Ma quanti sono i numeri...
Emanuele Cesena
Ho un quesito che da sempre mi turba...
Dividiamo, per comodità, l'insieme dei numeri reali in due sottoinsiemi Q
(razionali) e R (irrazionali).
Sappiamo che i numeri reali sono "di più" dei numeri razionali (per forza),
ma i numeri irrazionali quanti sono rispetto ai razionali??
Vi spiego ciò che mi turba:
è facile capire che gli irrazionali possano essere molti più dei razionali,
perché per ogni razionale possiamo costruire un'infinità di irrazionali.
Es. 3/5 razionale
sqrt(3)/5 3/sqrt(5) 3+sqrt(2)/5 ecc.
Ma c'è un teorema che garantisce che tra due numeri reali, esiste sempre un
numero razionale, e quindi infiniti. Caso particolare: tra due irrazionali
esistono infiniti razionali.
Riassumendo: dalla prima questione sembrano esserci infiniti irrazionali per
ogni razionale, dalla seconda sembra il contrario.
So che dal punto di vista matematico ho detto delle grandi fesserie, ma
volevo sapere se c'è un modo intuitivo per capire dov'è l'errore.
Emanuele Cesena
d.a.m...@iol.it
Adam Atkinson
On 04-Apr-98 16:37:40, Emanuele Cesena said:
>Sappiamo che i numeri reali sono "di più" dei numeri razionali (per forza),
>ma i numeri irrazionali quanti sono rispetto ai razionali??
infinitamente piu' numerosi. i razionali sono numerabili, e gli irrazionali
no.
>Ma c'è un teorema che garantisce che tra due numeri reali, esiste sempre un
>numero razionale, e quindi infiniti. Caso particolare: tra due irrazionali
>esistono infiniti razionali.
ma fra due numeri reali c'e' anche un irrazionale.
>Riassumendo: dalla prima questione sembrano esserci infiniti irrazionali per
>ogni razionale, dalla seconda sembra il contrario.
hmm... no.. dalla seconda potrebbe sembrare che i due insiemi siano in
qualche modo interscambiabili, visto che la seconda cosa sembra
"simmetrica" in qualche senso.
>So che dal punto di vista matematico ho detto delle grandi fesserie, ma
>volevo sapere se c'è un modo intuitivo per capire dov'è l'errore.
Hmm.... non mi viene in mente niente. :-)
--
Adam Atkinson (gh...@mistral.co.uk)
It is a sobering thought, for example, that when Mozart was my age, he had
been dead for two years. (T. Lehrer)
Roberto Galimberti
Emanuele Cesena ha scritto nel messaggio <6g5pb4$npb$6...@lx03.uu.ml.org>...
>Ho un quesito che da sempre mi turba...
>
>Dividiamo, per comodità, l'insieme dei numeri reali in due sottoinsiemi Q
>(razionali) e R (irrazionali).
>Sappiamo che i numeri reali sono "di più" dei numeri razionali (per forza),
>ma i numeri irrazionali quanti sono rispetto ai razionali??
>
>Vi spiego ciò che mi turba:
>è facile capire che gli irrazionali possano essere molti più dei razionali,
>perché per ogni razionale possiamo costruire un'infinità di irrazionali.
> Es. 3/5 razionale
> sqrt(3)/5 3/sqrt(5) 3+sqrt(2)/5 ecc.
>
>Ma c'è un teorema che garantisce che tra due numeri reali, esiste sempre un
>numero razionale, e quindi infiniti. Caso particolare: tra due irrazionali
>esistono infiniti razionali.
>
>Riassumendo: dalla prima questione sembrano esserci infiniti irrazionali
per
>ogni razionale, dalla seconda sembra il contrario.
>
>So che dal punto di vista matematico ho detto delle grandi fesserie, ma
>volevo sapere se c'è un modo intuitivo per capire dov'è l'errore.
Credo che la causa dei tuoi turbamenti sia il ben noto senso di smarrimento
che qualunque essere umano prova quando tento di immaginarsi, di intuire,
l'infinito. Ti ricordi i turbamenti di Galileo? Lui ando' in crisi perche'
riusciva a porre in corrispondenza biunivoca i numeri naturali con i loro
quadrati. Non c'e' bisogno di pensare addirittura agli irrazionali per
perdersi nei labirinti dell'infinito.
Volendo peggiorare le cose, qualche volta mi ripeto che:
(1) i numeri naturali sono molti di piu' dei numeri quadrati (infatti "fra"
due quadrati ci sono tanti numeri che "avanzano")
(2) i numeri quadrati sono molti di piu' dei numeri naturali (infatti basta
che tu costruisca una corrispondenza biunivoca collegando i numeri naturali
a qualche sottoinsieme dei quadrati)
(3) i numeri naturali sono tanti quanti i loro quadrati (col metodo di
Galileo).
Non credo che si possa superare i propri turbamenti con qualche discorso
intuitivo: si tratterebbe solamente di argomenti di persuasione psicologica,
che non c'entra con la matematica. Di fatto per mettere tutto a posto
l'unico sistema che abbiamo trovato e' quello di dichiarare esplicitamente
"esistono insiemi che contengono, in atto, infiniti elementi". Lo diciamo
per assioma, da quando Cantor ha presentato la sua teoria degli insiemi, e
da quando Dedekind ha deciso di definire prima gli insiemi infiniti (quelli
che si mettono in corrispondenza biunivoca con propri sottoinsiemi) e poi
quelli finiti (sono gli insiemi non infiniti).
I fatti che conseguono dall'accettare (COME ASSIOMA!) l'esistenza di insiemi
infiniti in atto, sono spesso contro-intuitivi, e noi li dobbiamo accettare
solo nella misura in cui accettiamo per buono il metodo ipotetico deduttivo
come forma di conoscenza. Mettiamola cosi': se volessimo rifiutare certi
risultati, dovremmo anche respingere le premesse da cui derivano questi
risultati, e spesso queste premesse sono assiomi matematici o logici
considerati intuitivamente inattaccabili. Tu rifiuteresti, a livello
intuitivo, regole di deduzione come il Modus Ponens, o il principio del
terzo escluso? (Naturalmente da un punto di vista formale non ha importanza
che una affermazione sia intuitiva o no, quello che conta e' la coerenza
dell'intero sistema).
Ma ora torno al tuo specifico problema. Forse un poco posso aiutarti a
digerire la brutta faccenda che hai descritto nella tua lettera.
Innanzitutto renditi conto bene che l'insieme Q dei razionali ha la POTENZA
DEL NUMERABILE, cioe' e' in corrispondenza biunivoca con i numeri naturali
(si dimostra col solito metodo diagonale di Cantor), mentre l'insieme degli
irrazionali R ha la POTENZA DEL CONTINUO, cioe', nota bene, e' IMPOSSIBILE
metterlo in corrispondenza biunivoca con i naturali (sempre dimostrazione di
Cantor).
Ora, la cosa bella degli insiemi numerabili e' che possono essere totalmente
ordinati, cioe' letteralmente "messi in fila" uno dopo l'altro.
Questa e' una cosa che di solito non ci viene in mente: noi siamo abituati a
vedere intuitivamente i razionali come disposti sulla retta in base al loro
valore (la solita rappresentazione sulla "retta numerica"), e purtroppo
quando sono messi in questo modo i razionali formano un insieme denso, cosi'
fra due irrazionali esistono infiniti razionali, come hai detto anche tu.
Ma se tu immagini i razionali messi in fila non in base al valore, ma in
base all'ordine in cui vengono conteggiati nel metodo diagonale di Cantor,
allora non sono piu' un insieme denso, bensi' diventano un insieme DISCRETO,
in cui i punti sono staccati e quindi li "vedi" tutti distinti uno
dall'altro. Questo non lo puoi fare con i numeri reali R perche' non sono
numerabili (se tu lo potessi fare, R sarebbe numerabile).
Se il tuo problema e' l'incapacita' di vedere con l'intuizione la differenza
fra Q ed R, forse ti potra' aiutare pensare Q come tanti punti isolati,
mentre in R ci sono sempre infiniti numeri che "avanzano", e non puoi in
alcun modo metterli nella fila.
Naturalmente la mia e' solo una allegra chiacchierata, da non prendere in
modo rigoroso (non ho nemmeno sfiorato certi problemi di "buon ordinamento"
perche' non conosco il tuo livello matematico).
Se comunque vuoi leggere qualcosa sull'argomento, ti suggerirei qualche
titolo:
nel libretto di L.L.RADICE, "L'Infinito", Editori Riuniti, trovi una ottima
introduzione discorsiva sugli insiemi infiniti, tra l'altro con i teoremi
che ti ho citato
nel libro di G.LOLLI, "Dagli insiemi ai numeri", Bollati Boringhieri, trovi
una dettagliata storia della invenzione della teoria degli insiemi da parte
di Cantor, e la descrizione formale (ma non esageratamente tecnica) degli
insiemi secondo la costruzioni di Zermelo-Fraenkel
nel libro di P.ZELLINI, "Breve storia dell'Infinito", Adelphi, trovi una
discussione di carattere prevalentemente filosofico che ripercorre le tappe
di questo concetto, dall'Apeiron di Aristotele fino alle discussioni
contemporanee sul transfinito e sulle antinomie.
per quanto riguarda la Logica ci sono "infiniti" testi sull'argomento. Un
libretto molto facile che mi e' piaciuto molto e' quello di E.BENCIVENGA,
"Il primo libro di Logica", Boringhieri. La cosa che mi e' piaciuta di piu'
e' che l'autore presenta in modo vivace anche le logiche "modali", che di
solito nei testi scolastici sono totalmente ignorate (tanto perche' si
sappia in giro che non esiste solo la logica delle tavole di verita' e cose
simili...).
Spero di esserti stato di qualche aiuto.
Ciao
Roberto.
Elio Fabri
>> So che dal punto di vista matematico ho detto delle grandi fesserie, ma
>
> Hmm.... non mi viene in mente niente. :-)
Non sono un matematico, ma forse un contributo posso darlo.
E' gia' stato osservato che queste sono tipiche difficolta' degli
insiemi infiniti, ma certo questo non basta.
Un'altra osservazione e' che se tra due razionali c'e' sempre uno
(infiniti) irrazionali, e viceversa, questo non vuol dire simmetria; ma
solo che entrambi i sottoinsiemi sono densi nei reali. Il che e' piu'
ovvio per gli irrazionali, che sono "quasi tutti" i reali, ma e' vero
anche per i razionali, che sono "molti di meno".
Aggiungo che un'ulteriore fonte di confusione puo' essere che il
discorso coinvolge e mescola concetti molto diversi:
- cardinalita' (i razionali e gli algebrici sono numerabili, i
trascendenti e gli irrazionali no)
- ordinamento (un numero sta "fra" altri due)
- topologia (insieme denso in un altro)
- misura (l'espressione "quasi tutti" puo' essere intesa anche nel senso
della misura di Lebesgue, oltre che in quello della cardinalita').
Non e' naturalmente un caso che tutti questi concetti si mescolino,
perche' nel caso della retta reale ci sono strette relazioni (confesso
che non le conosco bene, ma sono sicuro che ci sono). A chi non sia
addestrato alla matematica, puo' sembrare inutilmente complicato fare
tante distinzioni, finche' non si vede che in altri casi, di insiemi
meno semplici della retta reale, quelle distinzioni sono indispensabili
per evitare errori.
Non e' neppure un caso che tutta quella gerarchia di strutture sia stata
chiarita relativamente di recente: se non erro da non oltre un secolo.
Data la premessa, se e dove ho sbagliato apprezzero' correzioni.
-------------------
Elio Fabri
Dip. di Fisica
Universita' di Pisa
Mancinelli Luigi
Emanuele Cesena wrote:
> ...
L'argomento e` stato ampiamente sviscerato nel filone 3.14..
Riassumendo
I numeri razionali sono numerabili.
I numeri algebrici (=soluzioni di polinomi algebrici a coeffi
cienti interi - o razionali -) sono numerabili e contengono
come sottoinsieme proprio i numeri razionali.
I numeri reali (= numeri algebrici U numeri trascendenti) sono
non numerabili. I numeri trascendenti sono tutta quell'infini-
ta` non numerabile di numeri reali che non sono algebrici (vabbe',
e` un po' tautologico, ma non e` il caso di dare la definizione
assiomatica dei numeri reali...)
I numeri irrazionali sono l'unione dei numeri algebrici non
razionali e dei numeri trascendenti, ovvero tutti i numeri
reali non razionali e comprendendo l'insieme non numera-
bile dei numeri trascendenti sono non numerabili, ovvero
"di piu`" dei razionali, che invece puoi contare.
Dov'e` il tuo errore?
Fra due numeri irrazionali ci sono infiniti numeri
razionali, ma anche infiniti (e "di piu'") numeri irrazio-
nali, per cui per quale motivo questo dovrebbe darti
l'idea che i razionali siano in qualche modo di piu`?
Saluti
Gigi
PS: Per maggiori chiaramenti segui il filone succitato...
------------------------------------------------------------------------------
Luigi Mancinelli
Lab. Didattici
Fac. Scienze
Universita` di Trento
38050 POVO(TN)
ITALY
ma...@science.unitn.it
Cercare di semplificare i problemi e` l'obiettivo,
pensare che siano semplici e` la strada sbagliata (Gigi Mancinelli)
Emanuele Cesena
Scusate, ma siete sicuri del fatto che tra 2 reali esiste uno (e quindi
infiniti) irrazionali??
E' una domanda un po' retorica, visto che s e l'avete scritto un motivo ci
sarà...
Comunque questa non la sapevo...
Ma non si arriva all'assurdo dicendo che tra 2 reali deve esistere un
razionale ed un irrazionale?? A me tutto "filava" finché c'era solo un
razionale, adesso la faccenda si fa ancora più complicata.
Va bè, lo prenderò per fede :-)
Emanuele Cesena
d.a.m...@iol.it
Emanuele Cesena
Roberto Galimberti ha scritto nel messaggio <6g6a4f$r...@everest.vol.it>...
>
>Credo che la causa dei tuoi turbamenti sia il ben noto senso di smarrimento
>che qualunque essere umano prova quando tento di immaginarsi, di intuire,
>l'infinito. Ti ricordi i turbamenti di Galileo? Lui ando' in crisi perche'
>riusciva a porre in corrispondenza biunivoca i numeri naturali con i loro
>quadrati. Non c'e' bisogno di pensare addirittura agli irrazionali per
>perdersi nei labirinti dell'infinito.
>
>Volendo peggiorare le cose, qualche volta mi ripeto che:
>(1) i numeri naturali sono molti di piu' dei numeri quadrati (infatti
"fra"
>due quadrati ci sono tanti numeri che "avanzano")
>(2) i numeri quadrati sono molti di piu' dei numeri naturali (infatti basta
>che tu costruisca una corrispondenza biunivoca collegando i numeri naturali
>a qualche sottoinsieme dei quadrati)
>(3) i numeri naturali sono tanti quanti i loro quadrati (col metodo di
>Galileo).
Questo invece penso proprio di averlo capito: come hai scritto poi, la
definizione di Dedekind che definisce appunto un insieme infinito come un
insieme che può essere messo in corrispondenza biunivoca con un suo
sottinsieme proprio, mi ha a suo tempo chiarito le idee: in pratica N ed il
suo sottinsieme dei quadrati hanno lo stesso "numero" di elementi:
"infinito".
Lo avevo già capito anche prima, quando cercavo di capire se due segmenti di
diversa lunghezza avessero lo stesso numero di punti, ed ho risolto.
La cosa che mi turba è che in questi 2 casi non tenevo conto di qualcosa,
che è appunto la definizione di Dedekind, ma in quello che ho esposto non ho
ancora capito la radice del problema.
Sono certo che è una "stupidaggine", come del resto lo è per le altre cose,
è solo che mi è rimasto questo cruccio.
>Non credo che si possa superare i propri turbamenti con qualche discorso
>intuitivo: si tratterebbe solamente di argomenti di persuasione
psicologica,
>che non c'entra con la matematica. Di fatto per mettere tutto a posto
>l'unico sistema che abbiamo trovato e' quello di dichiarare esplicitamente
>"esistono insiemi che contengono, in atto, infiniti elementi". Lo diciamo
>per assioma, da quando Cantor ha presentato la sua teoria degli insiemi, e
>da quando Dedekind ha deciso di definire prima gli insiemi infiniti (quelli
>che si mettono in corrispondenza biunivoca con propri sottoinsiemi) e poi
>quelli finiti (sono gli insiemi non infiniti).
>I fatti che conseguono dall'accettare (COME ASSIOMA!) l'esistenza di
insiemi
>infiniti in atto, sono spesso contro-intuitivi, e noi li dobbiamo accettare
>solo nella misura in cui accettiamo per buono il metodo ipotetico deduttivo
>come forma di conoscenza. Mettiamola cosi': se volessimo rifiutare certi
>risultati, dovremmo anche respingere le premesse da cui derivano questi
>risultati, e spesso queste premesse sono assiomi matematici o logici
>considerati intuitivamente inattaccabili. Tu rifiuteresti, a livello
>intuitivo, regole di deduzione come il Modus Ponens, o il principio del
>terzo escluso? (Naturalmente da un punto di vista formale non ha
importanza
>che una affermazione sia intuitiva o no, quello che conta e' la coerenza
>dell'intero sistema).
Fin qui ho capito tutto...
Anche su questo non ci sono problemi!!
>Naturalmente la mia e' solo una allegra chiacchierata, da non prendere in
>modo rigoroso (non ho nemmeno sfiorato certi problemi di "buon ordinamento"
>perche' non conosco il tuo livello matematico).
Hai fatto bene, perché non sono tanto avanti, sono in terza superiore...
>Se comunque vuoi leggere qualcosa sull'argomento, ti suggerirei qualche
>titolo:
>
>nel libretto di L.L.RADICE, "L'Infinito", Editori Riuniti, trovi una ottima
>introduzione discorsiva sugli insiemi infiniti, tra l'altro con i teoremi
>che ti ho citato
>
>nel libro di G.LOLLI, "Dagli insiemi ai numeri", Bollati Boringhieri, trovi
>una dettagliata storia della invenzione della teoria degli insiemi da parte
>di Cantor, e la descrizione formale (ma non esageratamente tecnica) degli
>insiemi secondo la costruzioni di Zermelo-Fraenkel
>
>nel libro di P.ZELLINI, "Breve storia dell'Infinito", Adelphi, trovi una
>discussione di carattere prevalentemente filosofico che ripercorre le tappe
>di questo concetto, dall'Apeiron di Aristotele fino alle discussioni
>contemporanee sul transfinito e sulle antinomie.
>
>per quanto riguarda la Logica ci sono "infiniti" testi sull'argomento. Un
>libretto molto facile che mi e' piaciuto molto e' quello di E.BENCIVENGA,
>"Il primo libro di Logica", Boringhieri. La cosa che mi e' piaciuta di piu'
>e' che l'autore presenta in modo vivace anche le logiche "modali", che di
>solito nei testi scolastici sono totalmente ignorate (tanto perche' si
>sappia in giro che non esiste solo la logica delle tavole di verita' e
cose
>simili...).
>
>Spero di esserti stato di qualche aiuto.
Certamente, e ti ringrazio per questo.
>Ciao
>Roberto.
Ciao Ciao
Emanuele Cesena
d.a.m...@iol.it
Maurizio Codogno
Emanuele Cesena <d.a.m...@NOSPAZiol.it> states:
% Scusate, ma siete sicuri del fatto che tra 2 reali esiste uno (e quindi
% infiniti) irrazionali??
se ti va bene la definizione alla Dedekind di reale (quella con le due
successioni infinite...) non c'e` problema. Basta cercare due *razionali*
distinti e andare avanti iterativamente.
.mau.
Mancinelli Luigi
Emanuele Cesena wrote:
>
> Scusate, ma siete sicuri del fatto che tra 2 reali esiste uno (e quindi
> E' una domanda un po' retorica, visto che s e l'avete scritto un motivo ci
> sarà...
> Comunque questa non la sapevo...
> Ma non si arriva all'assurdo dicendo che tra 2 reali deve esistere un
> razionale ed un irrazionale?? A me tutto "filava" finché c'era solo un
> razionale, adesso la faccenda si fa ancora più complicata.
>
> Va bè, lo prenderò per fede :-)
>
> Emanuele Cesena
> d.a.m...@iol.it
Per farti un'idea intuitiva, prendi due numeri irrazionali distinti
e fai la media. Se il numero risultante non fosse un numero reale,
l'insieme dei numeri reali non sarebbe "chiuso" per l'operazione di
somma e divisione per due (cosa alquanto scomoda, dire..:-)). Questo
numero sta sicuramente "in mezzo" agli altri due...
Saluti
Gigi
Elio Fabri
Ti faccio un esempio costruttivo.
Tra due reali puoi sempre trovare due razionali p/q e (p+1)/q (se q e'
abbastanza grande).
Allora anche la loro media geometrica {sqrt[p(p+1)]}/q sta fra i due
reali, ed e' certamente irrazionale, perche' p(p+1) non e' un quadrato.
Emanuele Cesena
Mancinelli Luigi ha scritto nel messaggio
<352916...@science.unitn.it>...
> Dov'e` il tuo errore?
> Fra due numeri irrazionali ci sono infiniti numeri
>razionali, ma anche infiniti (e "di piu'") numeri irrazio-
>nali, per cui per quale motivo questo dovrebbe darti
>l'idea che i razionali siano in qualche modo di piu`?
>
OK, adesso penso di esserci (grazie anche all'aiuto dei prec. msg), comunque
quello che non sapevo (e mi sembra abbastanza importante) è che tra 2 numeri
reali c'è sempre un irrazionale...
Emanuele Cesena
d.a.m...@iol.it
Paolo B.
On Wed, 8 Apr 1998 19:15:44 +0200, "Emanuele Cesena"
<d.a.m...@NOSPAZiol.it> wrote:
>quello che non sapevo (e mi sembra abbastanza importante) è che tra 2 numeri
>reali c'è sempre un irrazionale...
UN irrazionale?
Perche' uno solo?
Maurizio Codogno
Paolo B. <pao...@videobank.it> states:
% >quello che non sapevo (e mi sembra abbastanza importante) è che tra 2 numeri
% >reali c'è sempre un irrazionale...
%
% UN irrazionale?
% Perche' uno solo?
Perche` ti basta dimostrare l'esistenza di uno solo per dire che sono
infiniti. E un Vero Matematico preferisce essere modesto :-)
.mau.
.mau.
Mancinelli Luigi
Direi che questo e` un vero approccio da fisico e forse puo` chiarire
i dubbi del nostro amico anche piu` di una completa trattazione forma-
le...A dire il vero volevo rispondere la stessa cosa alla sua risposta
al mio scritto, poi ho letto questo...
Adam Atkinson
On 05-Apr-98 15:51:32, Elio Fabri said:
>Aggiungo che un'ulteriore fonte di confusione puo' essere che il
>discorso coinvolge e mescola concetti molto diversi:
>- cardinalita' (i razionali e gli algebrici sono numerabili, i
>trascendenti e gli irrazionali no)
>- ordinamento (un numero sta "fra" altri due)
>- topologia (insieme denso in un altro)
>- misura
(Quanto segue non e' per Elio, ma per i soliti "eventuali interessati"
E un libro molto utile per quelli a cui piacciono gli esempi piu' o meno
sorprendenti e/o orribili e' "Counterexamples in Topology" di Lynn Arthur
Steen e J. Arthur Seebach, Jr. Una volta, era pubblicato dalla Springer
Verlag. Adesso c'e' un'edizione Dover, e allora non costa quasi niente. Un
catalogo di insiemi (143 voci) con combinazioni a prima vista sorprendenti
di proprieta', cominciando con casi noti come l'insieme di Cantor
(non-numerabile, ma con misura Lebesgue 0).
Quando ti stai chiedendo se una cosa e' possibile o no, e' utile conoscere
un po' di controesempi famosi ad altri non-teoremi, un po' di casi
patologici, cose anti-intuitive ecc. Anche cose come gli esempi che si
usano per dimostrare perche' la definizione di "contraction map" deve
essere quella che e'.
--
Adam Atkinson (gh...@mistral.co.uk)
GIANT WAVES DOWN QUEEN MARY'S FUNNEL
Maurizio Codogno
Adam Atkinson <gh...@mistral.co.uk> states:
% E un libro molto utile per quelli a cui piacciono gli esempi piu' o meno
% sorprendenti e/o orribili e' "Counterexamples in Topology" di Lynn Arthur
% Steen e J. Arthur Seebach, Jr. Una volta, era pubblicato dalla Springer
% Verlag. Adesso c'e' un'edizione Dover, e allora non costa quasi niente. Un
Ho sempre detto che la Dover dovrebbe essere benedetta. Ci ho comprato di
tutto, dai testi di matematica agli spartiti di Bach ...
.mau.
Adam Atkinson
On 09-Apr-98 18:28:10, Maurizio Codogno said:
>Ho sempre detto che la Dover dovrebbe essere benedetta. Ci ho comprato di
>tutto, dai testi di matematica agli spartiti di Bach ...
Verissimo.
C'e' una libreria Dover a Londra, vicino a Covent Garden.
Per i matematici ricreativi sara' interessante anche "Village Games",
Camden Lock, Londra. (fermata metro "Camden Town"). libri sulla matematica
ricreativa vecchi e nuovi, giochi e libri sui giochi (e' uno dei pochi
posti in UK dove puoi trovare decine di titoli diversi sul Go), rompicapo.
Ieri ho comprato due copie in piu' di "Notes on Rubik's Cube" di
Singmaster, e una raccolta completa di "Cubic Circular".
Paolo B.
On 9 Apr 1998 08:54:57 +0200, m...@beatles.cselt.it (Maurizio Codogno)
wrote:
>Perche` ti basta dimostrare l'esistenza di uno solo per dire che sono
>infiniti. E un Vero Matematico preferisce essere modesto :-)
Ah... ecco perche' io avrei detto direttamente che ce ne sono
infiniti: e' perche' non sono un Vero Matematico!
(Anzi non sono neppure un matematico) !
Qui molti aggiungeranno "e si vede" :-)
Srinivasa Ramanujan
On , ha scritto:
>Scusate, ma siete sicuri del fatto che tra 2 reali esiste >uno (e quindi
>infiniti) irrazionali??
A me pare strano che possa venirti un dubbio del genere, nel senso che ,per come vedo la retta
reale, se cosi' non fosse mi apparirebbero immediatamente un sacco di buchi ;-)) In ogni caso e'
facile dimostrare che entrambe gli insiemi considerati sono densi in R. Cio' evidentemente non
implica che la misura di Lebesgue sia per essi la medesima, in particolare l'insieme dei razionali
(diciamo in [0,1]) ha misura nulla, mentre e' ivi di misura pari ad 1 l'insieme dei numeri
irrazionali.
Srin...@wema.com
"...any integer number is one of my fovourite friends..."
Srinivasa Ramanujan
Non e' che per caso la Dover possiede anche un recapito email e/o un suo sito dove magari
acquistarne le publicazioni ?
Adam Atkinson
On 17-Apr-98 22:18:10, Srinivasa Ramanujan said:
>Non e' che per caso la Dover possiede anche un recapito email e/o un suo sito
>dove magari acquistarne le publicazioni ?
potresti provare con www.bookshop.co.uk o www.amazon.com
o potresti ordinare dalla libreria Dover a Londra, magari.
--
Adam Atkinson (gh...@mistral.co.uk)
http://www.mistral.co.uk/ghira/homepage.html