Sistemi lineari e non (Teoria dei sistemi)
Dottor Jekyll
esempio mediante l'interconnessione dei seguenti blocchi :
1) Blocco che moltiplica il segnale di ingresso per un certo numero A
(blocco amplificatore)
2) Blocco derivatore
2) Blocco integratore
4) Blocco che produce un ritardo di un tempo T sul segnale di ingresso
5) Blocco sommatore
Mi chiedevo : Un *qualsiasi* sistema lineare č sempre composto da una certa
interconnessione dei soli blocchi 1), 2), 3), 4), 5) ?
Detto in altro modo vorrei porre la domanda : Quali sono le operazioni
piů "fondamentali" che vengono compiute in un generico sistema lineare ?
Sono solo le 1), ..., 5) ? Se ce ne sono altre quali sono ?
Oppure sono infinite ?
E volendo fare lo stesso discorso per i sistemi non lineari ?
Ciao, Leonardo Kotelnikor = Dottor Jekyll
Phoenix
"Dottor Jekyll" <aqu...@tiscali.it> ha scritto nel messaggio
news:a95ser$353$3...@pegasus.tiscalinet.it...
> Un sistema lineare, eventualmente anche con memoria, può essere ottenuto
per
> esempio mediante l'interconnessione dei seguenti blocchi :
>
> 1) Blocco che moltiplica il segnale di ingresso per un certo numero A
> (blocco amplificatore)
Ok
> 2) Blocco derivatore
Il derivatore e' meglio non usarlo, perche' non e' causale.
> 2) Blocco integratore
Ok
> 4) Blocco che produce un ritardo di un tempo T sul segnale di ingresso
Ok
> 5) Blocco sommatore
>
Ok
> Mi chiedevo : Un *qualsiasi* sistema lineare è sempre composto da una
certa
> interconnessione dei soli blocchi 1), 2), 3), 4), 5) ?
> Detto in altro modo vorrei porre la domanda : Quali sono le operazioni
> più "fondamentali" che vengono compiute in un generico sistema lineare ?
> Sono solo le 1), ..., 5) ? Se ce ne sono altre quali sono ?
> Oppure sono infinite ?
>
Ci sto pensando.... comunque, sono piu' propenso a credere che non siano
sufficienti.
Ciao, Phoenix.
Nicola Scolari
>
> Un sistema lineare, eventualmente anche con memoria, può essere > ottenuto per
> esempio mediante l'interconnessione dei seguenti blocchi :
Ciao!
Inanzitutto comincerei a distinguere sistemi a tempo continuo o a tempo
discreto. Per i sistemi a tempo continuo:
> 1) Blocco che moltiplica il segnale di ingresso per un certo numero A
> (blocco amplificatore)
> 2) Blocco derivatore
> 2) Blocco integratore
> 4) Blocco che produce un ritardo di un tempo T sul segnale di ingresso
> 5) Blocco sommatore
Ok! sono tutti lineari ed ora come ora non me ne viene in mente nessuno
in piu' di questi.
Per i sistemi a tempo discreto bisogna togliere i blocchi 2),3) e 4) e
rimpiazzarli con il blocco di ritardo di un periodo (per piu' periodi se
ne mettono svariati in cascata).
> Mi chiedevo : Un *qualsiasi* sistema lineare è sempre composto da una > certa interconnessione dei soli blocchi 1), 2), 3), 4), 5) ?
Mi sembra di si (almeno per quello che uso io)
> E volendo fare lo stesso discorso per i sistemi non lineari ?
Per i sistemi non lineari ce ne sono infinite di possibilita'. Ogni
funzione che non faccia parte di 1)...5) fa rientrare il sistema nella
categoria dei sistemi non lineari. Anche la sola moltiplicazione tra due
segnali rende il sistema non lineare.
Vorrei solo segnalarti che c'e' un metodo basato sulle serie di Volterra
per esaminare i sistemi debolmente non lineari come se fossero dei
sistemi lineari (in realta' la questione e' un bel po' piu' complicata)
Ciao
Scola
Ciao
Scola
Dottor Jekyll
Phoenix <squad...@tiscalinet.it> wrote in message
> Ci sto pensando.... comunque, sono piu' propenso a credere che non siano
> sufficienti.
Pensandoci bene io sarei portato a dire che esistano infiniti modi di
realizzare blocchi elementari che poi interconnessi diano un sistema
lineare, anche se mi piacerebbe fare un ragionamento più rigoroso. Quello
che
ho pensato è : si prenda una certa funzione H(s) arbitraria e poi si ammetta
che nel dominio di Laplace si abbia Y(s) = H(s)X(s) dove X(s) e Y(s) sono
rispettivamente le funzioni di trasferimento dell'ingresso e dell'uscita di
un certo blocco. In tali ipotesi il sistema descritto da H(s) è un sistema
lineare (?). In tal caso ci sarebbero infinite possibilità di realizzare
sistemi lineari interconnettendo opportune H_i(s) in modo arbitrario. Resta
a questo punto da dire se una generica H_i(s) possa essere sempre pensata
come l'interconnessione dei blocchi 1), ..., 5) che citavo prima, ma io
sarei portato a dire di no in quanto le H_i(s) si possono scegliere a
piacere e quindi anche scegliere parecchio "strane". Quindi il problema
sarebbe : data una generica H_i(s) che caratterizza un certo blocco, allora
questo blocco può essere sempre ricondotto all'interconnessione dei blocchi
1), ..., 5) ? Come dicevo a me mi sembra di no. Però ho pensato pure che si
potrebbe dire che per esempio di una H_i(s) si può fare uno sviluppo in
serie. Ad esempio sviluppo in serie di Mac-Laurin (ometto l'indice i) H(s) =
somma(k = 0, oo)(H(0)/k! s^k) in tal caso il blocco H(s) si potrebbe pensare
come un blocco in cui si esegue la somma di infiniti segnali provenienti dai
sotto-blocchi H(o)/k! s^k, che però sono dei blocchi che eseguono delle
derivate ripetute sul segnale visto che nelle loro funzioni di trasferimento
compaiono dei termini s^k. Quindi sarebbero questi i blocchi più elementari
? Se si ci si sarebbe ricondotti al caso dei blocchi 1), ..., 5) solo che
adesso di blocchi ce ne sono infiniti. E se si cambia lo sviluppo in serie ?
Allora sarebbero altri i blocchi elementari ?
Altre cose :
Dato un sistema che si ottenga connettendo i blocchi 1), ..., 5) si può
provare che la corrispondente funzione di trasferimento è una funzione
razionale reale a coefficienti reali. Si può provare il viceversa ?
Dati due sistemi di cui uno lineare A ed uno non lineare B che hanno la
stessa risposta impulsiva, allora che relazione c'è tra A e B ?
Ciao, DJ
Phoenix
>
> Phoenix <squad...@tiscalinet.it> wrote in message
> > Ci sto pensando.... comunque, sono piu' propenso a credere che non siano
> > sufficienti.
>
> Pensandoci bene io sarei portato a dire che esistano infiniti modi di
> realizzare blocchi elementari che poi interconnessi diano un sistema
> lineare, anche se mi piacerebbe fare un ragionamento più rigoroso. Quello
> che
> ho pensato è : si prenda una certa funzione H(s) arbitraria e poi si
ammetta
> che nel dominio di Laplace si abbia Y(s) = H(s)X(s) dove X(s) e Y(s) sono
> rispettivamente le funzioni di trasferimento dell'ingresso e dell'uscita
di
> lineare (?).
No, aspetta. X(s) e Y(s) non sono funzioni di trasferimento, sono le
trasformate di
Laplace dei segnali di ingresso e di uscita.
H(s) e' la funzione di trasferimento del sistema e non puo' essere una
funzione arbitraria.
Phoenix.
Dottor Jekyll
> trasformate di
> Laplace dei segnali di ingresso e di uscita.
> H(s) e' la funzione di trasferimento del sistema e non puo' essere una
> funzione arbitraria.
Ok, ho sbagliato a scrivere, volevo dire X(s), Y(s) trasformate di Laplace
dell'ingresso e dell'uscita rispettivamente e H(s) arbitraria funzione di
trasferimento di un ipotetico sistema. Però il resto credo sia giusto.
Perché non posso fissare H(s) in modo arbitrario ? Io avevo pensato che se
dico che per il mio ipotetico sistema è Y(s) = H(s)X(s) allora il sistema è
necessariamente lineare in quanto se prendo due ingressi con trasformata di
Laplace X_1(s), X_2(s) e a, b numeri reali si ha in corrispondenza
all'ingresso X(s) = a X_1(s) + bX_2(s) l'uscita Y(s) = aY_1(s) + bY_2(s)
dove Y_1 e Y_2 sono le uscite in corrispondenza a X_1 e X_2. Oppure no ?
Ciao
Giovanni Bramanti
>
> > 1) Blocco che moltiplica il segnale di ingresso per un certo numero A
> > (blocco amplificatore)
> > 2) Blocco derivatore
> > 2) Blocco integratore
> > 4) Blocco che produce un ritardo di un tempo T sul segnale di ingresso
> > 5) Blocco sommatore
>
> Ok! sono tutti lineari ed ora come ora non me ne viene in mente nessuno
> in piu' di questi.
> Per i sistemi a tempo discreto bisogna togliere i blocchi 2),3) e 4) e
> rimpiazzarli con il blocco di ritardo di un periodo (per piu' periodi se
> ne mettono svariati in cascata).
>
> > Mi chiedevo : Un *qualsiasi* sistema lineare è sempre composto da una > certa interconnessione dei soli blocchi 1), 2), 3), 4), 5) ?
>
> Mi sembra di si (almeno per quello che uso io)
Però supponi di avere un segnale A(t)
Moltiplicalo per f e per g
l'uscita della somma è la somma delle uscite.
l'uscita di un multiplo è il multiplo dell'uscita.
Ora non è questo che si intende per lineare?
Mi sembra che non si possa creare questa
moltiplicazione per un segnale A(t)
arbitrario con i soli elementi che sono qui
suggeriti. A meno che in 1) non si
intenda A(t).
Gianmarco
--
Posted via Mailgate.ORG Server - http://www.Mailgate.ORG
Phoenix
"Giovanni Bramanti" <gianma...@inwind.it> ha scritto nel messaggio
news:9047d74b6a447910e89...@mygate.mailgate.org...
>
>
> Però supponi di avere un segnale A(t)
> Moltiplicalo per f e per g
> l'uscita della somma è la somma delle uscite.
> l'uscita di un multiplo è il multiplo dell'uscita.
>
> Ora non è questo che si intende per lineare?
>
Si e' lineare, ma e' anche tempovariante.
> Mi sembra che non si possa creare questa
> moltiplicazione per un segnale A(t)
> arbitrario con i soli elementi che sono qui
> suggeriti. A meno che in 1) non si
> intenda A(t).
>
Infatti, credo pero' che D. Jekyll si riferisse a sistemi lineari e
stazionari.
Ciao, Phoenix.
Phoenix
>
>
> Ok, ho sbagliato a scrivere, volevo dire X(s), Y(s) trasformate di Laplace
> dell'ingresso e dell'uscita rispettivamente e H(s) arbitraria funzione di
> trasferimento di un ipotetico sistema. Però il resto credo sia giusto.
> Perché non posso fissare H(s) in modo arbitrario ?
Puoi farlo.
La funzione di trasferimento e' un modo di descrivere
un sistema lineare, stazionario.
Scegli una H(s) ammissibile ed avrai un sistema L. S.
> Io avevo pensato che se
> dico che per il mio ipotetico sistema è Y(s) = H(s)X(s) allora il sistema
è
> necessariamente lineare in quanto se prendo due ingressi con trasformata
di
> Laplace X_1(s), X_2(s) e a, b numeri reali si ha in corrispondenza
> all'ingresso X(s) = a X_1(s) + bX_2(s) l'uscita Y(s) = aY_1(s) + bY_2(s)
> dove Y_1 e Y_2 sono le uscite in corrispondenza a X_1 e X_2. Oppure no ?
>
Si, e' giusto.
Ciao, Phoenix.
Phoenix
> Un sistema lineare, eventualmente anche con memoria, puņ essere ottenuto
per
> esempio mediante l'interconnessione dei seguenti blocchi :
>
> 1) Blocco che moltiplica il segnale di ingresso per un certo numero A
> (blocco amplificatore)
> 2) Blocco derivatore
> 2) Blocco integratore
> 4) Blocco che produce un ritardo di un tempo T sul segnale di ingresso
> 5) Blocco sommatore
>
> Mi chiedevo : Un *qualsiasi* sistema lineare č sempre composto da una
certa
> interconnessione dei soli blocchi 1), 2), 3), 4), 5) ?
Ripensandoci, penso che si possa sempre fare, a patto che tu utilizzi
il blocco derivatore che e' non causale.
Quindi puoi sempre ottenere uno schema di interconnessione con 1) ... 5),
che pero' non rispecchia un sistema reale.
Considera che i tipi di collegamento sono:
1) in serie
2) in parallelo
3) in retroazione
>
> E volendo fare lo stesso discorso per i sistemi non lineari ?
>
Per i sistemi N.L. non si puo' fare.
Ciao Phoenix.
Stefano Crispino
news:3CB6A107...@epfl.ch...
8<
> Per i sistemi non lineari ce ne sono infinite di possibilita'. Ogni
> funzione che non faccia parte di 1)...5) fa rientrare il sistema nella
> categoria dei sistemi non lineari. Anche la sola moltiplicazione tra due
> segnali rende il sistema non lineare.
> Vorrei solo segnalarti che c'e' un metodo basato sulle serie di Volterra
> per esaminare i sistemi debolmente non lineari come se fossero dei
> sistemi lineari (in realta' la questione e' un bel po' piu' complicata)
Qual e' questo quid, che rende i sistemi lineari cosi' desiderabili tanto da
voler ricondurre ogni caso non-lineare a lineare? C'e' una qualche
proprieta' specifica di tutto cio' che e' lineare da giustificare lo sforzo,
o si tratta di una affezione umana?
Ciao,
Stefano
--
"Piu' l'isola della conoscenza cresce,
piu' la superficie a contatto col mare
dell'ignoto si estende"
Proverbio cinese
Phoenix
"Stefano Crispino" <iks...@libero.it> ha scritto nel messaggio
news:mVhu8.32830$SR5.8...@twister1.libero.it...
> "Nicola Scolari" <nicola....@epfl.ch> ha scritto nel messaggio
> news:3CB6A107...@epfl.ch...
> 8<
> > Per i sistemi non lineari ce ne sono infinite di possibilita'. Ogni
> > funzione che non faccia parte di 1)...5) fa rientrare il sistema nella
> > categoria dei sistemi non lineari. Anche la sola moltiplicazione tra due
> > segnali rende il sistema non lineare.
> > Vorrei solo segnalarti che c'e' un metodo basato sulle serie di Volterra
> > per esaminare i sistemi debolmente non lineari come se fossero dei
> > sistemi lineari (in realta' la questione e' un bel po' piu' complicata)
>
> Qual e' questo quid, che rende i sistemi lineari cosi' desiderabili tanto
da
> voler ricondurre ogni caso non-lineare a lineare? C'e' una qualche
> proprieta' specifica di tutto cio' che e' lineare da giustificare lo
sforzo,
> o si tratta di una affezione umana?
> Ciao,
> Stefano
I sistemi lineari sono molto piu' facili da studiare,
rispetto a quelli non lineari.
Phoenix.
Phoenix
"Phoenix" <squad...@tiscalinet.it> ha scritto nel messaggio
news:ngiu8.32929$SR5.8...@twister1.libero.it...
>
> "Stefano Crispino" <iks...@libero.it> ha scritto nel messaggio
> news:mVhu8.32830$SR5.8...@twister1.libero.it...
> >
tanto
> da
> > voler ricondurre ogni caso non-lineare a lineare? C'e' una qualche
> > proprieta' specifica di tutto cio' che e' lineare da giustificare lo
> sforzo,
> > o si tratta di una affezione umana?
> > Ciao,
> > Stefano
>
> I sistemi lineari sono molto piu' facili da studiare,
> rispetto a quelli non lineari.
>
> Phoenix.
>
>
Ad esempio, stabilire se un sistema lineare e' stabile e' banale.
Per un sistema N.L. le cose sono parecchio piu' complicate.
Ciao, Phoenix.
Gianmarco
> Qual e' questo quid, che rende i sistemi lineari cosi' desiderabili tanto da
> voler ricondurre ogni caso non-lineare a lineare?
Questo e' ovviamente un quid matematico. L'algebra lineare fornisce
strumenti pressoche' completi per la codificazione e la
soluzione di problemi lineari.
Il modo piu' semplice di cogliere il punto vantaggioso e' riconoscere
che la soluzione di un problema complesso puo' essere ridotto allo
studio di sottoproblemi semplici. Si pensi all'analisi di Fourier.
C'e' una qualche
> proprieta' specifica di tutto cio' che e' lineare da giustificare lo sforzo,
> o si tratta di una affezione umana?
Bisognerebbe chiederlo a qualcosa che non e' umano. La natura umana non
e' lineare, ma la linearita' e' un valido sussidio alla comprensione
di molti fenomeni naturali. L'universo potrebbe essere un buon
interlocutore.
> Ciao,
Non ho mai trovato, ma non so se si tratta di una
risposta inesistente, ragioni ontologiche che giustifichino la
ricerca della linearita'. L'ottica, l'acustica, la dinamica elastica,
possono essere studiate con grandi risultati in modo lineare.
Ma la loro natura ultima sembra che sia lineare, ....solo in
approssimazione
lineare.
Per quanto riguarda l'ottica nel vuoto, l'elettromagnetismo di Maxwell,
si e' ritenuto per molto tempo che fosse la teoria dell'elettromagnetismo
tout-court, con dubbi avanzati pero' fin dai primi tempi per via di
esperimenti che lasciavano pensare alla possibilita' intrinseca di effetti
non lineari.