Topologia fine e meno fine
Arcobaleno
cosa significa che una topologia è più fine di un'altra?
Grazie!
Adam Atkinson
> Vogliamo provare a spiegare anche in termini un pochino più intuitivi
> cosa significa che una topologia è più fine di un'altra?
che riconosce tutti gli aperti dell'altra, e di piu'.
AndreaM
Una topologia più fine ammette un maggior numero di funzioni continue
(verso un qualunque altro spazio topologico).
Il fatto che ci siano più funzioni continue dice, ad esempio, che a
partire da una data funzione continua è più facile ottenerne altre per
deformazione (ad esempio per perturbazioni della funzione originale).
Questo da un senso di minor rigidità di uno spazio con una topologia
più fine.
Arcobaleno
Da quanto hai scritto ne deduco che stai provando a dare una idea
intuitiva per quanto possibile(e cmq precisa) di cosa debba intendersi
per topologia più fine di un'altra.
>
> Una topologia più fine ammette un maggior numero di funzioni continue
> (verso un qualunque altro spazio topologico).
>
Qui se ho capito bene, io devo pensare a DUE spazi topologici. Poi
penso solo ad uno di questi in cui sarà ovviamente definita una
metrica. E penso anche che potrei definire una metrica più fine.
Quindi posso definire per es. due metriche sullo stesso spazio
topologico.
Confrontando le due metriche su UNO dei due spazi topologici, posso
capire quale delle due metriche sia più fine.
Quella più fine in definitiva mi determina una cosiddetta topologia
(metrica) più fine. Questa topologia più fine, come dici tu, mi
permette di TRASFORMARE un maggior numero di funzioni continue verso
l'altro spazio topologico.
Questo implica che la topologia(metrica) meno fine mi permette di
TRSFORMARE un numero minore di funzioni continue da uno spazio
all'altro.
Ora(rimanendo al tuo esempio) devo pensare ad uno spazio topologico X
i cui elementi sono le funzioni continune in un dato intervallo a,b.
Introduco una metrica, poi introduco anche una seconda metrica e poi
faccio la comparazione tra le due.
La metrica che mi permette di trasformare un maggior numero di
funzioni continue da uno spazio all'altro ecco che è più fine e quindi
ho una topologia(indotta dalla metrica) più fine di un'altra.
Ora, se sto capendo bene il tipo di approccio. E' possibile fare un
esempio il più banale possibile?
Magari facendo riferimento alla comparazione della metrica lagrangiana
con quella integrale?
Oppure un esempio ancora più facile, tale da poter permettere di
intuire ancora meglio cosa si vuole intendere con metrica(topologia)
più fine?
Ecco, magari facendo riferimento al teorema di permanzenza del limite
o a qualcosa ancora di più semplice. Qualcosa di molto semplice che
però in genere neppure usiamo e che non ci serve a nulla ma che rende
il tutto molto facile da comprendere per poi essere meglio
generalizzando ed approfondito.
E' possibile?
Si può pensare per es. ad uno spazio topologico i cui elementi sono i
reali e la cui metrica è quella euclidea, e per es poi andare ad
introdurre un'altra metrica meno fine?
Poi comparare le due metriche e vedere che quella euclidea è più fine
e ci trasforma più punti reali tramite la stessa funzione che non
usando una metrica che non sia quella euclidea.
Magari una metrica ristretta sui soli naturali o sui soli razionali.
Ed in questo modo ecco che è facile capire perché quella euclidea è
più fine.
Ha senso(per quanto riguarda SOLO l'intuizione) quello che sto
dicendo? O sto dando i numeri?:))
Ciao e sinceramente grazie per le tue spiegazioni:)
A.
Tetis
La topologia non è necessariamente indotta da intorni metrici. in R è
possibile introdurre moltissime topologie non equivalenti, ma quante
di queste sono indotte da una metrica su qualche spazio topologico
derivato da R? Per spiegare la domanda procederò gradualmente più
avanti cercando nel frattempo di trattare criticamente una nozione
intuitiva di finezza come "capacità della topologia di risolvere
insiemi di punti in componenti elementari, (queste componenti saranno
gli intorni)". Per capacità si intenderà la capacità di una topologia
più fine di riconoscere in un dato insieme tutte le componenti
elementari che riconosce una metrica meno fine ed altre oltre a
quelle.
> Ecco, magari facendo riferimento al teorema di permanzenza del limite
> o a qualcosa ancora di più semplice. Qualcosa di molto semplice che
> però in genere neppure usiamo e che non ci serve a nulla ma che rende
> il tutto molto facile da comprendere per poi essere meglio
> generalizzando ed approfondito.
>
> E' possibile?
In spazi funzionali mi sembra più probabile che si possa trovare
qualche esempio utile che non in spazi riemanniani. Però attenzione
che anche negli spazi funzionali la storia non è così semplice come
potrebbe sembrare. Ad esempio la norma integrale non è affatto una
norma nello spazio delle funzioni limitate in quanto esistono le
funzioni caratteristiche che sono funzioni limitate ma a norma nulla.
Questa situazione è un poco suggestiva di una possibile intuizione
della finezza di una topologia a patto di introdurre delle costruzioni
che superino il problema. In pratica l'idea è questa: partiamo da uno
spazio topologico che ha una topologia, quindi introduciamo una
seminorma in questo spazio topologico, consideriamo il quoziente
rispetto alla seminorma, cioè costruiamo un nuovo spazio topologico in
cui mettiamo nella stessa classe di equivalenza elementi che hanno
norma zero. Fatto questo quello che si verifica è che la nuova metrica
induce una nuova topologia sullo spazio topologico di partenza. Questa
topologia sarà certamente meno fine. Quindi abbiamo trovato un esempio
che si avvicina alla questione che ponevi.
> Si può pensare per es. ad uno spazio topologico i cui elementi sono i
> reali e la cui metrica è quella euclidea, e per es poi andare ad
> introdurre un'altra metrica meno fine?
Se non ci si preoccupa della continuità delle funzioni algebriche
elementari si può introdurre facilmente una topologia
incommensurabile, cioè né più fine né meno fine semplicemente
riordinando a capriccio gli elementi dell'insieme, cioé tipicamente
quello che succede è che si escludono intorni che prima c'erano e si
aggiungono in loro vece intorni che prima non c'erano. Ad esempio con
la costruzione del quoziente si può introdurre facilmente una metrica
in uno spazio quoziente di R che introduce una topologia (ma
attenzione non una metrica) su R. Questa topologia, come nel caso
precedente non sarà commensurabile, tuttavia sarà, da un punto di
vista intuitivo . Ad esempio: consideriamo lo spazio che consiste dei
seguenti elementi: {0,1} U_f {x_f} dove f è un insieme di indici la
cui immagine è tutto R\{0,1}. Consideriamo la seguente funzione
binaria: d(x,y) = |x-y| se x ed y non appartengono a {0,1},
d(x,y) = 0 se x ed y appartengono alla coppia {0,1}, d(x,y) = |y| se
y non appartiene a {0,1} ma x si, e per simmetria d(x,y) = |x| se y
non appartiene a {0,1} ma x invece si. Questa è una metrica sullo
spazio quoziente, ma non è una metrica sullo spazio originale.
Qual'è la novità rispetto agli intorni indotti da questa metrica sullo
spazio quoziente?
Definizione: un intorno di x è ogni insieme che contenga un disco con
centro in x e raggio non nullo
non tutti gli intorni di 0 con la metrica |x-y| contengono 1,
diversamente con la nuova metrica ogni intorno di 0 deve contenere
anche 1. Ad ogni modo succede anche il contrario, ovvero ci sono
intorni di 1 che non erano intorni rispetto alla precedente metrica:
Esempio {1} U (-1/2,1/2) è adesso un intorno di {1}. Si può ovviare
considerando la seguente classe di equivalenza: {0}U(1/2,3/2) in
questo caso la costruzione di prima conduce ad una topologia meno fine
su R stavolta è vero: non tutti gli intorni di zero sono intorni nella
nuova topologia, ed ogni intorno della nuova topologia è un intorno
tradizionale di R . Considerando lo spazio quoziente che consta di un
solo elemento R, si ha uno spazio metrico rispetto alla funzione: d
(x,y) = 0, e la topologia consta di due soli elementi {} ed R. Questa
topologia è quindi, effettivamente, meno fine della topologia di R.
Si può poi introdurre una metrica su tutto R più fine.
supponiamo che d(x,y) = 0 sse x = y e d(x,y) = 1 altrimenti. Questa
funzione è una metrica? Certamente.
Definizione: un intorno di x è ogni insieme che contenga un disco con
centro in x e raggio non nullo.
Esercizio: con questa topologia tutti gli insiemi che contengono x
sono intorni di x. A questo punto uno che abbia dimestichezza con la
nozione astratta di topologia concluderebbe che allora tutte le
funzioni sono continue in questo spazio di Hausdorf.
Definizione: un punto è di accumulazione di un insieme è un punto per
cui ogni intorno di x contiene almeno un punto dell'insieme che non
sia x.
Esercizio: con la topologia data qualsiasi insieme non esistono punti
di accumulazione.
Definizione: un punto è isolato in un insieme se non è di
accumulazione per quell'insieme
Esercizio: e quindi ogni punto è isolato.
Un punto è aderente ad un insieme se ogni suo intorno contiene qualche
punto dell'insieme:
Esercizio: i punti aderenti sono i punti dell'insieme e nessun altro.
Definizione: un insieme è chiuso se contiene tutti i suoi punti
aderenti.
Esercizio: ogni insieme è chiuso. (incluso l'insieme vuoto)
Definizione: un insieme è aperto se il complementare è chiuso
Esercizio: ogni insieme è aperto.
Definizione: una funzione è continua se la controimmagine di un aperto
è un aperto.
Esercizio: ogni funzione è continua.
Esercizio: Il teorema di limitatezza locale è verificato (mostrare che
per ogni punto del dominio esiste un intorno del punto la cui immagine
è limitata)
Esercizio:Il teorema di permanenza del segno è verificato.
Definizione: sia x un punto di accumulazione per E ed f una funzione
da E a valori in F. Diciamo che f1 da E U {x} ad F è estensione
continua di f se f1 è una funzione continua.
Esercizio: il teorema di al più unicità dell'estensione continua ai
punti di accumulazione è verificato (infatti nessun punto è di
accumulazione, quindi a rigore questa definizione di estensione
continua è vuota e per questa ragione alcuni autori preferiscono una
diversa definizione di estensione continua che non fa riferimento al
fatto che x sia un punto di accumulazione: sia f una funzione da E in
F, diciamo che f1 da E U {x} in F è estensione continua di f se f1 è
continua e poi enunciano il teorema: se x è di accumulazione per F
l'estensione continua, se esiste è unica)
Definizione: si dice che L è limite di una funzione f in un punto x se
per ogni intorno di L esiste un intorno di x la cui immagine, privata
dell'immagine di x sia contenuta nel detto intorno di L.
Esercizio: dimostrare che con la topologia suddetta e con questa
definizione ogni L è limite.
Per questa ragione alcuni autori preferiscono definire il limite in
altro modo.
> Poi comparare le due metriche e vedere che quella euclidea è più fine
> e ci trasforma più punti reali tramite la stessa funzione che non
> usando una metrica che non sia quella euclidea.
Considera ad esempio la topologia indotta su R dal quoziente in cui {0}
U(-1/2,1/2) è una classe di equivalenza ed è attrezzato con la metrica
prima descritta, e considera le funzioni continue da questo spazio ad
R con la topologia tradizionale. Le funzioni continue sono meno di
quelle da R ad R, infatti le immagini degli intorni dei punti
(-1/2,1/2) non possono andare troppo lontane dalle immagini degli
intorni di {0}. In particolare le funzioni che non sono costanti sugli
elementi della classe di equivalenza non possono essere continue.
> Magari una metrica ristretta sui soli naturali o sui soli razionali.
?
Arcobaleno
> On 1 Nov, 16:37, Arcobaleno <arcobalenocolor...@freemail.it> wrote:
>
> La topologia non è necessariamente indotta da intorni metrici. in R è
> possibile introdurre moltissime topologie non equivalenti, ma quante
> di queste sono indotte da una metrica su qualche spazio topologico
> derivato da R? Per spiegare la domanda procederò gradualmente più
> avanti cercando nel frattempo di trattare criticamente una nozione
> intuitiva di finezza come "capacità della topologia di risolvere
> insiemi di punti in componenti elementari, (queste componenti saranno
> gli intorni)".
>
Non ho risposto subito a questa tua precisa e stimolante spiegazione
(cosa che farò a breve) perché sto cercando di farmi una idea più
approfondita prima di entrare in ulteriori dettagli.
Nel frattempo colgo l'occazione per ringraziarti sinceramente per
questo tuo intervento e spero che possa servire anche ad altri che
leggono.
Saluti
A.