Calcolare divergenza in coordinate sferiche
Andrea Pagliari
sferiche assume la seguente forma (scritta in formato TeX)
$$
div(\vec V) = {1 \over {r^2 }}{{\partial (r^2 V_r )} \over {\partial r}}
+ {1 \over {r\sin \theta }}{{\partial (\sin \theta \cdot V_\theta )}
\over {\partial \theta }} + {1 \over {r\sin \theta }}{{\partial V\phi }
\over {\partial \phi }}
$$
Valter Moretti
La risposta piu` semplice e` la seguente:
prendi la divergenza scritta in coordinate cartesiane ed esprimi
in essa contemporaneamente il campo vettoriale nella base
associata alle coordinate sferiche (cioe` scrivi le componenti
cartesiane in funzione di quelle "sferiche")
e le derivate cartesiane in termini di derivate rispetto
alle coordinate sferiche usando la matrice Jacobiana.
E` un lavoraccio ma viene fuori il mostro che hai scritto che
coincide, punto per punto, con il valore ottenuto in coordinate
cartesiane nel solito modo.
(Se conosci un po` di analisi tensoriale diventa tutto piu`
semplice lavorando con al connessione di Levi-Civita ed il
calcolo di sopra si riduce al calcolo di coefficienti di
connessione)
Ciao, Valter
-----------------------------------------------
Valter Moretti
Dipartimento di Matematica- Universita' di Trento
mor...@science.unitn.it
http://alpha.science.unitn.it/~moretti/home.html
Andrea Pagliari
Grazie mille e mi raccomando non lasciare il NG ISM
resisti! resisti! resisti! :-)
Andrea Pagliari
Andrea Pagliari
>
> Valter Moretti ha scritto:
> > La risposta piu` semplice e` la seguente:
> > prendi la divergenza scritta in coordinate cartesiane ed esprimi
> > in essa contemporaneamente il campo vettoriale nella base
> > associata alle coordinate sferiche (cioe` scrivi le componenti
> > cartesiane in funzione di quelle "sferiche")
> > e le derivate cartesiane in termini di derivate rispetto
> > alle coordinate sferiche usando la matrice Jacobiana.
> > E` un lavoraccio ma viene fuori il mostro che hai scritto che
> > coincide, punto per punto, con il valore ottenuto in coordinate
> > cartesiane nel solito modo.
> >
Approfitto ancora della tua disponibilità non esiste qualche cosa di già
fatto in rete?
Elio Fabri
> La risposta piu` semplice e` la seguente:
> prendi la divergenza scritta in coordinate cartesiane
Io suggerirei un altro metodo, basato sul teorema della divergenza.
Considera in coordinate polari un "cubetto" (che ovviamente non e'
affatto un cubo...) avente per spigoli le linee coordinate.
Calcola il flusso del vettore attraverso la superficie, all'ordine piu'
basso, dividi per il volume, ed e' fatto.
Ci vorrebbe una figura, ma non e' possibile...
Il punto delicato e' che quando calcoli il flusso uscente da facce
opposte, devi tener conto che il campo ha valore diverso sulle due
facce: e' da qui che vengono fuori le derivate.
Non so se sono stato chiaro; eventualmente posso cercare di spiegarmi
meglio.
--
Elio Fabri
Dip. di Fisica "Enrico Fermi" - Univ. di Pisa
Sez. Astronomia e Astrofisica
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Valter Moretti
Ciao
un sito molto elementare su tutta la matematica e`
http://230nsc1.phy-astr.gsu.edu/hbase/hframe.html
forse su quello trovi qualcosa se sei alle
prime armi.
Per quanto riguarda l'approccio con l'analisi tensoriale
(ma te lo sconsiglio fortemente se cominci solo ora a vedere queste
cose), trovi delle dispense che ho scritto io stesso al link
http://degiorgi.science.unitn.it/~fismat/dispense.html
Alla fine della seconda parte mi occupo di come scrivere gli operatori
differenziali elementari in sistemi di coordinate arbitrari (su
varieta` Riemanniane e semiRiemanniane).
Tieni conto che le dispense non sono corrette ed hanno diversi errori
anche di ortografia, le correggero' ad Aprile quando riterro' il corso.
Valter Moretti
> Io suggerirei un altro metodo, basato sul teorema della divergenza.
> Considera in coordinate polari un "cubetto" (che ovviamente non e'
> affatto un cubo...) avente per spigoli le linee coordinate.
> Calcola il flusso del vettore attraverso la superficie, all'ordine piu'
> basso, dividi per il volume, ed e' fatto.
> Ci vorrebbe una figura, ma non e' possibile...
> Il punto delicato e' che quando calcoli il flusso uscente da facce
> opposte, devi tener conto che il campo ha valore diverso sulle due
> facce: e' da qui che vengono fuori le derivate.
>
Anche io avevo pensato a dire cio` (tra l'altro se ricordo
bene e` l'approccio direttamente seguito dal terzo volume
del Calculus di Apostol).
Il limite che dici (che non dipende dalla forma del volume
e quindi nemmeno dalle coordinate) e` una possibile definizione
*intrinseca* di divergenza, pero` bisogna poi dimostrare che
coincide con quella "ingenua" di divergenza di V intesa come operatore
differenziale somma su k di derivata parziale rispetto a x_k di V_k.
Non e` difficile ma bisogna introdurre un po` di altra teoria
(certo forse piu` elementare della teoria delle connessioni, su questo
non avevo riflettuto...)
Valter Moretti
>
> un sito molto elementare su tutta la matematica e`
>
> http://230nsc1.phy-astr.gsu.edu/hbase/hframe.html
>
Scusa ho dimenticato di dire che dentro il sito devi cliccare su
"HyperMath" sotto la prima finestra.
Valter
Andrea Pagliari
Forse ho trovato una risposta al quesito ancora diversa in un libro di
analisi 2 si chiama Corso di Analisi 2 di Nicola Fedele parte prima pag
404 - 408 il metodo è sostanzialmente quallo esposto da Valter almeno
credo sia ciò che intendesse Valter Moretti quando ha parlato di
espirmere in coordinate curvilinee il campo vettoriale solo che in
questo libro è tutto formalizzato come si addice dopo tutto ad un testo
di analisi. Mi riprometto però prima di chiedere eventuali ulteriori
chiarimeti su quanto esposto da Elio Fabri, di dare una lettura al T.M.
Apostol dove secondo Valter Moretti si dovrebbero trovare delle tracce
di questo tipo di ragionamento.
Grazie comunque ad entrambi per i suggerimenti.
Andrea Pagliari
>
> Forse ho trovato una risposta al quesito ancora diversa in un libro di
> analisi 2 si chiama Corso di Analisi 2 di Nicola Fedele parte prima pag
> 404 - 408 il metodo č sostanzialmente quallo esposto da Valter
Mi sono parzialmente sbagliato nel senso che nelle pagine segnalate
viene calcolato il gradiente e il laplaciano in coordinate polari,
sferiche e cilindriche ma non la divergenza. Mi sembra strano perň che
la divergenza di un vettore in R^3 o in R^2 in coordinate curvilinee sia
cosě scarsamente documentata cioč viene presentata quasi sempre la
formula finale ma non il modo per ricavarla eppure in molte discipline
fisiche ritorna spesso utile come ad esempio in fluidodinamica,
nell'elettrostatica. Voi non conoscete testi che presentano questo
argomento in modo esaustivo? Ad esempio immagino dei testi di fisica
matematica dove credo dovrebbe essere considerata come uno degli
argomenti introduttivi e quindi sistematicamente presentata come accade
per gli spazzi vettoriali in meccanica razionale
rez
>Mi sembra strano perň che
>la divergenza di un vettore in R^3 o in R^2 in coordinate curvilinee sia
>cosě scarsamente documentata cioč viene presentata quasi sempre la
>formula finale ma non il modo per ricavarla eppure in molte discipline
Provo a prenderti per mano..
Maiuscole=vettori (tranne l'origine O e il punto P)
*=prodotto scalare
_i=indici 1,2,3
u_i=coordinate curvilinee *ortogonali*
$=il "de" della derivata parziale
$_i()=derivata parziale rapporto u_i, cioe` $()/$u_i
N=nabla (Hamilton)
I,J,K soliti versori riferimento cartesiano
OP = x(u_1,u_2,u_3)I + y(u_1,u_2,u_3)J + z(u_1,u_2,u_3)K
E_i=versori della base naturale nel punto generico P, cioe`:
E_i=(1/a_i)$_iOP
essendo:
a_i=|$_iOP|
V=v_1E_1+v_2E_2+v_3E_3=tuo vettore
Risulta:
dOP=$_1OPdu_1+$_2OPdu_2+$_3OPdu_3=a_1E_1du_1+a_2E_2du_2+a_3E_3du_3
(1) N()=(E_1/a_1)$_1()+(E_2/a_2)$_2()+(E_3/a_3)$_3()
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-
Infatti per N si ha:
f=funzione scalare
Nf=f_1E_1+f_2E_2+f_3E_3
df=Nf*dOP=a_1f_1du_1+a_2f_2du_2+a_3f_3du_3
df=$_1fdu_1+$_2fdu_2+$_3fdu_3
dal confronto di queste ultime due allora si ha:
f_i=(1/a_i)$_if
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-
Si ha allora:
Nu_i=E_i/a_i
(2) E_1=a_2a_3Nu_2 vettor Nu_3
N*(v_1E_1)=N*(v_1a_2a_3Nu_2vettorNu_3)=
=N(v1a_2a_3)*Nu_2vettorNu_3+v_1a_2a_3N*(Nu_2vettorN_u3)=
il secondo termine a destra e` identicamente nullo per coordinate
ortogonali, per cui considerando anche la (1) e la (2) si puo`
scrivere successivamente:
=[(E_1/a_1)$_1(v_1a_2a_3)+(E_2/a_2)$_2(v_1a_2a_3)+stesso3]*E_1/(a_2a_3)=
=(1/a_1a_2a_3)$_1(v_1a_2a_3)
Pertanto risulta:
div(V)=N*V=N*(v_1E_1+v_2E_2+v_3E_3)=N*(v_1E_1)+N*(v_2E_2)+N*(v_3E_3)=
=(1/a_1a_2a_3)[$_1(v_1a_2a_3)+$_2(v_2a_3a_1)+$_3(v_3a_1a_2)]
Passiamo a coordinate sferiche:
t,p=theta e phi
r=|OP|
x=rsentcosp
y=rsentsenp
z=rcost
a_1=1
a_2=r
a_3=rsent
div(V)=[$_r(r^2sentv_r)+$_t(rsentv_t)+$_p(rv_p)]/[(sent)r^2]
che e` praticamente la tua, basta semplificare portando fuori dal segno
i fattori rispettivamente costanti.
Devi ricopiarla a mano, perche' scritta cosi` ci si perde (a proposito
di cio` che infatti chiedeva Antirez circa LaTeX).
>Voi non conoscete testi che presentano questo
>argomento in modo esaustivo?
Quelli che conosco io son tutti morti, ora ci son gli americani.. :-(
--
Ci sentiamo | Remigio Zedda || Attenzione! campo "From:" alterato
ciao Remigio | ||==> E-mail: remi...@tiscalinet.it
-------------| ..si` d'accordo.. ma con la Deb e` un'altra cosa!
/* Linux 2.2.19pre17 su Debian GNU/Linux 2.2 Potato */
mini...@gmail.com
io ti consiglio di cercare online con parole in inglese, per esempio:
transformation divergence cylindrical coordinate
gli americani divulgano molte cose da imparare.
Grazie
Pangloss
Se invece dei calcoli analitici ti interessasse la teoria generale di tale
operatore differenziale, guarda qui:
http://pangloss.ilbello.com/Matematica/tensori_preview_131103.pdf
Si tratta di una limitata preview di un mio lavoro su algebra lineare e
geometria differenziale, comunque la parte che ti interessa c'e'.
A p.118 trovi scritta e dimostrata la formula della divergenza scritta (con
la convenzione di somma sugli indici ripetuti) in varieta' differenziali ed
in coordinate qualsiasi. N.B.: Il Cap.7 e' piuttosto impegnativo!
A p.79 trovi il tensore metrico dello spazio tridimensionale euclideo scritto
in coordinate polari sferiche.
Sostituisci il valore di g (p.79) nella formula (7.49a) ed il gioco e' fatto.
--
Elio Proietti
Valgioie (TO)
ADPUF
> On Thursday, February 7, *2002* 6:53:40 PM UTC+1, Andrea
> io ti consiglio di cercare online con parole in inglese, per
> esempio: transformation divergence cylindrical coordinate
> gli americani divulgano molte cose da imparare.
Ci sono anche testi sull'argomento, per chi preferisce papiri e
pergamene...
--
Quanto fa due per due?
Dipende.