Il prodotto scalare è un invariante?

[Flavio Nascia]

Salve,
ho letto che: "il prodotto scalare è invariante nella trasformazione
di base poiché com'è facile verificare, si ha
(1) u'^j v'_j = u^i v_i ciò per ogni u*,v* "

Tuttavia a me non sembra così facile da verificare questa
affermazione. Mi potreste aiutare?

Il ragionamento che ho fatto per verificare la proposizione è il
seguente: esprimo u* nella base B e nella base B' le sue componenti
saranno quindi u_i e u'_i ed analogamente per v*.

Il cambiamento delle componenti dalla base B alla base B' è regolato
dalla matrice del cambiamento di base A per cui avrò che u'_j = A_j^i
u_i

Quindi u'^j v'_j = A_j^i u_i * A_j^i v_i che non mi sembra sia uguale
a u_i v_i

N.B.
Nello scrivere la (1) e le formule successive ho usato la seguente
notazione:
i vettori sono indicati con un * quindi u* leggasi vettore u,
u'^j leggasi u primo j (con j apice)
v'_j leggasi v primo j (con j pedice)
A_j^i leggasi matrice di indice i e pedice j
e infine, quando uno stesso indice compare in alto e in basso si è
sottintesa la somma su tutti i possibili valori di quell'indice
(convenzione di Einstein)

[Giorgio Bibbiani]

Flavio Nascia ha scritto:

> ho letto che: "il prodotto scalare

In questo caso canonico.

> è invariante nella trasformazione
> di base poiché com'è facile verificare, si ha
> (1) u'^j v'_j = u^i v_i ciò per ogni u*,v* "
>
> Tuttavia a me non sembra così facile da verificare questa
> affermazione. Mi potreste aiutare?

Suggerimento:
l'affermazione sopra e' vera se e solo se la matrice di
cambiamento di base e' unitaria (prodotto hermitiano),
od ortogonale nel caso di un p.s. reale.

Ciao
--
Giorgio Bibbiani

[Giorgio Bibbiani]

Giorgio Bibbiani ha scritto:

> l'affermazione sopra e' vera se e solo se la matrice di
> cambiamento di base e' unitaria (prodotto hermitiano),

A proposito, in questo caso il prodotto hermitiano non
c'entra, quel p.s. e' evidentemente reale...

Ciao
--
Giorgio Bibbiani

[Flavio Nascia]

On 4 Apr, 14:00, "Giorgio Bibbiani"

Si' ci riferiamo ad un cambiamento tra basi ortogonali, cioè la
matrice del cambiamento di base A e' ortogonale, e per l'ortogonalità
se e'_i = A e_i allora sara' u'_i = A^T u_i ma rimane
u'^j v'_j = A^T u_i * A^T v_i e continuo a non "vedere"
l'uguaglianza :-(

Ciao,
fnas

[Giorgio Bibbiani]

Flavio Nascia ha scritto:
> Si' ci riferiamo ad un cambiamento tra basi ortogonali, cio� la
> matrice del cambiamento di base A e' ortogonale, e per l'ortogonalit�

> se e'_i = A e_i allora sara' u'_i = A^T u_i ma rimane
> u'^j v'_j = A^T u_i * A^T v_i e continuo a non "vedere"
> l'uguaglianza :-(

u'^i v'_i = A^T^i_k u^k A^T_i^j v_j =
(uso: A^T = A^-1, ove A^-1 e' inversa di A)
A_k^i u^k A^-1_i^j v_j =
(uso: A_k^i A^-1_i^j = delta_k^j, cioe' la delta di Kronecker)
delta_k^j u^k v^j = u^k v_k
CVD.

Ciao
--
Giorgio Bibbiani

[Yoda]

Addi' 04 apr 2013, Flavio Nascia scrive:

>Salve,
> ho letto che: "il prodotto scalare è invariante nella trasformazione
>di base poiché com'è facile verificare, si ha
> (1) u'^j v'_j = u^i v_i ciò per ogni u*,v* "

>Tuttavia a me non sembra così facile da verificare questa
>affermazione. Mi potreste aiutare?

Scrivere la (1) equivale a scrivere questa:

(2) u^i' v_i' = u^i' v^j' g_i'j' = A_h^i' A_k^j' u^h v^k g_i'j' =
= u^h v^k g_hk = u^h v_h,

perche' la matrice A_i^k' che interviene passando da (u^i') a (u^i) e'
la medesima che interviene per il tensore metrico: g_i'k' -> g_ik.

(Tutto questo vale se siamo in uno spazio affine d'uno spazio
probabilmente euclideo, ad es. per questioni di fisica, altrimenti in
algebra vale solo per cambiamenti tra basi ortonormali: g_ik -> delta di
Kronecker).

--
Tanti saluti

[fnas]

On 04/04/2013 17.55, Giorgio Bibbiani wrote:
> Flavio Nascia ha scritto:

>> Si' ci riferiamo ad un cambiamento tra basi ortogonali, cioè la
>> matrice del cambiamento di base A e' ortogonale, e per l'ortogonalità

>> se e'_i = A e_i allora sara' u'_i = A^T u_i ma rimane
>> u'^j v'_j = A^T u_i * A^T v_i e continuo a non "vedere"
>> l'uguaglianza :-(
>
> u'^i v'_i = A^T^i_k u^k A^T_i^j v_j =
> (uso: A^T = A^-1, ove A^-1 e' inversa di A)
> A_k^i u^k A^-1_i^j v_j =
> (uso: A_k^i A^-1_i^j = delta_k^j, cioe' la delta di Kronecker)
> delta_k^j u^k v^j = u^k v_k
> CVD.

Innanzitutto grazie della risposta. Ma della tua dimostrazione vorrei
capire meglio il passaggio in cui scrivi:

A^T^i_k u^k A^T_i^j v_j = A_k^i u^k A^-1_i^j v_j

dove in pratica sostituisci al posto della matrice A^T^i_k la trasposta
della stessa matrice, la A^i_k . Per poter valere l'uguaglianza
A^T^i_k=A^i_k, la matrice A^i_k dev'essere necessariamente una matrice
simmetrica ma questo da cosa lo si puo' dedurre?

Perché se considero una base ortonormale (e_1, e_2, e_3) e, ad esempio,
effettuo una rotazione della base attorno al vettore e_3, la matrice del
cambiamento di base corrispondente alla rotazione e' la seguente
_ _
| cos(alfa) sen(alfa) 0 |
| -sen(alfa) cos(alfa) 0 |
|_ 0 0 1 _|

che non e' simmetrica.

E se invece le basi non sono ortogonali? Il prodotto scalare secondo il
testo continua ad essere indipendente dalla base (e_i) scelta avendo
definito il prodotto scalare cosi' :

x . y = x^i y^i g_ij con g_ij = e_i . e_j

Ma anche in questo caso piu' generale faccio fatica a vedere
l'indipendenza dalla base scelta (e_i) :(

Saluti,
fnas

[fnas]

On 04/04/2013 20.32, Yoda wrote:
> Addi' 04 apr 2013, Flavio Nascia scrive:
>
>> Salve,
>> ho letto che: "il prodotto scalare è invariante nella trasformazione
>> di base poiché com'è facile verificare, si ha
>> (1) u'^j v'_j = u^i v_i ciò per ogni u*,v* "
>
>> Tuttavia a me non sembra così facile da verificare questa
>> affermazione. Mi potreste aiutare?
>
> Scrivere la (1) equivale a scrivere questa:
>
> (2) u^i' v_i' = u^i' v^j' g_i'j' = A_h^i' A_k^j' u^h v^k g_i'j' =
> = u^h v^k g_hk = u^h v_h,
>

g_i'j' cos'e' la matrice del prodotto scalare tra i versori e_i' . e_j'
al variare di i e j su tutti i possibili loro valori?

> perche' la matrice A_i^k' che interviene passando da (u^i') a (u^i) e'
> la medesima che interviene per il tensore metrico: g_i'k' -> g_ik.
>

Cioe' stai dicendo che la matrice A_i^k' che regola il cambiamento tra
le componenti nelle due basi e' la stessa che regola il cambiamento
degli elementi tra le matrici g_ik e g_i'k' sebbene queste ultime
rappresentino i coseni tra i versori presi a due a due di una stessa base?

> (Tutto questo vale se siamo in uno spazio affine d'uno spazio
> probabilmente euclideo, ad es. per questioni di fisica, altrimenti in
> algebra vale solo per cambiamenti tra basi ortonormali: g_ik -> delta di
> Kronecker).
>

Si' ovviamente parlando di prodotto scalare parliamo di uno spazio
vettoriale euclideo o pseudoeuclideo

Saluti,
fnas

[Giorgio Bibbiani]

fnas ha scritto:

> Ma della tua dimostrazione vorrei capire meglio il passaggio in cui
> scrivi:
>
> A^T^i_k u^k A^T_i^j v_j = A_k^i u^k A^-1_i^j v_j
>
> dove in pratica sostituisci al posto della matrice A^T^i_k la
> trasposta della stessa matrice, la A^i_k .

Veramente sostituisco A^T^i_k -> A_k^i, con gli
indici scambiati...

> Per poter valere
> l'uguaglianza A^T^i_k=A^i_k, la matrice A^i_k dev'essere
> necessariamente una matrice simmetrica ma questo da cosa lo si puo'
> dedurre?

Non serve, vedi sopra.

> Perché se considero una base ortonormale (e_1, e_2, e_3) e, ad
> esempio, effettuo una rotazione della base attorno al vettore e_3, la
> matrice del cambiamento di base corrispondente alla rotazione e' la
> seguente _ _
>> cos(alfa) sen(alfa) 0 |
>> -sen(alfa) cos(alfa) 0 |
>> _ 0 0 1 _|
>
> che non e' simmetrica.

Infatti e' ortogonale, come e' giusto che sia ;-).

> E se invece le basi non sono ortogonali? Il prodotto scalare secondo
> il testo continua ad essere indipendente dalla base (e_i) scelta
> avendo definito il prodotto scalare cosi' :
>
> x . y = x^i y^i g_ij con g_ij = e_i . e_j

Ovvio, segue dalla definizione di p.s. (proprieta' di linearita').

> Ma anche in questo caso piu' generale faccio fatica a vedere
> l'indipendenza dalla base scelta (e_i) :(

Non c'e' niente da vedere ;-), una volta definito sullo spazio
vettoriale V il prodotto scalare che indico con ( . ),
( . ): VxV -> R, dato che questa definizione per essere coerente
deve valere in qualsiasi rappresentazione di V, cioe' in qualsiasi
base assegnata, si ha:

x = x^i e_i = x'^i e'_i
y = y^i e_i = y'^i e'_i
(x . y) = (x^i e_i . y^j e_j) = x^i y^j (e_i . e_j)
(x . y) = (x'^i e'_i . y'^j e'_j) = x'^i y'^j (e'_i . e'_j)

[fnas]

On 05/04/2013 7.03, Giorgio Bibbiani wrote:
> fnas ha scritto:
>> Ma della tua dimostrazione vorrei capire meglio il passaggio in cui
>> scrivi:
>>
>> A^T^i_k u^k A^T_i^j v_j = A_k^i u^k A^-1_i^j v_j
>>
>> dove in pratica sostituisci al posto della matrice A^T^i_k la
>> trasposta della stessa matrice, la A^i_k .
>
> Veramente sostituisco A^T^i_k -> A_k^i, con gli
> indici scambiati...

Scusa forse leggo male ma la prima matrice a sinistra e': A trasposta di
apice i e pedice k mentre la matrice di destra e' A di pedice k e indice
i. Perche' dici che gli indici sono scambiati? Gli apici sono in
entrambe i e i pedici sono in entrambe k quindi gli indici
(genericamente intesi come apici e pedici) sono gli stessi e nelle
stesse posizioni o mi sbaglio?

>
>> Per poter valere
>> l'uguaglianza A^T^i_k=A^i_k, la matrice A^i_k dev'essere
>> necessariamente una matrice simmetrica ma questo da cosa lo si puo'
>> dedurre?
>
> Non serve, vedi sopra.
>

>> E se invece le basi non sono ortogonali? Il prodotto scalare secondo
>> il testo continua ad essere indipendente dalla base (e_i) scelta
>> avendo definito il prodotto scalare cosi' :
>>
>> x . y = x^i y^i g_ij con g_ij = e_i . e_j
>
> Ovvio, segue dalla definizione di p.s. (proprieta' di linearita').
>
>> Ma anche in questo caso piu' generale faccio fatica a vedere
>> l'indipendenza dalla base scelta (e_i) :(
>
> Non c'e' niente da vedere ;-), una volta definito sullo spazio
> vettoriale V il prodotto scalare che indico con ( . ),
> ( . ): VxV -> R, dato che questa definizione per essere coerente
> deve valere in qualsiasi rappresentazione di V, cioe' in qualsiasi
> base assegnata, si ha:
>
> x = x^i e_i = x'^i e'_i
> y = y^i e_i = y'^i e'_i
> (x . y) = (x^i e_i . y^j e_j) = x^i y^j (e_i . e_j)
> (x . y) = (x'^i e'_i . y'^j e'_j) = x'^i y'^j (e'_i . e'_j)
>

Cioe' vediamo se ho capito bene, ragionando in termini di funzione, mi
stai dicendo che essendo il vettore un ente intrinseco esso e'
indipendente dalla sua rappresentazione e, quindi, presa una coppia di
vettori x,y in VxV, la loro immagine mediante la funzione ( . ) sara'
uno scalare e sara' unico, qualunque sia la base scelta per
rappresentare x e y?

A questo punto rinominando le formule che hai scritto tu nelle due basi
come (1) e (2)

(1) (x . y) = (x^i e_i . y^j e_j) = x^i y^j (e_i . e_j)
(2) (x . y) = (x'^i e'_i . y'^j e'_j) = x'^i y'^j (e'_i . e'_j)

la (1) = (2) perche' immagine mediante ( . ) di una stessa coppia di
vettori (x . y) e quindi sono uguali per definizione di vettore come
ente intrinseco?

Spero d'aver capito bene.

Ho pero' un'ultima domanda da porti nel dare la definizione di prodotto
scalare tra vettori di una base qualunque si scrive come hai fatto tu la
(1) o l'equivalente che ho scritto io facendo ricorso a g_ij ma in
entrambi i casi nella definizione si utilizza il prodotto scalare stesso
ma tra i versori (e_i . e_j), e questo tra versori a cosa e' uguale?
Cioe' al posto di (e_i . e_j) che numero va messo?

Ciao e grazie della pazienza :-)
fnas

[Giorgio Bibbiani]

fnas ha scritto:

>>> A^T^i_k u^k A^T_i^j v_j = A_k^i u^k A^-1_i^j v_j
>>>
>>> dove in pratica sostituisci al posto della matrice A^T^i_k la
>>> trasposta della stessa matrice, la A^i_k .
>>
>> Veramente sostituisco A^T^i_k -> A_k^i, con gli
>> indici scambiati...
>
> Scusa forse leggo male ma la prima matrice a sinistra e': A trasposta
> di apice i e pedice k mentre la matrice di destra e' A di pedice k e
> indice i. Perche' dici che gli indici sono scambiati? Gli apici sono
> in entrambe i e i pedici sono in entrambe k quindi gli indici
> (genericamente intesi come apici e pedici) sono gli stessi e nelle
> stesse posizioni o mi sbaglio?

Possibilissimo che sia io a sbagliarmi :-(, non conoscendo o ricordando
la notazione che usi, in effetti non ho capito la necessita' o l'utilita'
di utilizzare indici covarianti e controvarianti in questo contesto,
comunque io intendevo che data ad es. la matrice ortogonale A
che hai esplicitato nel messaggio precedente, posto
A^1_2 = sen(alfa), si ottiene l'elemento di matrice della
matrice trasposta A^T^_2^1 = A^1_2 = sen(alfa).

> Cioe' vediamo se ho capito bene, ragionando in termini di funzione, mi
> stai dicendo che essendo il vettore un ente intrinseco esso e'
> indipendente dalla sua rappresentazione e, quindi, presa una coppia di
> vettori x,y in VxV, la loro immagine mediante la funzione ( . ) sara'
> uno scalare e sara' unico, qualunque sia la base scelta per
> rappresentare x e y?

Esattamente.

> A questo punto rinominando le formule che hai scritto tu nelle due
> basi come (1) e (2)
>
> (1) (x . y) = (x^i e_i . y^j e_j) = x^i y^j (e_i . e_j)
> (2) (x . y) = (x'^i e'_i . y'^j e'_j) = x'^i y'^j (e'_i . e'_j)
>
> la (1) = (2) perche' immagine mediante ( . ) di una stessa coppia di
> vettori (x . y) e quindi sono uguali per definizione di vettore come
> ente intrinseco?
>
> Spero d'aver capito bene.

Hai capito benissimo.
Per passare da (1) a (2) non abbiamo utilizzato altro che le
proprieta' della relazione di uguaglianza tra vettori (cioe'
l'indipendenza di un vettore dalla sua rappresentazione) e
di linearita' del p.s..

> Ho pero' un'ultima domanda da porti nel dare la definizione di
> prodotto scalare tra vettori di una base qualunque si scrive come hai
> fatto tu la (1) o l'equivalente che ho scritto io facendo ricorso a
> g_ij ma in entrambi i casi nella definizione si utilizza il prodotto
> scalare stesso ma tra i versori (e_i . e_j), e questo tra versori a
> cosa e' uguale? Cioe' al posto di (e_i . e_j) che numero va messo?

Dipende dallo specifico prodotto scalare, qualunque numero reale
si metta si otterra' un p.s., ad es. se (e_i . e_j) = deltaKronecker_i_j
si ottiene il p.s. cosiddetto canonico nella base {e_i}, se la matrice
di elementi (e_i . e_j) e' definita positiva allora il p.s. sara' definito
positivo ecc. ecc..

> Ciao e grazie della pazienza :-)

Grazie a te per l'argomento che mi interessa :-),
comunque se io riuscissi a essere piu' chiaro, trattando
un argomento che non mi e' piu' familiare, probabilmente
allora avrei meno necessita' di essere paziente...;-)

Ciao
--
Giorgio Bibbiani

[Flavio Nascia]

On 5 Apr, 13:13, "Giorgio Bibbiani"

<giorgio_bibbianiTO...@virgilio.it.invalid> wrote:
> fnas ha scritto:
>
> >>> A^T^i_k u^k A^T_i^j v_j = A_k^i u^k A^-1_i^j v_j
>
> >>> dove in pratica sostituisci al posto della matrice A^T^i_k la
> >>> trasposta della stessa matrice, la A^i_k .
>
> >> Veramente sostituisco A^T^i_k -> A_k^i, con gli
> >> indici scambiati...
>
> > Scusa forse leggo male ma la prima matrice a sinistra e': A trasposta
> > di apice i e pedice k mentre la matrice di destra e' A di pedice k e
> > indice i. Perche' dici che gli indici sono scambiati? Gli apici sono
> > in entrambe i e i pedici sono in entrambe k quindi gli indici
> > (genericamente intesi come apici e pedici) sono gli stessi e nelle
> > stesse posizioni o mi sbaglio?
>
> Possibilissimo che sia io a sbagliarmi :-(, non conoscendo o ricordando
> la notazione che usi, in effetti non ho capito la necessita' o l'utilita'
> di utilizzare indici covarianti e controvarianti in questo contesto,

Effettivamente non c'e' alcuna necessita' di usare indici covarianti e
controvarianti. Li ho usati solo perche' il testo che sto leggendo nel
definire la convenzione di Einstein sugli indici ripetuti aggiunge
quale ulteriore ipotesi che l'indice sia ripetuto in alto e in basso e
di conseguenza utilizza la notazione che hai visto. Ma in effetti,
leggendo in rete ho visto che se ne puo' fare anche a meno eliminando
il posizionamento in basso o in alto dell'indice e limitandosi solo al
fatto che lo stesso venga ripetuto al piu' due volte.

> comunque io intendevo che data ad es. la matrice ortogonale A
> che hai esplicitato nel messaggio precedente, posto
> A^1_2 = sen(alfa), si ottiene l'elemento di matrice della
> matrice trasposta A^T^_2^1 = A^1_2 = sen(alfa).
>

Non mi trovo :( ma facciamo cosi' per quanto affermato prima
eliminiamo gli indici in alto e in basso la scrittura quindi diventa:
A_12 = sen (alfa) = A^T_21 cioe' l'elemento di posto riga 1 e colonna
2 della matrice A e' uguale all'elemento di riga 2 e colonna 1 della
matrice A^T? Se e' cosi' questo vale solo nel caso di matrice
simmetrica.

> > Ho pero' un'ultima domanda da porti nel dare la definizione di
> > prodotto scalare tra vettori di una base qualunque si scrive come hai
> > fatto tu la (1) o l'equivalente che ho scritto io facendo ricorso a
> > g_ij ma in entrambi i casi nella definizione si utilizza il prodotto
> > scalare stesso ma tra i versori (e_i . e_j), e questo tra versori a
> > cosa e' uguale? Cioe' al posto di (e_i . e_j) che numero va messo?
>
> Dipende dallo specifico prodotto scalare, qualunque numero reale
> si metta si otterra' un p.s., ad es. se (e_i . e_j) = deltaKronecker_i_j
> si ottiene il p.s. cosiddetto canonico nella base {e_i}, se la matrice
> di elementi (e_i . e_j) e' definita positiva allora il p.s. sara' definito
> positivo ecc. ecc..
>

Quindi e' proprio la matrice (g_ij) = (e_i . e_j) che definisce il
prodotto scalare cioe' mostra come la funzione prodotto scalare associ
ai versori e_i e e_j elementi di VxV lo scalare k elemento di R.
E dunque volendo fare un esempio data la matrice:

1 0 0
(1) (g_ij)= 0 1 0
0 0 1

e la matrice

1 0 3
(2) (g_i'j')= 4 5 6
0 2 7


la (1) e la (2) definiscono nella stessa base e_i due prodotti scalari
distinti giusto?

Grazie e non ti preoccupare sei chiarissimo sono io che ho una vista
matematica un po' da orbo.

[Giorgio Bibbiani]

Flavio Nascia ha scritto:

> Effettivamente non c'e' alcuna necessita' di usare indici covarianti e
> controvarianti. Li ho usati solo perche' il testo che sto leggendo nel
> definire la convenzione di Einstein sugli indici ripetuti aggiunge
> quale ulteriore ipotesi che l'indice sia ripetuto in alto e in basso e
> di conseguenza utilizza la notazione che hai visto. Ma in effetti,
> leggendo in rete ho visto che se ne puo' fare anche a meno eliminando
> il posizionamento in basso o in alto dell'indice e limitandosi solo al
> fatto che lo stesso venga ripetuto al piu' due volte.
>
>> comunque io intendevo che data ad es. la matrice ortogonale A
>> che hai esplicitato nel messaggio precedente, posto
>> A^1_2 = sen(alfa), si ottiene l'elemento di matrice della
>> matrice trasposta A^T^_2^1 = A^1_2 = sen(alfa).
>>
>
> Non mi trovo :( ma facciamo cosi' per quanto affermato prima
> eliminiamo gli indici in alto e in basso la scrittura quindi diventa:
> A_12 = sen (alfa) = A^T_21 cioe' l'elemento di posto riga 1 e colonna
> 2 della matrice A e' uguale all'elemento di riga 2 e colonna 1 della
> matrice A^T? Se e' cosi' questo vale solo nel caso di matrice
> simmetrica.

No, la matrice sarebbe per definizione simmetrica se valesse
A = A^T, cioe' dovrebbe allora valere per ogni i, j:
A_ij = A^T_ij = A_ji.

Quasi ;-), nel senso che la seconda, poverina, non definisce
proprio un p.s., infatti non e' simmetrica e non vale ad es.
(e_1 . e_2) = (e_2 . e_1).

Ciao
--
Giorgio Bibbiani

[Giorgio Bibbiani]

Giorgio Bibbiani ha scritto:

> Quasi ;-), nel senso che la seconda, poverina, non definisce
> proprio un p.s., infatti non e' simmetrica e non vale ad es.
> (e_1 . e_2) = (e_2 . e_1).

Ancora, mi accorgo che quanto ho scritto sopra (corretto)
contraddice la mia affermazione precedente (sbagliata):

> qualunque numero reale si metta si otterra' un p.s.

ovviamente si deve sempre richiedere che la matrice
di elementi (e_i . e_j) sia simmetrica...

Te l'avevo detto che sono arrugginito...;-)

Ciao
--
Giorgio Bibbiani

[Elio Fabri]

Flavio Nascia ha scritto:

> Quindi u'^j v'_j = A_j^i u_i * A_j^i v_i che non mi sembra sia
> uguale a u_i v_i

Per cominciare, qui c'è un pasticcio con gli indici: a destra usi
troppe volte i.
Inoltre stai sommando su j che sta tutte e due le volte in basso...

> Effettivamente non c'e' alcuna necessita' di usare indici covarianti e
> controvarianti.

Non ce n'è necessità in certe ipotesi e a certe condizioni.

> Non mi trovo :( ma facciamo cosi' per quanto affermato prima
> eliminiamo gli indici in alto e in basso la scrittura quindi diventa:
> A_12 = sen (alfa) = A^T_21 cioe' l'elemento di posto riga 1 e colonna
> 2 della matrice A e' uguale all'elemento di riga 2 e colonna 1 della
> matrice A^T? Se e' cosi' questo vale solo nel caso di matrice
> simmetrica.

Perché mai? A e A^T sono due matrici distinte, e una ha l'elemento ik
uguale all'elemento ki dell'altra.

> Quindi e' proprio la matrice (g_ij) = (e_i . e_j) che definisce il
> prodotto scalare cioe' mostra come la funzione prodotto scalare associ
> ai versori e_i e e_j elementi di VxV lo scalare k elemento di R.

Non sono e_i ed e_j che sono elementi di VxV, ma la coppia ordinata
(e_i,e_j).

> E dunque volendo fare un esempio data la matrice:
>
> 1 0 0
> (1) (g_ij)= 0 1 0
> 0 0 1

> http://www.df.unipi.it/~fabri/sagredo/varie/tensori.pdf

> e la matrice
>
> 1 0 3
> (2) (g_i'j')= 4 5 6
> 0 2 7
>
>
> la (1) e la (2) definiscono nella stessa base e_i due prodotti scalari
> distinti giusto?

Sì, ma che c'entra?
(A parte un errore: la matrice di un prodotto scalare in uno spazio
vettoriale sui reali deve essere simmetrica.)
Poi la notazione è impropria: le due matrici *sono diverse*, e quindi
devi usare due *nomi diversi*, nonb cambiare i nomi degli indici.

La mia impressione è che tu non hai ancora imparato a padroneggaire
bene prima di tutto le notazioni, senza di che anche i concetti sono
difficili da mettere a punto...
Ti suggerisco una lettura:
http://www.df.unipi.it/~fabri/sagredo/varie/tensori.pdf
--
Elio Fabri

[Yoda]

Addi' 05 apr 2013, Elio Fabri scrive:
>Flavio Nascia ha scritto:

>> E dunque volendo fare un esempio data la matrice:
>> 1 0 0
>> (1) (g_ij)= 0 1 0
>> 0 0 1

>> e la matrice
>> 1 0 3
>> (2) (g_i'j')= 4 5 6
>> 0 2 7
>> la (1) e la (2) definiscono nella stessa base e_i due prodotti scalari
>> distinti giusto?

>Sì, ma che c'entra?
>(A parte un errore: la matrice di un prodotto scalare in uno spazio
>vettoriale sui reali deve essere simmetrica.)
>Poi la notazione è impropria: le due matrici *sono diverse*, e quindi

>devi usare due *nomi diversi*, non cambiare i nomi degli indici.

Intervengo perche' e' colpa mia: Flavio l'ho confuso io, ponendo l'apice
sugli indici invece che sul nome. La (2) indica percio', correttamente,
una matrice ben distinta dalla ||g_ik||: quella di nome g', mentre in
(1) figura invece la ||g_ik|| di nome g.

Per Flavio: Non ho il tempo per rispondere anche all'altro post, c'e'
troppo da replicarti! Qui ad esempio le matrici in (1) e in (2) /non/
possono intendersi riferite alla medesima base, la (2) riguarda infatti
necessariamente la base {e_1' e_2' e_3'} alias {e'_1 e'_2 e'_3}.
Buona notte che e' gia' tardissimo

--
Tanti saluti

[Flavio Nascia]

On 5 Apr, 22:27, Elio Fabri <elio.fa...@tiscali.it> wrote:
> Flavio Nascia ha scritto:
>  > Quindi u'^j v'_j = A_j^i u_i * A_j^i v_i che non mi sembra sia
>  > uguale a u_i v_i
> Per cominciare, qui c'è un pasticcio con gli indici: a destra usi
> troppe volte i.
> Inoltre stai sommando su j che sta tutte e due le volte in basso...

ha ragione secondo la convenzione che ho utilizzato a destra avrei
dovuto scrivere:
A_j^i u_i * A_i^j v^i
perche' nella precedente formulazione non effettuo la somma
sull'indice j

>
>  > Effettivamente non c'e' alcuna necessita' di usare indici covarianti e
>  > controvarianti.
> Non ce n'è necessità in certe ipotesi e a certe condizioni.

Spero di non dire una cosa errata affermando che: in questo caso non
occorra specificarlo perche'
1) ci si riferisce solo ad un cambiamento di base e
2) si considerano sempre le componenti del vettore e non le proiezioni
ortogonali del vettore sui versori della base cioe' ci si riferisce
solo alle componenti controvarianti.

>  > Non mi trovo :( ma facciamo cosi' per quanto affermato prima
>  > eliminiamo gli indici in alto e in basso la scrittura quindi diventa:
>  > A_12 = sen (alfa) = A^T_21 cioe' l'elemento di posto riga 1 e colonna
>  > 2 della matrice A e' uguale all'elemento di riga 2 e colonna 1 della
>  > matrice A^T? Se e' cosi' questo vale solo nel caso di matrice
>  > simmetrica.
> Perché mai? A e A^T sono due matrici distinte, e una ha l'elemento ik
> uguale all'elemento ki dell'altra.

Ha ragione ho scritto una sciocchezza A_ik e' sempre uguale a A^T_ki

>
>  > Quindi e' proprio la matrice (g_ij) =  (e_i . e_j) che definisce il
>  > prodotto scalare cioe' mostra come la funzione prodotto scalare associ
>  > ai versori e_i e e_j elementi di VxV lo scalare k elemento di R.
> Non sono e_i ed e_j che sono elementi di VxV, ma la coppia ordinata
> (e_i,e_j).

Forse mi sbaglio ma non ho considerato la coppia ordinata perche' se
il prodotto scalare e' commutativo, comunque si assegni un valore ad i
e ad j si ha: (e_i . e_j) = (e_j . e_i) e quindi sia la coppia
ordinata (e_i,e_j) che la coppia ordinata (e_j,e_i) hanno come
immagine lo stesso scalare dunque l'ordine nella coppia e' necessario?

>
>  > E dunque volendo fare un esempio data la matrice:
>  >
>  >             1 0 0
>  > (1) (g_ij)= 0 1 0
>  >             0 0 1
>  >http://www.df.unipi.it/~fabri/sagredo/varie/tensori.pdf
>  > e la matrice
>  >
>  >               1 0 3
>  > (2) (g_i'j')= 4 5 6
>  >               0 2 7
>  >
>  >
>  > la (1) e la (2) definiscono nella stessa base e_i due prodotti scalari
>  > distinti giusto?
> Sì, ma che c'entra?
> (A parte un errore: la matrice di un prodotto scalare in uno spazio
> vettoriale sui reali deve essere simmetrica.)

Effettivamente ho mal costruito l'esempio ma l'intento era solo
trovare una conferma d'aver fissato nella mia mente il concetto che
cambiando la matrice (con un'altra simmetica) sto definendo un nuovo
tipo di prodotto scalare.

> Poi la notazione è impropria: le due matrici *sono diverse*, e quindi
> devi usare due *nomi diversi*, nonb cambiare i nomi degli indici.

Anche qui devo tristemente ammettere d'aver utilizzato una notazione
impropria.

>
> La mia impressione è che tu non hai ancora imparato a padroneggaire
> bene prima di tutto le notazioni, senza di che anche i concetti sono
> difficili da mettere a punto...
> Ti suggerisco una lettura:http://www.df.unipi.it/~fabri/sagredo/varie/tensori.pdf

Grazie professore lo leggero' con interesse.

[Flavio Nascia]

On 5 Apr, 19:29, "Giorgio Bibbiani"

Eh almeno tu hai avuto un momento in cui eri ben oliato, io sto
facendo ancora il rodaggio ;-)

[Archaeopterx]

Il 06/04/2013 21:55, Flavio Nascia ha scritto:
> Eh almeno tu hai avuto un momento in cui eri ben
> oliato, io sto facendo ancora il rodaggio ;-)

Peggio ancora avere poco olio e perderlo presto tutto
quanto, ma proprio tutto... :(

[Pangloss]

[it.scienza.matematica 04 Apr 2013] Flavio Nascia ha scritto:
> Salve,
> ho letto che: "il prodotto scalare è invariante nella trasformazione
> di base poiché com'è facile verificare, si ha
> (1) u'^j v'_j = u^i v_i ciò per ogni u*,v* "
>
> Tuttavia a me non sembra così facile da verificare questa
> affermazione. Mi potreste aiutare?

La questione e' mal posta: sarebbe come chiedersi se il prodotto di due
numeri naturali dipenda dalle basi (binaria, decimale, esadecimale ecc.)
usata per digitalizzare i numeri.

Uno spazio vettoriale V sul corpo R e' una struttura algebrica nella quale
sono definite le combinazioni lineari; conseguentemente in essa si possono
introdurre le basi vettoriali e le componenti v^k usate per rappresentare
i vettori (che risultano essere "controvarianti" per cambiamenti di base).

Introducendo un'applicazione bilineare privilegiata VxV->R (detta prodotto
scalare alias tensore metrico g_hk) lo spazio vettoriale diviene metrico.
I vettori possono allora essere rappresentati mediante un secondo tipo di
componenti v_h = g_hk v^k che risultano essere "covarianti" rispetto ai
cambiamenti di base.

Le scritture analitiche del prodotto scalare:

u*v = g_hk u^h v^k = u^h v_h

sono necessariamente valide in qualsiasi base (anche non ortogonale) e con
qualsiasi tensore metrico g_hk (anche non euclideo): l'applicazione u*v e'
concettualmente indipendente dalla scelta di una base vettoriale!
Se vuoi dimostrare qualcosa, dimostra le proprieta' di trasformazione
controvarianti delle componenti v^k e covarianti delle componenti v_h.

--
Elio Proietti
Valgioie (TO)

[Flavio Nascia]

Grazie, sei stato chiaro salvo quando parli di tensore metrico non
euclideo che non so cosa sia ma posso immaginare sia un tensore che si
basa su una metrica non euclieda.

Saluti,
fnas

[fnas]

Flavio Nascia wrote:
> On 5 Apr, 22:27, Elio Fabri <elio.fa...@tiscali.it> wrote:
>> Flavio Nascia ha scritto:
>> > Quindi u'^j v'_j = A_j^i u_i * A_j^i v_i che non mi sembra sia
>> > uguale a u_i v_i
>> Per cominciare, qui c'è un pasticcio con gli indici: a destra usi
>> troppe volte i.
>> Inoltre stai sommando su j che sta tutte e due le volte in basso...
>
> ha ragione secondo la convenzione che ho utilizzato a destra avrei
> dovuto scrivere:
> A_j^i u_i * A_i^j v^i
> perche' nella precedente formulazione non effettuo la somma
> sull'indice j
>

Professore perche' mi dice che ho usato troppe volte i?

Saluti,
fnas

[Yoda]

Addi' 07 apr 2013, Pangloss scrive:

>[it.scienza.matematica 04 Apr 2013] Flavio Nascia ha scritto:

>> Salve,
>> ho letto che: "il prodotto scalare è invariante nella trasformazione
>> di base poiché com'è facile verificare, si ha
>> (1) u'^j v'_j = u^i v_i ciò per ogni u*,v* "
>> Tuttavia a me non sembra così facile da verificare questa
>> affermazione. Mi potreste aiutare?

>La questione e' mal posta: sarebbe come chiedersi se il prodotto di due
>numeri naturali dipenda dalle basi (binaria, decimale, esadecimale ecc.)
>usata per digitalizzare i numeri.

Dipende dall'ambito, il prodotto scalare non e' necessariamente
invariante per un cambiamento di base, lo e' certamente solo se ci si
limita alle basi ortonormali.

--
Tanti saluti

[Yoda]

Addi' 07 apr 2013, fnas scrive:

Ti rispondo io: perche' l'espressione tensoriale e' monomia. Devi
percio' scrivere: u'^j v'_j = A_i^j u^i A'^k_j v_k. Nota che con le
(tue) notazioni con l'apice sul nome, sei obbligato scrivere A', A e'
sbagliato. Insomma: c'era pieno d'errori:-)

--
Tanti saluti

[Giorgio Bibbiani]

Yoda ha scritto:

> Addi' 07 apr 2013, Pangloss scrive:
>> [it.scienza.matematica 04 Apr 2013] Flavio Nascia ha scritto:
>
>>> Salve,

>>> ho letto che: "il prodotto scalare è invariante nella
>>> trasformazione di base poiché com'è facile verificare, si ha
>>> (1) u'^j v'_j = u^i v_i ciò per ogni u*,v* "
>>> Tuttavia a me non sembra così facile da verificare questa

>>> affermazione. Mi potreste aiutare?
>
>> La questione e' mal posta: sarebbe come chiedersi se il prodotto di
>> due numeri naturali dipenda dalle basi (binaria, decimale,
>> esadecimale ecc.) usata per digitalizzare i numeri.
>
> Dipende dall'ambito, il prodotto scalare non e' necessariamente
> invariante per un cambiamento di base, lo e' certamente solo se ci si
> limita alle basi ortonormali.

Faccio una puntualizzazione ;-).
Un qualsiasi p.s. _e'_ invariante per cambiamenti di base arbitrari,
dato che e' un'applicazione che ha come argomento una coppia
di vettori, e dato che i vettori sono invarianti per cambiamenti
di base arbitrari.
Data l'espressione u^i v_i del p.s. canonico in una particolare
base (che quindi risultera' o.n.), allora l'uguaglianza:

(1) u'^j v'_j = u^i v_i ciò per ogni u*,v* "

vale solo se e solo se ci si limita a cambiamenti di basi o.n..

Ciao
--
Giorgio Bibbiani

[fnas]

Yoda wrote:
> Addi' 07 apr 2013, fnas scrive:
>> Flavio Nascia wrote:
>>> On 5 Apr, 22:27, Elio Fabri <elio.fa...@tiscali.it> wrote:
>>>> Flavio Nascia ha scritto:
>
>>>>> Quindi u'^j v'_j = A_j^i u_i * A_j^i v_i che non mi sembra sia
>>>>> uguale a u_i v_i
>
>>>> Per cominciare, qui c'è un pasticcio con gli indici: a destra usi
>>>> troppe volte i.
>>>> Inoltre stai sommando su j che sta tutte e due le volte in basso...
>
>>> ha ragione secondo la convenzione che ho utilizzato a destra avrei
>>> dovuto scrivere:
>>> A_j^i u_i * A_i^j v^i
>>> perche' nella precedente formulazione non effettuo la somma
>>> sull'indice j
>
>> Professore perche' mi dice che ho usato troppe volte i?
>
> Ti rispondo io: perche' l'espressione tensoriale e' monomia.

Perdona la mia ignoranza ma che significa l'espressione tensoriale e'
monomia?

Devi
> percio' scrivere: u'^j v'_j = A_i^j u^i A'^k_j v_k. Nota che con le
> (tue) notazioni con l'apice sul nome, sei obbligato scrivere A', A e'
> sbagliato.

Non capisco perche' devo usare A' e non A? Tra l'altro il testo non usa
una A'. E credo che la ragione sia che se la matrice A rappresenta la
matrice del cambiamento tra le basi B e B' il nome che do a tale
matrice, con o senza apice e' ininfluente se l'ho definita dicendo ad
esempio e_j = A_j^i e'_i da cui discende u'_j = A_j^i u_i.

Un' altra cosa non mi è chiara di cio' che scrivi: usi l'indice k. Ma
non si poteva usare l'indice i essendo un indice muto?

Saluti,
fnas

[Yoda]

Addi' 07 apr 2013, fnas scrive:
>Yoda wrote:
>> Addi' 07 apr 2013, fnas scrive:
>>> Flavio Nascia wrote:
>>>> On 5 Apr, 22:27, Elio Fabri <elio.fa...@tiscali.it> wrote:
>>>>> Flavio Nascia ha scritto:

>>>>>> Quindi u'^j v'_j = A_j^i u_i * A_j^i v_i che non mi sembra sia
>>>>>> uguale a u_i v_i

>>>>> Per cominciare, qui c'è un pasticcio con gli indici: a destra usi
>>>>> troppe volte i.
>>>>> Inoltre stai sommando su j che sta tutte e due le volte in basso...

>>>> ha ragione secondo la convenzione che ho utilizzato a destra avrei
>>>> dovuto scrivere:
>>>> A_j^i u_i * A_i^j v^i
>>>> perche' nella precedente formulazione non effettuo la somma
>>>> sull'indice j

>>> Professore perche' mi dice che ho usato troppe volte i?

>> Ti rispondo io: perche' l'espressione tensoriale e' monomia.

>Perdona la mia ignoranza ma che significa l'espressione tensoriale e'
>monomia?

Questa: u^i e_i + v^i e_i, e' perfetta, infatti e' binomia.
Qui un solo indice e' addirittura consigliabile, visto che invita a
raccogliere a fattore i vettori della base: (u^i + v^i) e_i.

>Devi
>> percio' scrivere: u'^j v'_j = A_i^j u^i A'^k_j v_k. Nota che con le
>> (tue) notazioni con l'apice sul nome, sei obbligato scrivere A', A e'
>> sbagliato.

>Non capisco perche' devo usare A' e non A? Tra l'altro il testo non usa
>una A'. E credo che la ragione sia che se la matrice A rappresenta la
>matrice del cambiamento tra le basi B e B' il nome che do a tale
>matrice, con o senza apice e' ininfluente se l'ho definita dicendo ad
>esempio e_j = A_j^i e'_i da cui discende u'_j = A_j^i u_i.

Le matrici A e A' sono una l'inversa dell'altra.

>Un' altra cosa non mi è chiara di cio' che scrivi: usi l'indice k. Ma
>non si poteva usare l'indice i essendo un indice muto?

Soprattutto ha un pessimo impatto visivo, il senso si dovrebbe capire lo
stesso senza ambiguita' considerando tutto il contesto, ma a rigore si
puo' associare ad esempio cosi': (A_j^i A_i^j)(u_i v^i), invece che
cosi': (A_j^i u_i)(A_i^j v^i), che e' il modo giusto.

--
Tanti saluti

[Yoda]

Addi' 07 apr 2013, Giorgio Bibbiani scrive:

>Yoda ha scritto:
>> Addi' 07 apr 2013, Pangloss scrive:

>>> La questione e' mal posta: sarebbe come chiedersi se il prodotto di
>>> due numeri naturali dipenda dalle basi (binaria, decimale,
>>> esadecimale ecc.) usata per digitalizzare i numeri.

>> Dipende dall'ambito, il prodotto scalare non e' necessariamente
>> invariante per un cambiamento di base, lo e' certamente solo se ci si
>> limita alle basi ortonormali.

>Faccio una puntualizzazione ;-).
>Un qualsiasi p.s. _e'_ invariante per cambiamenti di base arbitrari,
>dato che e' un'applicazione che ha come argomento una coppia
>di vettori, e dato che i vettori sono invarianti per cambiamenti
>di base arbitrari.
>Data l'espressione u^i v_i del p.s. canonico in una particolare
>base (che quindi risultera' o.n.), allora l'uguaglianza:
>(1) u'^j v'_j = u^i v_i ciò per ogni u*,v* "
>vale solo se e solo se ci si limita a cambiamenti di basi o.n..

Non riesco a seguir bene, non capisco <<u*,v* ">> cosa vuol dire, poi mi
sembra che nel primo paragrafo dici il contrario di quanto dici dopo,
forse scherzi visto che hai messo la faccina ";-)" ?

--
Tanti saluti

[Giorgio Bibbiani]

Yoda ha scritto:

>> Faccio una puntualizzazione ;-).
>> Un qualsiasi p.s. _e'_ invariante per cambiamenti di base arbitrari,
>> dato che e' un'applicazione che ha come argomento una coppia
>> di vettori, e dato che i vettori sono invarianti per cambiamenti
>> di base arbitrari.
>> Data l'espressione u^i v_i del p.s. canonico in una particolare
>> base (che quindi risultera' o.n.), allora l'uguaglianza:

>> (1) u'^j v'_j = u^i v_i ciò per ogni u*,v* "

>> vale solo se e solo se ci si limita a cambiamenti di basi o.n..
>
> Non riesco a seguir bene, non capisco <<u*,v* ">> cosa vuol dire,

Flavio Nascia nel suo primo messaggio aveva stabilito di indicare
per convenzione i vettori con i simboli u*, v*, cioe' lettere
con un asterisco.

> poi
> mi sembra che nel primo paragrafo dici il contrario di quanto dici
> dopo, forse scherzi visto che hai messo la faccina ";-)" ?

Non scherzo mai su queste cose! ;-)

Seriamente, confermo tutto, un prodotto scalare e' invariante
per cambiamento di base arbitrario dato che il prodotto
scalare di due vettori dipende dai vettori, non dalla base
scelta per rappresentarli.
Cio' vale anche per il secondo paragrafo, infatti il prodotto
scalare canonico (u*, v*) che si rappresenta come u^i v_i
nella base canonica o.n. associata, rimarra' certamente invariato
per qualsiasi cambiamento di base, dato che i vettori u* e v*
non possono essere influenzati da un cambiamento di base,
ma l'uguaglianza (1) sopra rimarra' vera solo per un cambiamento
di base o.n., ovverosia per un cambiamento di base non o.n.
il prodotto scalare (u*, v*) espresso in funzione delle componenti
dei due vettori relative alla nuova base non sara' uguale
in generale all'espressione u'^j v'_j.

Ciao
--
Giorgio Bibbiani

[Yoda]

Addi' 07 apr 2013, Giorgio Bibbiani scrive:
>Yoda ha scritto:

>> Non riesco a seguir bene, non capisco <<u*,v* ">> cosa vuol dire,

>Flavio Nascia nel suo primo messaggio aveva stabilito di indicare
>per convenzione i vettori con i simboli u*, v*, cioe' lettere
>con un asterisco.

Ah, beh Flavio e' un novellino nei NG... m'avevi fatto pensare alle
forme, visto che con la stella si indica lo spazio duale.

>> poi
>> mi sembra che nel primo paragrafo dici il contrario di quanto dici
>> dopo, forse scherzi visto che hai messo la faccina ";-)" ?

> Non scherzo mai su queste cose! ;-)

>Seriamente, confermo tutto, un prodotto scalare e' invariante

Su tutto il seguito mi spiace di non aver tempo materiale per
risponderti, a occhio mi sembra che pero' tu potresti essere in
equivoco. Pensa agli spazi affini di punti per la fisica e all'algebra
lineare (algebra astratta) per la matematica.

--
Tanti saluti

[Pangloss]

[it.scienza.matematica 07 Apr 2013] Giorgio Bibbiani ha scritto:
> ...

> Data l'espressione u^i v_i del p.s. canonico in una particolare
> base (che quindi risultera' o.n.), allora l'uguaglianza:
> (1) u'^j v'_j = u^i v_i ciò per ogni u*,v* "
> vale solo se e solo se ci si limita a cambiamenti di basi o.n..

Non capisco questo discorso, forse parliamo lingue diverse.
Cosa intendi per prodotto scalare canonico?
Con v_i denoti le componenti covarianti g_ij v^j?
Iqc che bisogno c'e' di limitare la (1) alle sole basi o.n.?

[Giorgio Bibbiani]

Pangloss ha scritto:

>> Data l'espressione u^i v_i del p.s. canonico in una particolare
>> base (che quindi risultera' o.n.), allora l'uguaglianza:
>> (1) u'^j v'_j = u^i v_i ciò per ogni u*,v* "
>> vale solo se e solo se ci si limita a cambiamenti di basi o.n..
>
> Non capisco questo discorso, forse parliamo lingue diverse.
> Cosa intendi per prodotto scalare canonico?

Quello che in una data base ha come matrice associata
la delta di Kronecker.

> Con v_i denoti le componenti covarianti g_ij v^j?

No, come scrivevo in precedenza trascuro la distinzione
tra componenti covarianti e controvarianti, la presenza
di un indice in alto e di uno in basso ricorda solo che si
somma sugli indici.

> Iqc che bisogno c'e' di limitare la (1) alle sole basi o.n.?

Considero una base o.n. (rispetto a un dato p.s.), in
questa base il prodotto scalare (u*, v*) vale
u^j v_j, se ora cambio base e le componenti dei
due vettori diventano u'^j e v'_j allora in generale
non sara' vero che il p.s. dei due vettori si potra'
esprimere come u'^j v'_j.

Ciao
--
Giorgio Bibbiani

[Elio Fabri]

Flavio Nascia ha scritto:

> Spero di non dire una cosa errata affermando che: in questo caso non
> occorra specificarlo perche'
> 1) ci si riferisce solo ad un cambiamento di base e
> 2) si considerano sempre le componenti del vettore e non le proiezioni
> ortogonali del vettore sui versori della base cioe' ci si riferisce
> solo alle componenti controvarianti.

Capisco solo in parte quello che dici.
Credo che dipenda da una differenza di definizioni.
Però ora non vorrei entrare in dettagli, che tra l'altro sono anche
macchinosi da scrivere coi caratteri ASCII, senza veri indici e
pedici...
Però lascia perdere il "lei" e il "professore": nei NG non si usa, ci
si dà tutti del "tu".

> Forse mi sbaglio ma non ho considerato la coppia ordinata perche' se
> il prodotto scalare e' commutativo,

> ...
E' vero, ma la mia notazione era sull'uso improprio che hai fatto del
prodotto cartesiano: e_i, e_j *non sono* elementi di VxV.

> Professore perche' mi dice che ho usato troppe volte i?

Facciamo un caso più semplice: se vuoi indicare il prodotto di due
prodotti scalari, il primo fra i vettori u,v e il secondo fra w,z, non
puoi scrivere
u_i v^i w_i z^i
perché non si capisce come sono fatte le somme.
Non è ovvio né sempre vero che si debba sommare il primo col secondo e
il terzo col quarto.
Devi scrivere u_i v^i w_j z^j.
Se invece scrivi u_i v^j w_j z^i i prodotti scalari sono fra u,z e
v,w, eccetera.


--
Elio Fabri

[Elio Fabri]

Yoda ha scritto:

> Dipende dall'ambito, il prodotto scalare non e' necessariamente
> invariante per un cambiamento di base, lo e' certamente solo se ci si
> limita alle basi ortonormali.

Ahi ahi... (v. dopo).

Giorgio Bibbiani ha scritto:

> Faccio una puntualizzazione ;-).
> Un qualsiasi p.s. _e'_ invariante per cambiamenti di base arbitrari,
> dato che e' un'applicazione che ha come argomento una coppia
> di vettori, e dato che i vettori sono invarianti per cambiamenti
> di base arbitrari.

Fin qui siamo d'accordo.

> Cio' vale anche per il secondo paragrafo, infatti il prodotto
> scalare canonico (u*, v*) che si rappresenta come u^i v_i
> nella base canonica o.n. associata

Qui invece secondo me fai un pesante abuso di notazione...

> No, come scrivevo in precedenza trascuro la distinzione
> tra componenti covarianti e controvarianti, la presenza
> di un indice in alto e di uno in basso ricorda solo che si
> somma sugli indici.

Appunto: ecco il pesante abuso.

Introduco una notazione che permetta di distinguere vettori da
componenti (quello di solito si fa ad es. col grassetto).
Seguo la notazione delll'OP: u* da leggere "u grassetto".

1. Le compon. controvar. u^i di un vettore u* rispetto a una base e*_i
sono definite da u* = u^i e*_i.

2. Il prodotto scalare è un'applicazione bilineare simmetrica
VxV --> R, che scrivo u*.v* = g*(u*,v*).

3. Definisco le componenti (covarianti) di g*:
g_ik = (e*_i,e*_k).

4. Ne segue u*.v* = u^i v^k (e*_i,e*_k) = g_ik u^i v^k.

5. Le componenti covarianti di un vettore sono definite da
u_i = (e*_i.u*) = u^k (e*_i,e*k) = g_ik u^k
(però a rigore bisognerebbe passare per lo spazio V* duale di V).

6. Di conseguenza
u*.v* = u_k v^k
e questo è vero *comunque* sia definito il prodotto scalare e
*qualunque* sia la base e*_i.

7. Perciò la scrittura u_k v^k per il prodotto scalare vale *sempre*, ed
è quindi invariante per camb. di base *qualsiasi*.

8. Base ortonormale: g_ik = d_ik (d è la delta di Kronecker).
(Se il prodotto scalare è definito positivo, esistono sempre infinite
basi ortonormali.)

9. Ne segue che se la base è ortonormale (rispetto a un dato prodotto
scalare) è anche u_i = u^i.
E' quindi inutile distnguere compon. covar. e controvar.

10. In una base ortonormale il prodotto scalare si può scrivere u_k
v_k, ed è *questa* scrittura che è invariante *solo* fra basi
ortonormali.


--
Elio Fabri

[Yoda]

Addi' 08 apr 2013, Elio Fabri scrive:

>Yoda ha scritto:

>> Dipende dall'ambito, il prodotto scalare non e' necessariamente
>> invariante per un cambiamento di base, lo e' certamente solo se ci si
>> limita alle basi ortonormali.

>Ahi ahi... (v. dopo).

In algebra lineare, algebra astratta, il prodotto scalare non e'
invariante, cioe' non si conserva, in un cambiamento della base, a meno
che non ci si limiti a basi ortonormali.

Questo l'ho gia' detto, e a Flavio, e a Giorgio. A Flavio, in
particolare, l'ho detto perche' gli ho anche dato la dimostrazione che
chiedeva, valida unicamente quando i vettori sono intesi come "Punti",
cioe' elementi d'uno spazio affine (di punti), come dire percio' tutti i
vettori che s'incontrano in tutta la fisica, ad esempio.

La dimostrazione, semplicissima e immediata che gli ho dato, non l'ha
capita; m'ha chiesto spiegazioni, che pero' non ho avuto materialmente
il tempo per dargliele. Tra l'altro sono in difficolta' a capire il
livello di studi, perche' Flavio usa una terminologia specifica ad alto
livello come "indici muti", ma e' perplesso e insicuro sui coefficienti
g_ik del tensore metrico, che conoscono tutti.

In conclusione, circa l'"Ahi ahi...", ma anche circa quanto dice Giorgio
e che non capisco, tieni presente che ho /dimostrato/ che il prodotto
scalare e' invariantivo (atteso il carattere tensoriale di tutti gli
indici che figurano nella sua espressione: u scalar v = g_ik u^i v^k =
= u^i v_k = u_i v^k = g^ik u_i v_k), percio' questo fatto e' valido
incondizionatamente: basi ortonormali o no che si vogliano scegliere.

--
Tanti saluti

[Yoda]

Addi' 08 apr 2013, Yoda scrive:

>scalare e' invariantivo (atteso il carattere tensoriale di tutti gli
>indici che figurano nella sua espressione: u scalar v = g_ik u^i v^k =
>= u^i v_k = u_i v^k = g^ik u_i v_k), percio' questo fatto e' valido
>incondizionatamente: basi ortonormali o no che si vogliano scegliere.

Ovvio errore nella penultima riga:
CORRIGE
= u^i v_i = u_i v^i = g^ik u_i v_k), percio' questo fatto e' valido

--
Tanti saluti

[Giorgio Bibbiani]

Elio Fabri ha scritto:

>> Cio' vale anche per il secondo paragrafo, infatti il prodotto
>> scalare canonico (u*, v*) che si rappresenta come u^i v_i
>> nella base canonica o.n. associata
> Qui invece secondo me fai un pesante abuso di notazione...
>
>> No, come scrivevo in precedenza trascuro la distinzione
>> tra componenti covarianti e controvarianti, la presenza
>> di un indice in alto e di uno in basso ricorda solo che si
>> somma sugli indici.
> Appunto: ecco il pesante abuso.

OK, grazie mille per la correzione, adesso sono sicuro
che non me lo dimentichero' piu', di non mescolare
abusivamente la notazione con tutti gli indici in basso e
quella con indici controvarianti e covarianti...

Ciao
--
Giorgio Bibbiani

[Yoda]

Addi' 07 apr 2013, Giorgio Bibbiani scrive:

>Cio' vale anche per il secondo paragrafo, infatti il prodotto
>scalare canonico (u*, v*) che si rappresenta come u^i v_i
>nella base canonica o.n. associata, rimarra' certamente invariato
>per qualsiasi cambiamento di base, dato che i vettori u* e v*
>non possono essere influenzati da un cambiamento di base,
>ma l'uguaglianza (1) sopra rimarra' vera solo per un cambiamento
>di base o.n., ovverosia per un cambiamento di base non o.n.
>il prodotto scalare (u*, v*) espresso in funzione delle componenti
>dei due vettori relative alla nuova base non sara' uguale
>in generale all'espressione u'^j v'_j.

Oggi ho trovato un po' di tempo, confermo la mia impressione: sei in
equivoco, confondi u^j' v_j' col "Somme u_k' v_k'" che dice Elio nel
punto 10 dell'altro giorno.

Questa espressione: u^j' v_j', vale sempre, invece Somme u_k' v_k' vale
solo con metrica diag[1 1 1]. Ti convinci riflettendo sul fatto che in
italiano si dice "Somme...", in algebra tensoriale delta^i'k' u_i' v_k',
cio' che mostra che il tensore metrico coincide col delta di Kronecker
in forma totalmente covariante: g_i'k' = delta_i'k', ovvero diag[1 1 1].

--
Tanti saluti

[Giorgio Bibbiani]

Yoda ha scritto:

> Oggi ho trovato un po' di tempo, confermo la mia impressione: sei in
> equivoco, confondi u^j' v_j' col "Somme u_k' v_k'" che dice Elio nel
> punto 10 dell'altro giorno.

In effetti ho pasticciato con le notazioni...:-(

Ciao
--
Giorgio Bibbiani