determinante jacobiano <>0
Luca
y_i=y_i(x_1,x_2,x_3) , con i che va da 1 a 3, abbia determinante Jacobiano
diverso da zero.Vorrei sapere, a parte le implicazioni date dal Teorema di
Dini, cosa implica questa condizione per tale funzione.
Le mie conoscenze si fermano al teorema di inversione locale, il quale
assicura che Y sia omeomorfismo locale (differenziabile) e che l'inversa di
tale omeomorfismo esiste ed è differenziabile.
Quello che più mi interessa è sapere se, supposta Y di classe C^n (n grande
quanto basta), agente su un dominio aperto di R^n, la condizione sul
determinante sopra detto è sufficente per la biiettività della funzione (od
almeno per l'iniettività).
Se così non fosse, cosa ci manca?
Grazie a chi può rispondermi.
Ciao
Luca.
Valter Moretti
Ciao, la condizione che dici e` solo localmente sufficiente: cioe`
nell'intorno di ogni punto del dominio la funzione e` un
diffeomorfismo di classe n (devi prendere n > 0).
Mi pare che puoi rafforzare la tesi rafforzando le ipotesi cosi'
come segue. Pero` non ho mai letto questa dimostrazione da
nessuna parte per cui controllala bene, potrei avere preso
una cantonata. Sotto J(Y)(p) indica la matrice Jacobiana di
Y valutata in p
Teorema.
Sia Y : U -> R^n, U sottoinsieme aperto e connesso di R^n,
sia Y di classe C^n, n>0.
Se per ogni r in U la forma quadratica
determinata da J(Y)(r) e` definita positiva oppure definita
negativa, ossia t^X J(Y)(r) X <> 0
per ogni X non nullo in R^n,
allora Y(U) e` aperto connesso e Y: U -> Y(U) e` un
diffeomorfismo di classe n. (Ossia e` C^n, biettiva con
inversa di classe C^n).
Dimostrazione.
Se J(Y)(r) e` definita, allora detJ(Y)(r) <>0 e quindi
ricadiamo nel caso piu` debole, in particolare, Y e`
localmente aperta per cui e` aperta su U e Y(U) e` aperto
e connesso essendo Y continua e U connesso.
inoltre Y e` localmente un diffeomorfismo di classe C^n.
Per concludere la dim. e` sufficiente mostrare che
Y e` iniettiva, l'unicita` dell'inversa ne assicura
la sua differenziabilita` che gia` vale localmente.
Per assurdo, supponiamo esistano p,q in U distinti
con Y(p)=Y(q). Dato che U e` connesso e aperto in R^n
ci sara` un cammino differenzibile g=g(t) tutto
contenuto in U con g(0)=p e g(1)=q. Inoltre possiamo
sempre scegliere g, modificando un primo cammino
in modo che g'(t) <>0 in ]0,1[.
Sia X in R^n e considerimao la funzione a valori in R
f(t) = ^tX Y(g(t)), t in [0,1]
sara` f(0)=f(1). per Rolle ci sara` s in ]0,1[ con
f'(s)=0. Ossia
^tX J(Y(g(s))) g'(s) = 0
Dato che g'(s) <> 0, poniamo X = g'(s) ed abbiamo
trovato X in R^n non nullo e r= g(s) in U con
^tX J(Y(r)) X = 0
cio` viola le ipotesi. Fine.
-----------------------------------------------
Valter Moretti
Dipartimento di Matematica- Universita' di Trento
mor...@science.unitn.it
http://alpha.science.unitn.it/~moretti/home.html
Luca
Valter Moretti <mor...@science.unitn.it> wrote in message
3BAEE6B4...@science.unitn.it...
Mi sembra che non ci sia niente da obiettare sulla dimostrazione per quanto
ne so io in matematica;
comunque, se impongo solo che il determinante sia diverso da 0, con la
solita funzione Y di classe C^n
definita su un aperto connesso, cosa posso dire in generale su essa?
Il fatto è che sto affrontando la Meccanica del Continuo e tra le ipotesi
iniziali di questa teoria mi si dice
che si vuole che la deformazione (la funzione che trasforma la
configurazione di riferimento nella configurazione attuale)
sia continua, sufficentemente regolare (in modo (penso) da poter applicare
il teorema della divergenza alla configuraz. attuale) ed in più biiettiva
(in realtà mi si dice monodroma, ma siccome non si vogliono 'saldature'
nella deformazione, penso sia meglio dire biiettiva (anche se non so bene al
100% cosa significhi monodroma)).
(Meglio ancora mi servirebbe un diffeomorfismo ?)
Ora, da quanto scritto sul mio libro, " per soddisfare i requisiti di
monodromia, continuità e regolarità" è sufficente che la deformazione Y sia
di classe C^n (e questo va bene per la regolarità e continuità suppongo) e
che inoltre il determinante jacobiano sia diverso da zero. Ma non conosco
nessun teorema che mi dica che allora la funzione è monodroma!!
In sostanza, non capisco a cosa porti l'avere il determinante diverso da
zero.
Grazie se puoi rispondermi.
Ciao
Luca.
Valter Moretti
> Mi sembra che non ci sia niente da obiettare sulla dimostrazione per quanto
> ne so io in matematica;
> comunque, se impongo solo che il determinante sia diverso da 0, con la
> solita funzione Y di classe C^n
> definita su un aperto connesso, cosa posso dire in generale su essa?
Ciao, niente di globale.
> Il fatto è che sto affrontando la Meccanica del Continuo e tra le ipotesi
> iniziali di questa teoria mi si dice
> che si vuole che la deformazione (la funzione che trasforma la
> configurazione di riferimento nella configurazione attuale)
> sia continua, sufficentemente regolare (in modo (penso) da poter applicare
> il teorema della divergenza alla configuraz. attuale) ed in più biiettiva
> (in realtà mi si dice monodroma, ma siccome non si vogliono 'saldature'
> nella deformazione, penso sia meglio dire biiettiva (anche se non so bene al
> 100% cosa significhi monodroma)).
> (Meglio ancora mi servirebbe un diffeomorfismo ?)
Io tengo un corso introduttivo di meccanica dei continui qui a Trento
a Matematica e Fisica (ma per ricerca mi occupo di altro: teoria dei
campi
quantistica, per cui NON sono un esperto di meccanica dei continui!).
Io richiedo che il continuo sia inizialmente un insieme aperto (e
connesso)
e che la funzione che tu consideri sia C^2 in tutte le variabili
congiuntamente (spazio e tempo) e che sia un diffeomorfismo globale
(di classe almeno C^2) ad ogni fissato t.
Credo che questa sia la richista fisica piu` diretta senza giraci
tanto attorno. Essa ha una motivazione immediata quando
consideri continui non dissipativi per cui le due direzioni
del tempo sono equivalenti per cui la configurazione finale e quella
iniziale possono scambirsi ruolo (per cui non ha senso pensare che
una funzione sia regolare e la sua inversa non lo sia).
L'assunzione fatta implica automaticamente che il det jacobiano sia
non nullo per ogni t perche`, nelle ipotesi fatte il prodotto dei
determinanti jacobiani della funzione e della sua inversa deve esistere
e fare 1. Tale risultato ha una certa importanza come spiego sotto.
In ogni caso volendo fare "i complicati". Si potrebbe richiedere
che la funziione di deformazione sia una funzione C^2 congiuntamente,
iniettiva con determinate Jacobiano non nullo per ogni fissato t.
Cio` assicura che sia un diffeomeorfismo ad ogni t sull'immagine
del dominio (che assumo aperto). Ma secondo me e` solo una contorsione
mentale.
Monodroma significa che e` una funzione in senso proprio, cioe'
non e` plurivoca (ad un x associo piu` y). Credo che il tuo libro
intenda che la funzione e` globalmente invertibile quando parla
di monodromia.
> Ora, da quanto scritto sul mio libro, " per soddisfare i requisiti di
> monodromia, continuità e regolarità" è sufficente che la deformazione Y sia
> di classe C^n (e questo va bene per la regolarità e continuità suppongo) e
> che inoltre il determinante jacobiano sia diverso da zero. Ma non conosco
> nessun teorema che mi dica che allora la funzione è monodroma!!
Quanto dice il testo e` sbagliato se per monodromia intende
invertibilita` globale. Prendi Y : (x,y) |-> (e^x cos y, e^x sin y)
da R^2 in R^2, verifichi facilmente che e` surgettiva, Cinfinito e che
il determinante jacobiano vale e^x >0 sempre. Tuttavia la funzione
non e` globalmente invertibile (basta notare che (x,y) e
(x,y+2k pi) vanno nello stesso valore dell'immagine)...
> In sostanza, non capisco a cosa porti l'avere il determinante diverso da
> zero.
Ti spiego a cosa serve a me nel corso.
Tale fatto mi assicura che il determinante jacobiano sia *positivo*:
dato che lo e` a t=0 e continua ad esserlo per continuita` (non
puo` annullarsi per ipotesi). Questo fatto mi serve quando deduco
la forma locale del principio di conservazione della massa avendo
enunciato il principio in forma integrale (che e` quella fisica):
un volume materiale arbitrario di continuo conserva la massa
evolvendo nel tempo dalla configurazione iniziale a quella finale.
Se hai visto come si procede per ottenere la forma locale dall'enunciato
di sopra, si deve far diventare l'integrale della massa sulla
configuraziione finale al generico tempo t, un integrale sulla config
iniziale che non dipende da t, poi si deriva in t....
Allora sotto l'integrale, compare il *modulo* del det jacobiano della
traf. deformazione che potrebbe crearmi problemi quando derivo nel tempo
sotto il segno di integrale. Dato che il det e` positivo,
posso togliere il modulo e arrivare alla forma finale senza
problemi.
Ciao, Valter
Valter Moretti
> Mi sembra che non ci sia niente da obiettare sulla dimostrazione per quanto
> ne so io in matematica;
> comunque, se impongo solo che il determinante sia diverso da 0, con la
> solita funzione Y di classe C^n
> definita su un aperto connesso, cosa posso dire in generale su essa?
Ciao, niente di globale.
> Il fatto è che sto affrontando la Meccanica del Continuo e tra le ipotesi
> iniziali di questa teoria mi si dice
> che si vuole che la deformazione (la funzione che trasforma la
> configurazione di riferimento nella configurazione attuale)
> sia continua, sufficentemente regolare (in modo (penso) da poter applicare
> il teorema della divergenza alla configuraz. attuale) ed in più biiettiva
> (in realtà mi si dice monodroma, ma siccome non si vogliono 'saldature'
> nella deformazione, penso sia meglio dire biiettiva (anche se non so bene al
> 100% cosa significhi monodroma)).
> (Meglio ancora mi servirebbe un diffeomorfismo ?)
Io tengo un corso introduttivo di meccanica dei continui qui a Trento
a Matematica e Fisica (ma per ricerca mi occupo di altro: teoria dei
campi
quantistica, per cui NON sono un esperto di meccanica dei continui!).
Io richiedo che il continuo sia inizialmente un insieme aperto (e
connesso)
e che la funzione che tu consideri sia C^2 in tutte le variabili
congiuntamente (spazio e tempo) e che sia un diffeomorfismo globale
(di classe almeno C^2) ad ogni fissato t.
Credo che questa sia la richista fisica piu` diretta senza giraci
tanto attorno. Essa ha una motivazione immediata quando
consideri continui non dissipativi per cui le due direzioni
del tempo sono equivalenti per cui la configurazione finale e quella
iniziale possono scambirsi ruolo (per cui non ha senso pensare che
una funzione sia regolare e la sua inversa non lo sia).
L'assunzione fatta implica automaticamente che il det jacobiano sia
non nullo per ogni t perche`, nelle ipotesi fatte il prodotto dei
determinanti jacobiani della funzione e della sua inversa deve esistere
e fare 1. Tale risultato ha una certa importanza come spiego sotto.
In ogni caso, volendo fare "i complicati", si potrebbe richiedere
che la funziione di deformazione sia una funzione C^2 congiuntamente,
iniettiva con determinate Jacobiano non nullo per ogni fissato t.
Cio` assicura che sia un diffeomeorfismo ad ogni t sull'immagine
del dominio (che assumo aperto). Ma secondo me e` solo una contorsione
mentale.
Monodroma significa che e` una funzione in senso proprio, cioe'
non e` plurivoca (ad un x associo piu` y). Credo che il tuo libro
intenda che la funzione e` globalmente invertibile quando parla
di monodromia.
> Ora, da quanto scritto sul mio libro, " per soddisfare i requisiti di
> monodromia, continuità e regolarità" è sufficente che la deformazione Y sia
> di classe C^n (e questo va bene per la regolarità e continuità suppongo) e
> che inoltre il determinante jacobiano sia diverso da zero. Ma non conosco
> nessun teorema che mi dica che allora la funzione è monodroma!!
Quanto dice il testo e` sbagliato se per monodromia intende
invertibilita` globale. Prendi Y : (x,y) |-> (e^x cos y, e^x sin y)
da R^2 in R^2, verifichi facilmente che e` surgettiva, Cinfinito e che
il determinante jacobiano vale e^x >0 sempre. Tuttavia la funzione
non e` globalmente invertibile (basta notare che (x,y) e
(x,y+2k pi) vanno nello stesso valore dell'immagine)...
> In sostanza, non capisco a cosa porti l'avere il determinante diverso da
> zero.
Ti spiego a cosa serve a me nel corso.