Ramanujan e la funzione zeta
Sam_X
ho da poco finito di leggere il libro (a carattere divulgativo) "L'enigma
dei numeri primi" di Marcus du Sautoy. Spiega, in maniera molto semplice, su
cosa si basa l'ipotesi di Riemann, inoltre c'e' anche un po' di storia della
matematica e, piu' precisamente, della teoria dei numeri.
A un certo punto c'e' scritto:
"Privo di una preparazione formale, Ramanujan aveva elaborato uno stile
matematico molto personale. Non è dunque sorprendente che, quando il
professor Hill dello University College di Londra ricevette le carte in cui
Ramanujan sosteneva di aver dimostrato che
1 + 2 + 3 + ... + oo = - 1/12
ne liuquido' buona parte come prive di senso. Persino a un occhio non
qualificato questa formula appare ridicola. Sommare tutti i numeri interi e
ottenere come risultato una frazione negativa e' chiaramente l'opera di un
pazzo! << Il signor Ramanujan e' caduto nelle trappole del tema piuttosto
difficile delle serie divergenti >>
[cut]
Entrambi (Hardy e Littlewood) compresero che la somma infinita
apparentemente insensata di Ramanujan altro non era se non la riscoperta del
metodo per definire la parte mancante del paesaggio zeta di Riemann. La
chiave per decodificare la formula di Ramanujan è esprimere il numero 2 come
1/2^-1.
[cut]
quella che si trovavano davanti era la soluzione di Riemann per il calcolo
della funzione zeta quando vi si inseriva il numero -1. "
Per chi non lo sapesse la funzione zeta e' così definita:
zeta(x) = 1 + 1/1^x + 1/2^x + 1/3^x + 1/4^x + 1/5^x + .......
Adesso chiedo a voi come e' possibile che tale serie, con x=-1, dia come
risultato (oppure tenda, non ho ben capito) a -1/12.
A me pare chiaro che dovrebbe tendere a infinito. Infatti, come puo' la
somma di tutti i numeri interi tendere a - 1/12 ???
Questa cosa mi incuriosisce molto. Per favore, se potete, siate chiari e non
imboscatevi in spiegazioni ostrogote....
1000 grazie
Sam
Marco Dalai
>
> zeta(x) = 1 + 1/1^x + 1/2^x + 1/3^x + 1/4^x + 1/5^x + .......
>
> Adesso chiedo a voi come e' possibile che tale serie, con x=-1, dia come
> risultato (oppure tenda, non ho ben capito) a -1/12.
> A me pare chiaro che dovrebbe tendere a infinito. Infatti, come puo' la
> somma di tutti i numeri interi tendere a - 1/12 ???
Non sono molto preparato, ma provo a darti una spiegazione un po' a
spanne. La somma per x=-1 non esiste (diverge). Ciò che puoi fare però è
pensare alla funzione zeta(x) inizialmente definita solo per un valore
reale maggiore di 1. Poi vedi che per questi valori di x la funzione è
analitica (se non sai cosa vuol dire prendilo come un "molto molto
regolare"). Allora dici, lasciamo perdere la somma che ha generato
questa funzione; nel dominio x>1 abbiamo una funzione analitica, vediamo
come si "prolunga" questa funzione nel piano complesso. Si può
dimostrare che il *prolungamento analitico* è unico e si può dimostrare
che in questo caso il prolungamento assume il valore -1/12 nel punto
x=-1. Il fatto di scrivere
1+2+3+4...+oo= -1/12
non ha alcun senso (nella nostra notazione); se è vero che Ramanujan
l'ha scritto allora è da interpretarsi come
"La funzione la funzione zeta(x) che, per x>1, è definita da
zeta(x)=1+1/2^x+.., ammette un prolungamento analitico tale che
zeta(-1)=-1/12".
Spero di essere stato un pochino utile.
Ciao
m
Enrico Gregorio
> Slave a tutti,
>
> ho da poco finito di leggere il libro (a carattere divulgativo) "L'enigma
> dei numeri primi" di Marcus du Sautoy. Spiega, in maniera molto semplice, su
> cosa si basa l'ipotesi di Riemann, inoltre c'e' anche un po' di storia della
> matematica e, piu' precisamente, della teoria dei numeri.
>
> A un certo punto c'e' scritto:
>
> "Privo di una preparazione formale, Ramanujan aveva elaborato uno stile
> matematico molto personale. Non è dunque sorprendente che, quando il
> professor Hill dello University College di Londra ricevette le carte in cui
> Ramanujan sosteneva di aver dimostrato che
>
> 1 + 2 + 3 + ... + oo = - 1/12
> [SNIP]
> Per chi non lo sapesse la funzione zeta e' così definita:
>
> zeta(x) = 1 + 1/1^x + 1/2^x + 1/3^x + 1/4^x + 1/5^x + .......
>
> Adesso chiedo a voi come e' possibile che tale serie, con x=-1, dia come
> risultato (oppure tenda, non ho ben capito) a -1/12.
> A me pare chiaro che dovrebbe tendere a infinito. Infatti, come puo' la
> somma di tutti i numeri interi tendere a - 1/12 ???
>
> Questa cosa mi incuriosisce molto. Per favore, se potete, siate chiari e non
> imboscatevi in spiegazioni ostrogote....
Il fatto è che la funzione zeta è definita così per x reale e maggiore
di 1. Ma ammette un'estensione al piano complesso (non su tutto, però).
Il valore di questa estensione in -1 è -1/12.
Certamente la serie dei numeri interi è divergente, infatti.
La spiegazione di come si estenda la funzione zeta al piano complesso
è ostrogota, mi dispiace. La trovi nei libri di analisi complessa.
Ciao
Enrico
darko
> Adesso chiedo a voi come e' possibile che tale serie, con x=-1, dia come
> risultato (oppure tenda, non ho ben capito) a -1/12.
> A me pare chiaro che dovrebbe tendere a infinito. Infatti, come puo' la
> somma di tutti i numeri interi tendere a - 1/12 ???
scusa ma tu stesso ne hai postato la spiegazione... soprattutto la
domanda che fai, se leggi quello che hai scritto, e' sbagliata.
darko
--
"Suicide machine
A request to die with dignity
Is that too much to ask? "
http://www.autistici.org/darko
Elio Fabri
> ...
> Questa cosa mi incuriosisce molto. Per favore, se potete, siate chiari
> e non imboscatevi in spiegazioni ostrogote....
latino ;-)
Consideriamo un esempio molto piu' semplice: la serie geometrica
1 + x + x^2 + ...
Probabilmente sai che questa serie converge se e solo se |x|<1, e che
in tal caso la sua somma vale f(x) = 1/(1-x).
Ora si vede che f(x) ha per dominio l'intera retta reale, escluso solo
il punto x=1, dove non e' definita a causa del denominatore che si
annulla.
Ma per es. ha senso calcolare f(2), e si trova -1.
Si potrebbe quindi essere tentati di scrivere la relazione:
1 + 2 + 4 + ... = -1
che non e' meno assurda di quella di Ramanujan :)
E ora viene il latino ;-)
Spero tu conosca almeno "di vista" i numeri complessi: z = x+iy. E'
facile vedere che si puo' rappresentare un numero complesso in un
piano cartesiano (x,y): i reali stanno sull'asse x, gli altri
riempiono tutto il piano.
La serie geometrica si puo' scrivere anche nel campo complesso:
1 + z + z^2 + ...
e si dimostra che essa converge se e solo se z=x+iy sta nel cerchio di
raggio 1.
Ti puoi aspettare che anche per z complesso, la somma f(z) della serie
e' 1/(1-z).
In questo esempio semplice abbiamo trovato un risultato facile, che e'
una funzione "per bene" (in ostrogoto si dice "olomorfa") su tutto il
piano complesso, con l'unica eccezione del punto z=1: il solito...
(Nota che il segmento in cui convergeva la serie originaria, non e' che
il diametro orizzontale di quel cerchio.)
Ma c'e' un grande vantaggio a usare i complessi: mentre sulla retta
reale se tu volessi andare poniamo da x=0 a x=2 dovresti passare per
forza per x=1, che e' il punto "cattivo" per la nostra f(x),
nel piano complesso hai molta piu' liberta': puoi "aggirare" il punto
singolare, e quindi passare senza problemi dai punti dove la serie
converge a quelli dove non converge, come z=2.
Con questo trucco dell'aggiramento, si potrebbe estendere la
definizione di f(z), dal cerchio dove era stata definita mediante la
serie, a tutto il piano. Nel caso della serie geometrica non ce n'e'
bisogno, perche' 1/(1-z) e' una funzione gia' ben conosciuta, di cui
possiamo dare le proprieta' anche senza pensare al fatto che e' nata
dalla serie geometrica.
Ma se invece avessimo una serie che definisce una funzione nuova, mai
incontrata prima?
L'aggiramento ci permette di estenderne la definizione oltre la
regione dove la serie converge.
Il modo pulito di fare questo aggiramento si chiama (in ostrogoto)
"prolungamento analitico" e in latino non ti posso spiegare come si
fa...
Non c'e' bisogno credo di sottolineare la completa analogia con la
situazione della zeta di Riemann.
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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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El Filibustero
>Adesso chiedo a voi come e' possibile che tale serie, con x=-1, dia come
>risultato (oppure tenda, non ho ben capito) a -1/12.
>A me pare chiaro che dovrebbe tendere a infinito. Infatti, come puo' la
>somma di tutti i numeri interi tendere a - 1/12 ???
Infatti non tende a -1/12, ma ad infinito. Dire che tende a -1/12 ha
lo stesso senso che affermare che la serie delle potenze di 2:
1+2+4+...+2^n+.... tende a -1.
Perche' proprio -1? l'espressione 1+2+4+...+2^n+.... e' cio' che si
ottiene sostituendo 2 ad x nella serie geometrica 1+x+xx+xxx+....
Si sa che *per ogni x tale che |x|<1* la serie 1+x+xx+xxx+....
converge all'espressione 1/(1-x). Ora, la serie converge solo per
|x|<1, mentre f(x):= 1/(1-x) e' definita per tutti gli x diversi da 1.
Si dice che f(x) e' il prolungamento analitico di 1+x+xx+xxx+.... : e'
una funzione che, pur coincidendo con la serie per |x|<1, e' definita
anche per altri valori di x. Se sostituiamo 2 ad x in f(x), abbiamo
-1; ma cio' non significa che sostituendo 2 ad x nella serie, questa
debba convergere a -1.
Analogamente, la serie 1 + 2^-s + 3^-s + 4^-s ..... e' convergente sse
s>1 (in campo complesso, sse la parte reale di s e' maggiore di 1).
Nonostante cio', si puo' trovare una funzione zeta(s) definita anche
per s<1 che coincide con la serie data. Ad esempio, si puo' dimostrare
che
zeta(s) = 1/2 + 1/(s-1) + s/12 - s(s+1)(s+2)/3!*
integrale{dx=0..+inf}S3(x)(x+1)^-(s+3)
[dove la funzione S3(x) e' definita come t^3-3/2 t^2 + 1/2 t, essendo
t la parte frazionaria di x]
coincide con 1 + 2^-s + 3^-s + 4^-s .... per ogni s>1. Tuttavia
l'integrale che c'e' nella definizione data sopra e' convergente anche
per s=-1; cosi', zeta(-1) e' definita, e calcolandola si nota che il
coefficiente dell'integrale si annulla, pertanto
zeta(-1) = 1/2 + 1/(-1-1) + (-1)/12 = -1/12. Ciao
olti
"El Filibustero" <spal...@despammed.com> ha scritto nel messaggio
> Ad esempio, si puo' dimostrare
> che
>
> zeta(s) = 1/2 + 1/(s-1) + s/12 - s(s+1)(s+2)/3!*
> integrale{dx=0..+inf}S3(x)(x+1)^-(s+3)
>
> [dove la funzione S3(x) e' definita come t^3-3/2 t^2 + 1/2 t, essendo
> t la parte frazionaria di x]
>
> coincide con 1 + 2^-s + 3^-s + 4^-s .... per ogni s>1.
Ustregheta, ma dove vai a prenderle queste cose?.. ho visto un po' di
rappresentazioni in giro, ma questa non sarebbe proprio la prima che mi
viene in mente! :)
Ciao
m
El Filibustero
>> zeta(s) = 1/2 + 1/(s-1) + s/12 - s(s+1)(s+2)/3!*
>> integrale{dx=0..+inf}S3(x)(x+1)^-(s+3)
>>
>> [dove la funzione S3(x) e' definita come t^3-3/2 t^2 + 1/2 t, essendo
>> t la parte frazionaria di x]
>>
>> coincide con 1 + 2^-s + 3^-s + 4^-s .... per ogni s>1.
>
>Ustregheta, ma dove vai a prenderle queste cose?.. ho visto un po' di
>rappresentazioni in giro, ma questa non sarebbe proprio la prima che mi
>viene in mente! :)
Dovrebbe essere un caso particolare di una rappresentazione piuttosto
comune (dedotta dalla formula di somma di Eulero-McLaurin) la quale si
trova, per esempio, su
http://www.dm.unito.it/quadernididattici/mori/mori.pdf
a pag. 11 formula (1.18). Volendo, si puo' dedurre a partire dalla
formula generale
1/2 (f(0)+f(1)) =
= integrale{dx=0..1}f(x) +
1/12 (f'(1)-f'(0)) +
1/6 integrale{dx=0..1}(x^3 - 3/2 x^2 + x/2)f'''(x)
la quale e' dimostrabile integrando per parti il secondo integrale del
secondo membro. Sostituendo f(x) con (x+k)^-s per tutti gli N interi
k=1..N, essa genera le seguenti N uguaglianze
1/2 (k^-s + (1+k)^-s) =
= integrale{dx=0..1}(x+k)^-s +
1/12 ( -s*(1+k)^-(s+1) + s*k^-(s+1) ) +
- 1/6 s(s+1)(s+2)integrale{dx=0..1}(x^3-3/2x^2+x/2)(x+k)^-(s+3)
sommando membro a membro e tenendo conto che
integrale{dx=0..1}(x+k)^-s = integrale{dx=k-1..k}(x+1)^-s, si ha
(1^-s)/2 + 2^-s + 3^-s + .... + (N-1)^-s + N^-s + (N+1)^-s /2 =
= integrale{dx=0..N}(x+1)^-s +
1/12 ( -s*(N+1)^-(s+1) + s*1^-(s+1) ) +
- 1/6 s(s+1)(s+2)integrale{dx=0..N}S3(x)(x+1)^-(s+3)
Se N tende ad infinito, *ammesso che s>1*, questa uguaglianza diventa,
con l'aggiunta di 1/2 ad entrambi i membri,
1^-s + 2^-s + 3^-s + .... =
= 1/2 +
1/(s-1) +
1/12 s +
- 1/6 s(s+1)(s+2)integrale{dx=0..+inf}S3(x)(x+1)^-(s+3)
L'uguaglianza tra serie e secondo membro sussiste a condizione che
s>1, ma il secondo membro e' definito pure per s=-1. Ciao
Marco Dalai
>
> Dovrebbe essere un caso particolare di una rappresentazione piuttosto
> comune (dedotta dalla formula di somma di Eulero-McLaurin) la quale si
> trova, per esempio, su
>
> http://www.dm.unito.it/quadernididattici/mori/mori.pdf
>
> a pag. 11 formula (1.18).
Grazie mille per il link.
Tra l'altro vedo che c'è tutto un pezzo di sito
pieno di dispense, quindi un doppio grazie.
Ho anche notato che non è la prima volta che
rimandi a una di queste dispense, quindi mi
prenderò del tempo per guardare bene cosa c'è di
interessante.
Grazie
ciao
m
PS (per il gruppo)
Chiarisco che "olti" ero sempre io; non era
morphing, ho solo usato il computer di un'altra
persona.
Marco Dalai
> El Filibustero wrote:
> Ho anche notato che non è la prima volta che rimandi a una di queste
> dispense
ma forse mi sbaglio... mi togli la curiosità?
E dai, togli anche un'altra curiosità, sei un
matematico di professione?
Grazie, ciao
m
federico
> Analogamente, la serie 1 + 2^-s + 3^-s + 4^-s ..... e' convergente sse
> s>1 (in campo complesso, sse la parte reale di s e' maggiore di 1).
> Nonostante cio', si puo' trovare una funzione zeta(s) definita anche
> per s<1 che coincide con la serie data. Ad esempio, si puo' dimostrare
> che
>
> zeta(s) = 1/2 + 1/(s-1) + s/12 - s(s+1)(s+2)/3!*
> integrale{dx=0..+inf}S3(x)(x+1)^-(s+3)
>
> [dove la funzione S3(x) e' definita come t^3-3/2 t^2 + 1/2 t, essendo
> t la parte frazionaria di x]
>
> coincide con 1 + 2^-s + 3^-s + 4^-s .... per ogni s>1. Tuttavia
> l'integrale che c'e' nella definizione data sopra e' convergente anche
> per s=-1; cosi', zeta(-1) e' definita, e calcolandola si nota che il
> coefficiente dell'integrale si annulla, pertanto
> zeta(-1) = 1/2 + 1/(-1-1) + (-1)/12 = -1/12. Ciao
Grazie a te e a Fabri per i chiarimenti chiarissimi.
Non conosco la definizione di prolungamento analitico nè ho capito
come la funzione zeta(s) equivalente ad una produttoria infinita
coinvolgente tutti i numeri primi = Produttoria(p
primo)[(1/(1-(1/p)^s)] possa annullarsi!?
Federico
El Filibustero
>Non conosco la definizione di prolungamento analitico
In campo complesso, e' una funzione che, oltre ad avere un dominio
piu' ampio di quello della funzione da prolungare e coincidere con
essa nel suo dominio, e' anche una funzione analitica (questa e' una
nozione di analisi complessa).
>nè ho capito come la funzione zeta(s) equivalente ad una produttoria
>infinita coinvolgente tutti i numeri primi = Produttoria(p
>primo)[(1/(1-(1/p)^s)] possa annullarsi!?
quella produttoria equivale a somma{n=1..+inf}n^-s solo nel caso che
questa converga, cioe' per s>1. E se s>1, ne' la produttoria ne' la
serie si annullano. Ciao