Mi sfugge il significato fisico di funzione derivabile infinite volte

[radica...@gmail.com]

Siamo nel caso piu' semplice : una funzione monotona
crescente da R in R e continua.

Prima di tutto :
puo' esistere una funzione siffatta che sia derivabile
infinite volte e tale che ogni sua derivata sia > 0 ?

Nel caso affermativo : che vorrebbe dire fisicamente
parlando ? Ossia :
la velocita' e' la derivata prima. La accelerazione
e' la derivata seconda.

Se la derivata della accelerazione e' > 0 significa
che accelera sempre piu' velocemente. E cosi' via.

E cosa e' un simile fenomeno ? Come puo' verificarsi
un movimento che accelera e accelera sull' accelerazione
e accelera su questa ecc ecc all' infinito ?

[joseph cornelius hallenbeck]

radica...@gmail.com ha scritto:

> Siamo nel caso piu' semplice : una funzione monotona
> crescente da R in R e continua.
>
> Prima di tutto :
> puo' esistere una funzione siffatta che sia derivabile
> infinite volte e tale che ogni sua derivata sia > 0 ?

e^x

--
ho avuto un flirt con un topo, non ricordo i particolari

[radica...@gmail.com]

Il giorno giovedì 6 giugno 2013 13:32:11 UTC+2, joseph cornelius hallenbeck ha scritto:
> radica...@gmail.com ha scritto:
>
> > Siamo nel caso piu' semplice : una funzione monotona
>
> > crescente da R in R e continua.
>
> >
>
> > Prima di tutto :
>
> > puo' esistere una funzione siffatta che sia derivabile
>
> > infinite volte e tale che ogni sua derivata sia > 0 ?
>
>
>
> e^x

Ah gia' ... :-)
E per il resto qualche idea ?

[joseph cornelius hallenbeck]

radica...@gmail.com ha scritto:

da ingegnere direi che dinamiche del genere non possono esistere in
natura, per lo meno non per un tempo indefinito o comunque molto lungo

[Luca85]

On 6 Giu, 13:27, radicale....@gmail.com wrote:
> Siamo nel caso piu' semplice : una funzione monotona
> crescente da R in R e continua.
>
> Prima di tutto :
> puo' esistere una funzione siffatta che sia derivabile
> infinite volte e tale che ogni sua derivata sia > 0 ?

Esistere può esistere, come ti han fatto notare con e^x

> Nel caso affermativo : che vorrebbe dire fisicamente
> parlando ?

Immagina, così per parlare, che esista una "derivata infinita".
Supponiamo che questa sia un numero reale positivo da qualche parte in
R e scenda asintoticamente verso zero all'aumentare di x.
Significa che per la derivata "infinita meno unesima" sarebbe
strettamente crescente. Arrivando ad un asintoto se quella
infinitesima decresceva abbastanza in fretta, se no essendo
illimitata.
Se la derivata infinito meno unesima ha un valore costante significa
che la derivata "infinito meno duesima" cresce almeno come una retta.
Quindi man mano che scendi di grado crescono sempre più velocemente.

All'atto pratico significa che una funzione sifatta diverge con una
velocità estrema, più di un qualsiasi polinomio.
Quindi cresce come un'esponenziale. O più!

Cosa significa fisicamente?
Nulla.
Non esistono fenomeni fisici simili. Qualunque cosa approssimabile ad
una crescita esponenziale tipicamente dopo poco si ferma. (tipo le
esplosioni)

[Luca85]

Per quanto riguarda il titolo del topic...
Tipicamente "derivabile con continuità infinite volte" non implica che
la derivata sia sensata.
Tipicamente tutte le funzioni "sensate" hanno una derivata n-esima,
con n non troppo grande, che dopo un certo grado si annulla.
Ma tanto la funzione y=0 è derivabile. Con derivata: y=0 !!
Oppure, in casi più limitati, hanno derivate che oscillano attorno
allo zero. (tipo seno e coseno)

[radica...@gmail.com]

Il giorno giovedì 6 giugno 2013 15:37:46 UTC+2, Luca85 ha scritto:

> Immagina, così per parlare, che esista una "derivata infinita".
> Supponiamo che questa sia un numero reale positivo da qualche parte in
> R e scenda asintoticamente verso zero all'aumentare di x.

Eh ? Una specie di "ultima derivata" ? E sarebbe un numero reale
positivo ? Che "scende" asisntoticamente ? Non capisco una cippa.

> Significa che per la derivata "infinita meno unesima" sarebbe
> strettamente crescente. Arrivando ad un asintoto se quella
> infinitesima decresceva abbastanza in fretta, se no essendo
> illimitata.

... Oddio. Non capisco un tubo abbi pazienza.

[Luca85]

On 6 Giu, 18:07, radicale....@gmail.com wrote:

> Eh ? Una specie di "ultima derivata" ? E sarebbe un numero reale
> positivo ? Che "scende" asisntoticamente ? Non capisco una cippa.

La derivata n-esima, con n mooooolto grande. Va bene così?
Che "scende asintoticamente" a zero non so come altro dirlo.
Pensa alla funzione 1/x^20. Che fa nell'intorno per x molto grande?
Vale "un infinitesimo più di 0".

.
>
> ... Oddio. Non capisco un tubo abbi pazienza.

Se la derivata n-esima è strettamente maggiore di zero, per quanto
asintoticamente vicina a zero, cosa farà la derivata n-1-esima?
Sarà necessariamente crescente, o, nel peggiore dei casi, convergente
ad una costante.
E se quindi la derivata n-1-esima è un numero non infinitesimo
costante cosa farà la derivata n-2-esima?
Crescerà linearmente.
Da quel punto in avanti dovrebbe essere banale.

[radica...@gmail.com]

Il giorno giovedì 6 giugno 2013 18:35:11 UTC+2, Luca85 ha scritto:
> On 6 Giu, 18:07, radicale....@gmail.com wrote:
>
>
>
> > Eh ? Una specie di "ultima derivata" ? E sarebbe un numero reale
>
> > positivo ? Che "scende" asisntoticamente ? Non capisco una cippa.
>
>
>
> La derivata n-esima, con n mooooolto grande. Va bene così?
> Che "scende asintoticamente" a zero non so come altro dirlo.
> Pensa alla funzione 1/x^20. Che fa nell'intorno per x molto grande?
> Vale "un infinitesimo più di 0".

Ma se la derivata "ultima" (ossia lim n -> oo di derivata^n, supposto
che si possa fare un limite siffatto ma ME SA TANTO DE SI, a certe
condizioni) ha per asintoto l' asse delle ascisse allora non e' crescente.
Il che va contro le ipotesi. E se va contro le ipotesi allora di che
stiamo parlando ? L' esempio non va bene.

Mi dispiace, ma continuo a non capire. Limite mio perche' sono sicuro
che vuoi dirmi qualcosa che non afferro.

[Giorgio Pastore]

On 6/6/13 1:27 PM, radica...@gmail.com wrote:
> Siamo nel caso piu' semplice : una funzione monotona
> crescente da R in R e continua.
>
> Prima di tutto :
> puo' esistere una funzione siffatta che sia derivabile
> infinite volte e tale che ogni sua derivata sia> 0 ?
>

Te l'hanno mostrata

> Nel caso affermativo : che vorrebbe dire fisicamente
> parlando ? Ossia :
> la velocita' e' la derivata prima. La accelerazione
> e' la derivata seconda.
>
> Se la derivata della accelerazione e'> 0 significa
> che accelera sempre piu' velocemente. E cosi' via.

ok

> E cosa e' un simile fenomeno ? Come puo' verificarsi
> un movimento che accelera e accelera sull' accelerazione
> e accelera su questa ecc ecc all' infinito ?

Prova a pensare qual e' l' equazione differenziale che ha come soluzione
y(x)=e^x:

y'=y

trad. fisica: la "velocita' di variazione di y con x e' lineare.
Localmente molti fenomeni descritti da un' equazione del tipo y'=f(y(x))
possono essere descritti in tal modo. Ma globalmente (per valori grandi
di y) e' abbastanza inverosimile. Se l' equazione lineare e' solo un'
approssimazione, prima o poi entreranno in gioco termini non lineari che
potranno limitare la crescita.

Noto pero' una differenza tra titolo del post e domanda contenuta: nel
subject sembri preoccupato dalla infinita derivabilita'. Nel testo il
problema si sposta a funzioni che abbiano tutte le derivate positive.
Era questo il problema ?

Giorgio

[Luca85]

On 6 Giu, 18:49, radicale....@gmail.com wrote:

> Ma se la derivata "ultima" (ossia lim n -> oo di derivata^n, supposto
> che si possa fare un limite siffatto ma ME SA TANTO DE SI, a certe
> condizioni) ha per asintoto l' asse delle ascisse allora non e' crescente.
> Il che va  contro le ipotesi. E se va contro le ipotesi allora di che
> stiamo parlando ?

Se ha per asintoto l'asse delle x ma non lo tocca mai allora è sempre
>0. Che è l'ipotesi che hai fatto.
O no?

Io ti ho mostrato che una tale funzione cresce esponzialmente.
Se invece la derivata ultima tendesse ad una costante positiva non
zero allora crescerebbe più che esponenzialmente. (anzi... all'atto
pratico ancora esponenzialmente). comunque non immagino una funzione
tale, visto che se fosse derivabile ancora un'altra volta arriverebbe
allo 0 di cui prima).
Se invece la derivata infinita è crescente allora la funzione sarebbe
ultra-super crescente.

[Luca85]

On 6 Giu, 18:49, radicale....@gmail.com wrote:

>

> Ma se la derivata "ultima" (ossia lim n -> oo di derivata^n, supposto
> che si possa fare un limite siffatto ma ME SA TANTO DE SI, a certe
> condizioni)

Comunque riflettendo mi è venuto in mente che non mi è quasi mai
capitato di fare il limite per n->inf della funzione derivata.
Solo una volta al second'anno di università per dimostrare che
esisteva una funzione derivabile infinite volte ma che il suo sviluppo
di taylor non convergeva alla funzione stessa.
Poi una o due volte per dire come curiosità per dire che la derivata
di una funzione tipo seno non andava mai a zero ma oscillava.
Altre applicazioni di fare un "limite per n->inf della derivata" non
mi sovvengono.

[radica...@gmail.com]

si si. Ti ringrazio Gio'. Credo di aver capito grosso modo.

[radica...@gmail.com]

E' bello questo problema, non trovi ? Ci sono entrato in fissa :-)
E me lo hai suscitato tu e di cio' ti sono grato.

Hai una successione infinita di derivate D, D^1, D^2 ... che diciamo
putacaso converge a D^oo. Non e' detto che accada, ma supponiamo di
si.

Che significato puo' avere una cosa del genere ossia come definirla ?
Cioe' : che *vuol dire* che la successione *converge*, in un caso del
genere ?

Verrebbe da dire immediatamente : quando per ogni x del dominio si
ha che |D^oo - D^n| < epsilon, se n supera un certo n* che dipende
da epsilon, scelto arbitrariamente piccolo.

Ossia una sorta di generalizzazione dei limiti di successioni numeriche.
In parole povere si chiede che le infinite successioni per ogni dato
x del dominio siano tutte convergenti a un D^oo(x).

Vabe'.

[Tommaso Russo, Trieste]

Il 07/06/2013 13:13, Luca85 ha scritto:
> On 6 Giu, 18:49, radicale....@gmail.com wrote:
>> Ma se la derivata "ultima" (ossia lim n -> oo di derivata^n, supposto
>> che si possa fare un limite siffatto ma ME SA TANTO DE SI, a certe
>> condizioni)
>
> Comunque riflettendo mi è venuto in mente che non mi è quasi mai
> capitato di fare il limite per n->inf della funzione derivata.

Prova a farlo per f(x) = x^2 + 2x

:-)


--
TRu-TS
Buon vento e cieli sereni

[Alessandro Cara]

Entra parzialmente con la tua domanda e voglio dire una "fregnaccia"
spero qualcuno mi corregga.

x^n ha "derivate" pari a n e accelerazione n! (fattoriale di n)
x^2 ha accelerazione 2 (1/2at^2 se a=2 hai i quadrati)
x^3 ha accelerazione 3! (derivata 3')
Man mano che aumenti di potenza si forma una splendida piramide
azteco/maya rovesciata
Il tutto poi ci dovrebbe azzeccare con la serie di Taylor-McLaurin
--

ac (x=y-1)

[Luca85]

On 7 Giu, 16:08, "Tommaso Russo, Trieste" <tru...@tin.it> wrote:

> > Comunque riflettendo mi è venuto in mente  che non mi è quasi mai
> > capitato di fare il limite per n->inf della funzione derivata.
>
> Prova a farlo per f(x) = x^2 + 2x
>
> :-)

Premettiamo che sono spaventosamente a digiuno da esercizi :-( :-( :-(
E ne soffro parecchio perchè spesso mi farebbero comodo.

Ma... mi verrebe da dire che tutte le derivate oltre la terza sono
identicamente nulle su tutto R.
Però per come l'hai messa ci deve essere il trabocchetto....

Dove erro :-)?

P.s.:
Ho sentito pure un collega e in 2 non riusciamo a ricordarci come
diavolo si chiamano e, tantomeno, per cosa diavolo si usano quella
classe di funzioni per cui se moltiplicate per e^-x^2 allora sono a
quadrato integrabile.
Anche se ci ricordiamo benissimo in che corso le abbiamo introdotte
per dimostrare non so bene cosa.
Suggerimenti?

[Tommaso Russo, Trieste]

Il 07/06/2013 17:43, Luca85 ha scritto:
> On 7 Giu, 16:08, "Tommaso Russo, Trieste" <tru...@tin.it> wrote:
>

>>> Comunque riflettendo mi č venuto in mente che non mi č quasi mai

>>> capitato di fare il limite per n->inf della funzione derivata.
>>
>> Prova a farlo per f(x) = x^2 + 2x
>>
>> :-)

> Ma... mi verrebe da dire che tutte le derivate oltre la terza sono
> identicamente nulle su tutto R.

> Perņ per come l'hai messa ci deve essere il trabocchetto....

No, nessun trabocchetto. Era solo per far notare che funzioni derivabili
infinite volte, e con lim_n->inf f^n(x) finito per ogni x, non sono una
rarita'.

Mi pare piu' difficile, invece, trovare una funzione tale che, anche
solo per un dato x, lim_n->inf f^n(x) sia zero, ma f^n(x)>0 per ogni n.

> Ho sentito pure un collega e in 2 non riusciamo a ricordarci come
> diavolo si chiamano e, tantomeno, per cosa diavolo si usano quella
> classe di funzioni per cui se moltiplicate per e^-x^2 allora sono a
> quadrato integrabile.
> Anche se ci ricordiamo benissimo in che corso le abbiamo introdotte
> per dimostrare non so bene cosa.
> Suggerimenti?

Spiacente, nebbia in val Padana.

[Luca85]

On 8 Giu, 00:44, "Tommaso Russo, Trieste" <tru...@tin.it> wrote:

> No, nessun trabocchetto. Era solo per far notare che funzioni derivabili
> infinite volte, e con lim_n->inf f^n(x) finito per ogni x, non sono una
> rarita'.

Affatto... anzi, direi che la maggior parte delle funzioni Cinf di uso
comune hanno la derivata n_esima che tende a zero.

> Mi pare piu' difficile, invece, trovare una funzione tale che, anche
> solo per un dato x, lim_n->inf f^n(x) sia zero, ma f^n(x)>0 per ogni n.

Lo vedo difficile in effetti. Comunque se una funzione ha ogni
derivata strettamente positiva mi sa che deve necessariamente avere
una crescita più che esponenziale.

> Spiacente, nebbia in val Padana.
>

Acc... E sì che devono essere un artificio matematico comunemente
usato. Solo che con un ricordo così vago neanche google mi sa svelare
l'arcano.

[Giorgio Bibbiani]

Tommaso Russo, Trieste ha scritto:

> Mi pare piu' difficile, invece, trovare una funzione tale che, anche
> solo per un dato x, lim_n->inf f^n(x) sia zero, ma f^n(x)>0 per ogni
> n.

Se per f^n(x) intendi la derivata n-esima di f(x) allora un esempio,
valido per ogni x reale, direi che sia exp(x/2).

Ciao
--
Giorgio Bibbiani

[Elio Fabri]

Giorgio Bibbiani ha scritto:

> Se per f^n(x) intendi la derivata n-esima di f(x) allora un esempio,
> valido per ogni x reale, direi che sia exp(x/2).

Ecco uno dei motivi per cui scrivo sempre meno: c'è sempre qualcuno che
arriva prima e dice quello che avrei voluto dire io.

Non di rado quel qualcuno sei tu :)


--
Elio Fabri

[Giorgio Bibbiani]

Elio Fabri ha scritto:

> Ecco uno dei motivi per cui scrivo sempre meno: c'è sempre qualcuno
> che arriva prima e dice quello che avrei voluto dire io.
>
> Non di rado quel qualcuno sei tu :)

Ehm, per riportarmi con i piedi per terra aggiungo
che sono strasicuro che il ragionamento, lungo e
contorto, che ho seguito per arrivare a quel risultato,
che invece e' elementare, sia stato ben diverso da
quello che immagino sara' stato il tuo (risparmio
i dettagli, per non raccapricciarvi... ;-)

Ciao
--
Giorgio Bibbiani

[Luca85]

On 8 Giu, 14:57, "Giorgio Bibbiani"

<giorgio_bibbianiTO...@virgilio.it.invalid> wrote:

> Se per f^n(x) intendi la derivata n-esima di f(x) allora un esempio,
> valido per ogni x reale, direi che sia exp(x/2).

Era da qualche giorno che pensavo a questa funzione ma ho un dubbio,
probabilmente stupidissimo, al riguardo che non riesco a risolvere.

Che differenza c'è tra e^x, e^2x ed e^x/2?

Sono palesemente la stessa funzione, a meno di un cambio di una
trasformazione lineare dell'asse x.
La derivata in x=0 nel primo caso è uniformemente 1, nel secondo caso
vale 2^n (=diverge parecchio) e nel terzo caso è 1/(2^n) (=converge a
zero molto velocemente)

Possibile che la derivata n-esima converga a 0 o diverga pur
continuando a descrivere una funzione che diverge esponenzialmente?

(probabilmente il nodo di tutto è che non ho neanche ben definito qual
è il mio dubbio....)

[Giorgio Bibbiani]

Luca85 ha scritto:

> Era da qualche giorno che pensavo a questa funzione ma ho un dubbio,
> probabilmente stupidissimo, al riguardo che non riesco a risolvere.
>
> Che differenza c'è tra e^x, e^2x ed e^x/2?
>
> Sono palesemente la stessa funzione, a meno di un cambio di una
> trasformazione lineare dell'asse x.
> La derivata in x=0 nel primo caso è uniformemente 1, nel secondo caso
> vale 2^n (=diverge parecchio) e nel terzo caso è 1/(2^n) (=converge a
> zero molto velocemente)
>
> Possibile che la derivata n-esima converga a 0 o diverga pur
> continuando a descrivere una funzione che diverge esponenzialmente?

Direi che il punto e' che la derivata n-esima converge a 0 o diverge
*puntualmente*, ma comunque tende a +oo se x tende a +oo, con lo
stesso andamento della funzione originaria, cioe' il dubbio sorge solo
se si confonde l'andamento della derivata n-esima in un punto fissato
con quello che invece e' il suo andamento asintotico per x --> +oo.

> (probabilmente il nodo di tutto è che non ho neanche ben definito qual
> è il mio dubbio....)

Beh, anche a me era sorto lo stesso dubbio...;-)

Ciao
--
Giorgio Bibbiani

[Giorgio Bibbiani]

Ho scritto:

> il dubbio sorge solo
> se si confonde l'andamento della derivata n-esima in un punto fissato
> con quello che invece e' il suo andamento asintotico per x --> +oo.

Preciso, cioe' se si confonde il limite per n --> +oo (puntuale,
della successione di funzioni) con il limite per x --> +oo
(della singola funzione).

Ciao
--
Giorgio Bibbiani

[Tommaso Russo, Trieste]

Ah, ecco...

stavo facendo anch'io un ragionamento lungo e contorto, che pero' non mi
ha portato da nessuna parte: poi, vista la soluzione, mi sono dato del
cretino per non averla trovata subito.

Ma del senno di poi...

[Elio Fabri]

Luca85 ha scritto:

> Che differenza c'è tra e^x, e^2x ed e^x/2?
>
> Sono palesemente la stessa funzione, a meno di un cambio di una
> trasformazione lineare dell'asse x.
> La derivata in x=0 nel primo caso è uniformemente 1, nel secondo caso
> vale 2^n (=diverge parecchio) e nel terzo caso è 1/(2^n) (=converge a
> zero molto velocemente)
>
> Possibile che la derivata n-esima converga a 0 o diverga pur
> continuando a descrivere una funzione che diverge esponenzialmente?

Prima osservazione.
E' vero che e^(kx), per qualunque k>0, è "essenzialmente" la stessa
funzione, nel senso che la differenza sta solo in un cambiamento di
scala della var. indipendente.
Però l'operazione di derivazione non è invariante per cambiamento di
scala, ed ecco eprché succede quello che osservi.

Seconda osservazione.
Ho come l'impressione che non ti sia chiaro che quando scrivi f^(n)(x)
stai scrivendo una funzione di *due* variabili: x ed n.
L'andamento in x per n costante e quello in n per x costante non
hanno alcuna relazione obbligata fra loro: possono essere qualsiasi...

Detto in altri termini: se guardi {f^(n)(x)} come una successione di
funzioni, si possono presentare fenomeni ben noti.
Se le funzioni (come nel nostro caso) sono definite su un intervallo
non compatto, puoi benissimo avere convergenza /puntuale/ (x fissato,
n --> oo) per ogni x, e non avere convergenza /uniforme/ (detto in
modo grossolano, convergenza "ugualmente veloce" per tutti gli x).


--
Elio Fabri

[Luca85]

On 14 Giu, 21:55, Elio Fabri <elio.fa...@tiscali.it> wrote:

>
> Ho come l'impressione che non ti sia chiaro che quando scrivi f^(n)(x)
> stai scrivendo una funzione di *due* variabili: x ed n.
> L'andamento in x per n costante e quello in n per x costante non
> hanno alcuna relazione obbligata fra loro: possono essere qualsiasi...
>
> Detto in altri termini: se guardi {f^(n)(x)} come una successione di
> funzioni, si possono presentare fenomeni ben noti.
> Se le funzioni (come nel nostro caso) sono definite su un intervallo
> non compatto, puoi benissimo avere convergenza /puntuale/ (x fissato,
> n --> oo) per ogni x, e non avere convergenza /uniforme/ (detto in
> modo grossolano, convergenza "ugualmente veloce" per tutti gli x).

Volevo scrivere qualcosa al riguardo ma poi mi era passato di mente.
Penso che il problema stia tutto nel fatto che, come avevo detto, "non
mi è ben chiaro quale sia il problema".

Infatti per e^(x/2) si può scrivere che preso un qualsiasi eps
positivo esiste un x' t.c. esiste un n' t.c. per ogni n>= n' f^(n)
(x<x')<eps
Il problema è che da questa relazione non è che ci posso tirar fuori
gran che.
Infatti fissato n esiste sempre un x'' t.c. f^(n) (x>=x'')>E (con E
grande a piacere)

Quindi non avendo ben definito cosa intendiamo per "derivata che
converge" non è che sia possibile tirare fuori molto.

Mi rimane comunque controintuitivo a prima vista che e^(x/2) abbia
derivata n-esima moltiplicata da un coefficiente 2^-n, quindi
ammazzata molto, mentre le derivata di e^(2x) sia moltiplicata per 2^n.