Funzioni derivabili...problemino
Tommaso Balercia
domanda del genere, tuttavia visto che mi piace avere le idee chiare, anche
a costo di fare la figura del semplicione, oso chiedere comunque.
Preparandomi per l'esame di Analisi II nel paragrafo riservato alla
convergenza uniforme, ho notato che il mio bel libello riporta..."Il teorema
di passaggio al limite sotto il segno di derivata vale anche in ipotesi meno
restrittive, senza supporre che le derivate f ' ["con k"] siano funzioni
continue in [a,b]." e poi lo dimostra...
Ora il problema è questo qualcuno mi può fare un esempio e commentarmelo di
una funzione derivabile con derivata non continua...apparentemente potrebbe
sembrare che basti prendere una qualsiasi funzione continua, la cui derivata
possegga un punto di discontinuità eliminabile come, ad esempio f(x)= (x
per -infinito<x<1 and 1<x<infinito e x^2 per x=1), ma la derivata di questo
affare in x=1 è 1 e non 2(almeno credo)...aiuto!
Grazie a tutti coloro che vorranno rispondermi.
Mauro Lattanzi
E' un dubbio che ho avuto sempre anch'io.
Consideriamo la definizione di funzione di classe C1[a, b]: una funzione rientra in questa categoria se è derivabile in [a, b] con derivata prima continua in [a, b]. Qualcuno può farmi un esempio di funzione derivabile in [a, b] con derivata non continua in [a, b] ?
Grazie
Mauro
P. S. Per Tommaso Balercia: guarda che la funzione che porti come esempio coincide con la funzione f(x) = x.
El Filibustero
>Ora il problema è questo qualcuno mi può fare un esempio e commentarmelo di
>una funzione derivabile con derivata non continua...
un esempio classico e' la funzione
x^2 sin(1/x) per x<>0
0 per x=0
e' derivabile per ogni x<>0 (dove la derivata e' 2xsin(1/x)-cos(1/x) )
e anche in x=0 perche' il rapporto incrementale x sin(1/x) per x-->0
ammette il limite 0. La derivata non e' continua in 0 perche' ivi vale
zero ma in ogni intorno di 0 esistono infiniti punti in cui e' (per
esempio) -1 : x=1/(2*k*pi) per ogni k intero.
>apparentemente potrebbe
>sembrare che basti prendere una qualsiasi funzione continua, la cui derivata
>possegga un punto di discontinuità eliminabile come, ad esempio f(x)= (x
>per -infinito<x<1 and 1<x<infinito e x^2 per x=1), ma la derivata di questo
>affare in x=1 è 1 e non 2(almeno credo)...aiuto!
infatti e' 1. La funzione sopra definita e' semplicemente f(x)=x per
ogni x reale. Ciao
Marco Coletti
Filibustero) wrote:
>un esempio classico e' la funzione
>
>x^2 sin(1/x) per x<>0
>0 per x=0
>
>e' derivabile per ogni x<>0 (dove la derivata e' 2xsin(1/x)-cos(1/x) )
>e anche in x=0 perche' il rapporto incrementale x sin(1/x) per x-->0
>ammette il limite 0. La derivata non e' continua in 0 perche' ivi vale
>zero ma in ogni intorno di 0 esistono infiniti punti in cui e' (per
>esempio) -1 : x=1/(2*k*pi) per ogni k intero.
Sbaglio o la derivata f' è una funzione con una discontinuità
essenziale in 0?
Ciè in ogni intorno di zero tale funzione assume tutti i valori reali.
Ora la domanda sarebbe: data una funzione f, se la derivata f' è
definita ovunque ma esistono dei punti di discontinuità, tali punti
sono necessariamente discontinuità essenziali?
--
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Marco Coletti
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Subatomic
Tommaso Balercia <tm...@yahoo.com> wrote in message
hUdN4.32056$xt2.3...@news.infostrada.it...
> So, con certezza, che susciterò l'ilarità di più di lettore nel porre una
> domanda del genere, tuttavia visto che mi piace avere le idee chiare,
anche
> a costo di fare la figura del semplicione, oso chiedere comunque.
>
> Preparandomi per l'esame di Analisi II nel paragrafo riservato alla
> convergenza uniforme, ho notato che il mio bel libello riporta..."Il
teorema
> di passaggio al limite sotto il segno di derivata vale anche in ipotesi
meno
> restrittive, senza supporre che le derivate f ' ["con k"] siano funzioni
> continue in [a,b]." e poi lo dimostra...
>
di
> una funzione derivabile con derivata non continua
>
Ciao,
considera la funzione (prolungata) così definita in [0,1] :
f(x) = x^2 sen(1/x) per 0 < x <=1
f(x) = 0 per x = 0
Questa funzione è continua in 0 e vale 0.
Considera ora la derivata. Il rapporto incrementale in 0 vale zero, ma se
fai la derivata
di x^2 sen(1/x) e poi prendi il limite per x tendente a zero il limite non
esiste (dovrebbe spuntarti
un termine del tipo cos(1/x) che oscilla al limite).
Non puoi cercare funzioni con discontinuità eliminabili.
In tal caso la primitiva avrebbe un punto angoloso in corrispondenza della
discontinuità
e quindi (per definizione) in quel punto non sarebbe derivabile.
Spero di aver chiarito le cose.
Saluti
Subatomic
Subatomic <leap...@yahoo.it> wrote in message
8e474c$ijk$1...@nslave1.tin.it...
> Spero di aver chiarito le cose.
> Saluti
>
>
Ops...le avevano già chiarite.....mi scuso per la *ripetizione*
Ancora saluti
Valter Moretti
Mauro Lattanzi wrote:
> -----------------------------------------------------------------------
>
> E' un dubbio che ho avuto sempre anch'io.
> Consideriamo la definizione di funzione di classe C1[a, b]: una
> funzione rientra in questa categoria se č derivabile in [a, b] con
> derivata prima continua in [a, b]. Qualcuno puň farmi un esempio di
> funzione derivabile in [a, b] con derivata non continua in [a, b] ?
>
> Grazie
> Mauro
>
Ciao, mi pare abbastanza banale, forse non ho capito la questione.
Prendi f(x) definita su tutto R fatta cosi':
f(x) = 0 se x < 0
f(0) = 0
f(x) = x ^{3/2} sin(1/x) se x > 0
La derivata per x < 0 e' banalmente nulla, e la derivata sinistra in x=0
e' anch'essa nulla.
Allora l'unico punto pericoloso e' x = 0, piu' precisamente l'intorno
destro di tale punto.
In tale punto pero' la derivata della funzione esiste ed e' nulla come
segue direttamente dal
calcolo del limite del rapporto incrementale destro che fornisce ancora
il valore zero,
(tieni conto che la funzione sin(1/x) e' limitata e x^{3/2} -> 0 se
x->0+).
Viceversa la derivata calcolata per x > 0 fornisce:
f'(x) = (3/2) x^{1/2} sin (1/x) - (1/x^{1/2}) cos (1/x)
che non ammette limite a x->0+ , per cui la derivata e' discontinua in x
= 0.
Ti lascio un semplicissimo esercizio (che e' quello che mi ha fatto
costruire il controesempio
di sopra).
Se f e' definita nell'intorno destro di x_0, [x_0, x_1), ed e' ivi
derivabile ed in particolare esiste
la derivata destra in x_0, allora e' sufficiente che esista il limite
di f'(x) per x-> x_0+
per assicurare che la derivata destra sia continua in x_0.
Anzi, con una precisazione sulla finitezza del limite si riesce a dire
ancora di piu':
se f e' continua per x-> x_0+, derivabile in (x_0, x_1) ed esiste
finito il limite
f'(x) per x->x_0+, allora esiste la derivata destra in x_0 e coincide
con tale limite.
Perche'?
Probabilmente non trovavi controesempi perche' non tenevi conto di tali
fatti!
Ciao, Valter
Valter Moretti
Scusate, stranamente non avevo visto tutte le altre
risposte che sono comparse solo ora!
Ciao, valter
Valter Moretti
Marco Coletti wrote:
Ora la domanda sarebbe: data una funzione f, se la derivata f' è definita ovunque ma esistono dei punti di discontinuità, tali punti sono necessariamente discontinuità essenziali?
Non avevo mai visto la definizione di discontinuita' essenziale
per funzioni di variabile reale. In ogni caso la funzione qui non assume
tutti i valori reali, ma solo quelli di un intervallo limitato.
Con questa precisazione *credo* che tu abbia ragione, ammettendo
che la derivata sia continua fuori da 0. Questo perche' affinche'
la derivata non sia continua in 0 non deve esistere il limite della
derivata destra o sinistra per x->0+ o - (in "non esiste" escludo anche
il caso in cui il limite esiste infinito) e tali funzioni intorno
a zero sono
comunque continue. Per la dimostrazione formale dovrei pensarci
un po' e ora non ho tempo, ma mi pare *a naso* che tu abbia ragione.
Ciao, valter
El Filibustero
>Sbaglio o la derivata f' è una funzione con una discontinuità
>essenziale in 0?
>Ciè in ogni intorno di zero tale funzione assume tutti i valori reali.
compresi tra -1 e 1.
>Ora la domanda sarebbe: data una funzione f, se la derivata f' è
>definita ovunque ma esistono dei punti di discontinuità, tali punti
>sono necessariamente discontinuità essenziali?
Certamente nel punto di discontinuita' uno dei limiti sinistro o
destro di f' non esiste (per intenderci: f' non puo' essere tipo una
funzione gradino). Quindi se f' ha un solo punto x0 di discontinuita'
dovrebbe esistere un intervallo chiuso I tale che, in ogni intorno di
x0, f' assume tutti i valori di I (come nel caso visto). Ciao
Valter Moretti
El Filibustero wrote:
La dimostrazione esplicita io la farei cosi' (per le persone a cui
non sembra evidente).
Supponiamo che non esista il limite per x -> x_0+ di f'
(uno dei due limiti non deve esistere per il teorema di Lagrange)
e che f' sia continua in (x_0,x_1]. Allora esistono almeno due valori
a < b che supporro' finiti (se uno dei due e' infinito o entrambi
la dimostrazione si riaggiusta subito) e due successioni di numeri
in (x_0,x_1] x_n ->x_0, x'_n ->x_0 tali che f'(x_n) -> a e f'(x'_n) ->
b.
Scelto e>0 piccolo a sufficienza e posto a'=a+e e b'=b-e, allora
posso trovare N>0 t.c., se n>N, valga:
f(x_n) < a' < b' < f(x'_n) ,
Tenendo conto che se una funzione continua definita su
intervallo assume valori a' e b', allora assume anche tutti
i valori tra a' e b', si ha che f((x_0,x_n ]) contiene [a',b']
se n > N.
Cioe' , dato che x_n ->0, su ogni intorno destro di x_0
sufficientemente piccolo la funzione f' assume almeno
tutti i valori di [a,b].
Ciao, Valter
Tommaso Balercia
Prima di tutto ti ringrazio di avermi risposto e colgo l'occasione di
ringraziare anche tutti gli altri che gentilmente mi hanno
risposto...grazie.
> Non puoi cercare funzioni con discontinuità eliminabili.
> In tal caso la primitiva avrebbe un punto angoloso in corrispondenza della
discontinuità e quindi (per definizione) in quel punto non sarebbe
derivabile.
Ho intuito la grossolanità di quello che ho detto solo ora...non dovrebbe
"proprio" esistere alcuna funzione derivabile avente anche solo UNA
discontinuità eliminabile...tornando sul fatto del punto angoloso, concordo
sul fatto che il punto angoloso avrebbe quell'effetto, ma non sul fatto che
una banale discontinuità eliminabile riesca a conciare, in qualunque caso,
così male la primitiva...forse hai confuso le discontinuità eliminabili con
quelle di prima specie(visto che poi c'è anche una nutrita schiera di gente
che chiama le discontinuità eliminabili, discontinuità di prima specie
eliminabili)?
Subatomic
> Ho intuito la grossolanità di quello che ho detto solo ora...non dovrebbe
> "proprio" esistere alcuna funzione derivabile avente anche solo UNA
> discontinuità eliminabile...tornando sul fatto del punto angoloso,
concordo
> sul fatto che il punto angoloso avrebbe quell'effetto, ma non sul fatto
che
> una banale discontinuità eliminabile riesca a conciare, in qualunque caso,
> così male la primitiva...forse hai confuso le discontinuità eliminabili
con
> quelle di prima specie(visto che poi c'è anche una nutrita schiera di
gente
> che chiama le discontinuità eliminabili, discontinuità di prima specie
> eliminabili)?
>
>
Ciao,
non intendo per discontinuità eliminabili le discontinuità di prima
specie.....
conosco la differenza e concordo con te !
Il punto è che ho sbagliato a scrivere....
intendevo ovviamente discontinuità di prima specie....!!!
Chiedo ammenda per quello che ho scritto !!!
Scusami ancora e saluti
?manu*
>
> Ora la domanda sarebbe: data una funzione f, se la derivata f' è
> definita ovunque ma esistono dei punti di discontinuità, tali punti
> sono necessariamente discontinuità essenziali?
Le derivate hanno la proprieta' di Darboux:
se la funzione assume due valori allora assume anche tutti i valori
intermedi.
In particolare, preso qualunque aperto I che contiene lo zero, f'(I)
contiene l'intervallo (aperto) tra il liminf e il limsup di f' in 0.
ciao,
Em.