x^2 * Log[Abs[x]] prolungabile per continuità in x=0 -- Perchè?

[Snoopy]

Salve!
Mi trovo a studiare la funzione x^2 * Log[Abs[x]]
che a quanto pare risulta essere prolungabile per continuità in x=0 assumendo 0 come valore 0.

Mi chiedo... Perchè?

Lim x->0 di x^2 è 0, Log[Abs[x]] va a -Inf nell'intorno di 0... Viene 0*-Inf.

Quale artificio matematico non sto ricordando?

Grazie in anticipo
--
Snoopy

[superpollo]

Snoopy ha scritto:

> Salve!
> Mi trovo a studiare la funzione x^2 * Log[Abs[x]]

> che a quanto pare risulta essere prolungabile per continuit� in x=0 assumendo 0 come valore 0.
>
> Mi chiedo... Perch�?
>
> Lim x->0 di x^2 � 0, Log[Abs[x]] va a -Inf nell'intorno di 0... Viene 0*-Inf.

>
> Quale artificio matematico non sto ricordando?

conosci il limite "notevole"

lim_{x->0} log(1+x)/x

?

\bye

--
Nota. Corretta.
La Standard col neutro 1, diverge da 1.
La Tunze che parte da zero diverge da zero.

[josh]

On 02/02/2013 06:56 PM, Snoopy wrote:
> Salve!
> Mi trovo a studiare la funzione x^2 * Log[Abs[x]]

> che a quanto pare risulta essere prolungabile per continuit� in x=0 assumendo 0 come valore 0.
>
> Mi chiedo... Perch�?
>
> Lim x->0 di x^2 � 0, Log[Abs[x]] va a -Inf nell'intorno di 0... Viene 0*-Inf.

>
> Quale artificio matematico non sto ricordando?
>
> Grazie in anticipo
>

Log[Abs[x]]
x^2*Log[Abs[x]] = --------------
1/(x^2)

Ora hai -inf/inf... che credo ti piaccia di pi�.

Ciao, Josh.

[Snoopy]

Il giorno sabato 2 febbraio 2013 19:10:22 UTC+1, josh ha scritto:
>
> Log[Abs[x]]
>
> x^2*Log[Abs[x]] = --------------
>
> 1/(x^2)
>
>
>

> Ora hai -inf/inf... che credo ti piaccia di più.

Capisco! Sul libro L'Hospital viene spiegato un po' alla buona...


> Ciao, Josh.
Grazie!

[Enrico Gregorio]

Snoopy <santoro....@gmail.com> scrive:

> Salve!
> Mi trovo a studiare la funzione x^2 * Log[Abs[x]]

> che a quanto pare risulta essere prolungabile per continuit� in x=0 assumendo
> 0 come valore 0.
>
> Mi chiedo... Perch�?
>
> Lim x->0 di x^2 � 0, Log[Abs[x]] va a -Inf nell'intorno di 0... Viene 0*-Inf.

>
> Quale artificio matematico non sto ricordando?

Che ti basta guardare il limite per x->0+, dal momento
che si tratta di una funzione pari: f(x) = f(-x).

Quindi devi solo calcolare

lim_{x->0+} x^2 log x

� ben noto che

lim_{x->0+} x log x = 0

e dunque anche il tuo limite sar� 0. Come si fa? Per esempio con
l'H�pital:

lim_{x->0+} (log x)/(1/x) = lim_{x->0+} (1/x)/(-1/x^2)
= lim_{x->0+} -x = 0

Domandina successiva: la tua funzione (estesa per continuit� in 0)
� derivabile in 0?

Ciao
Enrico

[Tetis]

Scriveva Snoopy sabato, 02/02/2013:

> Salve!
> Mi trovo a studiare la funzione x^2 * Log[Abs[x]]

> che a quanto pare risulta essere prolungabile per continuitￜ in x=0 assumendo
> 0 come valore 0.
>
> Mi chiedo... Perchￜ?

Vediamo in questo modo: se qualcuno ti dicesse che -y*e^(-2y) tende a
zero quando y tende ad infinito ne dubiteresti? Ora poni x = e^(-y)
quando y tende a infinito e^(-y) cioￜ x tende a 0, quindi hai messo a
posto le sequenze x->0+ analogamente per le sequenze negative con x =
-e^(-y). L'applicazione ￜ continua quindi se il limite della funzione
composta esiste ￜ il limite della funzione iniziale.


> Lim x->0 di x^2 ￜ 0, Log[Abs[x]] va a -Inf nell'intorno di 0... Viene 0*-Inf.

[lefthand]

Il Sun, 03 Feb 2013 00:11:02 +0100, Enrico Gregorio ha scritto:

> Snoopy <santoro....@gmail.com> scrive:
>
>> Salve!
>> Mi trovo a studiare la funzione x^2 * Log[Abs[x]] che a quanto pare

>> risulta essere prolungabile per continuità in x=0 assumendo 0 come
>> valore 0.
>>
>> Mi chiedo... Perchè?
>>
>> Lim x->0 di x^2 è 0, Log[Abs[x]] va a -Inf nell'intorno di 0... Viene

>> 0*-Inf.
>>
>> Quale artificio matematico non sto ricordando?
>
> Che ti basta guardare il limite per x->0+, dal momento che si tratta di
> una funzione pari: f(x) = f(-x).
>
> Quindi devi solo calcolare
>
> lim_{x->0+} x^2 log x
>

> È ben noto che

>
> lim_{x->0+} x log x = 0
>

> e dunque anche il tuo limite sarà 0. Come si fa? Per esempio con
> l'Hôpital:

>
> lim_{x->0+} (log x)/(1/x) = lim_{x->0+} (1/x)/(-1/x^2)
> = lim_{x->0+} -x = 0

A essere pignoli mancherebbe un ln(10) al denominatore.

> Domandina successiva: la tua funzione (estesa per continuità in 0) è
> derivabile in 0?

La derivata è y'= 2x*Log(|x|) + x^2*(1/ln10)*(1/|x|)*(|x|/x) = 2x*Log(|
x|) + x/ln10, funzione dispari il cui limite è di nuovo zero.
Invece la derivata seconda è discontinua, per cui la funzione è di classe
C1 su R.


--
"Oggi la scienza ha scoperto come asportare il cuore di un uomo [...].
E la propaganda è riuscita in più occasioni ad asportare la mente di
intere nazioni." (Brian Fawcett, Cambogia)

[Enrico Gregorio]

lefthand <nonte...@qui.da.me> scrive:

> Il Sun, 03 Feb 2013 00:11:02 +0100, Enrico Gregorio ha scritto:
>
> > Snoopy <santoro....@gmail.com> scrive:
> >
> >> Salve!
> >> Mi trovo a studiare la funzione x^2 * Log[Abs[x]] che a quanto pare
> >> risulta essere prolungabile per continuità in x=0 assumendo 0 come
> >> valore 0.
> >>
> >> Mi chiedo... Perchè?
> >>
> >> Lim x->0 di x^2 è 0, Log[Abs[x]] va a -Inf nell'intorno di 0... Viene
> >> 0*-Inf.
> >>
> >> Quale artificio matematico non sto ricordando?
> >
> > Che ti basta guardare il limite per x->0+, dal momento che si tratta di
> > una funzione pari: f(x) = f(-x).
> >
> > Quindi devi solo calcolare
> >
> > lim_{x->0+} x^2 log x
> >
> > È ben noto che
> >
> > lim_{x->0+} x log x = 0
> >
> > e dunque anche il tuo limite sarà 0. Come si fa? Per esempio con
> > l'Hôpital:
> >
> > lim_{x->0+} (log x)/(1/x) = lim_{x->0+} (1/x)/(-1/x^2)
> > = lim_{x->0+} -x = 0
>
> A essere pignoli mancherebbe un ln(10) al denominatore.

Esiste solo un tipo di logaritmo. :) Se non c'è una
chiara specificazione, con "log" si intende quello
naturale.

> > Domandina successiva: la tua funzione (estesa per continuità in 0) è
> > derivabile in 0?
>
> La derivata è y'= 2x*Log(|x|) + x^2*(1/ln10)*(1/|x|)*(|x|/x) = 2x*Log(|
> x|) + x/ln10, funzione dispari il cui limite è di nuovo zero.
> Invece la derivata seconda è discontinua, per cui la funzione è di classe
> C1 su R.

La derivata in zero è esattamente lo stesso limite di prima,
cioè di x log x, a destra; a sinistra è quello di x log(-x)
che è comunque 0.

Ciao
Enrico

[Tetis]

Il 03/02/2013, Enrico Gregorio ha detto :
> lefthand <nonte...@qui.da.me> scrive:

>> A essere pignoli mancherebbe un ln(10) al denominatore.
>

> Esiste solo un tipo di logaritmo. :) Se non c'ￜ una

> chiara specificazione, con "log" si intende quello
> naturale.

Esiste un'ampia tradizione scientifica che non si riconosce in questa
convenzione/scuola e che indica con log il logaritmo in base 10 e con
ln il logaritmo naturale. Gran parte delle calcolatrici scientifiche
presentano due tasti proprio per venire incontro alle esisgenze di chi
ￜ abituato a questa convenzione.

[josh]

Come sempre in questi casi conviene usare le due notazioni *sicuramente*
non ambigue

ln (per il logaritmo naturale)

log_10 (per quello in base 10)

Ciao, Josh.

[Tetis]

josh ha detto questo lunedￜ :

Questa ￜ una preferenza di alcuni matematici, che giustamente danno una
posizione privilegiata al ln, ma gli ambiti tecnici considerano
altrettanto naturale riferirsi alla base fondamentale dei multipli del
sistema internazionale che ￜ il dieci e darle un posto altrettanto
importante dedicando il termine log al logaritmo in base dieci.

Del resto, per curiositￜ storica: Napier che convenzione usava?
Qualcuno saprebbe dirlo?

[lefthand]

Il Sun, 03 Feb 2013 15:33:14 +0100, Enrico Gregorio ha scritto:


> Esiste solo un tipo di logaritmo. :)

A meno di dilatazioni...

> Se non c'è una chiara
> specificazione, con "log" si intende quello naturale.

A parte il fatto che l'OP ha addirittura scritto "Log", con tanto di
maiuscola, nessuna delle calcolatrici che ho sottomano è d'accordo con te.

>> > Domandina successiva: la tua funzione (estesa per continuità in 0) è
>> > derivabile in 0?
>>
>> La derivata è y'= 2x*Log(|x|) + x^2*(1/ln10)*(1/|x|)*(|x|/x) = 2x*Log(|
>> x|) + x/ln10, funzione dispari il cui limite è di nuovo zero. Invece la
>> derivata seconda è discontinua, per cui la funzione è di classe C1 su
>> R.
>
> La derivata in zero è esattamente lo stesso limite di prima, cioè di x
> log x, a destra; a sinistra è quello di x log(-x) che è comunque 0.

Non capisco cosa vuoi rimarcare. Hai comunque dimenticato il valore
assoluto.

[Maurizio Frigeni]

Tetis <lje...@yahoo.it> wrote:

> Del resto, per curiosit� storica: Napier che convenzione usava?

Usava come base 1 - 1/10^7 e poi moltiplicava l'esponente per 10^7.

In altre parole, se N = 10^7 (1 - 1/10^7)^L, allora L era il logaritmo
di Napier del numero N.

In pratica, si tratta di un sistema la cui base � molto vicina a 1/e.

M.

--
Per rispondermi via e-mail togli l'ovvio.

[Tetis]

Maurizio Frigeni ha usato la sua tastiera per scrivere :
> Tetis <lje...@yahoo.it> wrote:
>
>> Del resto, per curiositￜ storica: Napier che convenzione usava?

>
> Usava come base 1 - 1/10^7 e poi moltiplicava l'esponente per 10^7.
>
> In altre parole, se N = 10^7 (1 - 1/10^7)^L, allora L era il logaritmo
> di Napier del numero N.
>

> In pratica, si tratta di un sistema la cui base ￜ molto vicina a 1/e.
>
> M.

ah, ecco, ma questi numeri avevano un'origine geometrica, per caso?

[Maurizio Frigeni]

Tetis <lje...@yahoo.it> wrote:

> ah, ecco, ma questi numeri avevano un'origine geometrica, per caso?

Non credo: semplicemente ha preso come base un numero molto vicino a 1
in modo che le sue potenze fossero molto ravvicinate (e quindi per
comodit� di calcolo).