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Strana sostituzione razionalizzante per calcolare un integrale
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j73...@gmail.com
Jul 28, 2018, 12:00:12 PM7/28/18
to
Di solito calcolare un integrale di una funzione y=f(x) con il metodo di sostituzione (cambio di variabile)mi riesce, anche perchè la sostituzione è del tipo t=f(x) oppure
x=f(t).
Ma per calcolare l'integrale di funzione irrazionale (sostituzione razionalizzante) , esempio integrale di SQRT(x^2 +3x +2) , si fa la sostituzione SQRT(x^2 +3x +2) = x+t
poi si eleva al quadrato, si ricava x=f(t) e si prosegue...
La sostituzione SQRT(x^2 +3x +2) = x+t
è diversa dai soliti cambi di variabile ,non è intuitiva!
Anche pensandola SQRT(x^2 +3x +2) - x = t
mi domando perchè è lecito sottrarre x a sinistra ed eguagliare a t!
Grazie
x=f(t).
Ma per calcolare l'integrale di funzione irrazionale (sostituzione razionalizzante) , esempio integrale di SQRT(x^2 +3x +2) , si fa la sostituzione SQRT(x^2 +3x +2) = x+t
poi si eleva al quadrato, si ricava x=f(t) e si prosegue...
La sostituzione SQRT(x^2 +3x +2) = x+t
è diversa dai soliti cambi di variabile ,non è intuitiva!
Anche pensandola SQRT(x^2 +3x +2) - x = t
mi domando perchè è lecito sottrarre x a sinistra ed eguagliare a t!
Grazie
j73...@gmail.com
Jul 28, 2018, 12:36:42 PM7/28/18
to
> La sostituzione SQRT(x^2 +3x +2) = x+t
effettivamente si incontrano in un solo punto.
Quindi SQRT(x^2 +1) è un ramo di iperbole, ma è di primo grado?? direi di sì, visto che è uguale a una retta!!
Archaeopteryx
Jul 28, 2018, 2:47:46 PM7/28/18
to
j73...@gmail.com ha scritto:
Non è né meno né più lecito di qualsiasi altra manipolazione
algebrica. Credo che questo genere di perplessità che alle volte
sono anche le mie, dipendano dal fatto che non vediamo quanta
gente ha sbattuto il naso su un certo problema prima che si
trovasse la soluzione. Passato abbastanza tempo tutto appare come
se la soluzione venga "dal nulla" o senza un filo logico.
--
----Android NewsGroup Reader----
http://usenet.sinaapp.com/
algebrica. Credo che questo genere di perplessità che alle volte
sono anche le mie, dipendano dal fatto che non vediamo quanta
gente ha sbattuto il naso su un certo problema prima che si
trovasse la soluzione. Passato abbastanza tempo tutto appare come
se la soluzione venga "dal nulla" o senza un filo logico.
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http://usenet.sinaapp.com/
Wakinian Tanka
Jul 29, 2018, 3:35:46 AM7/29/18
to
Il giorno sabato 28 luglio 2018 18:00:12 UTC+2, j73...@gmail.com ha scritto:
>
> La sostituzione SQRT(x^2 +3x +2) = x+t
> è diversa dai soliti cambi di variabile ,non è intuitiva!
> Anche pensandola SQRT(x^2 +3x +2) - x = t
> mi domando perchè è lecito sottrarre x a sinistra ed eguagliare a t!
>
SQRT(x^2 +3x +2) = x+t (1)
>
> La sostituzione SQRT(x^2 +3x +2) = x+t
> è diversa dai soliti cambi di variabile ,non è intuitiva!
> Anche pensandola SQRT(x^2 +3x +2) - x = t
> mi domando perchè è lecito sottrarre x a sinistra ed eguagliare a t!
>
t = -x + sqrt(x^2 +3x +2).
quadrando la (1):
x^2 + 3x + 2 = (x+t)^2
x^2 + 3x + 2 = x^2 + 2xt + t^2
x^2 si cancella ad entrambe i membri:
3x - 2xt = t^2 - 2 - - >
x = (t^2-2)/(3-2t)
x + t = (t^2-2)/(3-2t) + t = (t^2-3t+2)/(2t-3)
dx = {[2t(3-2t) +2(t^2-2)]/(2t-3)^2} dt =
= - 2[(t^2 + 3t - 2)/(2t-3)^2
Quindi l'integrale e' costituito dal prodotto di 2 funzioni razionali in t.
Qual'e' il trucco: il fatto che con quella sostituzione, quadrando, si cancella x^2 percio' l'equazione che determina x in funzione di t e' di primo grado invece che secondo, quindi non contiene radici, pertanti non ne contiene nemmeno dx come funzione di t.
--
Wakinian Tanka
Wakinian Tanka
Jul 29, 2018, 11:26:45 AM7/29/18
to
Il giorno domenica 29 luglio 2018 09:35:46 UTC+2, Wakinian Tanka ha scritto:
...
dx = - 2[(t^2 - 3t + 2)/(2t-3)^2] dt
--
Wakinian Tanka
...
> dx = {[2t(3-2t) +2(t^2-2)]/(2t-3)^2} dt =
> = - 2[(t^2 + 3t - 2)/(2t-3)^2
>
Chiedo scusa, il risultato e':
> = - 2[(t^2 + 3t - 2)/(2t-3)^2
>
dx = - 2[(t^2 - 3t + 2)/(2t-3)^2] dt
--
Wakinian Tanka
Wakinian Tanka
Jul 30, 2018, 6:46:22 AM7/30/18
to
Il giorno sabato 28 luglio 2018 18:36:42 UTC+2, j73...@gmail.com ha scritto:
> Quindi SQRT(x^2 +1) è un ramo di iperbole, ma è di primo grado?? direi di sì,
> visto che è uguale a una retta!!
1. O retta, o ramo d'iperbole, non si sbaglia...
> Quindi SQRT(x^2 +1) è un ramo di iperbole, ma è di primo grado?? direi di sì,
> visto che è uguale a una retta!!
2. L'equazione di una retta nel piano e' ax+by+c = 0,
ti sembra che y = SQRT(x^2 +1) lo sia?
Quanto ti viene l'integrale di sqrt(x^2 + 3x + 2)? (Fatto da te e non da un software ;-))
--
Wakinian Tanka
j73...@gmail.com
Jul 30, 2018, 6:52:23 PM7/30/18
to
>
> 1. O retta, o ramo d'iperbole, non si sbaglia...
> 2. L'equazione di una retta nel piano e' ax+by+c = 0,
> ti sembra che y = SQRT(x^2 +1) lo sia?
>
> Quanto ti viene l'integrale di sqrt(x^2 + 3x + 2)? (Fatto da te e non da un software ;-))
mi devi dare gli estremi di integrazione
> Quanto ti viene l'integrale di sqrt(x^2 + 3x + 2)? (Fatto da te e non da un software ;-))
Wakinian Tanka
Jul 31, 2018, 5:34:14 AM7/31/18
to
Il giorno martedì 31 luglio 2018 00:52:23 UTC+2, j73...@gmail.com ha scritto:
> >
> > 1. O retta, o ramo d'iperbole, non si sbaglia...
> > 2. L'equazione di una retta nel piano e' ax+by+c = 0,
> > ti sembra che y = SQRT(x^2 +1) lo sia?
>
> sono parenti strette nel grafico...è come dire y= sqrt(x^2) è una retta? SI!
Vista la, perdonami, stupidaggine, che hai scritto, te lo devo chiedere: che studi hai fatto?
> >
> > 1. O retta, o ramo d'iperbole, non si sbaglia...
> > 2. L'equazione di una retta nel piano e' ax+by+c = 0,
> > ti sembra che y = SQRT(x^2 +1) lo sia?
>
> sono parenti strette nel grafico...è come dire y= sqrt(x^2) è una retta? SI!
> > Quanto ti viene l'integrale di sqrt(x^2 + 3x + 2)? (Fatto da te e non da
> > un software ;-))
>
> mi devi dare gli estremi di integrazione
Ma se lo vuoi definito te li do: tra 0 e X.
--
Wakinian Tanka
j73...@gmail.com
Jul 31, 2018, 6:00:14 PM7/31/18
to
Il giorno martedì 31 luglio 2018 11:34:14 UTC+2, Wakinian Tanka ha scritto:
> Il giorno martedì 31 luglio 2018 00:52:23 UTC+2, j73...@gmail.com ha scritto:
> > >
> > > 1. O retta, o ramo d'iperbole, non si sbaglia...
> > > 2. L'equazione di una retta nel piano e' ax+by+c = 0,
> > > ti sembra che y = SQRT(x^2 +1) lo sia?
> >
> > sono parenti strette nel grafico...è come dire y= sqrt(x^2) è una retta? SI!
>
> Vista la, perdonami, stupidaggine, che hai scritto, te lo devo chiedere: che studi hai fatto?
sono al liceo scientifico.
> Il giorno martedì 31 luglio 2018 00:52:23 UTC+2, j73...@gmail.com ha scritto:
> > >
> > > 1. O retta, o ramo d'iperbole, non si sbaglia...
> > > 2. L'equazione di una retta nel piano e' ax+by+c = 0,
> > > ti sembra che y = SQRT(x^2 +1) lo sia?
> >
> > sono parenti strette nel grafico...è come dire y= sqrt(x^2) è una retta? SI!
>
> Vista la, perdonami, stupidaggine, che hai scritto, te lo devo chiedere: che studi hai fatto?
Comunque il grafico di y= sqrt(x^2) è la funzione |x| , non è una retta? E' lineare! Chiaro così che anche il ramo di iperbole, per x grande, diventa una retta (in quel senso dicevo che sono parenti (come comportamento ), mica intendevo a livello di definizione).
>
> > > Quanto ti viene l'integrale di sqrt(x^2 + 3x + 2)? (Fatto da te e non
già risolto prima, con la sostituzione razionalizzante. Si ottiene una espressione razionale in t che si integra facilmente ( anche dx diventa un'espressione razionale in t ) . Ciao e grazie
> > > Quanto ti viene l'integrale di sqrt(x^2 + 3x + 2)? (Fatto da te e non
Wakinian Tanka
Jul 31, 2018, 6:49:12 PM7/31/18
to
Il giorno mercoledì 1 agosto 2018 00:00:14 UTC+2, j73...@gmail.com ha scritto:
> Il giorno martedì 31 luglio 2018 11:34:14 UTC+2, Wakinian Tanka ha scritto:
> > Il giorno martedì 31 luglio 2018 00:52:23 UTC+2, j73...@gmail.com ha scritto:
> > > >
> > > > 1. O retta, o ramo d'iperbole, non si sbaglia...
> > > > 2. L'equazione di una retta nel piano e' ax+by+c = 0,
> > > > ti sembra che y = SQRT(x^2 +1) lo sia?
> > >
> > > sono parenti strette nel grafico...è come dire y= sqrt(x^2) è una retta?
> > > SI!
> >
> > Vista la, perdonami, stupidaggine, che hai scritto, te lo devo chiedere:
> > che studi hai fatto?
>
> sono al liceo scientifico.
> Comunque il grafico di y = sqrt(x^2) è la funzione |x|
> Il giorno martedì 31 luglio 2018 11:34:14 UTC+2, Wakinian Tanka ha scritto:
> > Il giorno martedì 31 luglio 2018 00:52:23 UTC+2, j73...@gmail.com ha scritto:
> > > >
> > > > 1. O retta, o ramo d'iperbole, non si sbaglia...
> > > > 2. L'equazione di una retta nel piano e' ax+by+c = 0,
> > > > ti sembra che y = SQRT(x^2 +1) lo sia?
> > >
> > > sono parenti strette nel grafico...è come dire y= sqrt(x^2) è una retta?
> > > SI!
> >
> > Vista la, perdonami, stupidaggine, che hai scritto, te lo devo chiedere:
> > che studi hai fatto?
>
> sono al liceo scientifico.
Scusa se "metto i puntini sulle i": una funzione e' una cosa, il suo grafico e' un'altra. In questo caso possiamo dire che la funzione f(x) = sqrt(x^2), x app. R, *e'* uguale alla funzione g(x) = |x|, x app. R.
> non è una retta?
No. Caso mai e' l'unione di due semirette.
> E' lineare!
No. f(x) lineare significa che f(ax1+bx2) = af(x1) + bf(x2), a, b app. R.
Prova a verificarlo per esempio per a = b = 1 e x1 = -x2, diverso da 0;
quanto fa |ax1+bx2| e quanto fa a|x1| + b|x2|?
> Chiaro così che anche il ramo di iperbole, per x grande, diventa una retta
lim x-->+oo sqrt(x^2+1)/x = 1 e lim x-->-oo sqrt(x^2+1)/x = -1 ovvero: per x molto grande, la funzione f(x) = sqrt(x^2+1) *e' approssimata* dalla funzione g(x) = |x| e non *che diventa* quella.
> (in quel senso dicevo che sono parenti (come comportamento ), mica intendevo
> a livello di definizione).
"Quindi SQRT(x^2 +1) è un ramo di iperbole, ma è di primo grado?? direi di sì, visto che è uguale a una retta!"
sqrt(x^2 +1) = x + t
allora sqrt(x^2 +1) "sia una funzione lineare in quanto lo e' x+t"! E' falso! Perche' qui x+t /non e' nemmeno lontanamente/ una funzione lineare!
Perche' quando si parla di "funzione" bisogna /specificare la variabile/.
Qui la variabile qual'e'? E' x. Quindi bisogna considerare tutto /come funzione di x/.
Come funzione di x, t e' pari a sqrt(x^2+1) - x:
t(x) = sqrt(x^2+1) - x.
Disegna il grafico di questa funzione e poi dimmi se e' una retta.
> > > > Quanto ti viene l'integrale di sqrt(x^2 + 3x + 2)? (Fatto da te e non
>
> già risolto prima, con la sostituzione razionalizzante. Si ottiene una
> espressione razionale in t che si integra facilmente ( anche dx diventa
> un'espressione razionale in t ) .
Indico con F(x) la primitiva di sqrt(x^2+1).
F(x) = ?
Se sei uno studente del liceo, ti fa bene esercitarti.
--
Wakinian Tanka
Giorgio Pastore
Aug 1, 2018, 3:46:47 AM8/1/18
to
Il 01/08/18 00:49, Wakinian Tanka ha scritto:
...
Puntini per puntini, non e' vero che siano cose diverse. So che a scuola
si preferisce non dirlo ma e' cosi'. Basta che pensi alla definizione
di funzione (insieme delle coppie ordinate...) e a quella di grafico
della funzione (insieme delle coppie ordinate...).
Giorgio
...
> Scusa se "metto i puntini sulle i": una funzione e' una cosa, il suo grafico e' un'altra.
...
Puntini per puntini, non e' vero che siano cose diverse. So che a scuola
si preferisce non dirlo ma e' cosi'. Basta che pensi alla definizione
di funzione (insieme delle coppie ordinate...) e a quella di grafico
della funzione (insieme delle coppie ordinate...).
Giorgio
ngs
Aug 1, 2018, 5:24:59 AM8/1/18
to
Kiuhnm
Elio Fabri
Aug 1, 2018, 6:05:41 AM8/1/18
to
Giorgio Pastore ha scritto:
Ne abbiamo parlato un tre anni fa, non so più dove, ma conservo le
immagini di alcune pagine di un testo di mat. per LS fra i più
diffusi.
Dà la definizione come dici, poi per tutto il resto del libro se la
dimentica.
E' certo che per la quasi totalità degli studenti che hanno seguito
una s.s.s., una funzione è un'espressione
y = ...
dove al posto dei puntini si deve mettere qualcosa di conosciuto (di
fatto, una composizione di funzioni elementari).
Le funzioni non esprimibili mediante f. elementari *non esistono*.
--
Elio Fabri
> Puntini per puntini, non e' vero che siano cose diverse. So che a
> scuola si preferisce non dirlo ma e' cosi'. Basta che pensi alla
> definizione di funzione (insieme delle coppie ordinate...) e a quella
> di grafico della funzione (insieme delle coppie ordinate...).
E' anche peggio.
> scuola si preferisce non dirlo ma e' cosi'. Basta che pensi alla
> definizione di funzione (insieme delle coppie ordinate...) e a quella
> di grafico della funzione (insieme delle coppie ordinate...).
Ne abbiamo parlato un tre anni fa, non so più dove, ma conservo le
immagini di alcune pagine di un testo di mat. per LS fra i più
diffusi.
Dà la definizione come dici, poi per tutto il resto del libro se la
dimentica.
E' certo che per la quasi totalità degli studenti che hanno seguito
una s.s.s., una funzione è un'espressione
y = ...
dove al posto dei puntini si deve mettere qualcosa di conosciuto (di
fatto, una composizione di funzioni elementari).
Le funzioni non esprimibili mediante f. elementari *non esistono*.
--
Elio Fabri
Wakinian Tanka
Aug 1, 2018, 7:38:13 AM8/1/18
to
--
Wakinian Tanka
El Filibustero
Aug 1, 2018, 7:50:10 AM8/1/18
to
On Wed, 1 Aug 2018 04:38:12 -0700 (PDT), Wakinian Tanka wrote:
>Ma due funzioni diverse possono avere lo stesso grafico.
No. Due funzioni con lo stesso grafico cartesiano sono uguali.
>Ma due funzioni diverse possono avere lo stesso grafico.
Ovviamente "stesso grafico" non deve significare "stesso a meno di
isometrie", per dire. Ciao
Wakinian Tanka
Aug 1, 2018, 8:00:23 AM8/1/18
to
f_1(x) = sen(x)
0<x<2pi
f_2(x) = sen(2x)
0<x<pi.
--
Wakinian Tanka
fr...@mail.it
Aug 1, 2018, 8:04:42 AM8/1/18
to
El Filibustero
Aug 1, 2018, 8:09:08 AM8/1/18
to
On Wed, 1 Aug 2018 05:00:22 -0700 (PDT), Wakinian Tanka wrote:
>Non capisco: le seguenti non sono forse due funzioni diverse?
>
>f_1(x) = sen(x)
>0<x<2pi
>
>f_2(x) = sen(2x)
>0<x<pi.
certo che sono diverse. Ma hanno forse lo stesso grafico? Ciao
>Non capisco: le seguenti non sono forse due funzioni diverse?
>
>f_1(x) = sen(x)
>0<x<2pi
>
>f_2(x) = sen(2x)
>0<x<pi.
Giorgio Bibbiani
Aug 1, 2018, 8:25:57 AM8/1/18
to
Il 01/08/2018 13.38, Wakinian Tanka ha scritto:
> Ma due funzioni diverse possono avere lo stesso grafico.
Io _a rigore_ concorderei con te, se ne era discusso anche qui:
> Ma due funzioni diverse possono avere lo stesso grafico.
https://groups.google.com/forum/?hl=it#!searchin/it.scienza.matematica/%22Una$20non$20funzione%22/it.scienza.matematica/4E_kla7J5tQ/dUxDa9kMBwAJ
Senza ovviamente voler togliere niente alle ottime ragioni
esposte ad es. da G. Pastore nel thread citato...
Ciao
--
Giorgio Bibbiani
(mail non letta)
JTS
Aug 1, 2018, 9:15:51 AM8/1/18
to
Il giorno mercoledì 1 agosto 2018 13:38:13 UTC+2, Wakinian Tanka ha scritto:
> >
> Ma due funzioni diverse possono avere lo stesso grafico.
>
Ammettiamo che sia vero: che conseguenze matematicamente importanti avrebbe?
> >
> Ma due funzioni diverse possono avere lo stesso grafico.
>
ngs
Aug 1, 2018, 9:23:10 AM8/1/18
to
On 1/8/2018 13:50, El Filibustero wrote:
> On Wed, 1 Aug 2018 04:38:12 -0700 (PDT), Wakinian Tanka wrote:
>
>> Ma due funzioni diverse possono avere lo stesso grafico.
>
> No. Due funzioni con lo stesso grafico cartesiano sono uguali.
Non è vero: la suriettività non è deducibile dal grafico, in generale.
> On Wed, 1 Aug 2018 04:38:12 -0700 (PDT), Wakinian Tanka wrote:
>
>> Ma due funzioni diverse possono avere lo stesso grafico.
>
> No. Due funzioni con lo stesso grafico cartesiano sono uguali.
Una funzione è una tripla (grafico, dominio, codominio) e non il
semplice grafico.
Kiuhnm
ngs
Aug 1, 2018, 9:25:26 AM8/1/18
to
Kiuhnm
Wakinian Tanka
Aug 1, 2018, 10:31:35 AM8/1/18
to
x1(t) = cos(t)
y1(t) = sin(t)
0<t<2pi
e
x2(t) = cos(2t)
y2(t) = sin(2t)
0<t<2pi
e qui le coppie (x,y) sono le stesse; pero' (ad es.) le coppie (t,x1) e
(t,x2) sono diverse, quindi non andrebbe bene lo stesso, anche se bisogna notare che i due disegni sono indistinguibili, proprio perche' le coppie (x,y) sono le stesse; e' anche per questo che contesto l'idea di definire una funzione ed il suo grafico entrambe come insieme delle coppie ordinate (x,y) (tali che uno stesso x non possa essere associato a 2 diversi y): tutti noi o quasi identifichiamo il grafico di una funzione nel piano come l'insieme delle coppie ordinate (ascissa, ordinata). Ad es in fisica, definire una funzione cosi' come dici avrebbe come conseguenza di non poter, in generale, distinguere tra traiettoria e legge oraria, che e' abbastanza grave :-)
--
Wakinian Tanka
Wakinian Tanka
Aug 1, 2018, 10:48:06 AM8/1/18
to
Il giorno mercoledì 1 agosto 2018 16:31:35 UTC+2, Wakinian Tanka ha scritto:
...
...
> Ad es in fisica, definire una funzione cosi' come dici avrebbe come
> conseguenza di non poter, in generale, distinguere tra traiettoria e legge
> oraria, che e' abbastanza grave :-)
>
Forse "legge oraria" non e' il termine esatto, comunque mi riferisco alla legge t|--> P(t)
> conseguenza di non poter, in generale, distinguere tra traiettoria e legge
> oraria, che e' abbastanza grave :-)
>
dove P e' il vettore posizione.
--
Wakinian Tanka
Elio Fabri
Aug 1, 2018, 11:05:50 AM8/1/18
to
Wakinian Tanka ha scritto:
più prima di scrivere.
--
Elio Fabri
> Ad es in fisica, definire una funzione cosi' come dici avrebbe come
> conseguenza di non poter, in generale, distinguere tra traiettoria e
> legge oraria, che e' abbastanza grave :-)
Detto in confidenza: qualche volta non sarebbbe male se tu pensassi di
> conseguenza di non poter, in generale, distinguere tra traiettoria e
> legge oraria, che e' abbastanza grave :-)
più prima di scrivere.
--
Elio Fabri
Giorgio Pastore
Aug 1, 2018, 11:11:46 AM8/1/18
to
Il 01/08/18 16:31, Wakinian Tanka ha scritto:
...
Non c'entra niente. In generale le coppie (x,y) dei punti di una curva
piana non rappresentano una funzione reale di variabile reale.
...
> Hai ragione, ho scelto male l'esempio, in realta' ero partito non da una funzione R-->R ma da una curva nel piano o nello spazio ad es
....
> e qui le coppie (x,y) sono le stesse;
....
anche se bisogna notare che i due disegni sono indistinguibili, proprio
perche' le coppie (x,y) sono le stesse;
...
perche' le coppie (x,y) sono le stesse;
Non c'entra niente. In generale le coppie (x,y) dei punti di una curva
piana non rappresentano una funzione reale di variabile reale.
Wakinian Tanka
Aug 1, 2018, 11:15:10 AM8/1/18
to
Una discussione dell'argomento su un altro forum:
https://math.stackexchange.com/questions/442522/difference-between-a-function-and-a-graph-of-a-function
--
Wakinian Tanka
https://math.stackexchange.com/questions/442522/difference-between-a-function-and-a-graph-of-a-function
--
Wakinian Tanka
Giorgio Pastore
Aug 1, 2018, 11:18:47 AM8/1/18
to
Il 01/08/18 11:24, ngs ha scritto:
...
P.es., l'aggiunta del dominio e' ridondante se si sta parlando di
funzione perche' deve coincidere con l'insieme dei primi elementi delle
coppie che stanno nella relazione. Sul codominio poi e' ancora piu'
aperta la discusione su quale possa essere la definzione piu' utile.
...
> Quasi: una funzione è la terna (relazione, dominio, codominio).
E' una possibile definizione di funzione. Non necessariamente la migliore.
P.es., l'aggiunta del dominio e' ridondante se si sta parlando di
funzione perche' deve coincidere con l'insieme dei primi elementi delle
coppie che stanno nella relazione. Sul codominio poi e' ancora piu'
aperta la discusione su quale possa essere la definzione piu' utile.
Giorgio Pastore
Aug 1, 2018, 11:30:34 AM8/1/18
to
Il 01/08/18 17:15, Wakinian Tanka ha scritto:
codominio e della definizione di suriettivita'.
Non le considero obiezioni veramente fondamentali.
> Una discussione dell'argomento su un altro forum:
>
> https://math.stackexchange.com/questions/442522/difference-between-a-function-and-a-graph-of-a-function
Da cui si ricava che tutto gira principalmente sulla utilita' del
>
> https://math.stackexchange.com/questions/442522/difference-between-a-function-and-a-graph-of-a-function
codominio e della definizione di suriettivita'.
Non le considero obiezioni veramente fondamentali.
Wakinian Tanka
Aug 1, 2018, 12:20:44 PM8/1/18
to
Pero' dovrai convenire che dare l'insieme delle coppie (a,b) non permette sempre di dedurre la legge che assegna b ad a, cioe' a|-->f(a) e questa a me pare una questione importante.
Per fare un es. banale, se io fornisco queste coppie:
(-2,-28/15)
(0,1/30)
(1,1/3)
(2,35/3)
tu non puoi determinare univocamente la legge suddetta, mentre se io invece assegnassi la legge tu determineresti univocamente quelle coppie (a chi interessa gli dico qual'e' f(a)).
--
Wakinian Tanka
Wakinian Tanka
Aug 1, 2018, 12:29:36 PM8/1/18
to
Comunque, visto che, a freddo (per modo di dire, qui si muore di caldo...) posso capire, probabilmente, solo una parte di quello che non va della mia affermazione, si fa prima se la correggi in toto.
--
Wakinian Tanka
Gino Di Ruberto IK8QQM - K8QQM
Aug 1, 2018, 12:36:08 PM8/1/18
to
Il giorno mercoledì 1 agosto 2018 13:38:13 UTC+2, Wakinian Tanka ha scritto:
> Ma due funzioni diverse possono avere lo stesso grafico.
Perdonatemi amici,
> Ma due funzioni diverse possono avere lo stesso grafico.
ma secondo me, per esempio,
f(x) = Sin(x)
e
f(x) = Sin(x+2π)
sono due funzioni diverse ma che hanno lo stesso grafico.
E' vero che le coppie ordinate, il dominio e il codominio sono gli stessi, ma la relazione, semanticamente, è diversa.
Come dice Kiuhnm
> una funzione è la terna (relazione, dominio, codominio)
Ciao.
--
Gino Di Ruberto, IK8QQM
(american callsign K8QQM),
ID DMR: 2228273
JTS
Aug 1, 2018, 12:55:14 PM8/1/18
to
Giorgio Bibbiani
Aug 1, 2018, 12:57:23 PM8/1/18
to
Il 01/08/2018 18.36, Gino Di Ruberto IK8QQM - K8QQM ha scritto:
...
standard (ad es. v. il Prodi) per cui una funzione è assegnata
dato il dominio (R), il codominio (R), la relazione associata
(il sottoinsieme di R^2 delle coppie (x, sin(x)), che _coincide_
con quello delle coppie (x, sin(x + 2pi)).
> ma la relazione, semanticamente, è diversa.
Sono solo 2 modi diversi di scrivere la stessa cosa,
dato che per definizione si ha sin(x) = sin(x + 2pi)
per ogni x in R.
...
> ma secondo me, per esempio,
>
> f(x) = Sin(x)
>
> e
>
> f(x) = Sin(x+2π)
>
> sono due funzioni diverse ma che hanno lo stesso grafico.
> E' vero che le coppie ordinate, il dominio e il codominio sono gli stessi,
Dunque le 2 funzioni sono uguali, in base alla _definizione_
>
> f(x) = Sin(x)
>
> e
>
> f(x) = Sin(x+2π)
>
> sono due funzioni diverse ma che hanno lo stesso grafico.
> E' vero che le coppie ordinate, il dominio e il codominio sono gli stessi,
standard (ad es. v. il Prodi) per cui una funzione è assegnata
dato il dominio (R), il codominio (R), la relazione associata
(il sottoinsieme di R^2 delle coppie (x, sin(x)), che _coincide_
con quello delle coppie (x, sin(x + 2pi)).
> ma la relazione, semanticamente, è diversa.
dato che per definizione si ha sin(x) = sin(x + 2pi)
per ogni x in R.
El Filibustero
Aug 1, 2018, 12:59:00 PM8/1/18
to
pero' che se si decide di considerare codominio=range, ogni funzione
e' suriettiva e tra funzione e suo grafico non c'e' nessuna differenza
di sostanza. Ciao
Giorgio Pastore
Aug 1, 2018, 1:12:04 PM8/1/18
to
Il 01/08/18 18:20, Wakinian Tanka ha scritto:
....
Se vuoi risuscitarla spiega cosa e' "legge che assegna" in termini
matematici e senza usare sinonimi. Scopri che vai a finire sulle coppie
ordnate...
E' da decenni che una funzione e' basata sul concetto di relazione e
quindi ha come parte centrale della definizione un sottoinsieme del
prodotto cartesiano di due insiemi (a parte aggiungere altri oggetti;
p.es. per le relazioni vedo piu' utile che per le funzioni specificare a
parte i due insiemi da cui provengono gli elementi di una coppia). In
tal modo non devi introdurre ulteriori entità non definite.
Resta vero che un sottoinsieme di un prod. cartesiano puo' essere dato
esibendo l' insieme delle coppie solo per insiemi finiti (e neanche
troppo grandi) e quindi diventa importante, soprattutto per insiemi
infiniti, poterlo caratterizzare mediante una proprietà, ovvero una
proposizione vera solo per gli elementi del sottoinsieme. E' qui che
entrerebbe la "legge". Ma questo non inficia il fatto che la proprietà
serve proprio a determinare l' insieme delle coppie. Se poi questa
proprietà sia deducibile o meno dall'esibizione delle coppie e'
assolutamente ininfluente per il concetto di funzione. Serve solo a dare
un contentino a chi traduce funzione con "formula analitica esplicita".
Ma questa e' una pretesa tramontata da quasi 200 anni.
Giorgio
....
> Pero' dovrai convenire che dare l'insieme delle coppie (a,b) non permette sempre di dedurre la legge che assegna b ad a, cioe' a|-->f(a) e questa a me pare una questione importante.
Guarda che la funzione come "legge che assegna" e' defunta da un pezzo.
Se vuoi risuscitarla spiega cosa e' "legge che assegna" in termini
matematici e senza usare sinonimi. Scopri che vai a finire sulle coppie
ordnate...
E' da decenni che una funzione e' basata sul concetto di relazione e
quindi ha come parte centrale della definizione un sottoinsieme del
prodotto cartesiano di due insiemi (a parte aggiungere altri oggetti;
p.es. per le relazioni vedo piu' utile che per le funzioni specificare a
parte i due insiemi da cui provengono gli elementi di una coppia). In
tal modo non devi introdurre ulteriori entità non definite.
Resta vero che un sottoinsieme di un prod. cartesiano puo' essere dato
esibendo l' insieme delle coppie solo per insiemi finiti (e neanche
troppo grandi) e quindi diventa importante, soprattutto per insiemi
infiniti, poterlo caratterizzare mediante una proprietà, ovvero una
proposizione vera solo per gli elementi del sottoinsieme. E' qui che
entrerebbe la "legge". Ma questo non inficia il fatto che la proprietà
serve proprio a determinare l' insieme delle coppie. Se poi questa
proprietà sia deducibile o meno dall'esibizione delle coppie e'
assolutamente ininfluente per il concetto di funzione. Serve solo a dare
un contentino a chi traduce funzione con "formula analitica esplicita".
Ma questa e' una pretesa tramontata da quasi 200 anni.
Giorgio
Giorgio Bibbiani
Aug 1, 2018, 1:20:24 PM8/1/18
to
Il 01/08/2018 16.48, Wakinian Tanka ha scritto:
> Il giorno mercoledì 1 agosto 2018 16:31:35 UTC+2, Wakinian Tanka ha scritto:
> ....
> Il giorno mercoledì 1 agosto 2018 16:31:35 UTC+2, Wakinian Tanka ha scritto:
>> Ad es in fisica, definire una funzione cosi' come dici avrebbe come
>> conseguenza di non poter, in generale, distinguere tra traiettoria e legge
>> oraria, che e' abbastanza grave :-)
>>
> Forse "legge oraria" non e' il termine esatto, comunque mi riferisco alla legge t|--> P(t)
> dove P e' il vettore posizione.
Consideriamo un moto nello spazio n-dimensionale, allora
>> conseguenza di non poter, in generale, distinguere tra traiettoria e legge
>> oraria, che e' abbastanza grave :-)
>>
> Forse "legge oraria" non e' il termine esatto, comunque mi riferisco alla legge t|--> P(t)
> dove P e' il vettore posizione.
la funzione t|--> P(t) ha come grafico un sottoinsieme di
R^(n+1), mentre la traiettoria del moto è un sottoinsieme
di R^n, non è possibile confondere il grafico di quella
funzione con la traiettoria del moto...
Gino Di Ruberto IK8QQM - K8QQM
Aug 1, 2018, 2:13:59 PM8/1/18
to
Il giorno mercoledì 1 agosto 2018 18:57:23 UTC+2, Giorgio Bibbiani ha scritto:
> Dunque le 2 funzioni sono uguali, in base alla _definizione_
> standard (ad es. v. il Prodi) per cui una funzione è assegnata
> dato il dominio (R), il codominio (R), la relazione associata
> (il sottoinsieme di R^2 delle coppie (x, sin(x)), che _coincide_
> con quello delle coppie (x, sin(x + 2pi)).
>
sì, infatti ho sottolineato che trattavasi solo di mio parere molto personale (magari retrogrado di decenni :-))
> Dunque le 2 funzioni sono uguali, in base alla _definizione_
> standard (ad es. v. il Prodi) per cui una funzione è assegnata
> dato il dominio (R), il codominio (R), la relazione associata
> (il sottoinsieme di R^2 delle coppie (x, sin(x)), che _coincide_
> con quello delle coppie (x, sin(x + 2pi)).
>
> > ma la relazione, semanticamente, è diversa.
>
> Sono solo 2 modi diversi di scrivere la stessa cosa,
> dato che per definizione si ha sin(x) = sin(x + 2pi)
> per ogni x in R.
ma per
Sin(2x) = 2 Sin(x)Cos(x)
avrei qualche perplessità a dire che i due membri siano uguali per definizione, senza dimostrazioni successive.
Insomma,
senza dubbio, con la definizione standard universalmente accettata
f(x) = Sin(2x)
e
f(x) = 2 Sin(x)Cos(x)
sono la stessa funzione e non sarò io a opporre contestazioni.
Dico solo che, secondo il mio modo di vedere (retrogrado di decenni :-)) mi piacerebbe considerarle funzioni diverse che però (come si evince solo dopo dimostrazione successiva) danno luogo a stesse coppie ordinate, con stesso dominio e stesso codominio.
Ciao.
ngs
Aug 1, 2018, 2:28:45 PM8/1/18
to
On 1/8/2018 17:18, Giorgio Pastore wrote:
> Il 01/08/18 11:24, ngs ha scritto:
> ...
>> Quasi: una funzione è la terna (relazione, dominio, codominio).
>
> E' una possibile definizione di funzione. Non necessariamente la migliore.
Se non si sta parlando di definizioni standard comunemente accettate
> Il 01/08/18 11:24, ngs ha scritto:
> ...
>> Quasi: una funzione è la terna (relazione, dominio, codominio).
>
> E' una possibile definizione di funzione. Non necessariamente la migliore.
allora è inutile discutere.
Infatti per me una funzione è un grafico, una mappa, una trasformazione,
un algoritmo, un landscape, una rete neurale, ecc... a seconda di cosa
sto facendo.
Kiuhnm
Alessandro Cara
Aug 1, 2018, 4:08:05 PM8/1/18
to
Il 01/08/2018 18:29, Wakinian Tanka ha scritto:
> Mi sto chiedendo cosa sarebbe successo se non fosse stato "in confidenza":-)
Probabile ospite del killfile ;-)
> Mi sto chiedendo cosa sarebbe successo se non fosse stato "in confidenza":-)
--
ac (x=y-1)
Aborro il Killfile
(La violenza e' l'ultimo rifugio degli incapaci -Salvor Hardin-)
Wakinian Tanka
Aug 1, 2018, 5:53:17 PM8/1/18
to
Il giorno mercoledì 1 agosto 2018 19:12:04 UTC+2, Giorgio Pastore ha scritto:
> Il 01/08/18 18:20, Wakinian Tanka ha scritto:
> ....
> > Pero' dovrai convenire che dare l'insieme delle coppie (a,b) non permette
> > sempre di dedurre la legge che assegna b ad a, cioe' a|-->f(a) e questa a
> > me pare una questione importante.
>
> Guarda che la funzione come "legge che assegna" e' defunta da un pezzo.
Guarda che non ho mai scritto questo da nessuna parte...
> Il 01/08/18 18:20, Wakinian Tanka ha scritto:
> ....
> > Pero' dovrai convenire che dare l'insieme delle coppie (a,b) non permette
> > sempre di dedurre la legge che assegna b ad a, cioe' a|-->f(a) e questa a
> > me pare una questione importante.
>
> Guarda che la funzione come "legge che assegna" e' defunta da un pezzo.
Quello che ho tentato di far capire e' che una funzione, IMO, e' _anche_ la legge che assegna b ad a. Ovvero, che:
1) Insieme delle coppie ordinate (a, b)
e
2) dominio + legge che assegna
sono gia' due cose differenti senza tener conto del codominio.
--
Wakinian Tanka
Wakinian Tanka
Aug 1, 2018, 6:10:36 PM8/1/18
to
x(t) = cos(t)
y(t) = sin(t)
e' il cerchio unitario centrato nell'origine.
Come fa a venirgli in mente che invece e' un'elica (in R^3)?
No,secondo me non e' buona cosa far passare questo messaggio :-)
Comunque convengo che mi ero espresso in modo scorretto.
--
Wakinian Tanka
Giorgio Pastore
Aug 2, 2018, 3:53:07 AM8/2/18
to
Il 02/08/18 00:10, Wakinian Tanka ha scritto:
....
fuori strada. Si parlava di grafici di funzioni di una variabile.
L'insieme dei punti (x,y) corrispondenti alla curva sopra indicata NON
e' il grafico di una funzione reale di una variabie reale (lo so che lo
sai bene ma allora non fare questo esempio).
Se poi lo studente di cui parli equivoca tra funzione da R->R^2 (con
relativo grafico) e curva in R^2, gli consiglierei di ripatire dalle
definizioni, invece di mescolare rappresentazione parametrica di una
curva piana e grafico di una funzione da R->R^2.
Mettiamola cosi': la differenza tra grafico di una funzione e funzione
e' molto ma molto piccola ed e' tutta legata alle motivazioni che uno
puo' (o puo' non) avere per inserire nella definizione di funzione un
codominio come entità distinta dall' immagine del dominio.
E l'unico argomento di discussione che posso vedere e' l'utilità o meno
di questo passo.
Giorgio
....
> Si, ma e' proprio questo il punto: se si fa passare l'idea che "il grafico e la funzione sono la stessa cosa" uno studente credera' di aver capito che il grafico della funzione R-->R^2:
>
> x(t) = cos(t)
> y(t) = sin(t)
>
> e' il cerchio unitario centrato nell'origine.
> Come fa a venirgli in mente che invece e' un'elica (in R^3)?
> No,secondo me non e' buona cosa far passare questo messaggio :-)
Scusa ma continui a fare esempi che non c'entrano e possono portare
>
> x(t) = cos(t)
> y(t) = sin(t)
>
> e' il cerchio unitario centrato nell'origine.
> Come fa a venirgli in mente che invece e' un'elica (in R^3)?
> No,secondo me non e' buona cosa far passare questo messaggio :-)
fuori strada. Si parlava di grafici di funzioni di una variabile.
L'insieme dei punti (x,y) corrispondenti alla curva sopra indicata NON
e' il grafico di una funzione reale di una variabie reale (lo so che lo
sai bene ma allora non fare questo esempio).
Se poi lo studente di cui parli equivoca tra funzione da R->R^2 (con
relativo grafico) e curva in R^2, gli consiglierei di ripatire dalle
definizioni, invece di mescolare rappresentazione parametrica di una
curva piana e grafico di una funzione da R->R^2.
Mettiamola cosi': la differenza tra grafico di una funzione e funzione
e' molto ma molto piccola ed e' tutta legata alle motivazioni che uno
puo' (o puo' non) avere per inserire nella definizione di funzione un
codominio come entità distinta dall' immagine del dominio.
E l'unico argomento di discussione che posso vedere e' l'utilità o meno
di questo passo.
Giorgio
Giorgio Pastore
Aug 2, 2018, 3:57:17 AM8/2/18
to
Il 01/08/18 23:53, Wakinian Tanka ha scritto:
....
....
> Quello che ho tentato di far capire e' che una funzione, IMO, e' _anche_ la legge che assegna b ad a. Ovvero, che:
>
> 1) Insieme delle coppie ordinate (a, b)
>
> e
>
> 2) dominio + legge che assegna
>
> sono gia' due cose differenti senza tener conto del codominio.
Spiegami la differenza dal punto di vista degli insiemi coinvolti.
>
> 1) Insieme delle coppie ordinate (a, b)
>
> e
>
> 2) dominio + legge che assegna
>
> sono gia' due cose differenti senza tener conto del codominio.
Wakinian Tanka
Aug 2, 2018, 5:51:21 AM8/2/18
to
Lo sai gia' che ti sto contestando proprio la definizione insiemistica :-)
--
Wakinian Tanka
Wakinian Tanka
Aug 2, 2018, 6:02:42 AM8/2/18
to
Il giorno giovedì 2 agosto 2018 09:53:07 UTC+2, Giorgio Pastore ha scritto:
> Il 02/08/18 00:10, Wakinian Tanka ha scritto:
> ....
> > Si, ma e' proprio questo il punto: se si fa passare l'idea che "il grafico
> > e la funzione sono la stessa cosa" uno studente credera' di aver capito
> > che il grafico della funzione R-->R^2:
> > x(t) = cos(t)
> > y(t) = sin(t)
> > e' il cerchio unitario centrato nell'origine.
> > Come fa a venirgli in mente che invece e' un'elica (in R^3)?
> > No,secondo me non e' buona cosa far passare questo messaggio :-)
>
> Scusa ma continui a fare esempi che non c'entrano e possono portare
> fuori strada. Si parlava di grafici di funzioni di una variabile.
E' vero, io ho sconfinato in Analisi 2, ma perche' ho i miei motivi di piccola esperienza didattica.
> Il 02/08/18 00:10, Wakinian Tanka ha scritto:
> ....
> > Si, ma e' proprio questo il punto: se si fa passare l'idea che "il grafico
> > e la funzione sono la stessa cosa" uno studente credera' di aver capito
> > che il grafico della funzione R-->R^2:
> > x(t) = cos(t)
> > y(t) = sin(t)
> > e' il cerchio unitario centrato nell'origine.
> > Come fa a venirgli in mente che invece e' un'elica (in R^3)?
> > No,secondo me non e' buona cosa far passare questo messaggio :-)
>
> Scusa ma continui a fare esempi che non c'entrano e possono portare
> fuori strada. Si parlava di grafici di funzioni di una variabile.
> L'insieme dei punti (x,y) corrispondenti alla curva sopra indicata NON
> e' il grafico di una funzione reale di una variabie reale (lo so che lo
> sai bene ma allora non fare questo esempio).
> Se poi lo studente di cui parli equivoca tra funzione da R->R^2 (con
> relativo grafico) e curva in R^2, gli consiglierei di ripatire dalle
> definizioni, invece di mescolare rappresentazione parametrica di una
> curva piana e grafico di una funzione da R->R^2.
> Mettiamola cosi': la differenza tra grafico di una funzione e funzione
> e' molto ma molto piccola ed e' tutta legata alle motivazioni che uno
> puo' (o puo' non) avere per inserire nella definizione di funzione un
> codominio come entità distinta dall' immagine del dominio.
> E l'unico argomento di discussione che posso vedere e' l'utilità o meno
> di questo passo.
>
Ma poveri studenti! :-)
--
Wakinian Tanka
ngs
Aug 2, 2018, 6:55:28 AM8/2/18
to
On 1/8/2018 20:13, Gino Di Ruberto IK8QQM - K8QQM wrote:
> Dico solo che, secondo il mio modo di vedere (retrogrado di decenni :-)) mi piacerebbe considerarle funzioni diverse che però (come si evince solo dopo dimostrazione successiva) danno luogo a stesse coppie ordinate, con stesso dominio e stesso codominio.
Un po' come dire: per ora diciamo che i fulmini sono generati da una
> Dico solo che, secondo il mio modo di vedere (retrogrado di decenni :-)) mi piacerebbe considerarle funzioni diverse che però (come si evince solo dopo dimostrazione successiva) danno luogo a stesse coppie ordinate, con stesso dominio e stesso codominio.
divinità chiamata Zeus (tutti d'accordo sul nome?), poi vedremo...
Comunque quello che stai cercando di salvare è il concetto di "grafo
computazionale", un grafo i cui nodi sono funzioni elementari e gli
archi indicano composizione o, più intuitivamente, flusso d'informazione
che viene trasformata dai nodi.
E' un semplice problema di overloading, cioè si cerca di dare molteplici
significati, tutti utili nel giusto contesto, alla stessa parola "funzione".
Non è un caso che i libri (quelli scritti bene), definiscano la
notazione e chiariscano la terminologia usata.
Come nella grammatica della lingua italiana, io sono descrittivista, non
prescrittivista. Ogni comunità che fa uso della matematica ha i suoi usi
e costumi, il proprio gergo, il proprio bagaglio di spiegazioni
informali, ecc...
Sta al matematico essere abbastanza flessibile da poter parlare e capire
i vari dialetti. Ogni punto di vista porta arricchimento personale
secondo me.
Kiuhnm
ngs
Aug 2, 2018, 8:24:37 AM8/2/18
to
On 2/8/2018 00:10, Wakinian Tanka wrote:
> Si, ma e' proprio questo il punto: se si fa passare l'idea che "il grafico e la funzione sono la stessa cosa" uno studente credera' di aver capito che il grafico della funzione R-->R^2:
>
> x(t) = cos(t)
> y(t) = sin(t)
>
> e' il cerchio unitario centrato nell'origine.
> Come fa a venirgli in mente che invece e' un'elica (in R^3)?
Il cerchio è l'immagine del dominio. Nascondere un simile fatto a degli
> Si, ma e' proprio questo il punto: se si fa passare l'idea che "il grafico e la funzione sono la stessa cosa" uno studente credera' di aver capito che il grafico della funzione R-->R^2:
>
> x(t) = cos(t)
> y(t) = sin(t)
>
> e' il cerchio unitario centrato nell'origine.
> Come fa a venirgli in mente che invece e' un'elica (in R^3)?
studenti significa solo fargli del male, secondo me. Tutti i nodi
vengono al pettine.
Kiuhnm
Giorgio Pastore
Aug 2, 2018, 9:26:50 AM8/2/18
to
Il 02/08/18 11:51, Wakinian Tanka ha scritto:
Ma guarda che non c'e' differenza. Quello che pensi essere "dominio +
legge" non e' altro un'alternativa ma solo un modo di indicare un
insieme di coppie mediante la proprietà di cui godono gli elementi dell'
insieme. Sempre definizione insiemistica resta!
legge" non e' altro un'alternativa ma solo un modo di indicare un
insieme di coppie mediante la proprietà di cui godono gli elementi dell'
insieme. Sempre definizione insiemistica resta!
Giorgio Pastore
Aug 2, 2018, 9:28:21 AM8/2/18
to
Il 02/08/18 15:26, Giorgio Pastore ha scritto:
errata:
>... non e' altro un'alternativa ma solo un modo ....
corrige:
... non e' un'alternativa ma solo un modo ....
errata:
>... non e' altro un'alternativa ma solo un modo ....
corrige:
... non e' un'alternativa ma solo un modo ....
Wakinian Tanka
Aug 2, 2018, 11:14:12 AM8/2/18
to
Il giorno giovedì 2 agosto 2018 15:26:50 UTC+2, Giorgio Pastore ha scritto:
> Il 02/08/18 11:51, Wakinian Tanka ha scritto:
> > Il giorno giovedì 2 agosto 2018 09:57:17 UTC+2, Giorgio Pastore ha scritto:
> >> Il 01/08/18 23:53, Wakinian Tanka ha scritto:
> >> ....
> >>> Quello che ho tentato di far capire e' che una funzione, IMO, e' _anche_
> >>> la legge che assegna b ad a. Ovvero, che:
> >>>
> >>> 1) Insieme delle coppie ordinate (a, b)
> >>> e
> >>> 2) dominio + legge che assegna
> >>> sono gia' due cose differenti senza tener conto del codominio.
> >>
> >> Spiegami la differenza dal punto di vista degli insiemi coinvolti.
> >
> > Non fare il furbino :-)
> > Lo sai gia' che ti sto contestando proprio la definizione insiemistica :-)
>
> Ma guarda che non c'e' differenza. Quello che pensi essere "dominio +
> legge" non e' un'alternativa ma solo un modo di indicare un
> Il 02/08/18 11:51, Wakinian Tanka ha scritto:
> > Il giorno giovedì 2 agosto 2018 09:57:17 UTC+2, Giorgio Pastore ha scritto:
> >> Il 01/08/18 23:53, Wakinian Tanka ha scritto:
> >> ....
> >>> Quello che ho tentato di far capire e' che una funzione, IMO, e' _anche_
> >>> la legge che assegna b ad a. Ovvero, che:
> >>>
> >>> 1) Insieme delle coppie ordinate (a, b)
> >>> e
> >>> 2) dominio + legge che assegna
> >>> sono gia' due cose differenti senza tener conto del codominio.
> >>
> >> Spiegami la differenza dal punto di vista degli insiemi coinvolti.
> >
> > Non fare il furbino :-)
> > Lo sai gia' che ti sto contestando proprio la definizione insiemistica :-)
>
> Ma guarda che non c'e' differenza. Quello che pensi essere "dominio +
> insieme di coppie mediante la proprietà di cui godono gli elementi dell'
> insieme. Sempre definizione insiemistica resta!
Si, certo, ma se la definizione mi dice "assegno le coppie (a,b)" senza specificare /come assegna b una volta dato a/ per me vuol dire: "si puo' prescindere dall'indicare le proprieta' di cui gode l'insieme degli elementi b". Non so se hai capito il mio punto di vista.
> insieme. Sempre definizione insiemistica resta!
Tu dici:
"Se f = {(a,b)}, allora posso specificare a e b come voglio, ad es. in questo modo:
1) a app.{Z: 0<a<5}, b app.{Q: b = a^2 + 3/a}".
Io invece dico:
"Se f = {(a,b)}, allora posso scrivere che quella tua funzione e' esattamente uguale a questa:
2) a app.Z, b app.Q, f = {(1, 4), (2, 11/2), (3, 10), (4, 67/4)}".
Ma a me invece sembrano 2 definizioni differenti, in quanto nella 1) e' stata data la legge |a-->b e nella 2) no.
Inoltre nota che in entrambe i casi non ho potuto fare a meno di definire dominio /e/ codominio (Z e Q, rispettivamente) altrimenti la scrittura (a, b) non ha nemmeno significato!
E poi pensa alle funzioni composte f°g dove il dominio di g e' il codominio di f: come faccio, in generale, a non specificare il codominio di f?
--
Wakinian Tanka
Wakinian Tanka
Aug 2, 2018, 11:24:59 AM8/2/18
to
Il giorno giovedì 2 agosto 2018 17:14:12 UTC+2, Wakinian Tanka ha scritto:
...
...
> E poi pensa alle funzioni composte f°g
no, leggi invece "g°f".
--
Wakinian Tanka
Giorgio Pastore
Aug 2, 2018, 1:04:10 PM8/2/18
to
Il 02/08/18 17:14, Wakinian Tanka ha scritto:
...
>
Comincio col precisare quello che veramente direi io, nel contesto della
discussione presente.
Gli insiemi di coppie indicati in 1) e 2) qui sopra sono lo stesso
insieme, caratterizzato in due modi equivalenti (anche se a rigore
entramne le def. richiederebbero una precisazione(*)). Spero che su
questo non ci siano dubbi. E quindi danno luogo alla stessa funzione.
La vera differenza tra 1) e 2) non sta a livello di *questa* funzione ma
altrove. P.es. a livello psicologico, nel suggerire qualcosa sui
possibili prolungamenti della funzione su domini diversi. Nel caso 2) è
evidente subito che esistono infiniti prolungamenti continui della
funzione in questione al dominio [1,4] (intervallo chiuso come
sottoinsieme di R), mentre per 1) *sembra* che ce ne sia solo uno. Ma
*sembra sbagliato* perché è evidente che p.es. la funzione polinomiale
di terzo grado che passa per le 4 coppie di punti originali e' un altro
possibile prolungamento della funzione di partenza, *qualsiasi ne sia la
definizione*, e cosi' ugualmente la funzione che dia le coppie di cui
sopra sul dominio {1,2,3,4} e vale 0 altrove. E questo per me sarebbe un
punto a favore per l'elencazione esplicita, per ragioni diciamo
"didattiche", pur all' interno di una completa equivalenza dei due modi
di definire la funzione in questione.
Dove invece la definizione a partire da una proprietà è indispensabile
e' per funzioni corrispondenti a domini di cardinalità infinita.
Anche su un infinito numerabile, non potro' mai dare esaustivamente
tutte le coppie. En passant, noto che lo stesso problema si pone *in
pratica* per insiemi finiti la cui cardinalità sia sufficientemente
grande da rendere difficile l'elencazione completa delle coppie in un
tempo finito e limitato, altrimenti dimostrare la correttezza di un
programma per computer sarebbe un problema molto più semplice di quello
che di fatto è.
Per restare sull' esempio, non avro' mai un equivalente esplicito dell'
insieme {(a,b): a app.Q, e 0<a<5}, b app.Q: b = a^2 + 3/a}".
Tuttavia questo appena scritto resta un insieme di coppie determinato
attraverso una proprietà delle stesse. Se vuoi chiamare questa proprietà
"legge di corrispondenza" va bene. Ma sempre caratterizzazione di un
insieme di coppie resta.
Anche qui occorre fare attenzione a non farsi prendere la mano dalla
"legge di corrispondenza". P.es. di prolungamenti di questa funzione sul
dominio dei reali compresi tra 1 e 4 ce ne sono ugualmente infiniti. E
questo è per me un ottimo motivo per considerare superiore il punto di
vista in cui si mette l'accento sull'insieme di coppie, qualsiasi sia il
modo con cui questo viene individuato, piuttosto che su una "legge" che
poi si traduce in "formula" con possibilità notevoli di travisamento.
>
> Inoltre nota che in entrambe i casi non ho potuto fare a meno di definire dominio /e/ codominio (Z e Q, rispettivamente) altrimenti la scrittura (a, b) non ha nemmeno significato!
Il dominio e' parte integrante della definizione di funzione. Ma lo è in
modo talmente forte che diventa ridondante indicarlo anche a parte: con
1) o 2) dell' esempio sopra indicato non c'e' dubbio alcuno che il
dominio sia l' insieme {1,2,3,4}. Pena non avere piu' una funzione.
Aggiungo ancora una nota di tipo didattico: insistere sulla "legge di
corrispondenza" ha anche un altro rischio, oltre quello di dare una
falsa idea circa i possibili prolungamenti. Quello di far concentrare
sulla "legge" e far dimenticare che questa e' indissolubilmente legata
al dominio. Eppure e' molto ma molto frequente (p.es. tra i fisici) dare
troppa enfasi alla legge e passare nel dimenticatoio il dominio. Alzi la
mano chi non ha sentito frasi come "in meccanica quantistica l'operatore
momento e' rappresentato da -i*h_barra*nabla". Con buona pace di domini&Co.
> E poi pensa alle funzioni composte f°g dove il dominio di g e' il codominio di f: come faccio, in generale, a non specificare il codominio di f?
Per essere definita la funzione composta la condizione che il codominio
di f appartenga al dominio di g è sufficiente ma non necessaria. Quello
che serve e' che l'*immagine* (del dominio) di f sia nel dominio di g!
Ma l'immagine di f e' esattamente l'insieme i cui elementi sono i
secondi elementi delle coppie ordinate che rappresentano la funzione.
P.es. se dico solo che ho una funzione da R a R (codominio R), mentre
sono sicuro che e' componibile con la funzione sin(x), non sarei in
grado di dire se e' componibile o meno con la funzione log(x), anche se
p.es. la funzione da R a R x-> sqrt(1+x^2) sicuramente lo è.
Il vero motivo per introdurre il codominio e' di evitare di dover
caratterizzare esattamente l'immagine, il che in alcuni casi puo' essere
compito estremamente difficile se l' insieme delle coppie viene
definito attraverso una proprietà. Tuttavia, se poi la funzione va
invertita, non e' il codominio che conta. Da cui la necessità di
introdurre l'ulteriore proprietà della suriettività che è solo un modo
di considerare "a parte" il problema dell'immagine.
Giorgio
(*) la 1) per funzionare perfettamente richiederebbe di specificare che
nella formula per b si sta usando l'isomorfismo naturale tra elementi a
di Z e elementi del sottoinsieme di Q costituito dalle classi di
equivalenza individuate dalle frazioni (improprie) a/1. Similmente
nella 2) va inteso nello stesso spirito che l'elemento associato a 1 e'
4/1 e quello associato a 3, 10/1.
...
>
> Tu dici:
> "Se f = {(a,b)}, allora posso specificare a e b come voglio, ad es. in questo modo:
> 1) a app.{Z: 0<a<5}, b app.{Q: b = a^2 + 3/a}".
>
> Io invece dico:
> "Se f = {(a,b)}, allora posso scrivere che quella tua funzione e' esattamente uguale a questa:
> 2) a app.Z, b app.Q, f = {(1, 4), (2, 11/2), (3, 10), (4, 67/4)}".
>
> Ma a me invece sembrano 2 definizioni differenti, in quanto nella 1) e' stata data la legge |a-->b e nella 2) no.
Temo che l'esempio che hai fatto porti acqua al mio mulino :-)
> "Se f = {(a,b)}, allora posso specificare a e b come voglio, ad es. in questo modo:
> 1) a app.{Z: 0<a<5}, b app.{Q: b = a^2 + 3/a}".
>
> Io invece dico:
> "Se f = {(a,b)}, allora posso scrivere che quella tua funzione e' esattamente uguale a questa:
> 2) a app.Z, b app.Q, f = {(1, 4), (2, 11/2), (3, 10), (4, 67/4)}".
>
> Ma a me invece sembrano 2 definizioni differenti, in quanto nella 1) e' stata data la legge |a-->b e nella 2) no.
Comincio col precisare quello che veramente direi io, nel contesto della
discussione presente.
Gli insiemi di coppie indicati in 1) e 2) qui sopra sono lo stesso
insieme, caratterizzato in due modi equivalenti (anche se a rigore
entramne le def. richiederebbero una precisazione(*)). Spero che su
questo non ci siano dubbi. E quindi danno luogo alla stessa funzione.
La vera differenza tra 1) e 2) non sta a livello di *questa* funzione ma
altrove. P.es. a livello psicologico, nel suggerire qualcosa sui
possibili prolungamenti della funzione su domini diversi. Nel caso 2) è
evidente subito che esistono infiniti prolungamenti continui della
funzione in questione al dominio [1,4] (intervallo chiuso come
sottoinsieme di R), mentre per 1) *sembra* che ce ne sia solo uno. Ma
*sembra sbagliato* perché è evidente che p.es. la funzione polinomiale
di terzo grado che passa per le 4 coppie di punti originali e' un altro
possibile prolungamento della funzione di partenza, *qualsiasi ne sia la
definizione*, e cosi' ugualmente la funzione che dia le coppie di cui
sopra sul dominio {1,2,3,4} e vale 0 altrove. E questo per me sarebbe un
punto a favore per l'elencazione esplicita, per ragioni diciamo
"didattiche", pur all' interno di una completa equivalenza dei due modi
di definire la funzione in questione.
Dove invece la definizione a partire da una proprietà è indispensabile
e' per funzioni corrispondenti a domini di cardinalità infinita.
Anche su un infinito numerabile, non potro' mai dare esaustivamente
tutte le coppie. En passant, noto che lo stesso problema si pone *in
pratica* per insiemi finiti la cui cardinalità sia sufficientemente
grande da rendere difficile l'elencazione completa delle coppie in un
tempo finito e limitato, altrimenti dimostrare la correttezza di un
programma per computer sarebbe un problema molto più semplice di quello
che di fatto è.
Per restare sull' esempio, non avro' mai un equivalente esplicito dell'
insieme {(a,b): a app.Q, e 0<a<5}, b app.Q: b = a^2 + 3/a}".
Tuttavia questo appena scritto resta un insieme di coppie determinato
attraverso una proprietà delle stesse. Se vuoi chiamare questa proprietà
"legge di corrispondenza" va bene. Ma sempre caratterizzazione di un
insieme di coppie resta.
Anche qui occorre fare attenzione a non farsi prendere la mano dalla
"legge di corrispondenza". P.es. di prolungamenti di questa funzione sul
dominio dei reali compresi tra 1 e 4 ce ne sono ugualmente infiniti. E
questo è per me un ottimo motivo per considerare superiore il punto di
vista in cui si mette l'accento sull'insieme di coppie, qualsiasi sia il
modo con cui questo viene individuato, piuttosto che su una "legge" che
poi si traduce in "formula" con possibilità notevoli di travisamento.
>
> Inoltre nota che in entrambe i casi non ho potuto fare a meno di definire dominio /e/ codominio (Z e Q, rispettivamente) altrimenti la scrittura (a, b) non ha nemmeno significato!
modo talmente forte che diventa ridondante indicarlo anche a parte: con
1) o 2) dell' esempio sopra indicato non c'e' dubbio alcuno che il
dominio sia l' insieme {1,2,3,4}. Pena non avere piu' una funzione.
Aggiungo ancora una nota di tipo didattico: insistere sulla "legge di
corrispondenza" ha anche un altro rischio, oltre quello di dare una
falsa idea circa i possibili prolungamenti. Quello di far concentrare
sulla "legge" e far dimenticare che questa e' indissolubilmente legata
al dominio. Eppure e' molto ma molto frequente (p.es. tra i fisici) dare
troppa enfasi alla legge e passare nel dimenticatoio il dominio. Alzi la
mano chi non ha sentito frasi come "in meccanica quantistica l'operatore
momento e' rappresentato da -i*h_barra*nabla". Con buona pace di domini&Co.
> E poi pensa alle funzioni composte f°g dove il dominio di g e' il codominio di f: come faccio, in generale, a non specificare il codominio di f?
di f appartenga al dominio di g è sufficiente ma non necessaria. Quello
che serve e' che l'*immagine* (del dominio) di f sia nel dominio di g!
Ma l'immagine di f e' esattamente l'insieme i cui elementi sono i
secondi elementi delle coppie ordinate che rappresentano la funzione.
P.es. se dico solo che ho una funzione da R a R (codominio R), mentre
sono sicuro che e' componibile con la funzione sin(x), non sarei in
grado di dire se e' componibile o meno con la funzione log(x), anche se
p.es. la funzione da R a R x-> sqrt(1+x^2) sicuramente lo è.
Il vero motivo per introdurre il codominio e' di evitare di dover
caratterizzare esattamente l'immagine, il che in alcuni casi puo' essere
compito estremamente difficile se l' insieme delle coppie viene
definito attraverso una proprietà. Tuttavia, se poi la funzione va
invertita, non e' il codominio che conta. Da cui la necessità di
introdurre l'ulteriore proprietà della suriettività che è solo un modo
di considerare "a parte" il problema dell'immagine.
Giorgio
(*) la 1) per funzionare perfettamente richiederebbe di specificare che
nella formula per b si sta usando l'isomorfismo naturale tra elementi a
di Z e elementi del sottoinsieme di Q costituito dalle classi di
equivalenza individuate dalle frazioni (improprie) a/1. Similmente
nella 2) va inteso nello stesso spirito che l'elemento associato a 1 e'
4/1 e quello associato a 3, 10/1.
fr...@mail.it
Aug 2, 2018, 2:53:55 PM8/2/18
to
Il Wed, 01 Aug 2018 12:04:40 +0000, fract ha scritto:
> Il Wed, 01 Aug 2018 04:38:12 -0700, Wakinian Tanka ha scritto:
>
>> Il giorno mercoledì 1 agosto 2018 09:46:47 UTC+2, Giorgio Pastore ha
>> scritto:
>>> Il 01/08/18 00:49, Wakinian Tanka ha scritto:
>>> ...
>>> > Scusa se "metto i puntini sulle i": una funzione e' una cosa, il suo
>>> > grafico e' un'altra.
>>> ...
>>> Puntini per puntini, non e' vero che siano cose diverse. So che a
>>> scuola si preferisce non dirlo ma e' cosi'. Basta che pensi alla
>>> definizione di funzione (insieme delle coppie ordinate...) e a quella
>>> di grafico della funzione (insieme delle coppie ordinate...).
Confondete le salsicce con la macchinetta per farle...
> Il Wed, 01 Aug 2018 04:38:12 -0700, Wakinian Tanka ha scritto:
>
>> Il giorno mercoledì 1 agosto 2018 09:46:47 UTC+2, Giorgio Pastore ha
>> scritto:
>>> Il 01/08/18 00:49, Wakinian Tanka ha scritto:
>>> ...
>>> > Scusa se "metto i puntini sulle i": una funzione e' una cosa, il suo
>>> > grafico e' un'altra.
>>> ...
>>> Puntini per puntini, non e' vero che siano cose diverse. So che a
>>> scuola si preferisce non dirlo ma e' cosi'. Basta che pensi alla
>>> definizione di funzione (insieme delle coppie ordinate...) e a quella
>>> di grafico della funzione (insieme delle coppie ordinate...).
>>>
>> Ma due funzioni diverse possono avere lo stesso grafico.
>
> Infatti si confonde il monaco con l'abito.
>> Ma due funzioni diverse possono avere lo stesso grafico.
>
Confondete le salsicce con la macchinetta per farle...
Wakinian Tanka
Aug 2, 2018, 4:32:53 PM8/2/18
to
Il giorno giovedì 2 agosto 2018 19:04:10 UTC+2, Giorgio Pastore ha scritto:
> Il 02/08/18 17:14, Wakinian Tanka ha scritto:
> ...
> > Tu dici:
> > "Se f = {(a,b)}, allora posso specificare a e b come voglio, ad es. in
> > questo modo:
> > 1) a app.{Z: 0<a<5}, b app.{Q: b = a^2 + 3/a}".
> > Io invece dico:
> > "Se f = {(a,b)}, allora posso scrivere che quella tua funzione e'
> > esattamente uguale a questa:
> > 2) a app.Z, b app.Q, f = {(1, 4), (2, 11/2), (3, 10), (4, 67/4)}".
> > Ma a me invece sembrano 2 definizioni differenti, in quanto nella 1) e'
> > stata data la legge |a-->b e nella 2) no.
>
Anzitutto ti ringrazio per la lunga e circostanziata risposta.
> Il 02/08/18 17:14, Wakinian Tanka ha scritto:
> ...
> > Tu dici:
> > "Se f = {(a,b)}, allora posso specificare a e b come voglio, ad es. in
> > questo modo:
> > 1) a app.{Z: 0<a<5}, b app.{Q: b = a^2 + 3/a}".
> > Io invece dico:
> > "Se f = {(a,b)}, allora posso scrivere che quella tua funzione e'
> > esattamente uguale a questa:
> > 2) a app.Z, b app.Q, f = {(1, 4), (2, 11/2), (3, 10), (4, 67/4)}".
> > Ma a me invece sembrano 2 definizioni differenti, in quanto nella 1) e'
> > stata data la legge |a-->b e nella 2) no.
>
> Temo che l'esempio che hai fatto porti acqua al mio mulino :-)
> Comincio col precisare quello che veramente direi io, nel contesto della
> discussione presente.
> Gli insiemi di coppie indicati in 1) e 2) qui sopra sono lo stesso
> insieme, caratterizzato in due modi equivalenti (anche se a rigore
> questo non ci siano dubbi.
Ok.
> E quindi danno luogo alla stessa funzione.
> La vera differenza tra 1) e 2) non sta a livello di *questa* funzione ma
> altrove. P.es. a livello psicologico, nel suggerire qualcosa sui
> possibili prolungamenti della funzione su domini diversi. Nel caso 2) è
> evidente subito che esistono infiniti prolungamenti continui della
> funzione in questione al dominio [1,4] (intervallo chiuso come
> sottoinsieme di R), mentre per 1) *sembra* che ce ne sia solo uno. Ma
> *sembra sbagliato* perché è evidente che p.es. la funzione polinomiale
> di terzo grado che passa per le 4 coppie di punti originali e' un altro
> possibile prolungamento della funzione di partenza, *qualsiasi ne sia la
> definizione*, e cosi' ugualmente la funzione che dia le coppie di cui
> sopra sul dominio {1,2,3,4} e vale 0 altrove.
> E questo per me sarebbe un
> punto a favore per l'elencazione esplicita, per ragioni diciamo
> "didattiche", pur all' interno di una completa equivalenza dei due modi
> di definire la funzione in questione.
> Dove invece la definizione a partire da una proprietà è indispensabile
> e' per funzioni corrispondenti a domini di cardinalità infinita.
> Anche su un infinito numerabile, non potro' mai dare esaustivamente
> tutte le coppie. En passant, noto che lo stesso problema si pone *in
> pratica* per insiemi finiti la cui cardinalità sia sufficientemente
> grande da rendere difficile l'elencazione completa delle coppie in un
> tempo finito e limitato, altrimenti dimostrare la correttezza di un
> programma per computer sarebbe un problema molto più semplice di quello
> che di fatto è.
> Per restare sull' esempio, non avro' mai un equivalente esplicito dell'
> insieme {(a,b): a app.Q, e 0<a<5}, b app.Q: b = a^2 + 3/a}".
> Tuttavia questo appena scritto resta un insieme di coppie determinato
> attraverso una proprietà delle stesse. Se vuoi chiamare questa proprietà
> "legge di corrispondenza" va bene. Ma sempre caratterizzazione di un
> insieme di coppie resta.
Se le definizioni insiemistiche hanno la loro principale ragion d'essere nella semplicita', chiarezza e assenza di concetti che richiedono definizioni a parte, allora questa non mi pare cosi' chiara ed esplicita.
> Anche qui occorre fare attenzione a non farsi prendere la mano dalla
> "legge di corrispondenza". P.es. di prolungamenti di questa funzione sul
> dominio dei reali compresi tra 1 e 4 ce ne sono ugualmente infiniti. E
> questo è per me un ottimo motivo per considerare superiore il punto di
> vista in cui si mette l'accento sull'insieme di coppie, qualsiasi sia il
> modo con cui questo viene individuato, piuttosto che su una "legge" che
> poi si traduce in "formula" con possibilità notevoli di travisamento.
> > Inoltre nota che in entrambe i casi non ho potuto fare a meno di definire
> > dominio /e/ codominio (Z e Q, rispettivamente) altrimenti la scrittura (a, b)
> > non ha nemmeno significato!
>
> Il dominio e' parte integrante della definizione di funzione. Ma lo è in
> modo talmente forte che diventa ridondante indicarlo anche a parte: con
> 1) o 2) dell' esempio sopra indicato non c'e' dubbio alcuno che il
> dominio sia l' insieme {1,2,3,4}.
Perche' la cardinalita' sarebbe stata aleph_0 invece che 4, e perche' avrei potuto prendere anche (infiniti) valori di a inferiori a 1 e (infiniti) a superiori a 4.
> Pena non avere piu' una funzione.
> Aggiungo ancora una nota di tipo didattico: insistere sulla "legge di
> corrispondenza" ha anche un altro rischio, oltre quello di dare una
> falsa idea circa i possibili prolungamenti. Quello di far concentrare
> sulla "legge" e far dimenticare che questa e' indissolubilmente legata
> al dominio. Eppure e' molto ma molto frequente (p.es. tra i fisici) dare
> troppa enfasi alla legge e passare nel dimenticatoio il dominio.
> Alzi la
> mano chi non ha sentito frasi come "in meccanica quantistica l'operatore
> momento e' rappresentato da -i*h_barra*nabla". Con buona pace di domini&Co.
>
> > codominio di f: come faccio, in generale, a non specificare il
> > codominio di f?
>
> Per essere definita la funzione composta la condizione che il codominio
> di f appartenga al dominio di g è sufficiente ma non necessaria. Quello
> che serve e' che l'*immagine* (del dominio) di f sia nel dominio di g!
> Ma l'immagine di f e' esattamente l'insieme i cui elementi sono i
> secondi elementi delle coppie ordinate che rappresentano la funzione.
> P.es. se dico solo che ho una funzione da R a R (codominio R), mentre
> sono sicuro che e' componibile con la funzione sin(x), non sarei in
> grado di dire se e' componibile o meno con la funzione log(x), anche se
> p.es. la funzione da R a R x-> sqrt(1+x^2) sicuramente lo è.
Scusa la banalita', ma se io scrivo la coppia (1, #@&&3/58%) e non ti specifico a quale insieme appartiene il secondo elemento della coppia, che te ne fai di questa informazione?
> > codominio di f?
>
> Per essere definita la funzione composta la condizione che il codominio
> di f appartenga al dominio di g è sufficiente ma non necessaria. Quello
> che serve e' che l'*immagine* (del dominio) di f sia nel dominio di g!
> Ma l'immagine di f e' esattamente l'insieme i cui elementi sono i
> secondi elementi delle coppie ordinate che rappresentano la funzione.
> P.es. se dico solo che ho una funzione da R a R (codominio R), mentre
> sono sicuro che e' componibile con la funzione sin(x), non sarei in
> grado di dire se e' componibile o meno con la funzione log(x), anche se
> p.es. la funzione da R a R x-> sqrt(1+x^2) sicuramente lo è.
> Il vero motivo per introdurre il codominio e' di evitare di dover
> caratterizzare esattamente l'immagine, il che in alcuni casi puo' essere
> compito estremamente difficile se l' insieme delle coppie viene
> definito attraverso una proprietà. Tuttavia, se poi la funzione va
> invertita, non e' il codominio che conta. Da cui la necessità di
> introdurre l'ulteriore proprietà della suriettività che è solo un modo
> di considerare "a parte" il problema dell'immagine.
> (*) la 1) per funzionare perfettamente richiederebbe di specificare che
> nella formula per b si sta usando l'isomorfismo naturale tra elementi a
> di Z e elementi del sottoinsieme di Q costituito dalle classi di
> equivalenza individuate dalle frazioni (improprie) a/1. Similmente
> nella 2) va inteso nello stesso spirito che l'elemento associato a 1 e'
> 4/1 e quello associato a 3, 10/1.
Wakinian Tanka
Giorgio Pastore
Aug 2, 2018, 7:26:50 PM8/2/18
to
Il 02/08/18 22:32, Wakinian Tanka ha scritto:
insieme di una elencazione diretta si tratta dello stesso isieme e nulla
piu'. E quindi della stessa funzione.
....
figlia di Bourbaki, con tutto il bene e il male che questo comporta :-).
Ma funziona!
....
Certo, ma nel ripondere a te ho anche messo dei punti che sono una
risposta (indiretta alle obiezioni di Kiuhnm/ngs che sposa senza se e
senza ma la definizione mediante la tripla (A,F,b) cui accenni sopra.
....
non e' quello di chiarire a quali insiemi appartengono gli elementi
della coppia. E' invece legato alla necessita'/utilita' di usare la
definizione con la tripla invece di quella piu' sintetica con solo il
sottoinsieme del prodotto cartesiano. Di nuovo, era all' interno di un
discorso piu' generale della sola risposta al tuo messaggio.
Giorgio
> Il giorno giovedì 2 agosto 2018 19:04:10 UTC+2, Giorgio Pastore ha scritto:
....
>> E quindi danno luogo alla stessa funzione.
>
> E qui non mi trovo piu'. E' proprio in virtu' del fatto che quegli insiemi "sono caratterizzati in modo differente" che /a mio avviso/ le due funzioni dovrebbero essere considerate differenti.
Non farti ingannare dalla forma. Se la proprietà individua lo stesso
>
> E qui non mi trovo piu'. E' proprio in virtu' del fatto che quegli insiemi "sono caratterizzati in modo differente" che /a mio avviso/ le due funzioni dovrebbero essere considerate differenti.
insieme di una elencazione diretta si tratta dello stesso isieme e nulla
piu'. E quindi della stessa funzione.
....
>> Per restare sull' esempio, non avro' mai un equivalente esplicito dell'
>> insieme {(a,b): a app.Q, e 0<a<5}, b app.Q: b = a^2 + 3/a}".
>> Tuttavia questo appena scritto resta un insieme di coppie determinato
>> attraverso una proprietà delle stesse. Se vuoi chiamare questa proprietà
>> "legge di corrispondenza" va bene. Ma sempre caratterizzazione di un
>> insieme di coppie resta.
>
> Va bene, cosi' mi pare accettabile. Pero' cio' non mi pare cosi' chiaro, da una proposizione (come leggo anche su pagine web) del tipo: "una funzione f e' la tripla {A, F, B} dove... ed F e' un sottoinsieme del prodotto cartesiano AxB" .
> Se le definizioni insiemistiche hanno la loro principale ragion d'essere nella semplicita', chiarezza e assenza di concetti che richiedono definizioni a parte, allora questa non mi pare cosi' chiara ed esplicita.
Puo' non essere "intuitiva". Ma chiara ed esplicita lo e'. Certo, e'
>> insieme {(a,b): a app.Q, e 0<a<5}, b app.Q: b = a^2 + 3/a}".
>> Tuttavia questo appena scritto resta un insieme di coppie determinato
>> attraverso una proprietà delle stesse. Se vuoi chiamare questa proprietà
>> "legge di corrispondenza" va bene. Ma sempre caratterizzazione di un
>> insieme di coppie resta.
>
> Va bene, cosi' mi pare accettabile. Pero' cio' non mi pare cosi' chiaro, da una proposizione (come leggo anche su pagine web) del tipo: "una funzione f e' la tripla {A, F, B} dove... ed F e' un sottoinsieme del prodotto cartesiano AxB" .
> Se le definizioni insiemistiche hanno la loro principale ragion d'essere nella semplicita', chiarezza e assenza di concetti che richiedono definizioni a parte, allora questa non mi pare cosi' chiara ed esplicita.
figlia di Bourbaki, con tutto il bene e il male che questo comporta :-).
Ma funziona!
....
>> Il dominio e' parte integrante della definizione di funzione. Ma lo è in
>> modo talmente forte che diventa ridondante indicarlo anche a parte: con
>> 1) o 2) dell' esempio sopra indicato non c'e' dubbio alcuno che il
>> dominio sia l' insieme {1,2,3,4}.
>
> Scusa ma li il dominio l'ho scritto esplicitamente....
>> modo talmente forte che diventa ridondante indicarlo anche a parte: con
>> 1) o 2) dell' esempio sopra indicato non c'e' dubbio alcuno che il
>> dominio sia l' insieme {1,2,3,4}.
>
Certo, ma nel ripondere a te ho anche messo dei punti che sono una
risposta (indiretta alle obiezioni di Kiuhnm/ngs che sposa senza se e
senza ma la definizione mediante la tripla (A,F,b) cui accenni sopra.
....
> Scusa la banalita', ma se io scrivo la coppia (1, #@&&3/58%) e non ti specifico a quale insieme appartiene il secondo elemento della coppia, che te ne fai di questa informazione?
Anche per 1 devi specificare a che insieme appartiene. Ma il mio punto
non e' quello di chiarire a quali insiemi appartengono gli elementi
della coppia. E' invece legato alla necessita'/utilita' di usare la
definizione con la tripla invece di quella piu' sintetica con solo il
sottoinsieme del prodotto cartesiano. Di nuovo, era all' interno di un
discorso piu' generale della sola risposta al tuo messaggio.
Giorgio
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