equazione goniometrica

[Botta di sangue]

cos2x+cos3x+cos4x+cos5x=0

So che a molti di voi quest'equazione sembrerà una scemenza, ma non sono
riuscito a risolverla. Ho fatto prostaferesi, ma non ho ottenuto nulla
di concreto. Cosa suggerite di fare? Grazie.

[El Filibustero]

On Sun, 20 Nov 2016 20:57:35 +0100, Botta di sangue wrote:

>cos2x+cos3x+cos4x+cos5x=0
>
>So che a molti di voi quest'equazione sembrerà una scemenza, ma non sono
>riuscito a risolverla. Ho fatto prostaferesi

Buona idea: infatti, proprio le formule di prostaferesi dicono che
cos(2x)+cos(5x) e cos(3x)+cos(4x) sono la stessa cosa, quindi si
tratta dell'annullamento del prodotto di due coseni. Ciao

[El Filibustero]

On Sun, 20 Nov 2016 21:10:58 +0100, El Filibustero
<spal...@gmail.com> wrote:

>Buona idea: infatti, proprio le formule di prostaferesi dicono che
>cos(2x)+cos(5x) e cos(3x)+cos(4x) sono la stessa cosa,

ooooops, quasi la stessa cosa: contengono il fattore comune cos(7x/2),
che si puo' raccogliere. Ciao

[Botta di sangue]

Il 20/11/2016 21:13, El Filibustero ha scritto:
> On Sun, 20 Nov 2016 21:10:58 +0100, El Filibustero
> <spal...@gmail.com> wrote:
>
>> Buona idea: infatti, proprio le formule di prostaferesi dicono che
>> cos(2x)+cos(5x) e cos(3x)+cos(4x) sono la stessa cosa,
>

Non ho capito perchè sono la stessa cosa.

> ooooops, quasi la stessa cosa: contengono il fattore comune cos(7x/2),
> che si puo' raccogliere. Ciao
>

Ciò che ottengo è: 2cos(7x/2)[cos(3x/2)+cos(x/2)] = 0
Dov'è quest'annullamento di prodotti?
Cosa devo fare a questo punto?

[radica...@gmail.com]

Filibustè, dimmi tu : intuizione errata la mia ?

Quelle "cose" sono periodiche e qual'è allora il periodo piu' piccolo
in comune ?

E' il minimo comune multiplo ossia mcm (2,3,4,5) = 60

E allora
4*cos(60x) = 0 -> cos(60x) = 0

ossia
60 x = Pi/2 + 2k*Pi
60 x = 3Pi/2 + 2k*Pi

indi la x

Dimmi, ma mena piano :-)

[Botta di sangue]

Non mi siete stati di alcun aiuto. Non mi avete minimamente spiegato
qual'è il metodo per risolvere questo tipo di equazione.

[Oldghost]

In 20/11/2016 23:04:11 Botta di sangue wrote:

>Non mi siete stati di alcun aiuto. Non mi avete minimamente spiegato
>qual'è il metodo per risolvere questo tipo di equazione.

>Ciò che ottengo è: 2cos(7x/2)[cos(3x/2)+cos(x/2)] = 0
>Dov'è quest'annullamento di prodotti?
>Cosa devo fare a questo punto?

Ripeti prostaferesi dentro la quadra.
Ottieni:
4 cos(7x/2) cos(x) cos(x/2) = 0

Dunque:
cos(7x/2) = 0
cos(x) = 0
cos(x/2) = 0

--
(> '.')>
Ciao Oldghost

[radica...@gmail.com]

perchè ? Se ho ragione (ma attendo PRUDENTEMENTE la risposta di Filly
che, fidati, è un matematico vero) è risolta.

Poi oh ... si fa quel che si puo' eh !

[Botta di sangue]

>>> Quelle "cose" sono periodiche e qual'è allora il periodo piu' piccolo
>>> in comune ?
>>>
>>> E' il minimo comune multiplo ossia mcm (2,3,4,5) = 60
>>>
>>> E allora
>>> 4*cos(60x) = 0 -> cos(60x) = 0
>>>
>>> ossia
>>> 60 x = Pi/2 + 2k*Pi
>>> 60 x = 3Pi/2 + 2k*Pi
>>>
>>> indi la x
>>>
>>> Dimmi, ma mena piano :-)
>>>
>> Non mi siete stati di alcun aiuto. Non mi avete minimamente spiegato
>> qual'è il metodo per risolvere questo tipo di equazione.
>
> perchè ? Se ho ragione (ma attendo PRUDENTEMENTE la risposta di Filly
> che, fidati, è un matematico vero) è risolta.
>
> Poi oh ... si fa quel che si puo' eh !
>

M'interessa anche questo metodo. A cosa arrivi con quel 60?

[Botta di sangue]

Ti ringrazio.
Allora le soluzione sono 3:

x=1/7π
x=1/2π
x=π

Le ho verificate tutte nell'equazione iniziale.
Sei d'accordo? Ma il libro riporta solo le prime due soluzioni. Come mai?

[radica...@gmail.com]

se c' ho azzeccato (ma credo di no) siccome i coseni sono
funzioni periodiche allora cos2x, cos3x, ... a 60x hanno lo stesso
valore.

E allora si possono sommare ottendendo 4*cos(60x) = 0 da cui trovi
x.

Ma ripeto : probabilmente mi sbaglio. Ecco perchè prima di risponderti
direttamente ho chiesto il parere di Filibustero.

[ADPUF]

Botta di sangue 21:49, domenica 20 novembre 2016:

>>
> Ciò che ottengo è: 2cos(7x/2)[cos(3x/2)+cos(x/2)] = 0
> Dov'è quest'annullamento di prodotti?
> Cosa devo fare a questo punto?

Se A*B==0 allora:
o A==0
o B==0
(o ambedue)


--
AIOE °¿°

[BlueRay]

Il giorno domenica 20 novembre 2016 23:45:49 UTC+1, Botta di sangue ha scritto:
> Il 20/11/2016 23:30, Oldghost ha scritto:
>
> > cos(7x/2) = 0
> > cos(x) = 0
> > cos(x/2) = 0
>

> Allora le soluzione sono 3:
>

Solo 3? Moooolte ma mooolte di piu', in assenza di limitazioni imposte su x...
>
> x=1/7π
> x=1/2π
> x=π
>
E, per esempio, 3π/2 no? Il coseno mica e' 0 solo a π/2!
(Ma non potevi scriverle meglio? Sembra che il π stia a denominatore!)

>
> Le ho verificate tutte nell'equazione iniziale.
> Sei d'accordo? Ma il libro riporta solo le prime due soluzioni. Come mai?
>

Forse ha specificato qualcosa tipo 0 < x < π ?

--
BlueRay

[Dario Lampa]

Il 21/11/2016 04:45, BlueRay ha scritto:
> Il giorno domenica 20 novembre 2016 23:45:49 UTC+1, Botta di sangue ha scritto:
>> Il 20/11/2016 23:30, Oldghost ha scritto:
>>
>>> cos(7x/2) = 0
>>> cos(x) = 0
>>> cos(x/2) = 0
>>
>> Allora le soluzione sono 3:
>>
> Solo 3? Moooolte ma mooolte di piu', in assenza di limitazioni imposte su x...

Va bene, tralasciamo la periodicità. Consideriamo solo le soluzioni
fondamentali. Che dovrebbero essere le seguenti.
>>
x=π/7
x=π/2

x=π
>>
> E, per esempio, 3π/2 no? Il coseno mica e' 0 solo a π/2!

Beh! 3π/2 non è altro che π/2 + π
>>
AAAAAAAAAAAAAAAAAH! Ora ho capito perchè il libro non citava la
soluzione π!!!!
Perchè non è altro che la periodicità di π/2. Ora è chiaro!!!

>>
> Forse ha specificato qualcosa tipo 0 < x < π ?

No, non ho letto niente di questo.
>

[Oldghost]

Per il libro non ne ho la minima idea, le soluzioni sono:
cos(x) = 0 -> x = pi/2 + k pi
cos(x/2) = 0 -> x = (2k+1) pi
cos(7x/2) = 0 -> x = (2k+1) pi/7

Dunque le soluzioni a un giro sono:
x = 1/7 pi
x = 3/7 pi
x = 5/7 pi
x = 9/7 pi
x = 11/7 pi
x = 13/7 pi
x = 1/2 pi
x = 3/2 pi
x = pi

[Oldghost]

x = pi <==> x = 7/7 pi
che ho evitato di scrivere, ecco perche' non la mette. Io non
metto 7/7 pi e lui non mette pi -- ciao

--
(> '.')>
Oldghost

[radica...@gmail.com]

Il giorno lunedì 21 novembre 2016 04:46:00 UTC+1, BlueRay ha scritto:

> Solo 3?

quella mia ideuccia del minimo comune multiplo (vedi in questo
3D) deve essere PROFONDAMENTE sbagliata :-)

Solo che mi piacerebbe sapere perchè

[BlueRay]

Prima bisognerebbe che me la spiegassi perche' non l'ho capita.

--
BlueRay

[BlueRay]

Il giorno lunedì 21 novembre 2016 08:26:30 UTC+1, Dario Lampa ha scritto:
> Il 21/11/2016 04:45, BlueRay ha scritto:
> > Il giorno domenica 20 novembre 2016 23:45:49 UTC+1, Botta di sangue ha scritto:

> >> Allora le soluzione sono 3:
>
> > Solo 3? Moooolte ma mooolte di piu', in assenza di limitazioni
> > imposte su x...
>
> Va bene, tralasciamo la periodicità. Consideriamo solo le soluzioni
> fondamentali.
>

Che intendi con "fondamentali"? Significa per 0 <= x < 2π? Allora sono di piu' di quelle che hai scritto.

>
> Che dovrebbero essere le seguenti.
> x = π/7
> x = π/2
> x = π
>

E 3π/7, 5π/7, 3π/2, 9π/7, 11π/7, 13π/7?

>
> > E, per esempio, 3π/2 no? Il coseno mica e' 0 solo a π/2!
>
> Beh! 3π/2 non è altro che π/2 + π
>

Ma va? :-)

>
> AAAAAAAAAAAAAAAAAH! Ora ho capito perchè il libro non citava la
> soluzione π!!!!
> Perchè non è altro che la periodicità di π/2. Ora è chiaro!!!
>

A me per niente, visto che poi dici che nel testo del problema nel libro non vengono fornite limitazioni su x.

>
> > Forse ha specificato qualcosa tipo 0 < x < π ?
>
> No, non ho letto niente di questo.
>

Allora, se come dici il libro riporta solo x = π/7 e x = π/2 come soluzioni, butta via il libro :-)

--
BlueRay

[radica...@gmail.com]

Aja

Costringendomi a ragionarci sopra x spiegartelo m' hai messo
davanti a un problema dal quale non riesco a uscirne.
Che m' aiuti per favore (se ti va) ? E' strano ... :-)

Allora :

se hai cos2x, cos3x, cos4x, cos5x hai 4 funzioni periodiche
con periodi differenti ossia (salvo errori ed omissioni) :

cos2x si ripete ogni (1 ) Pi
cos3x si ripete ogni (2/3) Pi
cos4x si ripete ogni (1/2) Pi
cos5x si ripete ogni (2/5) Pi

intendo : rispetto alla x
D' altra parte per x = 0 cos nx = 1, per ogni n.

Ossia in x = 0 coincidono

Ma a un certo momento (cioe per un x successivo a 0)
si RI-allineano ancora. Questo perchè i rapporti tra
i periodi son tutti numeri razionali

dunque il periodo minimo in cui "ritornano" a coincidere
tutte è il minimo comune multiplo di quei periodi che ho
scritto.

Che mi sembrava dovesse essere 60, ma adesso che ci
penso non ho la benchè minima idea di come si possa
calcolare il mcm tra frazioni.

Ma un senso ce l' ha. Difatti, immagina di avere dei
treni che partono tutti dallo stesso punto lungo una
circonferenza.

Il primo ritorna dopo un tempo t, il secondo dopo un
tempo 2/3 di t ... il quarto dopo un tempo 2/5 di t.

ESISTE, è ovvio, un tempo in cui si ritrovano a coincidere
Quello è il mcm tra quelle frazioni

Ossia : cos2x + cos3x + cos4x + cos5x "tutta insieme"
ha effettivamente un "certo periodo" h*Pi con h
intero o frazionario che non so calcolare

Dunque tutte le soluzioni devono stare dentro quel
periodo. Le altre sono solo quelle + K periodi come quello.

[radica...@gmail.com]

Ho appena trovato questo articolo :

http://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?t=115368

che mi convince (prima risposta) abbastanza. In base a quello
il mcm dovrebbe essere 180/30 = 18/3 = 6 se non sbaglio i
calcoletti;

E allora il periodo della funzione dovrebbe essere 6 Pi
Ogni 6 "giri" tutte le soluzioni (se ci sono) si ripetono.

Solo che a questo punto non vado piu avanti. Perchè ho
trovato questo periodo, ma non le soluzioni che ci stanno
dentro.

[BlueRay]

Il giorno lunedì 21 novembre 2016 13:53:07 UTC+1, radica...@gmail.com ha scritto:

> E allora il periodo della funzione dovrebbe essere 6 Pi
> Ogni 6 "giri" tutte le soluzioni (se ci sono) si ripetono.
> Solo che a questo punto non vado piu avanti. Perchè ho
> trovato questo periodo, ma non le soluzioni che ci stanno
> dentro.

Ma quando hai trovato il periodo in cui tutte e 4 le funzioni si ripetono, che te ne fai? E' la loro somma che conta, quindi in quei 6 giri ci sono molte altre volte in cui la loro somma fa zero perche' a+b+c+d puo' fare zero in molti modi, non in uno solo.

--
BlueRay

[radica...@gmail.com]

Il giorno lunedì 21 novembre 2016 14:17:46 UTC+1, BlueRay ha scritto:
> Il giorno lunedì 21 novembre 2016 13:53:07 UTC+1, radica...@gmail.com ha scritto:
>
> > E allora il periodo della funzione dovrebbe essere 6 Pi
> > Ogni 6 "giri" tutte le soluzioni (se ci sono) si ripetono.
> > Solo che a questo punto non vado piu avanti. Perchè ho
> > trovato questo periodo, ma non le soluzioni che ci stanno
> > dentro.
>
> Ma quando hai trovato il periodo in cui tutte e 4 le funzioni si
> ripetono, che te ne fai ?

Niente, a quanto pare. L' ho scritto.
Speravo che tu ci vedessi qualcosa :-)

> E' la loro somma che conta

Ma se in 6 giri si ripetono deve ripetersi anche la loro somma.

Percio le soluzioni, se ci sono, son tutte contenute in quei
6 giri salvo aggiunte (a ognuna di esse) di un multiplo di 6Pi.

[Dario Lampa]

>>
>> AAAAAAAAAAAAAAAAAH! Ora ho capito perchè il libro non citava la
>> soluzione π!!!!
>> Perchè non è altro che la periodicità di π/2. Ora è chiaro!!!
>>
> A me per niente, visto che poi dici che nel testo del problema nel libro non vengono fornite limitazioni su x.
>>
>>> Forse ha specificato qualcosa tipo 0 < x < π ?
>>
>> No, non ho letto niente di questo.
>>
> Allora, se come dici il libro riporta solo x = π/7 e x = π/2 come soluzioni, butta via il libro :-)
>
> --
> BlueRay
>

Ecco le suluzioni fornite: x=π/2+kπ V x=π/7+2kπ/7

Che te ne pare?

[BlueRay]

Il giorno lunedì 21 novembre 2016 14:40:04 UTC+1, Dario Lampa ha scritto:
>
> Ecco le soluzioni fornite: x=π/2+kπ V x=π/7+2kπ/7
> Che te ne pare?

Ok, adesso ci siamo. Le soluzioni x = π + 2kπ sono gia' comprese nella famiglia di soluzioni x = π/7 + 2kπ/7 per i sottocasi k = 3 + 7n, n intero.

--
BlueRay

[uh]

Il Sun, 20 Nov 2016 20:57:35 +0100, Botta di sangue ha scritto:

> cos2x+cos3x+cos4x+cos5x=0

dividi tutto per cos, e diventa:

2x+3x+4x+5x = 0

14x=0

x=0

[BlueRay]

Ottimo. Questo si che e' semplificare le cose!
:-)

--
BlueRay

[Tommaso Russo, Trieste]

Il 22/11/2016 18:52, uh ha scritto:
> Il Sun, 20 Nov 2016 20:57:35 +0100, Botta di sangue ha scritto:
>> cos2x+cos3x+cos4x+cos5x=0
>
> dividi tutto per cos

LOL

io ho visto semplificare

(sina+sinb)/sina = (a+b)/a = b

cose che voi umani... :-)


--
TRu-TS
buon vento e cieli sereni

[Giorgio Pastore]

Il 22/11/16 18:52, uh ha scritto:

Ma solo se cos /= 0, naturalmente ;-)