = max_{|u|=1}|Au|."
>>
>> In che senso S � chiuso e limitato? La mia def. di Analisi I non va
>> oltre i reali.
>>
>
> Beh cosa sai di topologia?
Anni fa lessi qualcosa per conto mio, ma "ufficialmente" non so niente.
> Consideriamo la funzione f : R^n -> R che associa al vettore x la sua
> norma f(x) = || x || . Questa funzione � ovviamente continua.
> Ora concentriamoci su S
>
> a) S � chiuso. Un insieme di R^n si dice chiuso se il suo complementare
> � aperto, cio� tale che per ogni punto dell'insieme si possa trovare un
> intorno del punto tutto contenuto in esso. Allora nel nostro caso il
> complementare � formato dai punti u in R^n tali che
> {||u|| > 1} unione {||u|| < 1}
> si vede immediatamente che � un insieme aperto. Quindi S � chiuso.
Ok, mi sono tornate in mente parecchie cose.
> b) S � limitato. Un insieme di R^n si dice limitato se � contenuto in
> una palla di raggio finito. Allora S � limitato in quanto, ad esempio,
> sta dentro alla palla centrata nell'origine e di raggio 2.
> (ma anche di raggio, chess�, 34,5)
Ok, chiaro.
Poi naturalmente l'immagine continua di un chiuso � chiusa (segue
immediatamente dalla def. di continuit� tramite successioni) e quindi
sono a posto.
>> Un'altra domanda. La dispensa si restringe al caso nxn e aggiunge
>> delle gran 'p' in pedice alle norme, cio� parla di ||A||_p.
>> Cosa significano?
>>
>
> In uno spazio si possono introdurre varie norme, e spesso si mette un
> pedice per distinguerle, credo sia questo il senso del tuo libro.
> Comunque, in uno spazio vettoriale di dimensione finita (come quello
> delle matrici nxn) TUTTE LE NORME SONO EQUIVALENTI, quindi se ne pu�
> usare uno piuttosto che un'altra a seconda delle necessit�.
Mi � parso strano perch� usa le 'p' solo quando parla di norme indotte e
wikipedia usa lo stesso formalismo... strana coincidenza :-)
Ringrazio tutti per l'aiuto.
Kiuhnm
Valter Moretti
>
> Ok, chiaro.
> Poi naturalmente l'immagine continua di un chiuso è chiusa (segue
> immediatamente dalla def. di continuità tramite successioni) e quindi
> sono a posto.
ahhh cosa sentono le mio orecchie! (cioè leggono i miei occhi).
Enrico Gregorio
> Mi � parso strano perch� usa le 'p' solo quando parla di norme indotte e
> wikipedia usa lo stesso formalismo... strana coincidenza :-)
La definizione delle "norma p" su
<http://it.wikipedia.org/wiki/Norma_matriciale> � quella standard
su uno spazio R^n. Si tratta di una norma che, con il linguaggio
usato sulla pagina, non � consistente con altre norme, ma �, per
le matrici nxn, sub-moltiplicativa. Questo la rende utile perch�
si comporta "bene" rispetto alla moltiplicazione di matrici.
In particolare la norma di Frobenius � collegata con l'importante
concetto di decomposizione in valori singolari (SVD).
Ciao
Enrico
Giorgio Bibbiani
>> Poi naturalmente l'immagine continua di un chiuso � chiusa (segue
>> immediatamente dalla def. di continuit� tramite successioni) e quindi
>> sono a posto.
> ahhh cosa sentono le mio orecchie! (cio� leggono i miei occhi).
Cioe' Kiuhnm sostituisci "compatto" a "chiuso". ;-)
Ciao
Valter Moretti
<giorgio_bibbianiTO...@virgilio.it.invalid> wrote:
> Valter Moretti ha scritto:
>
> >> immediatamente dalla def. di continuità tramite successioni) e quindi
> >> sono a posto.
> > ahhh cosa sentono le mio orecchie! (cioè leggono i miei occhi).
>
> Cioe' Kiuhnm sostituisci "compatto" a "chiuso". ;-)
>
> Ciao
Certo, ma volevo che ci arrivasse da solo!
Ciao, Valter
Enrico Gregorio
> On Jan 16, 5:56�pm, Kiuhnm <kiuhnm03.4t.yahoo.it> wrote:
>
> >
> > Ok, chiaro.
> > Poi naturalmente l'immagine continua di un chiuso � chiusa (segue
> > immediatamente dalla def. di continuit� tramite successioni) e quindi
> > sono a posto.
>
> ahhh cosa sentono le mio orecchie! (cio� leggono i miei occhi).
Che c'� di strano? L'immagine della funzione arctan, � l'intervallo
(-pi/2,pi/2). Non � chiuso? Ah, no. :-) Che arctan non sia continua? ;-)
Ma Kiuhnm ha ammesso di non essere troppo ferrato in topologia, quindi
provo a chiarire le idee. Ci mettiamo in spazi metrici, cos� possiamo
ragionare con le successioni, supponendo che la continuit� sia definita
come "la funzione trasforma successioni convergenti in successioni
convergenti".
Se f: X -> Y � continua, � vero che l'immagine /inversa/ di un chiuso
� chiusa. Infatti, se (x_n) � una successione a termini nell'immagine
inversa del chiuso C di Y, convergente a x, allora la successione
(f(x_n)) � convergente a un punto di C, ma questo punto � f(x). Ne
segue che x appartiene all'immagine inversa di C.
L'immagine continua di un /compatto/ � chiusa. Infatti, se C � un
compatto di X e (y_n) � una successione in f(C), convergente, allora
possiamo scrivere y_n = f(x_n) con x_n in C; la successione (x_n) ha
un punto di accumulazione x appartenente a C, quindi f(x) � un punto
di accumulazione della successione convergente (f(x_n)). Dunque la
successione (y_n) converge a f(x) che appartiene a f(C).
Ciao
Enrico
Kiuhnm
> On Jan 16, 6:04 pm, "Giorgio Bibbiani"
> <giorgio_bibbianiTO...@virgilio.it.invalid> wrote:
>> Valter Moretti ha scritto:
>>
>>>> immediatamente dalla def. di continuit� tramite successioni) e quindi
>>>> sono a posto.
>>> ahhh cosa sentono le mio orecchie! (cio� leggono i miei occhi).
>> Cioe' Kiuhnm sostituisci "compatto" a "chiuso". ;-)
>>
>> Ciao
>
> Certo, ma volevo che ci arrivasse da solo!
Intendevo un chiuso limitato (come nell'esempio del testo).
Comunque in analisi I non abbiamo visto la compattezza.
Se non ricordo male dai miei studi personali risalenti ad anni e anni
fa, se C � compatto allora ogni successione in C ammette una
sottosuccessione convergente in C (perch� � anche chiuso (in R � sempre
vero, mi sembra di ricordare)).
Allora, data f:X->Y, se f(x_1),f(x_2),... converge a y in Y, esiste una
sottosucc. x_{i_1}, x_{i_2},... che converge a x in X. Ma allora, per
continuit� di f, f(x_1),f(x_2),... ammette una sottosuccessione che
converge a f(x), quindi deve anch'essa convergere a f(x). Allora Y � chiuso.
Kiuhnm
Valter Moretti
> Valter Moretti wrote:
> > On Jan 16, 6:04 pm, "Giorgio Bibbiani"
> > <giorgio_bibbianiTO...@virgilio.it.invalid> wrote:
> >> Valter Moretti ha scritto:
>
> >>>> immediatamente dalla def. di continuità tramite successioni) e quindi
> >>>> sono a posto.
> >>> ahhh cosa sentono le mio orecchie! (cioè leggono i miei occhi).
> >> Cioe' Kiuhnm sostituisci "compatto" a "chiuso". ;-)
>
> >> Ciao
>
> > Certo, ma volevo che ci arrivasse da solo!
>
> Intendevo un chiuso limitato (come nell'esempio del testo).
si lo avevo intuito, ti ho punzecchiato perché non avevi aggiunto
esplicitmante l'ipotesi di limitatezza, per avere la compattezza
(negli R^n).
> Comunque in analisi I non abbiamo visto la compattezza.
>
> Se non ricordo male dai miei studi personali risalenti ad anni e anni
> fa, se C è compatto allora ogni successione in C ammette una
> sottosuccessione convergente in C (perché è anche chiuso (in R è sempre
> vero, mi sembra di ricordare)).
si questo è la compattezza per successioni. Che negli spazi metrici,
come nel caso in esame è anche equivalente alla compattezza.
> Allora, data f:X->Y, se f(x_1),f(x_2),... converge a y in Y, esiste una
> sottosucc. x_{i_1}, x_{i_2},... che converge a x in X. Ma allora, per
> continuità di f, f(x_1),f(x_2),... ammette una sottosuccessione che
> converge a f(x), quindi deve anch'essa convergere a f(x). Allora Y è chiuso.
>
Giusto.
> Kiuhnm
Valter