arctg(4/3)=2arctg(1/2)

Chenickname

unread,

Jan 18, 2013, 2:02:47 PM1/18/13

to

C'e' una dimostrazione semplice ed elegante?

joseph cornelius hallenbeck

unread,

Jan 18, 2013, 2:10:49 PM1/18/13

to

Chenickname ha scritto:

> C'e' una dimostrazione semplice ed elegante?

tg(2x) = 2 tg(x)/(1-tg^2(x))

--
ho avuto un flirt con un topo, non ricordo i particolari

Giorgio Bibbiani

unread,

Jan 18, 2013, 2:28:02 PM1/18/13

to

Chenickname ha scritto:

> C'e' una dimostrazione semplice ed elegante?

Per me questa e' semplice ed elegante ;-).

tan(arctan(4/3)) = 4/3
tan(2arctan(1/2)) = 2 * 1/2 / (1 - (1/2)^2) = 4/3,

avendo usato la formula tan(2x) = 2tan(x) / (1 - tan(x)^2).

Ciao
--
Giorgio Bibbiani

Chenickname

unread,

Jan 18, 2013, 2:31:39 PM1/18/13

to

On 18 Gen, 20:10, joseph cornelius hallenbeck

Grazie!

Chenickname

unread,

Jan 18, 2013, 2:32:25 PM1/18/13

to

On 18 Gen, 20:28, "Giorgio Bibbiani"

Grazie!

cometa_luminosa

unread,

Jan 18, 2013, 4:04:28 PM1/18/13

to

In generale, per ogni x reale per cui -1 < x < 1, si ha:

arctan [2x/(1 - x^2)] = 2 arctan(x)

per x = 1/2 si ha il caso particolare discusso qui.

--
cometa_luminosa

Chenickname

unread,

Jan 18, 2013, 5:25:47 PM1/18/13

to

Interessante.

Per x=1/2 noto che l'angolo piu' acuto di un dom e' la meta' di un
angolo del piu' piccolo triangolo pitagorico intero 3-4-5.

Per x=1/n con n intero, e' divertente la verifica sul foglio
quadrettato. :-)

Per x=1/5 ritrovo il secondo triangolo pitagorico intero 5-12-13

Viene voglia di andare a vedere se ne escono fuori altri...
Mmmm... anche per n=3 e n=4 escon fuori triangoli pitagorici interi.
E' un caso?

Ciao
Livio

Chenickname

unread,

Jan 18, 2013, 5:41:54 PM1/18/13

to

No, direi proprio che non e' un caso:

n - terna pitagorica intera
2 3-4-5
3 3-4-5
4 8-15-17
5 5-12-13
6 12-35-37
7 7-24-25
8 16-63-65
9 9-40-41
10 20-99-101

?

Dano

unread,

Jan 19, 2013, 7:06:17 PM1/19/13

to

In Fri, 18 Jan 2013 14:41:54 -0800 (PST), Chenickname
<che.ni...@gmail.com> ha scritto:

>> > In generale, per ogni x reale per cui -1 < x < 1, si ha:
>>
>> > arctan [2x/(1 - x^2)] = 2 arctan(x)

...omissis...

>Per x=1/5 ritrovo il secondo triangolo pitagorico intero 5-12-13

>Viene voglia di andare a vedere se ne escono fuori altri...
>Mmmm... anche per n=3 e n=4 escon fuori triangoli pitagorici interi.
>E' un caso?

I cateti di una terna pitagorica sono dati da:
2mn
m^2-n^2

Quindi la tangente dell'angolo acuto �

2mn/(m^2-n^2)

dividendo numeratore e denominatore per m^2 e ponendo x=n/m si ottiene

2x/(1-x^2)

--
Ciao, Dano

Chenickname

unread,

Jan 20, 2013, 8:42:38 AM1/20/13

to

On 20 Gen, 01:06, Dano <d...@dano.it.invalid> wrote:
> In Fri, 18 Jan 2013 14:41:54 -0800 (PST), Chenickname

> <che.nickn...@gmail.com> ha scritto:

>
> >> > In generale, per ogni x reale per cui -1 < x < 1, si ha:
>
> >> > arctan [2x/(1 - x^2)] = 2 arctan(x)
>
> ...omissis...
>
> >Per x=1/5 ritrovo il secondo triangolo pitagorico intero 5-12-13
> >Viene voglia di andare a vedere se ne escono fuori altri...
> >Mmmm... anche per n=3 e n=4 escon fuori triangoli pitagorici interi.
> >E' un caso?
>
> I cateti di una terna pitagorica sono dati da:
> 2mn
> m^2-n^2
>

> Quindi la tangente dell'angolo acuto è

>
> 2mn/(m^2-n^2)
>
> dividendo numeratore e denominatore per m^2 e ponendo x=n/m si ottiene
>
> 2x/(1-x^2)
>
> --
> Ciao, Dano

Grazie.

Tetis

unread,

Jan 24, 2013, 5:39:02 PM1/24/13

to

Nel suo scritto precedente, Chenickname ha sostenuto :

Non ï¿œ per nulla casuale: 2x/(1-x^2) = 2n/(n^2-1) e (1-n^2),2n sono
sempre cateti di un triangolo pitagorico: (n^2-1)^2 + (2n)^2 =
(n^2+1)^2
di lati, (2n,n^2-1,n^2+1).

Chenickname

unread,

Jan 28, 2013, 11:29:52 AM1/28/13

to

On 24 Gen, 23:39, Tetis <lje...@yahoo.it> wrote:
> Nel suo scritto precedente, Chenickname ha sostenuto :
>
>
>
>
>
>
>
>
>
> > On 18 Gen, 22:04, cometa_luminosa <alberto.r...@virgilio.it> wrote:
> >> In generale, per ogni x reale per cui -1 < x < 1, si ha:
>
> >> arctan [2x/(1 - x^2)] = 2 arctan(x)
>
> >> per x = 1/2 si ha il caso particolare discusso qui.
>
> >> --
> >> cometa_luminosa
>
> > Interessante.
>
> > Per x=1/2 noto che l'angolo piu' acuto di un dom e' la meta' di un
> > angolo del piu' piccolo triangolo pitagorico intero 3-4-5.
>
> > Per x=1/n con n intero, e' divertente la verifica sul foglio
> > quadrettato. :-)
>
> > Per x=1/5 ritrovo il secondo triangolo pitagorico intero 5-12-13
>
> > Viene voglia di andare a vedere se ne escono fuori altri...
> > Mmmm... anche per n=3 e n=4 escon fuori triangoli pitagorici interi.
> > E' un caso?
>
> > Ciao
> > Livio
>

> Non per nulla casuale: 2x/(1-x^2) = 2n/(n^2-1) e (1-n^2),2n sono

> sempre cateti di un triangolo pitagorico: (n^2-1)^2 + (2n)^2 =
> (n^2+1)^2
> di lati, (2n,n^2-1,n^2+1).

Gia', e per n dispari, si puo' dividere tutto per 2 (!)
Ciao e grazie
Livio