Parametrizzazione circonferenza

[Simone]

Ciao. Tutti i libri (che ho visto) dicono che

f: [0,2*pi] --> R^2

| x(t) = cos(t)
f(t) = |
| y(t) = sin(t)

rappresenta la circonferenza di centro (0,0) e raggio 1 , cioè S^1 .
Però f(0) = f(2*pi) = (1,0) . Quindi f( ) non è biettiva tra [0,2*pi]
e S^1 .

Se consideriamo però:

g: [0,2*pi) --> R^2

| x(t) = cos(t)
g(t) = |
| y(t) = sin(t)

allora questo è una funzione biettiva tra [0,2*pi) e S^1 e quindi
questa è
un'equazione parametrica di S^1 .

Perchè allora i libri dicono che f( ) è la rappresentazione
parametrica di S^1 ?
Forse partono dal concetto di lunghezza di una curva?
Grazie.

[?manu*]

Simone ha scritto:

> f: [0,2*pi] --> R^2
>
> | x(t) = cos(t)
> f(t) = |
> | y(t) = sin(t)
>

> rappresenta la circonferenza di centro (0,0) e raggio 1 , cio� S^1 .
> Per� f(0) = f(2*pi) = (1,0) . Quindi f( ) non � biettiva tra [0,2*pi]
> e S^1 .
>
> Se consideriamo per�:

>
> g: [0,2*pi) --> R^2
>
> | x(t) = cos(t)
> g(t) = |
> | y(t) = sin(t)
>

> allora questo � una funzione biettiva tra [0,2*pi) e S^1 e quindi
> questa �

> un'equazione parametrica di S^1 .
>

> Perch� allora i libri dicono che f( ) � la rappresentazione
> parametrica di S^1 ?

Perch� le curve si parametrizzando sempre su un intervallo chiuso [a,b],
in modo da poter parlare degli "estremi" della curva e poter definire le
curve chiuse (che sono proprio quelle in cui f(a)=f(b)). Una curva si
dice semplice se � iniettiva su [a,b). Nessuno pretende mai che f(a) sia
diverso da f(b).

E.

[Simone]

Ciao. Quindi la scelta di prendere anche "il secondo" estremo
è dovuta a motivi "solo" visivi. Non c'è un motivo matematico vero e
proprio.
E' giusto? Grazie.

[?manu*]

Simone ha scritto:

> Ciao. Quindi la scelta di prendere anche "il secondo" estremo

> � dovuta a motivi "solo" visivi. Non c'� un motivo matematico vero e
> proprio.

Il motivo matematico � che [0,1] � compatto. Questo ti d� delle buone
propriet�. Richiedere che una funzione sia continua su [0,1] � molto di
pi� che richiedere che sia continua su [0,1). Ad esempio la seconda
potrebbe non essere limitata.

E.

[Simone]

Ciao. Mi sembra una forzatura però prendere quel punto in più.
L'immagine è una circonferenza, e quindi uno potrebbe dire: Cosa
cambia? Ma allora invece di mettere un punto in più posso considerare
un pezzo di circonferenza in più, cioè invece di :

f: [0,2*pi] --> R^2

| x(t) = cos(t)
f(t) = |
| y(t) = sin(t)

considero

g: [0,2*pi+1] --> R^2

| x(t) = cos(t)
g(t) = |
| y(t) = sin(t)

L'immagine è la stessa, ma dal punto del grafico della curva in R^3 è
diverso, come nel caso in cui prendo o non prendo 2*pi. Ho ancora
tanti dubbi!!!