Soluzione matematica a piccolo quiz
Janbak
che riporto di seguito?
Grazie mille
Un tavolo rotondo può ospitare 6 persone. 3 uomini e 3 donne si
siedono attorno al tavolo.
Quanti modi diversi ci sono per organizzare il tavolo in modo tale che
una donna sia sempre seduta tra due uomini?
1. 6
2. 12
3. 36
4. 72
superpollo
> Qualcuno sa dirmi qual'� la soluzione matematica corretta per il quiz
> che riporto di seguito?
>
> Grazie mille
>
> siedono attorno al tavolo.
> Quanti modi diversi ci sono per organizzare il tavolo in modo tale che
> una donna sia sempre seduta tra due uomini?
>
> 1. 6
> 2. 12
> 3. 36
> 4. 72
cosi' a occhio direi 3!*3! = 36
bye
--
i*1=1
per qualsiasi i.
Non potete cavarvela dicendo che abbiamo vinto per
sfinimento. Abbiamo vinto per logica oggettiva.
Giorgio Bibbiani
> Un tavolo rotondo pu� ospitare 6 persone. 3 uomini e 3 donne si
> siedono attorno al tavolo.
> Quanti modi diversi ci sono per organizzare il tavolo in modo tale che
> una donna sia sempre seduta tra due uomini?
> 1. 6
> 2. 12
> 3. 36
> 4. 72
Intendo che il tavolo sia organizzato a meno di rotazioni.
Una data donna potra' avere alla sua destra uno dei 3 uomini,
alla cui destra si trovera' una delle 2 donne rimanenti,
alla cui destra si trovera' uno dei 2 uomini rimanenti,
e rimarranno 1 donna e 1 uomo in posizioni obbligate.
Le combinazioni possibili sono in numero 3 * 2 * 2 = 12.
Considerando anche le rotazioni le combinazioni diventano
12 * 6 = 72.
Se invece basta sapere quali siano i vicini di ogni
persona allora le combinazioni possibili sono 6.
Ciao
--
Giorgio Bibbiani
superpollo
in effetti la domanda e' mal posta (come spesso accade nei quiz) e si
presta a interpretazioni multiple.
nella risposta che ho dato di getto, ho supposto per esempio che i posti
siano distinguibili, e quindi siano distinguibili disposizioni "simili"
ma "ruotate", non so se intendo...
Janbak
<giorgio_bibbianiTO...@virgilio.it.invalid> wrote:
> Janbak ha scritto:
>
Grazie ...
... pero non mi e chiara la tua risposta, che tra l'altro e diversa da
quella precedente :(
Io interpreto così: ci sono 6 posti a sedere in cui si devono disporre
alternati 3 uomini e 3 donne, quante sono le possibili disposizioni?
Non capisco cosa intendi per rotazioni :(
Giorgio Bibbiani
> in effetti la domanda e' mal posta (come spesso accade nei quiz) e si
> presta a interpretazioni multiple.
OK.
> nella risposta che ho dato di getto, ho supposto per esempio che i
> posti siano distinguibili, e quindi siano distinguibili disposizioni
> "simili" ma "ruotate", non so se intendo...
Se numero i posti da 1 a 6 ho:
al posto 1 si possono assegnare: 6 persone, al posto 2:
3 persone, al posto 3: 2 persone, al posto 4: 2 persone,
le persone negli ultimi due posti sono obbligate,
6 * 3 * 2 * 2 = 72.
Ciao
--
Giorgio Bibbiani
Giorgio Bibbiani
> ... pero non mi e chiara la tua risposta, che tra l'altro e diversa da
> quella precedente :(
A me non e' chiaro cosa significhi "organizzare" un tavolo... ;-)
> Io interpreto cos�: ci sono 6 posti a sedere in cui si devono disporre
> alternati 3 uomini e 3 donne, quante sono le possibili disposizioni?
Se i posti sono distinti allora 72.
Ciao
--
Giorgio Bibbiani
superpollo
vediamo dove ho sbagliato...
le donne e gli uomini si devono alternare. posso distribuire le donne in
3! modi (se le metto nei posti dispari) e altrettanto gli uomini (posti
pari), quindi 3!*3!=36 ... ma poi devo considerare anche le disposizioni
a parita' invertita! ecco l'errore! quindi altre 36, e ci siamo.
Janbak
Grazie mille
Ma mi sembra di capire che se la risposta fosse 72 non sarebbe
soddisfatta la condizione che richiede l'alternanza uomo donna :(
Giorgio Bibbiani
>> Se numero i posti da 1 a 6 ho:
>> al posto 1 si possono assegnare: 6 persone, al posto 2:
>> 3 persone, al posto 3: 2 persone, al posto 4: 2 persone,
>> le persone negli ultimi due posti sono obbligate,
>> 6 * 3 * 2 * 2 = 72.
> soddisfatta la condizione che richiede l'alternanza uomo donna :(
Non e' cosi', numero in sequenza i posti da 1 a 6 (il posto
6 risulta adiacente al posto 1).
- posto 1: posso assegnare una qualsiasi delle 6 persone,
cioe' ho 6 possibili scelte
- posto 2: se al posto 1 ho assegnato una donna devo
assegnare un uomo, se al posto 1 ho assegnato un uomo devo
assegnare una donna, in ogni caso ci sono 3 scelte possibili
- posto 3: se al posto 1 ho assegnato una donna devo assegnare
una donna, se al posto 1 ho assegnato un uomo devo assegnare
un uomo, ci sono 2 scelte possibili
- posto 4; se al posto 1 ho assegnato una donna devo assegnare
un uomo, se al posto 1 ho assegnato un uomo devo assegnare
una donna, in ogni caso ci sono 2 scelte possibili
- posto 5: se al posto 1 ho assegnato una donna devo assegnare
una donna, se al posto 1 ho assegnato un uomo devo assegnare
un uomo, non ci sono scelte.
- posto 6: se al posto 1 ho assegnato una donna devo assegnare
un uomo, se al posto 1 ho assegnato un uomo devo assegnare
una donna, non ci sono scelte.
Il numero di combinazioni possibili e': 6 * 3 * 2 * 2 = 72.
Ciao
--
Giorgio Bibbiani
Janbak
<giorgio_bibbianiTO...@virgilio.it.invalid> wrote:
Grazie mille Giorgio ;)
Tetis
> Qualcuno sa dirmi qual'ￜ la soluzione matematica corretta per il quiz
> che riporto di seguito?
>
> Grazie mille
>
> siedono attorno al tavolo.
> Quanti modi diversi ci sono per organizzare il tavolo in modo tale che
> una donna sia sempre seduta tra due uomini?
>
> 1. 6
> 2. 12
> 3. 36
> 4. 72
Se lo interpreto letteralmente nessuna delle 4 ci sono 504 modi perchￜ
almeno una donna stia seduta fra due uomini infatti i soli casi in cui
nessuna donna sia seduta fra due uomini sono quelli in cui stanno tre
donne da una parte e tre donne dall'altra. L'ordine interno dei gruppi
puￜ essere modificato in 3! x 3! modi e moltiplicando per 6 che sono i
modi in cui scegliere la prima sedia su cui siede una donna alla destra
di un uomo, trovo 6^3 =216 configurazioni. Se invece si intende che
ogni donna sia seduta fra due uomini (e quindi anche il viceversa) ci
sono 72 configurazioni distinte. Si possono infatti scegliere, dopo
avere numerato le sedie da 1 a 6 due opzioni: sulla sedia 1 sta una
donna e poi alternati, oppure sulla sedia 1 sta un uomo e poi
alternati. Rimangono in questo modo 3! x 3! x 2 opzioni. Se comunque si
ritiene che una traslazione intorno al tavolo non costituisca una
configurazione distinta le opzioni non equivalenti si riducono da 72 a
12 (72/6=12)
Dalet
>Janbak ha scritto:
>>Un tavolo rotondo può ospitare 6 persone. 3 uomini e 3 donne si
>>siedono attorno al tavolo.
>>Quanti modi diversi ci sono per organizzare il tavolo in modo tale che
>>una donna sia sempre seduta tra due uomini?
>>1. 6
>>2. 12
>>3. 36
>>4. 72
>Intendo che il tavolo sia organizzato a meno di rotazioni.
Secondo me e' il contrario esatto: con questa storia della
tavola rotonda parla di permutazioni circolari.
[.......]
>Le combinazioni possibili sono in numero 3 * 2 * 2 = 12.
>Considerando anche le rotazioni le combinazioni diventano
>12 * 6 = 72.
>Se invece basta sapere quali siano i vicini di ogni
>persona allora le combinazioni possibili sono 6.
Secondo me l'unica risposta e' 72, perche' fisso una donna,
permuto 3 maschi da accoppiare alle 2 restanti femmine e
ottengo 3!*2!=12 permutazioni principali.
Da ognuna di queste ho 6 permutazioni circolari, per un
totale quindi di 72 permutazioni distinte, cioe' 72 modi
distinti di disporre le persone a tavola.
Insomma, per farla breve, la risposta 12 dovrebbe in senso
stretto riguardare, in matematica, la domanda: quante sono
le permutazioni circolari principali?
--
Saluti, Dalet
Gengis Gatt
>
>> Ciao
>
> in effetti la domanda e' mal posta (come spesso accade nei quiz) e si
> presta a interpretazioni multiple.
La domanda e' chiarissima: se tu sei accanto a Cesira e Ludimilla non te
ne importa nulla se sei vicino alla posta o alla finestra...
Se pensi che ci sia esclusivamente il tavolo circolare e basta il
discorso delle rotazioni cade...
AndreaM
Questo è uno di quei tipici problemi che si risolve applicando la
formula di Burnside per il calcolo del numero delle orbite dell'azione
di un gruppo finito su un insieme finito.
Per renderlo più interessante (!) supponiamo che il tavolo abbia 2n
posti e che bisogna accomodare n uomini ed n donne in modo alternato.
Sia X l'insieme di tutte le possibili "configurazioni", ovvero dei
modi di far sedere le persone a tavola rispettando la regola
dell'alternanza.L'insieme X può essere visto come l'insieme delle
funzioni biettive da {1,2,...,2n} all'insieme M U D, M gli uomini, D
le donne, che soddisfino l'ovvia proprietà che traduce, in questo
lingiaggio, l'alternaza uomo-donna. L'insieme X conta 2(n!)^2
elementi.
Dopodiché bisogna decidere cosa vuol dire che due configurazioni sono
equivalenti. Si può intendere che due configurazioni sono la stessa
quando ogni commensale ha sempre lo stesso vicino a destra e lo stesso
vicino a sinistra, oppure se la coppia di vicini è la stessa (senza
richiesta di specificare destra e sinistra). Il primo caso corrisponde
a far agire su X il gruppo C(2n) delle rotazioni multiple di 180/n
gradi. Il secondo corrisponde a far agire il gruppo
D(2n) dellle simmetrie del (2n)-gono regolare, che include, oltre alle
rotazioni altre 2n simmetrie assiali.
Fatto questo, si applica la formula di Burnside.
Credo di aver dato questo problema, nel caso n=5, un paio di volte
negli ultimi anni allo scritto del corso di Algebra 2 (un corso
introduttivo alla teoria dei gruppi).
Janbak
Grazie mille! Ma ...
... dal basso della mia ignoranza, non mi è chiaro cosa sia, come
funzioni e come si applichi la formula di Burnside e soprattutto
qual'è la soluzione secondo te ;)
Janbak
Grazie mille ;)
Però non mi è chiarissimo, dal basso della mia ignoranza, quale sia
secondo te la soluzione e sopratutto come si applichi praticamente la
formula di Burnside a questo caso pratico :(