Rappresentazione trigonometrica numeri complessi
Talos
Dato un numero complesso z = a + i*b come faccio a trovare il valore
di sin e cos espresso in pi-greco?
Esempio: z = -2i
modulo = sqrt(0^2 + (-2)^2) = sqrt(4) = 2
0 = 2*cos(a) quindi cos(a) = 0/2 = 0
-2 = 2sin(a) quindi sin(a) = -2/2 = -1
dunque z = 2(cos0 + i*sin-1) giusto?
Ma al posto di 0 e -1 dovrei esprimere i valori in pi-greco. Come si
fa?
Grazie a tutti.
Ciao.
Arturo Vailardi
> Ciao!
> Dato un numero complesso z = a + i*b come faccio a trovare il valore
> di sin e cos espresso in pi-greco?
> Esempio: z = -2i
> modulo = sqrt(0^2 + (-2)^2) = sqrt(4) = 2
OK
> 0 = 2*cos(a) quindi cos(a) = 0/2 = 0
OK
> -2 = 2sin(a) quindi sin(a) = -2/2 = -1
OK
> dunque z = 2(cos0 + i*sin-1) giusto?
NO!!
hai appena scritto cos(a) = 0. Allora quant'e' a? Limitandoci fra 0
e 2 pi, sara' sia pi/2 che 3/2pi.
Ibidem, sin(a) = -1 . Per cui a = 3/2 pi, e dovendo soddisfare entrambe
le condizioni, hai un solo valore di a
a = 3/2 pi.
--
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http://www.newsland.it/news segnala gli abusi ad ab...@newsland.it
Buff
3Pi/2 + 2kPi (con k intero).
Spero ti sia stato d'aiuto.
Ciao Alberto.
"Talos" <tor...@libero.it> ha scritto nel messaggio
news:3555419d.04050...@posting.google.com...
Talos
Spero di aver capito.
Forse č meglio che mi faccia una tabella con le corrispondenze pi nei
0,1,-1.
Perň ho un dubbio. Se il modulo fosse stato 3 avrei dovuto osservare i
valori fino a 3pi?
Grazie. Ciao!
VeroToad
> Grazie a entrambi!
Cerco di dare un po' più di chiarezza... (non che non fossero chiare le
risposte, ma quest'ultima tua richiesta mi fa immaginare che i dubbi siano
ancora tanti).
Forma trigonometrica di un numero complesso:
z = [Modulo]*(cos(fase)+i*sin(fase))
Per il calcolo del "Modulo" non ci sono problemi (radice quadrata... bla bla
bla).
Per la "fase" devi trovare quel valore di angolo che si ha tra il semiasse
positivo dell'asse Reale (x) e il vettore che rappresenta il numero
complesso (ovviamente supponendo di rappresentare su un piano Imm/Re il
numero complesso come un vettore).
Benissimo.
Dunque, se il numero complesso (espresso in forma algebrica) è:
z = a + b*i
con un po' di trigonometria si ottiene che b/a=tan(fase) o, volendo scrivere
due equazioni, [Modulo]*cos(fase)=a e [Modulo]*sin(fase)=b.
Applicando le formule inverse si ottiene fase=arctan(b/a) o, con le due
equazioni, fase=arcos(a/[Modulo]) e fase=arcsin(b/[Modulo]).
Prestando attenzione ai soliti problemi riguardo all'invertibilità delle
funzioni seno e coseno, riuscirai a determinare (nell'intervallo di un
angolo giro, per esempio tra 0 e 360° [ossia tra 0 e 2Pi]) un unico valore
di fase.
A questo punto sostituisci nella formula generale del numero complesso e il
gioco è fatto.
Se vuoi esprimere i valori di angolo in "Pi.greco" (o, meglio, in radianti)
puoi usare la proporzione [Valore in radianti]:[Valore in
gradi]=[2*Pi.greco]:[360°].
Da quest'ultima si ottiene che: [Valore in radianti]=[Valore in
gradi]*[2*Pi.greco]/[360].
> Forse è meglio che mi faccia una tabella con le corrispondenze pi nei
> 0,1,-1.
Non serve alcuna tabella: solo un po' di memoria o, al massimo, la
formuletta.
Adesso faccio, come esempio, il tuo esercizio:
-----------
ESEMPIO
z = -2*i
Modulo=sqrt((0^2)+(-2)^2)=2
1) Fase=arcos(0/2)=arcos(0)
Gli angoli il cui coseno vale 0 (nel primo giro, tra 0 e 360°) sono: 90° e
270°
2) Fase=arcsin(-2/2)=arcsin(-1)
Gli angoli il cui seno vale -1 (nel primo giro, tra 0 e 360°) sono: 270°
Ovviamente le condizioni 1) e 2) devono verificarsi contemporaneamente,
pertanto l'unica soluzione accettabile è: 270°
A questo punto convertiamo in radianti 270°:
[Valore in radianti]=[270]*[2*Pi.greco]/[360]=3/2*Pi.greco
Sostituiamo nell'espressione generale del numero complesso espresso in forma
trigonometrica:
z = 2*(cos(3/2*Pi.greco)+i*sin(3/2*Pi.greco))
Se rappresenti sul piano Imm/Re il numero complesso, esso sarà un vettore
che parte dall'origine e, in verticale, punterà verso il basso (con
lunghezza 2). Se valuterai l'angolo che si forma con l'asse x (Reale),
noterai che esso è proprio di 270° ossia 3/2*Pi.greco.
Ho finito! Spero di aver messo un po' di chiarezza (e non aver commesso
troppi errori)...
... ah! Giusto per rispondere alla tua domanda: hai capito che la storia di
osservare fino a 3*Pi.greco è una vera e propria follia!
> Però ho un dubbio. Se il modulo fosse stato 3 avrei dovuto osservare i
> valori fino a 3pi?
> Grazie. Ciao!
Ciao,
VeroToad
VeroToad
> Forse è meglio che mi faccia una tabella con le corrispondenze pi nei
> 0,1,-1.
Non serve alcuna tabella: solo un po' di memoria o, al massimo, la
formuletta.
ESEMPIO
z = -2*i
Modulo=sqrt((0^2)+(-2)^2)=2
> Però ho un dubbio. Se il modulo fosse stato 3 avrei dovuto osservare i
> valori fino a 3pi?
> Grazie. Ciao!
Ciao,
VeroToad
VeroToad
Talos
> Autorimprovero per il messaggio doppio...
Grazie molte x la spiegazione e sono un pò meno confuso!
Per chiarirmi le idee vorrei sottoporti un altro esempio.
dato il numero complesso z = 2 * (cos(-1/2) + i*sin(sqrt(3)/2))
Come esprimo in pi-greco gli argomenti?
Non riesco ancora ad associare alle quantità reali i gradi relativi e
poi mettere a sistema le soluzioni:-(
Grazie comunque. Ciao!
VeroToad
> "VeroToad" <verotoa...@hotmail.com> wrote in message
news:<K_wnc.227192$rM4.9...@news4.tin.it>...
> > Autorimprovero per il messaggio doppio...
Ma dovevi proprio rispondere al al mio "autorimprovero"!!! :-)
> Grazie molte x la spiegazione e sono un pò meno confuso!
Meno male... con tutto quello che ho scritto ;-)
> Per chiarirmi le idee vorrei sottoporti un altro esempio.
> dato il numero complesso z = 2 * (cos(-1/2) + i*sin(sqrt(3)/2))
> Come esprimo in pi-greco gli argomenti?
Come al solito non si capisce cosa intendi per "esprimere in pi-greco":
spero voglia dire in "radianti".
> Non riesco ancora ad associare alle quantità reali i gradi relativi e
> poi mettere a sistema le soluzioni:-(
Ma l'esercizio è proprio fatto così? Mi sembra un pochetto strano...
Prima di tutto (non vorrei dire una falsità) gli argomenti in cos() e sin()
dovrebbero essere uguali per indicare un numero complesso in forma
trigonometrica (la "fase" che ho definito nel post precedente è una ed una
sola).
Secondo: direi che i valori di cos(-0.5) sin(sqrt(3)/2)) non siano tra
quelli "facilmente memorizzabili".
Non è che per caso l'esercizio partiva da:
"Si scriva in forma trigonometrica il numero
z = -1+sqrt(3)*i ?
Se è così provo a risolverlo (così come ho fatto per z = -2*i).
Anzitutto valutiamo il modulo:
[Modulo]=sqrt((-1)^2+sqrt(3)^2)=2
Adesso passiamo alla fase (fai ben attenzione qui!):
[Modulo]*cos([Fase])=-1
[Modulo]*sin([Fase])=sqrt(3)
da qui si ottiene:
cos([Fase])=-1/2
sin([Fase])=sqrt(3)/2
e adesso, passando alle formule inverse:
[Fase]=arcos(-1/2)
[Fase]=arcsin(sqrt(3)/2)
Adesso devi chiederti, quali sono i valori di angolo il cui coseno è (-1/2)
[ossia quanto vale l'arcocoseno di -1/2]?
Qui si che (se non hai ancora imparato o studiato i valori) è utile una
tabella dei valori di seno e coseno degli angoli fondamentali.
Ho trovato in rete (ma credo lo potrai trovare su un qualunque libro di
matematica) una tabella riassuntiva piuttosto esauriente:
http://www.matematicamente.it/recupero/funz_goni_ango_note.html
Se la usi vedrai che i valori di angolo il cui coseno è (-1/2) sono 120° e
240°.
Ma ho anche la seconda condizione da soddisfare (quella con il seno).
Quali sono i valori il cui seno vale sqrt(3)/2?
Sono il 60° e il 120°.
Ma quante soluzioni abbiamo trovato, un po' troppe dato che il numero
complesso era uno solo!
Allora "mettiamo a sistema le due equazioni", ossia prendiamo solo le
soluzioni in comune: resta una solo valore accettabile, ossia il 120°.
Adesso potremmo rappresentare il numero complesso come:
z = 2*(cos(120°)+i*sin(120°)).
Ma il sistema internazionale (SI) ci suggerisce di usare i radianti per gli
angoli piani....
allora dobbiamo trasformare i 120°!
[Valore in radianti]=[120°]*[2Pi]/[360]° = 2/3Pi
Allora, per concludere:
z = 2*(cos(2/3*Pi)+i*sin(2/3*Pi))
Questo è il risultato, sempre se ho ben intuito l'esercizio di partenza...
Se invece non è così, banalmente devi convertire:
-0.5° in (-0.5*2Pi/360)=1/360*Pi
sqrt(3)/2° in ... = sqrt(3)/360*Pi
Ma mi sembrano quantomeno strani...
Nel caso, infine, che non abbia ben capito la tua domanda... dimmi bene qual
è l'esercizio in oggetto e le specifiche.
Accidenti: quanto ho scritto!!!
> Grazie comunque. Ciao!
Di niente, spero solo di essere utile... (e di non aver fatto errori)
VeroToad
Talos
Ciao!