Prodotto scalare di due vettori in coordinare sferiche.
Paolo Pani
Siano A e B due vettori tridimensionali di componenti (a1,a2,a3) e
(b1,b2,b3) scritte nella base dei versori r,thetha e phi (in un sistema
di coordinate sferiche).
Dal momento che la terna č ortonormale direi che
A scalare B = ai*bi
cosě come avviene nel caso cartesiano.
Se cosě fosse perň, prendendo due vettori radiale (a,0,0) (b,0,0) il
loro prodotto scalare sarebbe sempre ab a prescindere dall'angolo che
formano (in particolare potrebbero essere anche ortogonali).
Mi verrebbe da dire quindi che la somma del prodotto di componenti non
va bene... dove sbaglio?
Grazie
Gian Paolo Bronzetti
Trasformazione di coordinate da sferiche a cartesiane ortogonali,
x = r sin(th) cos(ph)
y = r sin(th) sin(ph)
z = r cos(th)
Prodotto scalare di due raggi vettori.
x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 = f(r1, r2, th1, th2, ph1, ph2)
a me non sembra semplice e se dovessi farlo cercherei di trovare l'angolo
tra i due vettori oppure trasformerei le coordinate.
L'esempio che hai fatto definisce due raggi vettori paralleli diretti come
l'asse verticale, perche` th = 0, ...
--
Paolo
Paolo Pani
>
> L'esempio che hai fatto definisce due raggi vettori paralleli diretti come
> l'asse verticale, perche` th = 0, ...
>
Ciao e grazie per la risposta. Devo essermi spiegato male però. Con
(a,0,0) non indendevo le coordinate di un punto, ma le coomponenti
rispetto ai versori di una base in cui i versori non sono i,j,k. Per
intenderci la terna che intendevo è questa qui:
http://www.chimdocet.it/inorganica/Figure/primo7.jpg
e quindi (a,0,0) è un vettore lungo r non lungo un x.. sto sbagliando
qualcosa o non ti ho capito?
Gian Paolo Bronzetti
>
> Gian Paolo Bronzetti wrote:
>
>> L'esempio che hai fatto definisce due raggi vettori paralleli diretti come
>> l'asse verticale, perche` th = 0, ...
>
> Ciao e grazie per la risposta. Devo essermi spiegato male però. Con
> (a,0,0) non indendevo le coordinate di un punto, ma le coomponenti
> rispetto ai versori di una base in cui i versori non sono i,j,k. Per
> intenderci la terna che intendevo è questa qui:
> e quindi (a,0,0) è un vettore lungo r non lungo un x.. sto sbagliando
> qualcosa o non ti ho capito?
Versori:
http://physics.smsu.edu/faculty/broerman/fall03/phy203/sphere0.htm
--
Paolo
Paolo Pani
Ho letto in un libro di geometria che la definizione di prodotto scalare
a*b*cos(fi) è equivalente a ai*bi se ai e bi sono le componenti dei
vettori in una base ortonormale. Ora, come anche i siti che mi hai
consigliato dicono, la base r,theta,phi è ortonormale.
Perchè allora non vale che presi A=A_r*r + A_theta*theta + A_phi*phi e
B=B_r*r + B_theta*theta + B_phi*phi,
AB= A_r*B_r+A_theta*B_theta+A_phi*B_phi?
Gian Paolo Bronzetti
Paolo Pani ha scritto:
A=A_r*r1^ + A_theta*theta1^ + A_phi*phi1^
B=B_r*r2^ + B_theta*theta2^ + B_phi*phi2^,
Le coordinate cartesiane ortogonali hanno versori che non variano
al variare del punto, e questo permette il calcolo del prodotto
punto in maniera semplice.
In coordinate cilindriche, come hai potuto vedere, ogni punto ha un
diverso sistema di versori, quindi le cose si complicano;
Per ottenere il prodotto punto devi considerare la metrica indotta
nello spazio euclideo dal sistema curvilineo di coordinate; questa
problematica [in 2D] e` utilizzata nel testo di Schutz introduttivo
alla Relativita` Generale per preparare il terreno agli spazi curvi.
Per non dire stupidaggini, e forse ne ho gia` dette, mi fermo qui.
--
Ciao,
Paolo
Gian Paolo Bronzetti
(a,0,0) e` un vettore di modulo r, non lungo r, la direzione e` data dagli
angoli.
Generico punto o raggio vettore in coordinate polari:
P(r, ph, th)
Punto in esame,
P(a,0,0), in coordinate polari
r = a
th = 0
ph = 0
rappresentano un vettore che si stacca dalla origine (raggio vettore), di
lunghezza=a, ph=qualunque e colatitudine=0, giacente sull'asse z.
--
Paolo
Paolo Pani
>
> Punto in esame,
> P(a,0,0), in coordinate polari
> r = a
> th = 0
> ph = 0
>
> rappresentano un vettore che si stacca dalla origine (raggio vettore), di
> lunghezza=a, ph=qualunque e colatitudine=0, giacente sull'asse z.
>
Ops, mi sa che sto prendendo una cantonata nello spiegare il problema.
Ti dico direttamente cosa devo fare così è più semplice, perchè in
realtà non mi interessa il caso generale:
ho un campo vettoriale radiale V di modulo v(r) (intendevo questo
quando, sbagliando, ho scirtto (a,0,0) ). Devo calcolare:
V scalar Nabla
dove Nabla è il gradiente in coordinate sferiche.
Ora io all'inizio pernsavo che tale prodotto scalare risultasse
semplicemente v(r)*d/dr, dal momento che il vettore che considero varia
solo lungo r. Ora però non ne sono tanto sicuro e volevo una
conferma/smentita e ho postato la domanda generale che ha una soluzione
più complessa ma non esclude che nel mio caso particolare funzioni.. che
dici?
Gian Paolo Bronzetti
news:hdype.1509596$35.56...@news4.tin.it...
>
> Ops, mi sa che sto prendendo una cantonata nello spiegare il problema.
> Ti dico direttamente cosa devo fare così è più semplice, perchè in
> realtà non mi interessa il caso generale:
> ho un campo vettoriale radiale V di modulo v(r) (intendevo questo
> quando, sbagliando, ho scirtto (a,0,0) ). Devo calcolare:
> V scalar Nabla
> dove Nabla è il gradiente in coordinate sferiche.
> Ora io all'inizio pernsavo che tale prodotto scalare risultasse
> semplicemente v(r)*d/dr, dal momento che il vettore che considero varia
> solo lungo r. Ora però non ne sono tanto sicuro e volevo una
> conferma/smentita e ho postato la domanda generale che ha una soluzione
> più complessa ma non esclude che nel mio caso particolare funzioni.. che
> dici?
V * Del e` un prodotto scalare che genera un operatore differenziale
scalare.
Un vettore radiale ha modulo r, per cui il campo vettoriale
V(r, th, ph) = r r^
L'operatore differenziale Nabla o Del dovrebbe essere
Del = r^ @/@r + th^ 1/r @/@th + ph^ 1/(r sin(th)) @/@ph
V * Del = r @/@r
A condizione che il versore r^ sia unitario e la componente g_r,r
della metrica in coordinate sferiche valga ancora uno.
--
Paolo
Gian Paolo Bronzetti
> "Paolo Pani" <pani...@REMOVEtin.it> ha scritto nel messaggio
> news:hdype.1509596$35.56...@news4.tin.it...
> >
> > Ops, mi sa che sto prendendo una cantonata nello spiegare il problema.
> > Ti dico direttamente cosa devo fare così è più semplice, perchè in
> > realtà non mi interessa il caso generale:
> > ho un campo vettoriale radiale V di modulo v(r) (intendevo questo
> > quando, sbagliando, ho scirtto (a,0,0) ). Devo calcolare:
> > V scalar Nabla
> > dove Nabla è il gradiente in coordinate sferiche.
> > Ora io all'inizio pernsavo che tale prodotto scalare risultasse
> > semplicemente v(r)*d/dr, dal momento che il vettore che considero varia
> > solo lungo r. Ora però non ne sono tanto sicuro e volevo una
> > conferma/smentita e ho postato la domanda generale che ha una soluzione
> > più complessa ma non esclude che nel mio caso particolare funzioni.. che
> > dici?
Finalmente ho capito, la tua risposta e` giusta: sostituisco r -> v(r)
-----------------------------------------------------------------------------
V * Del e` un prodotto scalare che genera un operatore differenziale
scalare.
Il vettore radiale ha modulo v(r), per cui il campo vettoriale
V(r, th, ph) = v(r) r^
L'operatore differenziale Nabla o Del dovrebbe essere
Del = r^ @/@r + th^ 1/r @/@th + ph^ 1/(r sin(th)) @/@ph
Essendo ortonormale il sistema delle basi, unitario il versore r^ ed
uguale a uno il componente g_r,r della metrica in coordinate sferiche,
V * Del = v(r) @/@r
--
Scusami,
Paolo
Paolo Pani
realtŕ mi era molto poco chiaro). Comunque ora l'ho capito meglio e
almeno mi confermi che ho operato correttamente visto che era il primo
passaggio di una risoluzione che, se avessi dovuto rifare, mi sarei
messo a piangere ;)
Ciao e alla prossima
Gian Paolo Bronzetti
> Ciao, figurati la colpa è mia che mi son spiegato malissimo (perchè in
> realtà mi era molto poco chiaro). Comunque ora l'ho capito meglio e almeno
> di una risoluzione che, se avessi dovuto rifare, mi sarei messo a piangere
> ;)
Quando trovo il coraggio rileggo tutte le mie risposte.
Mi preme dirti che ti ringrazio molto, questa esperienza mi e`
servita moltissimo anche se mi ha lasciato molti problemi irrisolti.
Es: sul web c'e`, tra altre, la formula per il calcolo della divergenza
in coordinate sferiche, ma non riesco a capire come venga fuori.
http://www.algebra.com/algebra/about/history/Nabla-in-cylindrical-and-spherical-coordinates.wikipedia
> Ciao e alla prossima
--
Ciao, Paolo
Giorgio Pastore
>...questa esperienza mi e`
> servita moltissimo anche se mi ha lasciato molti problemi irrisolti.
>
> Es: sul web c'e`, tra altre, la formula per il calcolo della divergenza
> in coordinate sferiche, ma non riesco a capire come venga fuori.
> http://www.algebra.com/algebra/about/history/Nabla-in-cylindrical-and-spherical-coordinates.wikipedia
Prova a seguire il link "curvilinear coordinates" che c' e' alla fine
della pagina che hai citato.
Giorgio
Elio Fabri
> Prova a seguire il link "curvilinear coordinates" che c' e' alla fine
> della pagina che hai citato.
coordinate ortogonali) c'e' un metodo semplice.
Si costruisce un "parallelepipedo curvilineo infinitesimo", formato da
segmenti radiali dr, da archetti di meridiano dtheta (lunghi
r*dtheta) e da archetti di parallelo dphi (lunghi r*\sin(theta)*dphi).
Si calcola il flusso uscente da questo volume, che si esprime mediante
le derivate delle componenti r, theta, phi del campo vettoriale v di
cui si sta cercando la divergenza.
Per il teorema della divergenza, questo flusso e' uguale al prodotto
di div v per il volume del parallelepipedo.
Magari il link dice prorio questo...
------------------------------
Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
------------------------------
Peltio
>Si costruisce un "parallelepipedo curvilineo infinitesimo",
[snip]
>Magari il link dice prorio questo...
Nope. Usa i fattori di scala e fornsce l'espressione generale degli
operatori vettoriali differenziali nel generico sistema di coordinate
curvilinee : )
saluti,
Peltio
rez
>"Elio Fabri" ha scritto
>>Si costruisce un "parallelepipedo curvilineo infinitesimo",
>[snip]
>>Magari il link dice prorio questo...
>Nope. Usa i fattori di scala e fornisce l'espressione generale degli
>operatori vettoriali differenziali nel generico sistema di coordinate
>curvilinee : )
Mah.. la fate complicata assai! :)
La divergenza di un campo di vettori, per definizione,
e` espresso a mezzo della derivata covariante.
Il fattore di scala che nomini dovrebbe essere legato al
determinante della metrica.. IMHO pero` e` piu` semplice
con Nabla, piuttosto che con le derivate parziali.
--
Ciao, rez || -- GNU/Linux 2.4.25 su Slackware 9.1 ||
Elio Fabri
> Mah.. la fate complicata assai! :)
>
> La divergenza di un campo di vettori, per definizione,
> e` espresso a mezzo della derivata covariante.
Secondo: secondo te usare le derivate covarianti e' piu' semplice?
Ti sfido a dare la spiegazione in meno di 100 righe :-))
rez
>rez ha scritto:
>>Mah.. la fate complicata assai! :)
>>La divergenza di un campo di vettori, per definizione,
>>e` espresso a mezzo della derivata covariante.
>Primo: la divergenza si puo' definire in piu' di un modo.
>Secondo: secondo te usare le derivate covarianti e' piu' semplice?
Mai due senza tre: il terzo l'aggiungo io.
Terzo: la divergenza di un campo di tensori non sempre e`
univoca, nel senso che per tensori di ordine p si possono
avere p divergenze distinte, ciascuna costituita da un
tensore di ordine p-1.
>Ti sfido a dare la spiegazione in meno di 100 righe :-))
Div(v)=Nabla_i v^i
Dunque un'espressione monomia di 8 caratteri.. cosa vinco?:-)
Ovvio: Nabla e` la derivata covariante, ma.. _la vera_ neh.
rez
>mi ha lasciato molti problemi irrisolti.
>Es: sul web c'e`, tra altre, la formula per il calcolo della divergenza
>in coordinate sferiche, ma non riesco a capire come venga fuori.
>http://www.algebra.com/algebra/about/history/Nabla-in-cylindrical
Non ho visto questo link che indichi, ne' lo guardero`.
Non avevo visto neppure questo tuo post.
Ma nel caso che state esaminando non c'e` differenza
alcuna - ti assicuro - tra la solita divergenza e quella
in coordinate polari.. grazie a Ricci;-)
L'unica avvertenza che devi avere e` che nel prodotto
scalare: "base scalar derivata parziale del vettore", non
devi far intervenire la base naturale, ma la sua duale;
ovvero - ed e` la stessa cosa - devi innalzare l'indice
dei vettori[*] della base a mezzo della metrica.
Arabo? be'.. SE e` cosi`, e SE ti interessa, fammi un
fischio:-)
[*] Vettori, non versori come - mi sembra - avete detto.
La metrica e` infatti questa:
1 0 0
0 rho^2cos^2(phi) 0
0 0 rho^2
ridotta cioe` alla forma diagonale, ma non unitaria.
AKA i vettori della base sono le radici quadrate:
e_1=1
e_2=rho cos(phi)
e_3=rho
in accordo anche col fatto che il modulo di un vettore v
non differisce della radice quadrata del valore assoluto
della sua norma (cioe`: v.v).
Gian Paolo Bronzetti
news:slrndb1ne...@p900.mizar...
> On Thu, 09 Jun 2005 09:00:23 GMT, Gian Paolo Bronzetti wrote:
>
>>mi ha lasciato molti problemi irrisolti.
>>Es: sul web c'e`, tra altre, la formula per il calcolo della divergenza
>>in coordinate sferiche, ma non riesco a capire come venga fuori.
>>http://www.algebra.com/algebra/about/history/Nabla-in-cylindrical
>
> Non ho visto questo link che indichi, ne' lo guardero`.
> Non avevo visto neppure questo tuo post.
> Ma nel caso che state esaminando non c'e` differenza
> alcuna - ti assicuro - tra la solita divergenza e quella
> in coordinate polari.. grazie a Ricci;-)
Due parole in merito a "grazie a Ricci", se possibile.
> L'unica avvertenza che devi avere e` che nel prodotto
> scalare: "base scalar derivata parziale del vettore", non
> devi far intervenire la base naturale, ma la sua duale;
> ovvero - ed e` la stessa cosa - devi innalzare l'indice
> dei vettori[*] della base a mezzo della metrica.
>
> Arabo? be'.. SE e` cosi`, e SE ti interessa, fammi un
> fischio:-)
Se con "base scalar derivata parziale del vettore" intendi
il calcolo del prodotto Nabla * V, e` chiaro.
Forte delle mie letture di RG, ho tentato infatti di inserire la
metrica nel prodotto scalare, ma la conclusione e` stata :
devo capire meglio quel po` che ho letto di Geometria Differenziale
e Relativita` Generale <=> studiare :-)
Grazie della disponibilita` !!
> [*] Vettori, non versori come - mi sembra - avete detto.
>
> La metrica e` infatti questa:
> 1 0 0
> 0 rho^2cos^2(phi) 0
> 0 0 rho^2
>
> ridotta cioe` alla forma diagonale, ma non unitaria.
> AKA i vettori della base sono le radici quadrate:
> e_1=1
> e_2=rho cos(phi)
> e_3=rho
> in accordo anche col fatto che il modulo di un vettore v
> non differisce della radice quadrata del valore assoluto
> della sua norma (cioe`: v.v).
Nel problema in discussione nel thread, in coordinate polari,
la base era definita come ortonormale.
Si doveva calcolare V * Nabla, non la divergenza.
Pareva percio` che bastasse moltiplicare le componenti;
era uno dei quesiti che l'OP poneva al quale non ho risposto.
Ho anche il forte dubbio che la forma di Nabla in coordinate
ortonormali sia diversa da quella in coordinate naturali.
Dato che poi il campo vettoriale era radiale e la componente
g_rr della metrica e` 1 anche nella base naturale, ero tranquillo
che la semplice moltiplicazione delle componenti radiali del
vettore e di Nabla fosse corretto e desse il prodotto scalare
cercato, un operatore differenziale scalare.
Ogni commento e` gradito. Per favore non dirmi: studia! :-))
> --
> Ciao, rez || -- GNU/Linux 2.4.25 su Slackware 9.1 ||
--
Paolo
Elio Fabri
> Div(v)=Nabla_i v^i
> Dunque un'espressione monomia di 8 caratteri.. cosa vinco?:-)
> Ovvio: Nabla e` la derivata covariante, ma.. _la vera_ neh.
Appunto. Ovvio per te e per me, ma non per il nostro amico, il quale
sa solo come si definisce la div in coordinate cartesiane.
Gian Paolo Bronzetti
> On 16 Jun 2005 07:01:41 -0700, Gian Paolo Bronzetti wrote:
>>"rez" <r...@rez.localhost> ha scritto:
>
>>Due parole in merito a "grazie a Ricci", se possibile.
>
> occasione, che' adesso mi vien male.
Del tensore e dello scalare di Ricci so qualcosa, attendo
di sapere se e` lo stesso Gregorio Ricci Curbastro mio
corregionale [sono di Rimini].
[SNIP]
> Ma queste cose le trovi moolto meglio in un testo di
> meccanica dei continui.
> I moltivi? Be': i) sono nello spazio 3-dimensionale;
> ii) tale spazio e` cartesiano AKA piatto e con Pitagora;
> iii) tutto quel che studi lo "vedi".
Basteranno le dispense PDF, alcune anche raccomandate da
esperti tipo Gerard 't Hooft [nota curiosa, ho anche la dispensa
di Valter Moretti] oppure conviene un buon testo?
> Il fatto e` che di RG trovi una barca di roba e robaccia,
> mentre invece meccanica dei continui e` alta matematica,
> benche' sia fatta - e a tutti i livelli - anche da/per
> ingegneri e dunque anche con applicazioni molto piu`
> istruttivissime assai.
La RG e` il mio obiettivo finale, mi sono bloccato a causa
di alcune lacune che sto tentando di colmare.
>>>AKA i vettori della base sono le radici quadrate:
>>>e_1=1
>>>e_2=rho cos(phi)
>>>e_3=rho
>
>>Nel problema in discussione nel thread, in coordinate polari,
>>la base era definita come ortonormale.
>
> [ne approfitto per correggere il mio errore qui su,
> dicendo che quelli sono infatti i _moduli_ dei vettori
> della base naturale].
E` evidente, ma non l'avevo notato.
> Si vede che fanno questo cambiamento di base:
>
> E_1=e_1/|e_1|=e_1
> E_2=e_2/|e_2|
> E_3=e_3/|e_3|
>
> cioe` brevemente: E_i=e_i/|e_i|
OK ! chiarissimo, salvo valutare poi come cambiano le formule:
questo e` oggetto dei miei studi a breve.
>>Si doveva calcolare V*Nabla, non la divergenza.
>
> Ma V.Nabla [ossia Nabla_i(v^i)] *E`* la divergenza.
> [qui nelle news e` meglio . come scalar, * come per]
Non e` la divergenza, ma come dico poi, un operatore
differenziale "scalare" che agisce sulle componenti di un
vettore e restituisce un vettore. [strano ma cosi` dice S.V.
Fomin, e la parola "scalare" e` tra virgolette nel testo].
>>Pareva percio` che bastasse moltiplicare le componenti;
>>era uno dei quesiti che l'OP poneva al quale non ho risposto.
>>Ho anche il forte dubbio che la forma di Nabla in coordinate
>>ortonormali sia diversa da quella in coordinate naturali.
>
> Nabla in questo contesto e` indistinguibile dalla
> derivazione parziale ordinaria.
>
> Guarda: Nabla_i(v)==@_i(v)==@(v)/@(y^i)
>
> -- grazie a Ricci;^)
>
> E questo con base, sia ortonormale, sia ortospeciale:-)
Ortospeciale e` una battuta o si dice ?
> Devi invece tener conto solo della trasformazione che ho
> detto prima: E_i=e_i/|e_i|, penso.
Perfetto, quando riusciro` a chiarirmi cosa ne consegue, ti
faccio un fischio. :-)
>>Dato che poi il campo vettoriale era radiale e la componente
>>g_rr della metrica e` 1 anche nella base naturale, ero tranquillo
>>che la semplice moltiplicazione delle componenti radiali del
>>vettore e di Nabla fosse corretto e desse il prodotto scalare
>>cercato, un operatore differenziale scalare.
>
> Boh.. mi sa che prima o poi un salto ce lo faccio
> in quel sito: mi state incuriosendo:-)
Nel sito ci son solo le formule nei vari sistemi di coordinate,
Giorgio Pastore mi ha fatto notare un link ad altra pagina del
sito ove potevo capirne la derivazione, fatta pero` usando
i fattori di scala e non la metrica.
>>Per favore non dirmi: studia! :-))
>
> Cioe`?! 8-]
> Ma non sei ingegnere? e poi in giugno c'e` vacanza!
Ingegnere in pensione che sta` tentando di rimediare ad
un errore di gioventu`. Non ti dico quale, e` un segreto. :-))
> --
> Ciao, rez || -- GNU/Linux 2.4.25 su Slackware 9.1 ||
La mia firma di tre anni fa`, quando mi facesti i complimenti per
aver sostenuto che la velocita del tempo dovesse essere i * c.
http://groups.google.it/group/it.scienza.fisica/msg/dd555962f57cbfda?hl=it
--
Ciao, Gian Paolo
"Don't worry about your difficulties in mathematics;
I can assure you that mine are still greater." A. Einstein
rez
>"rez" <r...@rez.localhost> ha scritto nel messaggio
>Del tensore e dello scalare di Ricci so qualcosa, attendo
>di sapere se e` lo stesso Gregorio Ricci Curbastro mio
>corregionale [sono di Rimini].
Certo, proprio lui.
>Basteranno le dispense PDF, alcune anche raccomandate da
>esperti tipo Gerard 't Hooft [nota curiosa, ho anche la dispensa
>di Valter Moretti] oppure conviene un buon testo?
Non posso dirti nulla, non conosco quei lavori.
Ma ho visto che vai fortissimo col software.. dai allora
un'occhiata a Curve e superfici del buon Caddeo (cerca
su unica.it).
E' solo per geometria differenziale da fare con
Methematica (che quindi ti occorrerebbe pero` avere).
>>Il fatto e` che di RG trovi una barca di roba e robaccia,
>>mentre invece meccanica dei continui e` alta matematica,
-cut-
>La RG e` il mio obiettivo finale, mi sono bloccato a causa
>di alcune lacune che sto tentando di colmare.
Se posso: ma in RR come sei messo? te lo chiedo perche'
la RG e` parecchio piu` impegnativa, ma non compensa
aggiungendoti tutto quello che - penso - tu invece ti
stai aspettando.
>>>Si doveva calcolare V*Nabla, non la divergenza.
>>Ma V.Nabla [ossia Nabla_i(v^i)] *E`* la divergenza.
>Non e` la divergenza, ma come dico poi, un operatore
>differenziale "scalare" che agisce sulle componenti di un
>vettore e restituisce un vettore. [strano ma cosi` dice S.V.
>Fomin, e la parola "scalare" e` tra virgolette nel testo].
No.. penso proprio di no. Su di un vettore si puo' "agire"
sempre e solo aperando in termini di componenti.
Nabla devi/puoi vederlo semplicemente come il "de"
(AKA @ qui nelle news) delle derivate parziali.
In altre parole anche elementarmente Nabla e` "un
operatore differenziale <<scalare>> che..", solo che e`
piu` maneggevole vederlo come vettore nominale.
Cmq, guarda da solo tu cos'e`:
NOTAZIONI
1. v=v^i e_i
2. @()/@y^j == @_j(); le y sono ff. arbitrarie delle x
3. @_j(v)=@_j(v^k e_k)=@_j(v^K) e_k + v^i @_j(e_k).
4. @_j(e_i)=Gamma_ji^k e_k [connessione affine].
DERIVATA COVARIANTE (alias Nabla, alias gradiente)
Raccogliendo a fattore i vettori e_k della base naturale,
la 3 si puo` riscrivere cosi`:
5. @_j(v)=[@_j(v^k) + Gamma_ji^k v^i] e_k.
Ebbene: la quantita` entro parentesi quadre, dipendente
dai due indici j,k (i e` muto), e` Nabla.
>>E questo con base, sia ortonormale, sia ortospeciale:-)
>Ortospeciale e` una battuta o si dice ?
No scherzavo, volevo dire che vale anche se sono solo
ortogonali.
>Ingegnere in pensione che sta` tentando di rimediare ad
>un errore di gioventu`. Non ti dico quale, e` un segreto. :-))
Segreto di Pulcinella, eccolo: che quando torni a nascere
fai matematica.. per pentirtene il doppio;^)
>La mia firma di tre anni fa`,
>"Don't worry about your difficulties in mathematics;
>I can assure you that mine are still greater." A. Einstein
Be' ma era alta matematica e per giunta quasi del tutto
sconosciuta se non per questioni solo geometriche.
>quando mi facesti i complimenti per
>aver sostenuto che la velocita del tempo dovesse essere i*c.
E lo credo, e` bellissima veramente! col tempo immaginario
era stato Marcolongo ad iniziare.. molto interessante:-)
Gian Paolo Bronzetti
> On Thu, 16 Jun 2005 20:56:17 GMT, Gian Paolo Bronzetti wrote:
>>"rez" <r...@rez.localhost> ha scritto nel messaggio
>>>On 16 Jun 2005 07:01:41 -0700, Gian Paolo Bronzetti wrote:
Taglio le cose per le quali ti ringrazio e ritengo chiuse.
> .. dai allora
> un'occhiata a Curve e superfici del buon Caddeo (cerca
> su unica.it).
Appena scaricati, grazie.
> Se posso: ma in RR come sei messo? te lo chiedo perche'
> la RG e` parecchio piu` impegnativa, ma non compensa
> aggiungendoti tutto quello che - penso - tu invece ti
> stai aspettando.
In RR e RG ho raggiunto il mio obiettivo minimale, so che
cosa esse sono, finalmente, ma cio` non significa che le
so` usare.
RR, conosco il minimo indispensabile, ma sto aspettando
da 5 mesi un libro da Mosca [in italiano]. Se arriva e non mi
soddisfa comprero`, se non trovo qualcosa in italiano, qualche
testo consigliato in inglese.
RG, ho ancora un sacco da fare [sono solo a meta` di
"Gravitation"] pur avendo letto per intero "A first course
in General Relativity" di Schutz e qualche dispensa.
>>>>Si doveva calcolare V*Nabla, non la divergenza.
>
>>>Ma V.Nabla [ossia Nabla_i(v^i)] *E`* la divergenza.
>
>>Non e` la divergenza, ma come dico poi, un operatore
>>differenziale "scalare" che agisce sulle componenti di un
>>vettore e restituisce un vettore. [strano ma cosi` dice S.V.
>>Fomin, e la parola "scalare" e` tra virgolette nel testo].
>
> No.. penso proprio di no. Su di un vettore si puo' "agire"
> sempre e solo aperando in termini di componenti.
Integrali multipli e Serie, B.M. Budak e S.V. Fomin,
Edizioni Mir.
Cap. VI Teoria dei Campi [scritto da Fomin]
Par. 5 Operatore hamiltoniano pp. 228-231.
Il modo in cui opera con Nabla e` penso inusuale e
funziona, a pag. 231 c'e` quanto ti dicevo.
> Nabla devi/puoi vederlo semplicemente come il "de"
> (AKA @ qui nelle news) delle derivate parziali.
>
> In altre parole anche elementarmente Nabla e` "un
> operatore differenziale <<scalare>> che..", solo che e`
> piu` maneggevole vederlo come vettore nominale.
>
> Cmq, guarda da solo tu cos'e`:
>
> NOTAZIONI
> 1. v=v^i e_i
> 2. @()/@y^j == @_j(); le y sono ff. arbitrarie delle x
> 3. @_j(v)=@_j(v^k e_k)=@_j(v^K) e_k + v^i @_j(e_k).
> 4. @_j(e_i)=Gamma_ji^k e_k [connessione affine].
>
> DERIVATA COVARIANTE (alias Nabla, alias gradiente)
> Raccogliendo a fattore i vettori e_k della base naturale,
> la 3 si puo` riscrivere cosi`:
> 5. @_j(v)=[@_j(v^k) + Gamma_ji^k v^i] e_k.
>
> Ebbene: la quantita` entro parentesi quadre, dipendente
> dai due indici j,k (i e` muto), e` Nabla.
Ho letto, stampo, rileggero`.
[SNIP]
> --
> Ciao, rez || -- GNU/Linux 2.4.25 su Slackware 9.1 ||
--
Grazie, Paolo
rez
>"rez" <r...@rez.localhost> ha scritto nel messaggio
>pur avendo letto per intero "A first course in
>General Relativity" di Schutz e qualche dispensa.
Indirettamente, so che questo di Schultz e` certamente
molto buono. A te com'e` sembrato?
>>5. @_j(v)=[@_j(v^k) + Gamma_ji^k v^i] e_k.
>>Ebbene: la quantita` entro parentesi quadre, dipendente
>>dai due indici j,k (i e` muto), e` Nabla.
>Ho letto, stampo, rileggero`.
Ho guardato quel sito che dicevi: algebra.com/eccetera,
e ho capito perche' dici - giustamente - che non riesci
a determinare da dove la tira fuori.
Be' e` semplicissimo.. quando gia` si sa.
Dalla 5. qui su - e sempre per Ricci;-) - devi
esprimere Gamma a mezzo del determinante della metrica:
5'. div(v)=Nabla_j(v^j)=@_h(v^h) + Gamma_ki^k v^i
6. Gamma_ki^k=1/sqrt|g| @_j(sqrt|g|)
7. div(v)=@_h(v^h) + 1/sqrt|g| @_i(sqrt|g|) v^i
8. div(v)=1/sqrt|g| @_i(sqrt|g| v^i)
La g ce l'hai dall'altro giorno, e`: g=rho^4 cos^2(phi),
sostituisci tutto e c'hai quella del sito, tranne seno
al posto di coseno.
[g l'ho lasciato col valore assoluto visto che
fai RR/RG;-)]
Gian Paolo Bronzetti
> On Fri, 17 Jun 2005 10:01:03 GMT, Gian Paolo Bronzetti wrote:
>>"rez" <r...@rez.localhost> ha scritto nel messaggio
>
>>pur avendo letto per intero "A first course in
>>General Relativity" di Schutz e qualche dispensa.
>
> Indirettamente, so che questo di Schultz e` certamente
> molto buono. A te com'e` sembrato?
Il mio parere su Schutz e` discutibile assai: ottimo con riserva.
Fa` miracoli, introducendo i concetti difficili appena possibile
magari, come per i "simboli di Christoffel" ricavati in coordinate
polari 2D. :-)
Poi, qualche volta, ad es. quando deduce l'esistenza delle
onde gravitazionali dalla equazione di Einstein linearizzata,
salta passaggi concettuali e formali per cui quelli come me
non capiscono.
>>>5. @_j(v)=[@_j(v^k) + Gamma_ji^k v^i] e_k.
>>>Ebbene: la quantita` entro parentesi quadre, dipendente
>>>dai due indici j,k (i e` muto), e` Nabla.
>
>>Ho letto, stampo, rileggero`.
>
> Ho guardato quel sito che dicevi: algebra.com/eccetera,
> e ho capito perche' dici - giustamente - che non riesci
> a determinare da dove la tira fuori.
> Be' e` semplicissimo.. quando gia` si sa.
>
> Dalla 5. qui su - e sempre per Ricci;-) - devi
Tanto da solo non ci arrivo. :-((
> esprimere Gamma a mezzo del determinante della metrica:
>
> 5'. div(v)=Nabla_j(v^j)=@_h(v^h) + Gamma_ki^k v^i
> 6. Gamma_ki^k=1/sqrt|g| @_j(sqrt|g|)
> 7. div(v)=@_h(v^h) + 1/sqrt|g| @_i(sqrt|g|) v^i
> 8. div(v)=1/sqrt|g| @_i(sqrt|g| v^i)
Grazie ! Incredibile, ma ora e` tutto chiaro.
> --
> Ciao, rez || -- GNU/Linux 2.4.25 su Slackware 9.1 ||
--
Ciao, Paolo
rez
>>Ortospeciale e` una battuta o si dice ?
>No scherzavo, volevo dire che vale anche se sono solo
>ortogonali.
Mi correggo: evidentemente era solo una battuta (del
piffero), perche' il determinante della metrica e`
costante se sono ortonormali, ortogonali generalmente
non basta.
Il "contesto" di cui parlavo era infatti il passaggio
alla base ortonormale: E_i=e_i/|e_i|.