Geometria sintetica-algebrica
Poincarè
sono un'autodidatta in matematica, volevo rispondere ad una discussione
fatta da Arcobaleno su "Geometria: fondamenti" però pare ci siano dei
problemi e quindi inizio (rispondendo) un nuovo dialogo.
Ho letto quanto ha scritto Arcobaleno e in particolare:
"Ho notato che all'università fino agli anni Settanta si studiava la
geometria analitica e proiettiva, mentre oggi si studia la geometria
basata sui vettori e quindi sull'algebra lineare. E onestamente non ho
capito il perché si sia abbandonata quella impostazione(che esisteva
negli anni Settanta: basti vedere le edizioni dei vari libri che si
possono reperire in biblioteca, in genere tutti intitolati "Geometria
analitica e proiettiva") per usarne una che onestamente faccio molta
fatica a comprendere.
Cioè non comprendo il nesso tra l'Algebra lineare che è algebra dei
vettori, e la fondazione della geometria su questo.
Per chi volesse darmi qualche chiarimento, aggiungo che uno dei testi a
riguardo (E. Sernesi, Geometria, 2 voll) nell'introduzione dice
chiaramente che la geometria che andrà a trattare verrà fondata sui
vettori.
Ovviamente il mio problema non è il non aver capito l'algebra lineare,
i vettori, le matrici, i determinanti e quanto altro, ma mi sfugge
proprio il nesso di questa geometria così fondata con il programma di
Klein.
Grazie a quanti vorranno darmi qualche utile chiarimento a riguardo,
magari indicandomi qualche libro.
Saluti a tutti
Arcobaleno"
e in altre discussioni approfondisci il tuo pensiero, non ho letto
tutto.
Il tuo problema mi ha incuriosito molto perché mi son sempre chiesto
che continuità/legame ci fosse tra quanto si studia, in geo., alle
superiori e rispetto all'università.
Qualche anno fa studiando sul Sernesi il cap. sulla geo. proiettiva non
ho capito granché, sarà anche perché studiando da solo si fa molta
più fatica. Poi la curiosità e l'esigenza di comprendere meglio la
geometria mi hanno portato per altre strade:
- ripreso i testi utilizzati al liceo, alcuni testi sperimentali per la
didattica tra '75 e '80 e in particolare "Il metodo matematico" 3 voll.
di LombardoRadice e Mancini Proia (l'assiomatica è quella di Choquet e
spiega il programma di Erlangen), "Matematica come scoperta" di Prodi,
- testo di Agazzi-Palladino "Le geo. non euclidee",
- testo di Gino Fano "Geo. non euclidea" e l'articolo su matematiche
elementari ed. Hoepli,
- testi di Enriques e Severi su geo. proiettiva (solo alcune parti).
Ora vorrei continuare con Comessatti 2 voll. (opera incompleta
purtroppo non ha ultimato il suo lavoro) o altri ex. Castelnuovo (a
proposito che differenze ci sono con il Comessatti? non ho ancora visto
nulla) per capire meglio la geo. proiettiva anche per via analitica, di
modo da comprendere meglio l'aspetto metrico-proiettivo delle geo. non
euclidee (spiegate sul testo di Fano) e il programma di Klein.
Tornando alla tua esigenza, legittima, di comprendere meglio, sei
riuscito a trovare qualche testo o altre info?
Anch'io mi sono messo in moto per trovare qualcosa perchè l'argomento
interessa anche me.
Per il momento ho trovato:
- sul testo di Gherardelli, Rosati e Tomassini "Lez. di geo." nella
prefazione del '77 dicono:
"Nel corso di <<geo. 1>> si è inserita, ormai quasi ovunque in Italia,
la teoria dei sistemi lineari, che una volta veniva svolta nei corsi di
analisi.
Ciò ha reso neccessaria una revisione dei programmi di un corso che
era consacrato da una lunga tradizione.
In particolare si è dovuto introdurre un capitolo sugli spazi
vettoriali.....
L'algebra lineare viene utilizzata non soltanto per trattare i sistemi
lineari ma anche per sviluppare rapidamente una teoria generale degli
sp. proiettivi.
Il modo di introdurre la geo. proiettiva non è usuale nei libri di
testo...."
- su <http://www.math.uni-bielefeld.de/~rehmann/DML/dml_links.html> ci
sono diverse monografie del passato fine '800 inizio '900, può darsi
che sul Bertini o Veronese ci sia qualcosa.
Per novità in merito non esitate.
Un saluto
Poincarè
Arcobaleno
> Tornando alla tua esigenza, legittima, di comprendere meglio, sei
> riuscito a trovare qualche testo o altre info?
> Anch'io mi sono messo in moto per trovare qualcosa perchè l'argomento
> interessa anche me.
>
<< L'esigenza realistica di intendere la matematica come descrizione
del mondo in cui viviamo è ben esemplificata dalle misure effettuate
da Gauss per stabilire quale delle possibili geometrie fosse quella
vera. Klein nella sua celebre prolusione rende esplicita una nuova
concezione della geometria, che influenzerà profondamente i contenuti
e gli sviluppi di questa scienza e di tutta la matematica.
In Klein le preoccupazioni realistiche di fissare un ambiente in cui si
possa dare una geometria, convive con l'intuizione nuova che sposta
l'indagine dagli oggetti in sé alle relazioni tra di essi. L'oggetto
fondamentale della geometria diviene lo spazio proiettivo, dentro il
quale una scelta del gruppo di trasformazioni che definisce la
congruenza tra gli enti geometrici permette di ritrovare le diverse
geometrie di Euclide, Lobacewskij, Riemann.
Questa impostazione mette esplicitamente al centro il concetto di
gruppo di trasformazioni. La rivoluzione di Hermann Weyl intorno alla
metà del XX secolo, porterà queste intuizioni alle loro estreme
conseguenze, scegliendo come punto di partenza il concetto di gruppo e
creando lo spazio attraverso le sue rappresentazioni.>>
Tratto dalla prefazione di Mauro Nacinovich, Elementi di geometria
analitica, Liguori,1996.
E' Weyl l'innovatore su cui va concentrata l'attenzione.
Il testo di Nacinovich non va bene per chi lascia il liceo e attacca
l'università.
E' molto più difficile di quello di Sernesi.
Non è tanto il vettore ad essere un buon fondamento per la geometria,
ma quanto l'algebra lineare stessa, che praticamente amplia la stessa
geometria cartesiana.
Pensa, che Grassmann non era compreso dai suoi contemporanei(parliamo
di Hamilton per es.).
Quindi l'algebra lineare di Grassmann viene ampliata e si applica alla
geometria analitica fino ad ampliare questa, e quindi abbiamo una
geometria cartesiana più ampia e potente.
La stessa geometria differenziale si studia partendo proprio dai
vettori(il vettore posizione) che fa intuire bene quali sono i problemi
che si pongono.
A questo punto una geometria che da sintetica vuole diventare
"analitica", deve usare un metodo, e il metodo più naturale è
proprio l'algebra lineare, con i suoi vettori,matrici, determinanti ecc
ecc.
Infatti, le mie riflessioni scritte su questo ng, sono andate oltre.
Avevo cmq capito che il problema non era del tipo: come mai si fonda la
geometria sui vettori?
Il problema era: come mai si è deciso di usare l'algebra lineare per
basarvi la geometria invece che la geometria cartesiana?
Questo lo capii dopo una settimana e lo scrissi anche su questo ng.
La geometria cartesiana viene quindi ampliata in modo "naturale".
E per trattare una geometria che nasce come sintetica con metodo
analitico, ecco che si usa l'algebra lineare al posto della
"scolastica" geometria cartesiana.
Tutto questo per portare avanti proprio il programma di Klein.
Weyl, come detto, va oltre, e tira in ballo il concetto di gruppo e
parte da questo, come ci dice Nacinovich.
Testi come Abate per es. o altri che vengono indicati all'università,
non partono dal concetto di gruppo. Sernesi invece parte dal vettore ma
poi si "allarga" al concetto di gruppo.
Nacinovich per es. parte direttamente dal concetto di gruppo.
Quindi, io ho risolto il problema precedente e mi sono dedicato ad
altro. Nelle prossime settimane mi dedicherò(se riuscirò) a capire
come mai(nei dettagli) Weyl ha insistito sul concetto di gruppo.
Ma credo che sia intuibile, perché in realtà già il programma di
Erlangen parla di gruppi di trasformazioni.
Quindi, il problema di mesi fa, l'ho risolto e ho esposto a grandi
linee i passaggi, ora vedrò di capire nei dettagli perché Weyl ha
rivoluzionato tutto come dice Nacinovich.
Per quanto riguarda i libri, mi sembra che tu ti sia dato molto da fare
per ricostruire tutta la faccenda. Le cose dal punto di vista storico
sono state sicuramente più complesse, più articolate, ma io non avevo
alcuna intenzione di fare una ricerca storica o cose del genere.
Quindi con gli "strumenti" dell'algebra lineare si studiano le
quadriche per es.
Poi però si potrebbe passare al terzo grado, e poi ai gradi
successivi, e quindi si fa geometria algebrica.
Se poi si attacca lo studio degli spazi vettoriali di dimensione
infinita si arriva all'analisi funzionale.
Uno studio più approfondito delle matrici permette di comprendere come
si arrivi alla teoria dei gruppi e alle algebre di Lie.
Questo per dire come mai l'algebra lineare viene proposta da subito. E'
uno strumento molto potente che serve per tantissima matematica.
IMHO la giusta attenzione a questo strumento, fa perdere di vista
passaggi interessanti che vengono dati per scontati in molti libri, al
punto che la geometria proiettiva sembra un risultato dell'algebra
lineare e non qualcosa che già esisteva secoli fa:))
Per la geometria proiettiva ho visto che un'ottima introduzione è data
dal Courant Robbins, Cos'è la matematica.
Mentre per comprendere la geometria proiettiva analitica, bisogna
imparare prima l'algebra lineare, infatti mi sembra che gli stessi
libri di Castelnuovo e Chisini e altri la trattino analiticamente,
mentre Enriques ne da una trattazione sintetica, che la si può
ritrovare in parte in Geometria intuitiva di Hilbert e nello stesso
Courant.
Per le geometrie non euclidee hai già dato indicazioni ottime e lo
stesso per il programma di Erlangen.
Proverò a consultare alcuni dei libri che hai indicato e che non ho
ancora visto.
Così riprenderemo il discorso in modo più approfondito.
Tu invece a che conclusioni sei giunto?
Magari potresti integrare( o correggere) quello che ho detto io.
Ciao e grazie:)
A.
Poincarè
> Tratto dalla prefazione di Mauro Nacinovich, Elementi di geometria
> analitica, Liguori,1996.
>
> E' Weyl l'innovatore su cui va concentrata l'attenzione.
>
> Il testo di Nacinovich non va bene per chi lascia il liceo e attacca
> l'università.
> E' molto più difficile di quello di Sernesi.
>
>
> Weyl, come detto, va oltre, e tira in ballo il concetto di gruppo e
> parte da questo, come ci dice Nacinovich.
>
> Testi come Abate per es. o altri che vengono indicati all'università,
> non partono dal concetto di gruppo. Sernesi invece parte dal vettore ma
> poi si "allarga" al concetto di gruppo.
>
> Nacinovich per es. parte direttamente dal concetto di gruppo.
>
Trattando la geometria attraverso i gruppi da cosa parte, proiettiva,
euclidea, affine oppure il viceversa come il Sernesi? Altra
impostazione?
Le curve algebriche piane, ne fa una semplice classificazione o le
tratta in modo più approfondito?
Il Programma di Klein ne parla in modo esauriente o no?
Mi spiego meglio, le geometrie non euclidee il Sernesi le tratta in un
paragrafo del 2° vol. in modo fugace, cito dalla prefazione:
"... qualche spazio è dedicato alla geo. Iperbolica. Questa mi ha
dato lo spunto per discutere brevemente l'assiomatica euclidea
secondo Hilbert, un argomento culturalmente importante che non aveva
trovato posto nel 1° vol."
Penso, ovviamente è solo la mia opinione, che in realtà non riusciva
a trovare una giusta collocazione per come viene trattata la geometria.
L'alternativa era metterla in appendice in qualche capitolo come poi
ha fatto nel 2° vol.
> Nelle prossime settimane mi dedicherò(se riuscirò) a capire
> come mai(nei dettagli) Weyl ha insistito sul concetto di gruppo.
> Ma credo che sia intuibile, perché in realtà già il programma di
> Erlangen parla di gruppi di trasformazioni.
>
> Quindi, il problema di mesi fa, l'ho risolto e ho esposto a grandi
> linee i passaggi, ora vedrò di capire nei dettagli perché Weyl ha
> rivoluzionato tutto come dice Nacinovich.
Tutto questo è incluso nel testo del ex prof. di Pisa o è in altre
fonti?
Secondo te è un buono acquisto?
Conosco abbastanza l'algebra ho lavorato qualche anno fa su Herstein
e note di R. Schoof e B. van Geemen, disponibili in forma elettronica
all'indirizzo: http://mate.unipv.it/cornalba/notealgebra.pdf
> Mentre per comprendere la geometria proiettiva analitica, bisogna
> imparare prima l'algebra lineare, infatti mi sembra che gli stessi
> libri di Castelnuovo e Chisini e altri la trattino analiticamente,
Sapresti dirmi se ci sono grosse differenze tra il testo di Castelnuovo
rispetto al Comessatti?
Nella versione "moderna" è vero che conviene iniziare con
l'algebra lineare (spazi vettoriali) per arrivare spediti in altri
settori delle matematiche. Mentre nei testi del passato (Comessatti,
Bianchi) si faceva geometria analitica con una visione da subito
proiettiva.
Infatti già nel 1° capitolo si parla di forma di prima specie,
Comessatti introduce presto anche i vettori nel 2° cap. inquadrandoli
nelle forme di seconda specie. Nell'introduzione al 1° cap. dopo una
brevissima descrizione storica conclude:
"Lo studio delle proprietà proiettive delle figure, oggetto di
questa disciplina, può presentarsi sotto veste sintetica di classica
purezza, ma non per questo si sottrae all'universale dominio
dell'interpretazione analitica, che vi apporta agilità di metodi e
novità di significati..."
P.S. Leggendo qua e là si parlava di testi di analisi, nella tua
esperienza quali sono fatti bene?
Ho il Gilardi 3 voll. anche se a volte mi sembra un po' prolisso non
mi sembra fatto male e non so se ha fatto bene a non parlare di
integrale di Lebesgue nel 2° volume a differenza del Giusti che
comunque non mi piace il primo volume.
Ho una discreta biblioteca costruita negli anni tra testi e dispense.
Leggo anche la storia della matematica per chiarirmi meglio alcuni
percorsi della nostra scienza, non trovo un buon testo sulla storia
della matematica del nostro secolo e in particolare dalla metà del
'900 ad oggi.
Oddifreddi ne fa una descrizione attraverso premiazioni (medaglia
fields e wolf), francamente mi chiedo perché ha scritto un testo del
genere. Si occupa di logica e forse di divulgazione sarà quella la
ragione che per cui ha strutturato in quel modo il suo libro, ho
l'impressione che non abbia centrato il suo obbiettivo.
Ottimi Bottazzini, Boyer però purtroppo arrivano in modo esauriente
fino alla metà del '900, ho sentito parlare bene anche di Kline
anche lui non tratta tutto il '900.
Per caso sai indicarmi qualche testo in proposito? E perché no anche
cose molto vicine a noi tipo geometria non commutativa di Connes è
vero ha stretti legami con la fisica ma questo è da sempre.
Ciao e a presto
Un saluto
Poincarè
Tetis
scritto:
> Poincarè wrote:
> Quindi, io ho risolto il problema precedente e mi sono dedicato ad
> altro. Nelle prossime settimane mi dedicherò(se riuscirò) a capire
> come mai(nei dettagli) Weyl ha insistito sul concetto di gruppo.
> Ma credo che sia intuibile, perché in realtà già il programma di
> Erlangen parla di gruppi di trasformazioni.
E' vero, ma perche' il programma di Erlangen parla di gruppi
di trasformazione? Perche' la geometria analitica aveva messo
in primo piano lo studio delle proprieta' algebriche invarianti.
Gli italiani divennero i massimi esperti nell'applicazione dei
metodi algebrici allo studio delle curve e delle superfici in
spazi proiettivi. Dopo la guerra i lavori di Whithney, Milnor,
e la topologia algebrica fecero luce su un nuovo continente.
Cosi' andavo pensando finche' non mi imbattei nel libro di
Gilbert sulla termodinamica razionale. Qui non resisto al gioco
di parole: il punto di vista di Gilbert, e' che la teoria dei gruppi
sia una teoria dei punti di vista. Ovvero un codice di traduzione
fra differenti descrizioni. Ancora piu' a fondo, i gruppi sono una
sorta di metastruttura che presiede alla nozione stessa di
descrizione. Sono il livello piu' basilare? Cosi' pensavo finche'
non mi sono imbattuto nelle considerazioni di Cartier sulla
struttura dei morfismi e delle categorie. Va detto che a
diciassette anni cercai di imparare l'algebra lineare sul libro della
Open University. Piu' avanti scoprii, che la teoria delle categorie
originava dai lavori di Lavwere e Johnstone, ma nasceva nell'ambito
dell'analisi, dalla teoria degli invarianti topologici di indici e grado.
Nel frattempo ebbi modo di riflettere, in molteplici discussioni sulle
idee di Poincare' circa la relativita', che lo stacco decisivo fra la
teoria di Poincare' e la teoria di Einstein sta nella comparsa dei
gruppi continui di trasformazione differenziali. Poincare' non fu
mai tentato, a quanto sembra, dall'eventualita' di mettere a colloquio
Riemann e Klein. A questo sembravano piu' portati, ancora una volta
gli italiani, a cominciare dalla scuola napoletana, fin da meta' ottocento,
fino alla scuola veneta di Ricci Curbastro per giungere alla scuola pisana
di Bianchi. Da cosa viene questo slancio verso i metodi differenziali?
Perche' la scuola lombarda e piemontese rimase invece legata ai metodi
algebrici?
--------------------------------
Inviato via http://arianna.libero.it/usenet/
Arcobaleno
Poincarè wrote:
> > Nacinovich per es. parte direttamente dal concetto di gruppo.
> >
>
> Trattando la geometria attraverso i gruppi da cosa parte, proiettiva,
> euclidea, affine oppure il viceversa come il Sernesi? Altra
> impostazione?
>
Ti copio l'indice:
Cap 1. Gruppi, azioni, di gruppo
2. corpi, campi e matrici
3. spazi vettoriali
4.dualità
5. spazi affini
6. algebra multilineare: prodotto tensoriale
7. alcune proprietà del gruppo simmetrico
8. algebra esterna
9. anelli di polinomi
10. endomorfismi lineari
11. alcune proprietà del gruppo lineare
12. spazi proiettivi
13. la geometria proiettiva della retta
14. elementi di geometria proiettiva
15. forme bilineari e sesquilineari
16. prodotti scalari, norme, distanze
17. spazi ortogonali
18. spazi vettoriali euclidei
19 trasformazioni ortogonali negli spazi di Minkowski
20. trasformazioni unitarie
21. teoremi di estensione e cancellazione
22. spazi ortogonali con indice di Witt
23. spazi unitari con indice di Witt positivo
24. endomorfismi negli spazi ortogonali
25. endomorfismi negli spazi unitari
26.quadriche proiettive e polarità
27. quadriche affini
28. geometria delle coniche
29. geometria ellittica
30. geometria iperbolica
31. geometria euclidea.
Il Sernesi non l'ho a casa e non posso fare una comparazione precisa.
> Il Programma di Klein ne parla in modo esauriente o no?
>
Come Sernesi, lo svolge. Non ne parla se non nell'introduzione, ma non
spiega in dettaglio di cosa si tratta, come nasce ecc ecc. Cmq avvisa
il lettore che si rifà a Klein e Weyl e quindi mette in atto il tutto
direttamente.
Si nota anche dal fatto che la geometria euclidea è trattata per
ultima mentre quella affine e poi quella proiettiva per prime.
Come a voler "derivare" la geometria euclidea da quella affine e quindi
da quella proiettiva, e lo stesso per l'iperbolica e l'ellittica,
sempre derivate dalla proiettiva.
> Mi spiego meglio, le geometrie non euclidee il Sernesi le tratta in un
> paragrafo del 2° vol. in modo fugace, cito dalla prefazione:
>
Nacinovich invece per l'ellittica parte da pg 587 a pg 611, e la
iperbolica da pg 615 a 620.
Sernesi, non ricordo. Vedi tu e facci sapere se ti interessa.
> > Nelle prossime settimane mi dedicherò(se riuscirò) a capire
> > come mai(nei dettagli) Weyl ha insistito sul concetto di gruppo.
> > Ma credo che sia intuibile, perché in realtà già il programma di
> > Erlangen parla di gruppi di trasformazioni.
> >
> > Quindi, il problema di mesi fa, l'ho risolto e ho esposto a grandi
> > linee i passaggi, ora vedrò di capire nei dettagli perché Weyl ha
> > rivoluzionato tutto come dice Nacinovich.
>
> Tutto questo è incluso nel testo del ex prof. di Pisa o è in altre
> fonti?
>
Non ti seguo.
> Secondo te è un buono acquisto?
>
Io non l'ho acquistato, l'ho preso in prestito dalla biblioteca.
Per le matricole non va bene, o cmq ci vuole il professore che spiega
tantissimo, ma alla fine temo che il testo sia più un supporto per il
docente che non per l'allievo.
Sicuramente il libro è buono, come il Sernesi, ma non vanno bene per
le matricole.
Su questo ho detto tante volte la stessa cosa e spero di essere stato
chiaro anche in questo caso.
I libri sono buoni perché trattano bene la materia, ma sono pessimi se
li vuoi mettere in mano a una matricola.
Io posso anche prendere il Courant Robbins, ma se lo metto nelle mani
di uno che va alle scuole medie, allora non va bene. Solo che Courant
avvisa e dice che ci vuole una preparazione liceale, i libri di cui
parliamo invece si autoindicano per gli studenti del primo anno. E'
tutto un problema di case editrici, cioè li devono pur vendere a
qualcuno:))
> > Mentre per comprendere la geometria proiettiva analitica, bisogna
> > imparare prima l'algebra lineare, infatti mi sembra che gli stessi
> > libri di Castelnuovo e Chisini e altri la trattino analiticamente,
>
> Sapresti dirmi se ci sono grosse differenze tra il testo di Castelnuovo
> rispetto al Comessatti?
>
Purtroppo non conosco bene Comessatti, e Castelnuovo non l'ho certo
studiato.
Cmq Castelnuovo non è un libro facile.
> Nella versione "moderna" è vero che conviene iniziare con
> l'algebra lineare (spazi vettoriali) per arrivare spediti in altri
> settori delle matematiche. Mentre nei testi del passato (Comessatti,
> Bianchi) si faceva geometria analitica con una visione da subito
> proiettiva.
>
E' vero.
Però fanno un largo uso di matrici e determinanti, in quel senso
parlavo di algebra lineare.
Per capire bene questi libri ci vuole cmq una solida preparazione sui
sistemi lineari e sulla geometria analitica in genere.
Purtroppo manca la gradualità. E' per questo che a mio parere il
compito del docente diventa centrale e insostituibile.
> P.S. Leggendo qua e là si parlava di testi di analisi, nella tua
> esperienza quali sono fatti bene?
>
Personalmente, come ho detto tante volte, ho sempre integrato i libri
tra loro.
Per me non esiste il libro fatto bene, ma una serie di libri che
trattano bene un determinato argomento.
> Ho il Gilardi 3 voll. anche se a volte mi sembra un po' prolisso non
> mi sembra fatto male e non so se ha fatto bene a non parlare di
> integrale di Lebesgue nel 2° volume a differenza del Giusti che
> comunque non mi piace il primo volume.
>
Forse aveva bisogno di vendere il terzo volume:)
Mentre il Rudin ne parla nel volume unico.
> Ho una discreta biblioteca costruita negli anni tra testi e dispense.
> Leggo anche la storia della matematica per chiarirmi meglio alcuni
> percorsi della nostra scienza, non trovo un buon testo sulla storia
> della matematica del nostro secolo e in particolare dalla metà del
> '900 ad oggi.
> Ottimi Bottazzini, Boyer però purtroppo arrivano in modo esauriente
> fino alla metà del '900, ho sentito parlare bene anche di Kline
> anche lui non tratta tutto il '900.
>
> Per caso sai indicarmi qualche testo in proposito?
>
Bottazzini nell'ultima edizione (del 2003 se non sbaglio), da molta
bibliografia recente. Prova a guardare la nuova edizione.
Ti cito qualcosa, che non ho visto però.
Changing Images in Mathematics. From the French Revolution to the New
Millennium, a cura di Bottazzini e Dahan Dalmedico, London, 2001.
Development of Mathematics 1900-1950
Development of Mathematics 1950-2000 a cura di J Pier Birkhauser, Basel
1994-2000.
E perché no anche
> cose molto vicine a noi tipo geometria non commutativa di Connes è
> vero ha stretti legami con la fisica ma questo è da sempre.
>
Non ne so nulla:)
Facci sapere qualcosa anche tu. Ho la sensazione che tu abbia molto da
dire.
Per prima cosa dovresti dirci il tuo punto di vista sul tema che hai
voluto riprendere.
Cioè come mai la geometria è fondata, basata, sugli spazi vettoriali
o algebra lineare.
Sei andato molto fuori da questo topic che tu stesso dicevi di voler
riprendere.
Io ne ho parlato. Tu non hai nulla da dire a riguardo?
Arcobaleno
Arcobaleno wrote:
> > Quindi, io ho risolto il problema precedente e mi sono dedicato ad
> > altro. Nelle prossime settimane mi dedicherò(se riuscirò) a capire
> > come mai(nei dettagli) Weyl ha insistito sul concetto di gruppo.
> > Ma credo che sia intuibile, perché in realtà già il programma di
> > Erlangen parla di gruppi di trasformazioni.
Tetis replied:
> E' vero, ma perche' il programma di Erlangen parla di gruppi
> di trasformazione? Perche' la geometria analitica aveva messo
> in primo piano lo studio delle proprieta' algebriche invarianti.
>
Questo che dici lo trai da qualche libro di storia della matematica o
è una tua opinione?
Te lo chiedo, perché il problema a mio parere si risolve capendo Lie e
il suo rapporto con Klein. E' probabile che sia stato Lie a influenzare
Klein nel prendere questa strada, non è un caso che poi i problemi li
risolse Lie, mentre Klein aveva in mente di unificare la geometria
quanto più possibile. Klein(come altri) si rese conto che la geometria
proiettiva è "logicamente" anteriore a quella euclidea, cioè la
contiene come un caso particolare.
A mio parere è questo il punto centrale, e cioè capire in che senso
la geometria proiettiva è "logicamente" anteriore a quella euclidea.
E' per questo che la geometria proiettiva quindi diviene centrale e i
corsi di geometria erano sulla geometria analitica e proiettiva.
Tetis
scritto:
>
>
> Arcobaleno wrote:
> > > Quindi, io ho risolto il problema precedente e mi sono dedicato ad
> > > altro. Nelle prossime settimane mi dedicherò(se riuscirò) a capire
> > > come mai(nei dettagli) Weyl ha insistito sul concetto di gruppo.
> > > Ma credo che sia intuibile, perché in realtà già il programma di
> > > Erlangen parla di gruppi di trasformazioni.
>
>
> Tetis replied:
> > E' vero, ma perche' il programma di Erlangen parla di gruppi
> > di trasformazione? Perche' la geometria analitica aveva messo
> > in primo piano lo studio delle proprieta' algebriche invarianti.
> >
>
> Questo che dici lo trai da qualche libro di storia della matematica o
> è una tua opinione?
Sempre Umberto Bottazzini potrebbe accennare qualcosa sul
tema, personalmente e' l'opinione che mi sono formato considerando
l'importanza che ha avuto nella scuola tedesca lo studio degli invarianti,
algebrici e geometrici Hilbert, Noether, Schur, l'approdo e la forma che
presero dopo Erlangen e' certamente improntata da questo. Ma il problema
era anteriore alla generalizzazione di Erlangen delle geometrie e non si
comprende senza fare riferimento alla matematica italiana e francese.
> Te lo chiedo, perché il problema a mio parere si risolve capendo Lie e
> il suo rapporto con Klein. E' probabile che sia stato Lie a influenzare
> Klein nel prendere questa strada, non è un caso che poi i problemi li
> risolse Lie, mentre Klein aveva in mente di unificare la geometria
> quanto più possibile.
La matematica scandinava ha conservato in quasi tutta la sua storia
una vocazione analitica. In questo solco si inserisce naturalmente
l'impostazione e l'edificio immenso che Sophus Lie ha edificato.
Ma Sophus Lie rappresenta una voce staccata che apri' al novecento
la via per la costruzione di un edificio ancora piu' vasto. Ma in questo
ambito il ruolo di Riemann non e' inferiore, e' vero che Lie aveva
costruito uno strumento talmente potente da potersi applicare anche
alla geometria differenziale, ma la consapevolezza che la geometria
vera dello spazio avrebbe potuto essere formulata a prescindere
dalla considerazione a priori di gruppi di invarianza globali fu
indagata da Gauss e Riemann. Gauss era giunto ad una percezione
della possibilita' di individuare invarianze locali dalla teoria delle
funzioni
olomorfe e lo stesso percorso aveva seguito Riemann.
> Klein(come altri) si rese conto che la geometria
> proiettiva è "logicamente" anteriore a quella euclidea, cioè la
> contiene come un caso particolare.
Il punto e' che l'estensione proiettiva rimase come un corpo staccato
rispetto alla geometria differenziale, in modo che prima di giungere
ad una formulazione intrinseca di geometria differenziale capace
di superare l'approccio metrico e fondere insieme il punto di vista
proiettivo e quello differenziale si dovette giungere a Cartan, prima
poi di integrare nello stesso ambiente gli strumenti di Lie in un
linguaggio geometrico differenziale che supera la descrizione dello
spazio in termini di coordinate e punti si deve giungere a Connes,
ma l'urgenza di questo approccio si viene a sentire in ragione della
fisica e della scoperta che la descrizione puo' diventare strumento
predittivo per nuove strutture. La nozione di varieta' ha infatti subito
negli ultimi quarant'anni, sotto l'influenza di Withney, Milnor,
Groethendieck, Cartan, una trasformazione profondissima che l'ha
sempre piu' riportata a contatto con i problemi fondamentali non solo
dell'analisi, ma della teorie degli insiemi e della logica.
La geometria euclidea e' rimasta per secoli uno strumento di guida
per l'esplorazione dello spazio, ma dopo lo slancio dell'assiomatizzazione
di Euclide e' rimasta ipostatizzata vincolando cosi' ai propri teoremi anche
la percezione stessa dello spazio. La geometria di oggi e' uno strumento
che non si occupa piu' soltanto della descrizione sulla base
dell'oggettivita',
ma persino delle regole di costruzione della sua propria struttura.
> A mio parere è questo il punto centrale, e cioè capire in che senso
> la geometria proiettiva è "logicamente" anteriore a quella euclidea.
Per me personalmente e' un punto anche capire _se_ e'
logicamente anteriore. Nel senso che entro il paradigma
descrittivo della geometria euclidea mi e' chiaro che la
geometria proiettiva richiede un sotto-insieme delle nozioni
euclidee. In particolare il fatto che la nozione di incidenza
sia estramemente primitiva e' opinabile, nella stessa misura
in cui e' opinabile l'idea che la nozione di unita' e di oggetto
siano primitive. E nel quadro di Erlangen mi e' chiaro che il suo
gruppo di trasformazione e' piu' ampio dei gruppi metrici
di Riemann, Klein, Poincare', Lobacevsky. Che anzi possono
essere utilmente "compattificati" in strutture proiettive. Leggere
geometria intuitiva di Hilbert e' un'esperienza che cambia
il modo di vedere la geometria proprio rispetto a questo punto.
Ma e' anche vero che Hilbert ha un potere di suggestione che
deriva dal proprio entusiasmo entro un quadro storico e matematico
che nel frattempo e' cambiato moltissimo. Non vorrei apparire come
un fan del decostruzionismo, ma il mio punto di vista, molto personale
certo, e' che gran parte dei termini logici che ci guidano nella esperienza
del mondo siano tutt'altro che primitivi, ma che siano, al contrario tanto
piu' complessi ed astratti, fin dalla loro genesi, quanto piu' ci appaiono
semplici.
> E' per questo che la geometria proiettiva quindi diviene centrale e i
> corsi di geometria erano sulla geometria analitica e proiettiva.
Be, non vorrei deluderti, ma c'era anche un risvolto applicativo
importantissimo, come hai messo in evidenza qualche tempo
fa nella geometria proiettiva. Io stesso ho studiato disegno
su un testo per geometri che era basato centralmente sulla
impostazione proiettiva. E partiva dall'assiomatica del punto
all'infinito... semplicemente portentosa quando si tratta di
andare a costruire una prospettiva. Prima dell'avvento di
autocad una solida base in un corso di ingegneria non
poteva prescindere dalla geometria proiettiva. E chi la
poteva insegnare se non i matematici ed i fisici, e come
potevano loro non risentire della ricchezza di problematiche
che si associavano a latere di questo insegnamento? Certo
che aveva poi vita propria per motivi speculativi, ma il vincolo
strutturale non e' mai da sottovalutare nella comprensione dei
fenomeni culturali. Qualcosa di analogo si ha oggi nello studio
degli strumenti simplettici. La geometrizzazione della dinamica ha
un risvolto applicativo importantissimo in robotica, ed in ingegneria
da quando si dispone degli strumenti tecnologici per guidare
i movimenti automatici in tempo reale. Allora assistiamo oggi ad
una rivalutazione di un punto di vista geometrico che era
stato semplicemente lasciato in soffitta.
> Ciao e grazie:)
> A.
>
Arcobaleno
Tetis wrote:
La nozione di varieta' ha infatti subito
> negli ultimi quarant'anni, sotto l'influenza di Withney, Milnor,
> Groethendieck, Cartan, una trasformazione profondissima che l'ha
> sempre piu' riportata a contatto con i problemi fondamentali non solo
> dell'analisi, ma della teorie degli insiemi e della logica.
> La geometria euclidea e' rimasta per secoli uno strumento di guida
> per l'esplorazione dello spazio, ma dopo lo slancio dell'assiomatizzazione
> di Euclide e' rimasta ipostatizzata vincolando cosi' ai propri teoremi anche
> la percezione stessa dello spazio. La geometria di oggi e' uno strumento
> che non si occupa piu' soltanto della descrizione sulla base
> dell'oggettivita',
> ma persino delle regole di costruzione della sua propria struttura.
>
Noto che anche tu in quest'ultima frase in qualche modo(magari
inconsapevole) ti rifai a quello che diceva Nacinovich sul legame tra
la rivoluzione di Weyl e la fenomenologia husserliana.
Si esce da un quadro prettamente oggettivo per far entrare il soggetto
in modo forte nell'impresa.
Un soggetto che non si limita solo ad "osservare" il "reale" per poi
interpretarlo, ma un soggetto che crea le stesse regole, cioè crea
egli stesso "il reale" da osservare.
Ho visto che anche altri autori insistono su questo aspetto e fanno
questo collegamento tra Kant e Euclide da una parte(collegamento ovvio)
e tutta la matematica e fisica seguente con la MQ e la RG in
particolare messe a parallelo con la fenomenologia. Fino poi ad
arrivare all'allievo di Husserl, e cioè Heidegger.
Ma questo non so fino a che punto è tema trattabile su questo forum,
dove la filosofia della matematica non credo sia vista in modo
benevolo:)
> > A mio parere è questo il punto centrale, e cioè capire in che senso
> > la geometria proiettiva è "logicamente" anteriore a quella euclidea.
>
> Per me personalmente e' un punto anche capire _se_ e'
> logicamente anteriore.
>
>
Questa come saprai non è una novità. Mi sembra che già Cayley e non
solo lui avessero dubbi a riguardo, e pensavano a un discorso
circolare.
Io tuttavia ho capito in che senso per Klein era logicamente anteriore
e lo era in modo "debole", e cioè per un mero fatto "matematico" e non
certo per la nostra intuizione dello spazio.
La nostra intuizione dello spazio resta euclidea ed è inutile
insistere su questo punto che diventa dominio di indagini di psicologia
della percezione.
Ma Klein non era interessato a questo aspetto. A lui interessava molto
più banalmente mettere ordine tra le varie geometrie e creare una
gerarchia.
Anche se l'idea dei gruppi di trasformazioni non era sua originale,
poco importa, Il suo obiettivo era semplicemente quello di mettere
ordine, e cioè di riportare a unità una la geometria, che con le non
euclidee rischiava di perdere i suoi connotati.
Ho letto alcuni suoi brevi scritti, e si nota proprio questo suo
banale interesse.
Lui parla delle "cosiddette" geometrie non euclidee. E il fatto che le
derivi dalla geometria proiettiva sta a significare a mio parere il
rimettere al centro la stessa "intuizione" euclidea dello spazio.
Ho la sensazione che sia stato un innovatore contro voglia, un po' come
Max Planck, tanto per intenderci.
Se quindi le geometrie non euclidee si possono derivare dalla geometria
proiettiva e se da questa si può derivare anche quella euclidea, ecco
che si tratta di un mero gioco matematico e nulla che possa tirare in
ballo la vera struttura dello spazio.
Di quest'ultimo tema sembra che Riemann pure se ne occupò in modo
forte, con Gauss che si alza e gli riconosce durante la conferenza il
suo plauso sincero.
Ma sembra che Riemann in fondo è stato da molti "liquidato" in questo
frangente come "occuparsi di filosofia".
Ma in realtà si occupava della natura dello spazio fisico. Solo che la
moda era piuttosto un imperativo per tutto, e cioè astrarre, fare
matematica pura, svincolata da ogni riferimento con la realtà. Ed ecco
che Klein segue questa moda, ma allo stesso tempo rimane vincolato cmq
ad una visione della realtà, che è quella di uno spazio fisico
euclideo.
Klein innova perché rende autonoma la geometria dall'indagine sullo
spazio fisico(come faceva Gauss per es.), ma rimane però convinto che
la geometria dello spazio fisico sia quella euclidea.
Quindi noi abbiamo a mio parere una tendenza di base, che è quella di
una matematica che si stacca sempre di più dal reale, dalle
applicazioni, fino ad arrivare al livello più alto di astrazione nella
prima metà del Novecento.
Tutto questo probabilmente è stato "coperto" proprio dalla Relatività
einsteniana. Per il semplice fatto che la realtà veniva osservata ma
veniva rivoluzionata, ovvero si era capaci di osservare una realtà
profondamente diversa, dove lo spazio diventa non euclideo.
E' questo a mio parere che "copre" la lettura più semplice e
fondamentale, e cioè una matematica che si rende sempre più avulsa
dal mondo fisico e diventa astratta, pura, e cioè sempre più staccata
da ogni potenziale applicazione.
I rimproveri di Weyl a Emmy Noether a mio parere sono emblematici del
clima che si respirava a Gottinga in quel periodo su questo tema.
Questa tendenza è poi continuata, come tu stesso fai notare. E cioè
il soggetto entra in gioco fino a "fare" lui stesso la realtà da
indagare/interpretare.
E questo è un capitolo ulteriore, dove l'intreccio tra soggetto
oggetto è talmente forte che quasi non ha più senso parlare di
soggetto e di oggetto, ma sarebbe più conveniente parlare di
soggetto-oggetto, come già faceva "l'idealismo" che ritroviamo nelle
Upanishad(antichi testi indiani).
> > E' per questo che la geometria proiettiva quindi diviene centrale e i
> > corsi di geometria erano sulla geometria analitica e proiettiva.
>
> Be, non vorrei deluderti, ma c'era anche un risvolto applicativo
> importantissimo, come hai messo in evidenza qualche tempo
> fa nella geometria proiettiva.
Qui invece noto la tua tendenza ad adottare una visione "esternalista"
del divenire della storia della scienza.
Potrei dire che a matematica non dovevano fare poi i progetti e quindi
imparare i metodi di costruzione. E quindi la geometria analitica e
proiettiva era solo un modo per ampliare quella euclidea, e quindi fare
qualcosa di propedeutico per poi introdurre lo studente al programma di
Erlangen.
Non sarebbe stato facile introdurre al programma di Erlangen senza far
capire la geometria proiettiva analitica.
Questo oggi cambia, perché basando tutto sull'algebra lineare, lo
strumento analitico è già dato.
Ma volendo fare una lettura esternalista anche ai giorni nostri,
possiamo dire che si studia l'algebra lineare perché è la società
che richiede ingegneri in grado di saper fare certi calcoli.
Io penso che sicuramente la società nel suo complesso determini in
vari momenti cruciali certe svolte, ma non credo che la chiave di
lettura esternalista possa andare sempre bene. Questo perché in
realtà noi la contrapponiamo alla chiave di lettura internalista. La
lettura internalista a mio parere è sufficiente per chiarire lo
sviluppo della scienza, visto che questa chiave di lettura ammette il
fatto che la scienza precedente "influenzi" quella seguente. Il
ritrovare in modo forzato altre influenze è quindi inutile, visto che
già la lettura internalista prevede una influenza, cioè quella della
tradizione.
Non si parte dal nulla, si parte da una tradizione interna, e varie
volte questa tradizione interna segue vie che si possono spiegare solo
con una lettura esternalista.
I casi sono noti, e molte volte si sono avute delle convergenze, dove
una lettura internalista ed esternalista si confondono e non si capisce
quale sia la causa.
E cioè se sia una certa ricerca di base ad aver prodotto una certa
tecnologia o viceversa, e cioè il "concentrare" gli sforzi dell'intera
società a voler trovare quella tecnologia che porta quindi a dedicarsi
a quel genere di ricerca di base.
L'interazione a volte è talmente forte che può essere del tutto
inutile ricercare la causa "esterna", mentre quella "interna" è già
essa stessa gravida anche delle eventuali cause esterni. E cioè il
semplice ammettere che vi sono cause(interne) che determinano la rotta
del progresso scientifico, è già di per se un ammettere l'influenza
della società.
Cmq in modo forse un po' eccessivo, possiamo dire che la nostra
società si è creata la nozione di spazio fisico di cui aveva bisogno.
E' una società che da sempre(noto che sei attento al divenire della
storia e forse appassionato di filosofia della storia) vive una
dicotomia di cui forse ha bisogno.
Il mondo concreto della routine quotidiana e quello ideale, magari
incarnato da un imperatore divino, o da un clero ispirato da Dio. O una
classe dirigente che si vive come essere staccata e capace di guidare e
prima di questa borghesia, la nobiltà.
Ora sembra che sia il turno della scienza, incarnata dallo scienziato.
La scienza è la divinità, lo scienziato diventa il suo predicatore,
il suo profeta.
Discorso di vasta portata come vedi, ma che non credo si possa
continuare su questo forum.
Spero di poter ritornare presto su vari temi prettamente matematici o
cmq fisico matematici della faccenda perché sono molto interessato.
In particolare ho bisogno di capire il punto di vista di Groethendieck
e compagni sulla nuova visione dello spazio ecc ecc. Cose che intuisco,
ma che voglio approfondire con calma:)
Grazie ancora:)
A.
Tetis
scritto:
>
> Tetis wrote:
> La nozione di varieta' ha infatti subito
> > negli ultimi quarant'anni, sotto l'influenza di Withney, Milnor,
> > Groethendieck, Cartan, una trasformazione profondissima che l'ha
> > sempre piu' riportata a contatto con i problemi fondamentali non solo
> > dell'analisi, ma della teorie degli insiemi e della logica.
> > La geometria euclidea e' rimasta per secoli uno strumento di guida
> > per l'esplorazione dello spazio, ma dopo lo slancio
dell'assiomatizzazione
> > di Euclide e' rimasta ipostatizzata vincolando cosi' ai propri teoremi
anche
> > la percezione stessa dello spazio. La geometria di oggi e' uno strumento
> > che non si occupa piu' soltanto della descrizione sulla base
> > dell'oggettivita',
> > ma persino delle regole di costruzione della sua propria struttura.
> >
>
> Noto che anche tu in quest'ultima frase in qualche modo(magari
> inconsapevole) ti rifai a quello che diceva Nacinovich sul legame tra
> la rivoluzione di Weyl e la fenomenologia husserliana.
> Si esce da un quadro prettamente oggettivo per far entrare il soggetto
> in modo forte nell'impresa.
Non so se e' esattamente questo che penso, ne' so
cosa pensava Husserl ne' se potrebbe avere qualche
attinenza con la nostra riflessione. Possibile, ma anche
possibile di no. Quel che io dicevo e' anzitutto riferito a
quello che e' successo dopo Weyl, in particolare alle
ricerche di confine fra la geometria algebrica, la teoria
dei numeri, la teoria degli insiemi per sfociare nella
teoria delle categorie che si propone di essere un punto
di vista generale di espressione. E' una riflessione che
ha visto un'amalgamazione senza precedenti di tecniche
e punti di vista differenti.
> Un soggetto che non si limita solo ad "osservare" il "reale" per poi
> interpretarlo, ma un soggetto che crea le stesse regole, cioè crea
> egli stesso "il reale" da osservare.
Non e' proprio cosi' ovvio che il soggetto crei qualcosa.
Crea uno schema ed in questo descrive la realta', ma lo
schema lo crea certamente in quanto parte del quadro
che vuole descrivere soggiacendo ad un qualche livello
alle regole del quadro medesimo. La componente creativa
della matematica a mio parere esiste ed e' fortissima, ma
e' orientata alle attivita' sociali. Fino a che punto le creazioni
siano libere e fino a che punto vincolate non e' tema che sia
di facile indagine. E' certo che valgono l'uno e l'altro aspetto
siamo esseri sensienti liberi di agire ma soggetti ad una verita'
che ci trascende. Se abbiamo voce in capitolo al riguardo.
ovvero se noi possiamo costruire la verita' ed in che misura
non e', mi sembra, tema di discussione della geometria.
Lo sono invece gli strumenti logici che tentano di mimare la
verita'.
> Ho visto che anche altri autori insistono su questo aspetto e fanno
> questo collegamento tra Kant e Euclide da una parte(collegamento ovvio)
> e tutta la matematica e fisica seguente con la MQ e la RG in
> particolare messe a parallelo con la fenomenologia. Fino poi ad
> arrivare all'allievo di Husserl, e cioè Heidegger.
>
> Ma questo non so fino a che punto è tema trattabile su questo forum,
> dove la filosofia della matematica non credo sia vista in modo
> benevolo:)
Non e' questo a mio parere, la filosofia della matematica su questo
ng non e' vista di malocchio, mi sembra che sia discutibile invece
fare delle semplificazioni che sviliscono la filosofia e la matematica
al tempo stesso. Non e' quello che ti attribuisco, ma e' certo un errore
in cui e' facile incorrere quando si voglia presentare il frutto di una
propria riflessione pure attenta e frutto di severi anni di studio,
avvalendosi
di appigli vaghi a filosofi che poco o nulla sapevano della matematica di
oggi, pur non ignorando le "leggi" o i " principi" generali del pensiero, ma
vedi che gia' usare due parole come queste vicino ad un pensatore come
Heidegerr potrebbe aprire un vaso di pandora molto difficile da riportare ad
una qualche ragione condivisa. Le finalita' della filosofia sono piu' ampie,
ed agiscono ad un livello molto profondo, ma nello sviluppo concreto della
matematica si procede a volte ignorando la filosofia, e spesso malgrado
gli errori o i giusti suggerimenti della filosofia. Questo e' un bene ed un
male, ma non e' in ogni caso abilita' umana possibile padroneggiare
tanto Hegel, quanto Heidegerr, Husserl, quanto Weyl, la relativita'
generale ed il pensiero di Cartan. Qualcosa di simile succede
nel rapporto fra la fisica e la matematica, anche se e' vero che
l'allontanamento
fra la filosofia e la matematica appare piu' marcato rispetto a quello fra
matematica e filosofia naturale, sodalizio che anzi e' uscito rafforzato
dall'ellenismo,
di quanto non appaia con la prospettiva di oggi nella filosofia greca.
Tuttavia
a ben riflettere, ne' Euclide ha scritto libri di filosofia, ne' Aristotele
ha scritto un
libro di geometria. E' vero invece che Aristotele si e' occupato di
cosmologia,
e questo ha avuto un effetto molto pesante sugli sviluppi successivi.
Perche',
come dicevo la filosofia agisce ad un livello molto profondo.
>
> > > A mio parere è questo il punto centrale, e cioè capire in che senso
> > > la geometria proiettiva è "logicamente" anteriore a quella euclidea.
> >
> > Per me personalmente e' un punto anche capire _se_ e'
> > logicamente anteriore.
> >
> >
> Questa come saprai non è una novità. Mi sembra che già Cayley e non
> solo lui avessero dubbi a riguardo, e pensavano a un discorso
> circolare.
>
> Io tuttavia ho capito in che senso per Klein era logicamente anteriore
> e lo era in modo "debole", e cioè per un mero fatto "matematico" e non
> certo per la nostra intuizione dello spazio.
> La nostra intuizione dello spazio resta euclidea ed è inutile
> insistere su questo punto che diventa dominio di indagini di psicologia
> della percezione.
E' vero anche che l'intuizione e' un luogo dinamico che risente
dell'educazione. Non sappiamo se anziche' Euclide fosse vissuto
un altro geometra cosa sarebbe strutturalmente conservato della
intuizione euclidea. Se mi dici che ci sono dei costrutti rappresentativi
inevitabili sono portato a crederlo, ma non ho la certezza che una
rappresentazione piu' ampia o piu' ristretta non avrebbe potuto comportare
un diverso approdo. Nella matematica indiana ad esempio si e' verificato
ad un certo punto un fenomeno che non ha analogo nella matematica
greca. I matematici hanno cominciato a riflettere sulla grammatica del
sanscrito, sulla sua struttura logica. Tradizionalmente poi la matematica
babilonese era di tipo piu' algebrico, questo ha comportato una propensione
per i matematici indiani all'elaborazione algebrica. Questo approccio
grammaticale, loico o simbolico, al pensiero ha prodotto dei trascinamenti
importanti anche nella sacralita' orientale. Gli arabi ammettevano i temi
geometrici come richiami del sacro, mentre la chiesa bizantina vieto' le
immagini sacre dando massima rilevanza al passo dell'antico testamento
che invita a non formarsi immagine del divino. Le immagini e gli schemi
possono essere sbagliati e gli antichi ne temevano l'effetto. Ma quello
che vale per gli schemi di immagini vale per le sinopsi grammaticali.
Imporre una regola comporta fare una scelta che orienta altre scelte
future.
> Ma Klein non era interessato a questo aspetto. A lui interessava molto
> più banalmente mettere ordine tra le varie geometrie e creare una
> gerarchia.
> Anche se l'idea dei gruppi di trasformazioni non era sua originale,
> poco importa, Il suo obiettivo era semplicemente quello di mettere
> ordine, e cioè di riportare a unità una la geometria, che con le non
> euclidee rischiava di perdere i suoi connotati.
>
> Ho letto alcuni suoi brevi scritti, e si nota proprio questo suo
> banale interesse.
> Lui parla delle "cosiddette" geometrie non euclidee. E il fatto che le
> derivi dalla geometria proiettiva sta a significare a mio parere il
> rimettere al centro la stessa "intuizione" euclidea dello spazio.
sono d'accordo, ma gia' questo dovrebbe suggerirti che esiste
quantomeno un po' di confusione circa quello che e' l'intuizione
euclidea. Le rotazioni della sfera di Riemann o le trasformazioni
dell'iperboloide di Lobacevsky permettono entrambe di definire
nuove forme di geometria locale. Sono geometrie metriche.
La geometria proiettiva e' non metrica, ma per comprendere questo
aspetto bisogna accordarsi su quello che si intende per metrica.
> Ho la sensazione che sia stato un innovatore contro voglia, un po' come
> Max Planck, tanto per intenderci.
>
> Se quindi le geometrie non euclidee si possono derivare dalla geometria
> proiettiva e se da questa si può derivare anche quella euclidea, ecco
> che si tratta di un mero gioco matematico e nulla che possa tirare in
> ballo la vera struttura dello spazio.
Non di meno costituisce un passo di astrazione necessario sulla
via della comprensione della semplicita'. La semplicita' e gli aspetti
elementari della verita'
possono essere rappresentate in modo comunicabile a costo
di un livello d'astrazione che permette di includere in modo
sintetico un numero crescente di aspetti che trovano riscontro
e continua conferma nella nostra esperienza del mondo.
La complessita' intesa come l'interita' della verita' avvolge sempre
le rappresentazioni e rimane un gradino piu' in alto. Ne' astratta
ne' semplice, semplicemente complessiva.
> Di quest'ultimo tema sembra che Riemann pure se ne occupò in modo
> forte, con Gauss che si alza e gli riconosce durante la conferenza il
> suo plauso sincero.
> Ma sembra che Riemann in fondo è stato da molti "liquidato" in questo
> frangente come "occuparsi di filosofia".
Riemann ha fondato una scuola matematica nella citta' dove
per secoli la filosofia era stata il tema principale. Il centro della
matematica tedesca prima di Riemann era Berlino. Dopo Riemann
sembra che un secondo centro divenne proprio Goettingen.
Non deve stupire se l'accademia guardasse Riemann con
un altezzosita' che sotto la volta del cielo si e' rivelata ingiusta.
> Ma in realtà si occupava della natura dello spazio fisico. Solo che la
> moda era piuttosto un imperativo per tutto, e cioè astrarre, fare
> matematica pura, svincolata da ogni riferimento con la realtà. Ed ecco
> che Klein segue questa moda, ma allo stesso tempo rimane vincolato cmq
> ad una visione della realtà, che è quella di uno spazio fisico
> euclideo.
Come Hilbert piu' tardi nella citta' di Riemann rimarra' legato,
al fianco di migliaia di altri matematici alla disciplina degli
assiomi e delle deduzioni. Ma nondimeno Hilbert riusci'
a superare i limiti dell'assiomatica e dell'impostazione
kleiniana anticipando Einstein nella formulazione di una
relativita' generale. Mentre la scuola francese ed al seguito
il piemonte e la lombardia si trovarono a lungo a prediligere
una meccanica celeste tradizionale, gli studi proiettivi, quasi
dimentichi dei contributi di Lagrange e Laplace. La cui lezione
invece aveva influito su Riemann e Gauss.
> Klein innova perché rende autonoma la geometria dall'indagine sullo
> spazio fisico(come faceva Gauss per es.), ma rimane però convinto che
> la geometria dello spazio fisico sia quella euclidea.
Esatto, condivido questo rilievo. Questo e' infatti il maggiore contributo
di Klein. E come dicevo, solamente con Cartan si giungera' ad una
sintesi fra l'innovazione kleiniana e l'innovazione riemanniana.
Nota che Riemann si muove dalla suggestione di Gauss, ma
inventa un modo nuovo di implementarla.
> Quindi noi abbiamo a mio parere una tendenza di base, che è quella di
> una matematica che si stacca sempre di più dal reale, dalle
> applicazioni, fino ad arrivare al livello più alto di astrazione nella
> prima metà del Novecento.
Ma come dicevo, credo che l'astrazione sia una esigenza connaturale
alla necessita' di includere in uno schema unitario molti aspetti, come
anche l'individuazione di elementi universali procede a fatica fra
livelli di astrazione ed articolazione. Quando si dice astrazione
viene inevitabilmente da pensare anche a complicazione ed
astrusita' mentre l'astrazione rimane, nella sua genuinita', la
ricerca degli elementi unitari mediante i quali includere raggiungere
una comprensione piu' ampia dei fenomeni indagati. Siano questi
la creativita', la fisica, la geometria o la grammatica. In questo
come diceva Gian Carlo Rota sta la differenza fra lo spirito conservatore
orientato alla soluzione del problema con le tecniche del passato e
lo spirito rivoluzionario orientato al recupero dell'unitarieta' della
comprensione per mezzo del cambiamento
> Tutto questo probabilmente è stato "coperto" proprio dalla Relatività
> einsteniana. Per il semplice fatto che la realtà veniva osservata ma
> veniva rivoluzionata, ovvero si era capaci di osservare una realtà
> profondamente diversa, dove lo spazio diventa non euclideo.
>
> E' questo a mio parere che "copre" la lettura più semplice e
> fondamentale, e cioè una matematica che si rende sempre più avulsa
> dal mondo fisico e diventa astratta, pura, e cioè sempre più staccata
> da ogni potenziale applicazione.
Io ho il punto di vista opposto, la matematica si astrae e diventa
distante, nel senso di separata da un maggior numero di passi
intermedi fra l'ente matematico e gli enti interpretativi,
diventa piu' distante, dicevo, dalle applicazioni proprio
in virtu' di necessita' di applicazioni di piu' ampia portata.
> I rimproveri di Weyl a Emmy Noether a mio parere sono emblematici del
> clima che si respirava a Gottinga in quel periodo su questo tema.
>
> Questa tendenza è poi continuata, come tu stesso fai notare. E cioè
> il soggetto entra in gioco fino a "fare" lui stesso la realtà da
> indagare/interpretare.
Questo e' intrinseco al cristianesimo della cultura europea,
ed alla proposizione dell'uomo come attore della
trasformazione (redenzione) del mondo e si sente piu' forte
nella cattolica Francia rispetto alla protestante Germania.
Ma non e' esattamente quello che ho detto con riferimento
alla geometria, ne' questo e' intrinseco all'astrazione in se'.
Quello che avviene e' ad un duplice livello, per via della
necessita' di astrazione, la matematica deve indagare nuove
forme di articolazione del discorso e dotarsi di strumenti
flessibili per rimodellare il percorso matematico e' un
passaggio obbligato per la gestione stessa della potenza
delle astrazioni. D'altra parte lo sviluppo della tecnologia
ha creato ambiti di applicazione della matematica a
contesti interamente artificiali, con regole effettivamente
soggette solo al limite della concreta utilita' in funzione di
obiettivi definiti dall'uomo. Se l'obiettivo non e' comprendere
l'esistente ma e' progettare nuovi enti allora entra piu' direttamente
in gioco il richiamo che fai tu ad Husserl.
> E questo è un capitolo ulteriore, dove l'intreccio tra soggetto
> oggetto è talmente forte che quasi non ha più senso parlare di
> soggetto e di oggetto, ma sarebbe più conveniente parlare di
> soggetto-oggetto, come già faceva "l'idealismo" che ritroviamo nelle
> Upanishad(antichi testi indiani).
Non ti seguo. Un poco perche' conosco poco i libri sacri indiani,
un poco perche' mi preoccupa di fraintendere, in mancanza di
ulteriori precisazioni il tuo pensiero. Credo che parlare complessivamente
dell'azione in relazione alla possibilita' richieda un elevato grado
non soltanto di astrazione, ma anche di dettagliata conoscenza delle
possibiltia' e delle azioni.
> > > E' per questo che la geometria proiettiva quindi diviene centrale e i
> > > corsi di geometria erano sulla geometria analitica e proiettiva.
> >
> > Be, non vorrei deluderti, ma c'era anche un risvolto applicativo
> > importantissimo, come hai messo in evidenza qualche tempo
> > fa nella geometria proiettiva.
>
> Qui invece noto la tua tendenza ad adottare una visione "esternalista"
> del divenire della storia della scienza.
>
> Potrei dire che a matematica non dovevano fare poi i progetti e quindi
> imparare i metodi di costruzione. E quindi la geometria analitica e
> proiettiva era solo un modo per ampliare quella euclidea, e quindi fare
> qualcosa di propedeutico per poi introdurre lo studente al programma di
> Erlangen.
> Non sarebbe stato facile introdurre al programma di Erlangen senza far
> capire la geometria proiettiva analitica.
Che significhera' poi esternalista? Siamo in molti a vivere non soltanto
i matematici hanno questa prerogativa, e quindi esiste una societa'
che media fra istanze complesse, questo ha effetto anche su quelle
che sono in concreto le direzioni prese dalla ricerca. Che poi con il
tempo il processo culturale sedimenti i passi importanti alla padronanza
della conoscenza matematica fa parte di questo medesimo complesso
di cose.
> Questo oggi cambia, perché basando tutto sull'algebra lineare, lo
> strumento analitico è già dato.
Ti volevo proporre un punto di vista sul perche' ad un certo punto
l'algebra lineare ha preso una posizione di rilievo nell'ordinamento
delle conoscenze. Questo punto di vista ovviamente non esclude,
ma supporta con un dato di fatto in piu', che esista una oggettiva
convenienza in questa impostazione.
> Ma volendo fare una lettura esternalista anche ai giorni nostri,
> possiamo dire che si studia l'algebra lineare perché è la società
> che richiede ingegneri in grado di saper fare certi calcoli.
>
> Io penso che sicuramente la società nel suo complesso determini in
> vari momenti cruciali certe svolte, ma non credo che la chiave di
> lettura esternalista possa andare sempre bene. Questo perché in
> realtà noi la contrapponiamo alla chiave di lettura internalista. La
> lettura internalista a mio parere è sufficiente per chiarire lo
> sviluppo della scienza, visto che questa chiave di lettura ammette il
> fatto che la scienza precedente "influenzi" quella seguente. Il
> ritrovare in modo forzato altre influenze è quindi inutile, visto che
> già la lettura internalista prevede una influenza, cioè quella della
> tradizione.
Non vedo questa totale indipendenza della matematica dal
mondo in cui vive, le influenze si articolano a diversi livelli
ed esiste certamente una componente interna di ristrutturazione
e di innovazione, come una convenienza, una opportunita'
ed una necessita' di un cambiamento.
> Non si parte dal nulla, si parte da una tradizione interna, e varie
> volte questa tradizione interna segue vie che si possono spiegare solo
> con una lettura esternalista.
Ok, d'accordo, certo, ma non vedo la necessita' di parteggiare
per una lettura che scinde lo spirito particolare dallo spirito
universale, anzi lo trovo un punto di vista angusto.
> I casi sono noti, e molte volte si sono avute delle convergenze, dove
> una lettura internalista ed esternalista si confondono e non si capisce
> quale sia la causa.
> E cioè se sia una certa ricerca di base ad aver prodotto una certa
> tecnologia o viceversa, e cioè il "concentrare" gli sforzi dell'intera
> società a voler trovare quella tecnologia che porta quindi a dedicarsi
> a quel genere di ricerca di base.
>
> L'interazione a volte è talmente forte che può essere del tutto
> inutile ricercare la causa "esterna", mentre quella "interna" è già
> essa stessa gravida anche delle eventuali cause esterni. E cioè il
> semplice ammettere che vi sono cause(interne) che determinano la rotta
> del progresso scientifico, è già di per se un ammettere l'influenza
> della società.
Questo apre un nuovo capitolo in cui l'ontologia della causa
comprensibile e la societa' possono essere in contrasto, mentre
invece dovrebbe esistere un'armonia ed una fiducia verso la
societa' .
> Cmq in modo forse un po' eccessivo, possiamo dire che la nostra
> società si è creata la nozione di spazio fisico di cui aveva bisogno.
>
> E' una società che da sempre(noto che sei attento al divenire della
> storia e forse appassionato di filosofia della storia) vive una
> dicotomia di cui forse ha bisogno.
Ho notato che hai sottolineato questo punto di vista, ma non
so se la contraddizione ha una ragion d'essere e persistere,
oppure ammette una soluzione nell'alveo della tradizione.
Tutto sommato ho notato che nella generalita' dei casi non
ti piace mantenere dicotomie, ma cercare analogie fra situazioni
diverse. E' possibile coltivare entrambe le attitudini: comprensione
e distinzione, questo serve a progredire nella ricerca di una
sintesi che rappresenti nella societa' cio' che di unitario e'
nell'universo. Perche' si dice universo?
> Il mondo concreto della routine quotidiana e quello ideale, magari
> incarnato da un imperatore divino, o da un clero ispirato da Dio. O una
> classe dirigente che si vive come essere staccata e capace di guidare e
> prima di questa borghesia, la nobiltà.
>
> Ora sembra che sia il turno della scienza, incarnata dallo scienziato.
> La scienza è la divinità, lo scienziato diventa il suo predicatore,
> il suo profeta.
Ma questo mi sembra che sia piu' il frutto del punto di vista
che contrapponevi all'interpretazione di una evoluzione
di concerto fra pensiero e societa' che non un'aspetto
connaturato alla scienza o alla religione o allo stato.
E' piu' proprio di tempi di contrasto e di imposizioni
decadenti che non di momenti evolutivi di crescita
ed integrazione.
> Discorso di vasta portata come vedi, ma che non credo si possa
> continuare su questo forum.
>
> Spero di poter ritornare presto su vari temi prettamente matematici o
> cmq fisico matematici della faccenda perché sono molto interessato.
>
> In particolare ho bisogno di capire il punto di vista di Groethendieck
> e compagni sulla nuova visione dello spazio ecc ecc. Cose che intuisco,
> ma che voglio approfondire con calma:)
Eh, anch'io ho bisogno di studiare tantitssimo.
> Grazie ancora:)
Poincarè
Arcobaleno ha scritto:
> Ti copio l'indice:
>
> Cap 1. Gruppi, azioni, di gruppo
> 2. corpi, campi e matrici,
Grazie e scusami se scrivo solo ora... famiglia e tanto altro, la
matematica è solo una passione non la mia professione.
> > > Nelle prossime settimane mi dedicherò(se riuscirò) a capire
> > > come mai(nei dettagli) Weyl ha insistito sul concetto di gruppo.
> > > Ma credo che sia intuibile, perché in realtà già il programma di
> > > Erlangen parla di gruppi di trasformazioni.
> > >
> > > Quindi, il problema di mesi fa, l'ho risolto e ho esposto a grandi
> > > linee i passaggi, ora vedrò di capire nei dettagli perché Weyl ha
> > > rivoluzionato tutto come dice Nacinovich.
> >
> > Tutto questo è incluso nel testo del ex prof. di Pisa o è in altre
> > fonti?
> >
>
> Non ti seguo.
mi riferivo a perchè weyl ha rivoluzionato tutto come dice Nacinovich
(anni fa era professore di geometria a Pisa) se era esplicitato bene in
un discorso logico-deduttivo
> > Secondo te è un buono acquisto?
> Io non l'ho acquistato, l'ho preso in prestito dalla biblioteca.
Sai per caso se danno in prestito libri a persone esterne al mondo
accademico?
> Per le matricole non va bene, o cmq ci vuole il professore che spiega
> tantissimo.
per chi frequenta o per chi è iscritto, ma chi si arrangia da solo
come amante della materia non è detto che non vada bene, certo deve
avere alcune doti. Comunque all'università ti danno alcune basi ma poi
devi fare da solo non c'è niente da fare.
> > > Mentre per comprendere la geometria proiettiva analitica, bisogna
> > > imparare prima l'algebra lineare, infatti mi sembra che gli stessi
> > > libri di Castelnuovo e Chisini e altri la trattino analiticamente,
> >
> > Sapresti dirmi se ci sono grosse differenze tra il testo di Castelnuovo
> > rispetto al Comessatti?
> >
>
>
> Purtroppo non conosco bene Comessatti, e Castelnuovo non l'ho certo
> studiato.
> Cmq Castelnuovo non è un libro facile.
come fai a dire che non è facile se non l'hai studiato, per esempio ho
iniziato a leggere qualcosa sul Comessatti e non mi pare difficile se
conosci un pò di geo. analitica all'inizio,
per il seguito ti porta gradualmente nella comprensione della geo
analitica e proiettiva che nel mio caso conosco già alcune parti
grazie ai testi di Enriques e Severi.
Forse cambierò idea strada facendo studiando sul testo.
> > Nella versione "moderna" è vero che conviene iniziare con
> > l'algebra lineare (spazi vettoriali) per arrivare spediti in altri
> > settori delle matematiche. Mentre nei testi del passato (Comessatti,
> > Bianchi) si faceva geometria analitica con una visione da subito
> > proiettiva.
> >
>
> E' vero.
> Però fanno un largo uso di matrici e determinanti, in quel senso
> parlavo di algebra lineare.
Non sò Castelnuovo ma Comessatti ne parla e li usa ma non in modo
diffuso
> Per capire bene questi libri ci vuole cmq una solida preparazione sui
> sistemi lineari e sulla geometria analitica in genere.
> Purtroppo manca la gradualità.
per quanto detto prima non sono molto d'accordo, naturalmente per
quanto ho a disposizione.
Intendiamoci non voglio essere polemico lungi da me questo pensiero,
volevo solo dire la mia su questa argomentazione.
> > Leggo anche la storia della matematica per chiarirmi meglio alcuni
> > percorsi della nostra scienza, non trovo un buon testo sulla storia
> > della matematica del nostro secolo e in particolare dalla metà del
> > '900 ad oggi.
>
> > Ottimi Bottazzini, Boyer però purtroppo arrivano in modo esauriente
> > fino alla metà del '900, ho sentito parlare bene anche di Kline
> > anche lui non tratta tutto il '900.
> >
> > Per caso sai indicarmi qualche testo in proposito?
> >
>
> Bottazzini nell'ultima edizione (del 2003 se non sbaglio), da molta
> bibliografia recente. Prova a guardare la nuova edizione.
grazie
> Ti cito qualcosa, che non ho visto però.
>
> Changing Images in Mathematics. From the French Revolution to the New
> Millennium, a cura di Bottazzini e Dahan Dalmedico, London, 2001.
>
> Development of Mathematics 1900-1950
> Development of Mathematics 1950-2000 a cura di J Pier Birkhauser, Basel
> 1994-2000.
grazie ancora, devo proprio decidermi a imparare l'inglese.
> Facci sapere qualcosa anche tu. Ho la sensazione che tu abbia molto da
> dire.
> Per prima cosa dovresti dirci il tuo punto di vista sul tema che hai
> voluto riprendere.
>
> Cioè come mai la geometria è fondata, basata, sugli spazi vettoriali
> o algebra lineare.
Francamente non lo so altrimenti non avrei ripreso l'argomento o ne
parlavo in altro modo, però posso dire che per quanto studiato sembra
la naturale estensione dello spazio, da 3dimensionale a Ndimensionali e
lo strumento migliore per operare con tante eq. lineari sia quello di
semplificare la scrittura dell'eq. stessa.
Con una nuova grafia le matrici e determinanti una volta stabilita
l'algebra di questi nuovi strumenti, per poi inserirli in un contesto
molto più astratto. Ma in che modo?
E qui nasce l'idea di considerare il punto nel piano come un vettore,
equipollenze, .....
e sempre per naturale analogia/estensione vettori Ndim.
Come operare con questi vettori?
Hanno la chiusura, si possono sommare e moltiplicare,..come posso
strutturarli?
Posso considerarli come gruppo, anello, campo,..?
Da calcoli, riflessioni, teoremi si trova che hanno un operazione
interna ed una esterna, non sono anelli, campi.
Penso che tutte queste informazioni arrivino da più parti della
matematica, li definiscono spazi vettoriali.
Poi si cerca di trattare questa nuova struttura integrandola nella
filosofia del programma di Erlangen, sicuramente anche in altri
contesti che al momento non ci riguardano.
Però secondo me, ritornando ai testi del 1° anno universitario
rispetto al Comessatti, mancano di alcune parti per comprendere
interamente come la geo proiettiva includa la geo euclidea. Detta in
altra maniera cioè la subordinazione della geo euclidea alla geo
proiettiva.
Nel cap del Sernesi sulla proiettiva non parla di distanza, angoli pur
trattando il birapporto.
Facendo per esempio anche una piccola considerazione nel piano.
Tale questione non viene trattata da nessun testo di geometria 1 a mia
disposizione, forse non serve o mal si concilia con strutture astratte
come gli sp. vettoriali.
> Sei andato molto fuori da questo topic che tu stesso dicevi di voler
> riprendere.
> Io ne ho parlato. Tu non hai nulla da dire a riguardo?
Spero di averti risposto ripeto non sono uno studente ne un ex studente
ma solo un cultore della matematica.
Comunque grazie perchè almeno non mi sento un punto isolato.
Ciao
Poincarè
Arcobaleno
Poincarè wrote:
> mi riferivo a perchè weyl ha rivoluzionato tutto come dice Nacinovich
> (anni fa era professore di geometria a Pisa) se era esplicitato bene in
> un discorso logico-deduttivo
>
A riguardo Nacinovich dice solo quello che ti ho riportato dalla
prefazione.
Non saprei se ha scritto altro dove parla di questa rivoluzione di
Weyl.
Io cmq penso di vedere direttamente qualche testo di Weyl.
> Sai per caso se danno in prestito libri a persone esterne al mondo
> accademico?
>
Con la malleveria.
> come fai a dire che non è facile se non l'hai studiato,
>
Poincaré wrote:
Ora vorrei continuare con Comessatti 2 voll. (opera incompleta
purtroppo non ha ultimato il suo lavoro) o altri ex. Castelnuovo (a
proposito che differenze ci sono con il Comessatti? non ho ancora visto
nulla).....
Poincaré continued:
> iniziato a leggere qualcosa sul Comessatti e non mi pare difficile se
> conosci un pò di geo. analitica all'inizio,
>
Anche io ho letto qualcosa tempo fa del Castelnuovo e ho dato un
giudizio .
Noto che usiamo lo stesso metodo per valutare i libri:))
> Però secondo me, ritornando ai testi del 1° anno universitario
> rispetto al Comessatti, mancano di alcune parti per comprendere
> interamente come la geo proiettiva includa la geo euclidea. Detta in
> altra maniera cioè la subordinazione della geo euclidea alla geo
> proiettiva.
>
E quali sono queste parti? Visto che hai il libro sotto mano, potresti
fare subito a dare qualche indicazione.
> Poi si cerca di trattare questa nuova struttura integrandola nella
> filosofia del programma di Erlangen, sicuramente anche in altri
> contesti che al momento non ci riguardano.
>
Tu pensi ad una sorta di forzatura?
Io invece penso che il tutto è messo in questa forma per mera
assiomatizzazione.
C'è un rigore piuttosto forte in questa costruzione della geometria.
A mio parere è il tentativo di assiomatizzare il programma di
Erlangen.
E Weyl lo fonda sul concetto di gruppo perché è una struttura ben
definita e che può fare al caso del programma di Erlangen.
La geometria degli spazi vettoriali non è il fondamento ma solo un
insieme di metodi.
La geometria cartesiana può giovarsi dell'algebra lineare per trattare
meglio i suoi oggetti. Una volta che questa geometria è ampliata, la
si usa per dare un metodo analitico alla geometria in genere. Ed ecco
che ci ritroviamo la geometria "basata" sui vettori. Ovviamente ci sono
tanti vantaggi, ma sono gli stessi che si possono notare quando si usa
l'algebra lineare per trattare i problemi di geometria cartesiana.
Poi si inserisce il concetto di gruppo che fa proprio al caso del
programma di Erlangen.
Lo stesso Nacinovich dice che il suo libro trae spunto direttamente da
Klein e Weyl.
Quindi, quel tipo di sistematizzazione ha dei padri ben precisi. E io
mi fido di Nacinovich.
Ovviamente qui ho solo espresso modeste intuizioni. E come detto
cercherò di approfondire meglio nelle prossime settimane.
Arcobaleno
Tetis wrote:
cut
Ciao Tetis,
ho letto con vero interesse le tue osservazioni e sono praticamente
d'accordo su tutto quello che dici.
Sono tutti temi molto stimolanti che sicuramente riprenderemo.
Io per es. sono rimasto fermo alla matematica delle strutture, e non mi
sono ancora allargato alle categorie.
Penso di farlo nei prossimi mesi. Ci sono dei libri che introducono a
questo tema in modo piano e senza paura di far spendere troppe pagine
all'editore?:))
Prima di "affidarsi" a un libro di matematica bisogna fare attenzione.
Io sono portato a consultarne molti e poi faccio un scelta. A volte mi
faccio aiutare da bibliografie scelte di autori di cui mi fido.
Mi farebbe piacere se tu dessi un'opinione sul topic originario di
questo thread lanciato da Poincaré.
E cioè, come mai il programma di Erlangen lo ritroviamo nella forma
attuale nei vari libri di geometria. Dove si parte direttamente o dal
concetto di gruppo o dagli spazi vettoriali.
A volte vediamo che la geometria euclidea(e le non euclidee) è
derivata da quella proiettiva(Nacinovich per es.) a volte vediamo che
viene derivata prima quella euclidea e poi quella proiettiva(Sernesi).
C'entra il gruppo lineare GL? E' un mero gioco di assiomi?
O forse questo famoso programma di Erlangen è stato praticamente
superato?
Noto che si possono dare varie interpretazioni, varie letture.
Tetis
scritto:
>
[...]
> Io per es. sono rimasto fermo alla matematica delle strutture, e non mi
> sono ancora allargato alle categorie.
> Penso di farlo nei prossimi mesi. Ci sono dei libri che introducono a
> questo tema in modo piano e senza paura di far spendere troppe pagine
> all'editore?:))
Se si non ne conosco, anzi sono speranzoso anch'io di trovare
un giorno un'impostazione orientata didatticamente che non
sacrifichi nulla dell'immensa portata della trasformazione
introdotta dalla teoria delle categorie. Ovviamente si tratta di un
linguaggio che non coinvolgendo solo la geometria, ma anche
la formulazione dell'algebra, ha trovato rifrazioni in molti testi di
algebra, come il Saunders Mac Lane che e' uno dei maggiori
contributori alla spiegazione dei vantaggi dell'astrazione.
[cut]
> Mi farebbe piacere se tu dessi un'opinione sul topic originario di
> questo thread lanciato da Poincaré.
>
> E cioč, come mai il programma di Erlangen lo ritroviamo nella forma
> attuale nei vari libri di geometria. Dove si parte direttamente o dal
> concetto di gruppo o dagli spazi vettoriali.
La sensazione e' quella di trovarsi di fronte ad una riforma
incompiuta dei programmi. Ad un certo punto si e' diffusa una
sensibilita' Bourbakista nell'universita' italiana, ma poi si e'
anche assistito all'entrata in scena di altri modelli, e ad un
certo punto si e' dovuto prendere atto che la grande tradizione
di avanguardi italiana non era riuscita, dopo la seconda guerra
a stare al passo delle varie proposte alternative. La semplicita'
classica della tradizione italiana sembra che abbia ceduto il
passo, forse a causa della mutata sensibilita' rispetto ai temi
che direttamente o indirettamente richiamassero al nazionalismo,
ad una congerie di tentativi didattici contrastanti.
> A volte vediamo che la geometria euclidea(e le non euclidee) č
> derivata da quella proiettiva(Nacinovich per es.) a volte vediamo che
> viene derivata prima quella euclidea e poi quella proiettiva(Sernesi).
>
> C'entra il gruppo lineare GL? E' un mero gioco di assiomi?
>
> O forse questo famoso programma di Erlangen č stato praticamente
> superato?
Dipende dalle finalita'. Sarebbe un poco come chiedersi se la
meccanica classica e' stata superata?
> Noto che si possono dare varie interpretazioni, varie letture.
>
> Ciao e grazie:)
> A.
Mi riservo di proseguire in un secondo momento.
Tetis
ha scritto:
> Ciao a tutti, (mi sono appena iscritto)
> sono un'autodidatta in matematica, volevo rispondere ad una discussione
> fatta da Arcobaleno su "Geometria: fondamenti" però pare ci siano dei
> problemi e quindi inizio (rispondendo) un nuovo dialogo.
> Ho letto quanto ha scritto Arcobaleno e in particolare:
>
> "Ho notato che all'università fino agli anni Settanta si studiava la
> geometria analitica e proiettiva, mentre oggi si studia la geometria
> basata sui vettori e quindi sull'algebra lineare. E onestamente non ho
> capito il perché si sia abbandonata quella impostazione(che esisteva
> negli anni Settanta: basti vedere le edizioni dei vari libri che si
> possono reperire in biblioteca, in genere tutti intitolati "Geometria
> analitica e proiettiva") per usarne una che onestamente faccio molta
> fatica a comprendere.
Credo che principale responsabile di questa trasformazione sia
la nozione di rappresentazione. E l'unificazione causata dalla
nozione di morfismo che ha permesso di comprendere in modo
piu' nitido le relazioni fra geometria proiettiva ed affine. Ed il
rapporto interno fra le geometrie metriche. Il punto di vista che
prevale e' quello di rappresentazione di un gruppo. Il completamento
del programma di classificazione dei gruppi e i progressi nella
teoria delle rappresentazioni dei gruppi lineari hanno reso di
basilare importanza una familiarita' immediata con la nozione di
spazio vettoriale.
Che in qualche modo ha completato il programma di Erlangen.
L'altro grande passo e' stato compiuto da Whithney con la
teoria delle immersioni. Si e' compreso che un ambiente
lineare di dimensionalita' sufficientemente alta e' sufficiente
per ospitare tutte le varieta' di dimensione finita. Mentre
complementarmente Cartan ha insistito sulle caratterizzazioni
intrinseche.
> Cioè non comprendo il nesso tra l'Algebra lineare che è algebra dei
> vettori, e la fondazione della geometria su questo.
> Per chi volesse darmi qualche chiarimento, aggiungo che uno dei testi a
>
> riguardo (E. Sernesi, Geometria, 2 voll) nell'introduzione dice
> chiaramente che la geometria che andrà a trattare verrà fondata sui
> vettori.
> Ovviamente il mio problema non è il non aver capito l'algebra lineare,
>
> i vettori, le matrici, i determinanti e quanto altro, ma mi sfugge
> proprio il nesso di questa geometria così fondata con il programma di
> Klein.
Credo sia fornito centralmente dalla teoria della rappresentazione.
Da un certo punto di vista sembra vero e naturale che andrebbe data maggiore
importanza agli spazi proiettivi. Il problema principale della geometria
euclidea e' il rapporto con l'infinito il fatto che nella geometria
proiettiva
una specialissima classe di infiniti (gli infiniti di incidenza) entrano
nello spazio di rappresentazione e' qualcosa che da un lato appare
molto comodo e potente, dall'altro puo', legittimamente, essere visto
con sospetto. E' forse questo sospetto la ragione per la quale gli autori
della Open University in luogo: di "algebra lineare e geometria" hanno
preferito parlare di "algebra lineare ed analisi"? E qui forse torna
la tua domanda, perche non parlare di geometria analitica?
Il motivo principale credo stia nel fatto che la geometria analitica
e' rimasto un insieme di strumenti lontano dalla generalita' di strutture
di varieta'. Quindi se si vuole giungere alla nozione di varieta',
occorre dedicare molta enfasi a quella di struttura lineare e
solo poi, dopo avere acquisito tutti gli strumenti propri dell'analisi,
che e' l'ambiente piu' naturale per parlare di geometria analitica,
giungere ad una sintesi delle due discipline. Questo in linea di
principio. In pratica, nei corsi di fisica, per esempio, questo programma
viene perseguito molto parzialmente, anche perche' c'e' pure la necessita'
delle strutture di spazi di Banach. Allora la sintesi avviene nell'ambito
della teoria degli spazi funzionali.
La nozione di fascio di rette, fascio di oggetti di incidenza, le nozioni
piu' proprie della geometria proiettiva rimangono offuscate da una
strumentazione che dovrebbe essere piu' potente, ma che forse e'
troppo piu' potente. Infatti se nella matematica contemporanea la
tendenza e' a recuperare le nozioni costruibili e raccontabili con
una struttura logica del primo ordine, la teoria degli spazi
funzionali si colloca molte cardinalita' al di sopra di questo livello.
E l'universo intermedio non e' stato completamente esplorato...
> Grazie a quanti vorranno darmi qualche utile chiarimento a riguardo,
> magari indicandomi qualche libro.
> Saluti a tutti
> Arcobaleno"
>
> e in altre discussioni approfondisci il tuo pensiero, non ho letto
> tutto.
> Il tuo problema mi ha incuriosito molto perché mi son sempre chiesto
> che continuità/legame ci fosse tra quanto si studia, in geo., alle
> superiori e rispetto all'università.
Oggi come oggi e' molto poco. E' esistita negli anni ottanta una
fervida attivita' sperimentale per importare nei programmi di
scuola superiore le nuove nozioni unificanti prodotte dalla
ricerca matematica dell'ultimo secolo, ma ben poco e' veramente
arrivato. Io ricordo di un libro in cui si introducevano le nozioni di
struttura algebrica, di azione su insiemi e di trasformazioni, che mi
spinse, come gia' dicevo ad acquistare un libro edito dalla Mondadori
su algebra lineare ed analisi che era raccomandato dagli autori proprio
per la gradualita' con cui le nozioni piu' astratte venivano poste in
relazione con le strutture geometriche. Non lo raccomanderei, forse,
perche' alla fine si ha la sensazione di avere capito tutto, tranne proprio
in cosa consiste la forza di questi schemi di isomorfismi.
>
> Qualche anno fa studiando sul Sernesi il cap. sulla geo. proiettiva non
> ho capito granché, sarà anche perché studiando da solo si fa molta
> più fatica. Poi la curiosità e l'esigenza di comprendere meglio la
> geometria mi hanno portato per altre strade:
Il Sernesi e' un libro molto orientato alla geometria ed a
mettere in evidenza la base geometrica delle astrazioni.
> - ripreso i testi utilizzati al liceo, alcuni testi sperimentali per la
> didattica tra '75 e '80 e in particolare "Il metodo matematico" 3 voll.
> di LombardoRadice e Mancini Proia (l'assiomatica è quella di Choquet e
> spiega il programma di Erlangen), "Matematica come scoperta" di Prodi,
>
> - testo di Agazzi-Palladino "Le geo. non euclidee",
>
> - testo di Gino Fano "Geo. non euclidea" e l'articolo su matematiche
> elementari ed. Hoepli,
>
> - testi di Enriques e Severi su geo. proiettiva (solo alcune parti).
>
> Ora vorrei continuare con Comessatti 2 voll. (opera incompleta
> purtroppo non ha ultimato il suo lavoro) o altri ex. Castelnuovo (a
> proposito che differenze ci sono con il Comessatti? non ho ancora visto
> nulla) per capire meglio la geo. proiettiva anche per via analitica, di
> modo da comprendere meglio l'aspetto metrico-proiettivo delle geo. non
> euclidee (spiegate sul testo di Fano) e il programma di Klein.
Son tutti testi dall'impostazione storica, contengono molte delle
idee di base, ma ti occorrerebbe qualche libro che ti metta in
grado di cogliere le idee unificanti che sono emerse in seguito.
Vedro' di tenere gli occhi aperti, e se mi capita qualcosa di
indicarne la lettura. Devo pensarci, serve anche a me.
Arcobaleno
Tetis wrote:
> Credo che principale responsabile di questa trasformazione sia
> la nozione di rappresentazione. E l'unificazione causata dalla
> nozione di morfismo che ha permesso di comprendere in modo
> piu' nitido le relazioni fra geometria proiettiva ed affine. Ed il
> rapporto interno fra le geometrie metriche. Il punto di vista che
> prevale e' quello di rappresentazione di un gruppo. Il completamento
> del programma di classificazione dei gruppi e i progressi nella
> teoria delle rappresentazioni dei gruppi lineari hanno reso di
> basilare importanza una familiarita' immediata con la nozione di
> spazio vettoriale.
>
Per "rappresentazione" dei gruppi intendi i gruppi di trasformazione?
Mi spiego meglio e parto da zero:)
Noi studiamo la geometria cartesiana, quella che si fa normalmente a
scuola.
Poi ci accorgiamo che possiamo operare delle trasformazioni nel piano
in se stesso.
Ci accorgiamo quindi che ci sono delle leggi(equazioni) che ci
trasformano rette in rette.
O per es. ci accorgiamo che ci sono delle leggi che ci trasformano
rette parallele in rette parallele. Così cominciamo a parlare di
isometrie, di affinità ecc ecc.
Tutto questo è ben chiaro nei libri per le superiori(fondo in questa
replica il discorso didattico con la riflessione generale), dove non si
ha nessun problema a vedere come si giunge a quelle equazioni. Vi si
giunge con una intuizione geometrica, e cioè SI VEDE cosa succede nel
piano. Si ha una sinergia molto potente tra quello che SI VEDE e si
può quindi dedurre. E la deduzione non è un teorema di geometria
sintetica ma una serie di equazioni, di leggi.
In questo senso il metodo è ancora un metodo geometrico.
Lo studente che poi deve continuare a capire la geometria, parte da
queste conoscenze, e cioè da una geometria per nulla banale, e anzi,
una geometria che parte dalla visualizzazione e che da questa trae
spunti fondamentali per le equazioni, o le leggi per la trasformazione
geometriche.
I libri per l'università invece partono direttamente con il programma
di Erlangen. Oppure si parte con l'algebra lineare(spazi vettoriali,
matrici, determinanti).
Praticamente si nota un vuoto enorme tra una geometria piuttosto
avanzata fatta a scuola e quella universitaria.
Si può anche dire che gli spazi vettoriali sono nati più o meno così
come li conosciamo e bisogna presentarli come oggetto nuovo della
matematica.
Ma poi gli stessi testi non operano una sana relazione tra la geometria
lasciata a scuola e il programma di Erlangen.
A questo punto si pone il problema, che praticamente ti sei posto anche
tu.
Che genere di ponte gettare tra le conoscenze così avanzate della
matematica moderna e quello che si apprende a scuola?
Su questo ho già avuto modo di dire.
Bisogna a mio parere continuare col metodo sintetico e fare vedere
cos'è la geometria proiettiva e le geometrie non euclidee. Con
semplice metodo sintetico.
Poi si parla del programma di Erlangen.
Il concetto di gruppo si può dare anche a scuola(come viene dato in
molti testi per il biennio). La cosa importante è partire e rimanere
su esempi molto concreti.
All'università invece, i testi, dovrebbero riprendere proprio quello
che veniva fatto a scuola con la geometria analitica. Cioè far notare
cos'è una trasformazione del piano in se stesso, far rivedere come si
ricavano certe leggi per le trasformazioni ecc ecc.
Continuando così a fondere il metodo sintetico e quello algebrico in
modo sinergico.
Così non sarà difficile introdurre ai gruppi di trasformazione.
Proprio quelli di cui parla il programma di Erlangen.
Si noterà immediatamente la corrispondenza tra un gruppo di
trasformazioni e le sue relative equazioni.
E' proprio come quando si opera una banale trasformazione geometrica
del piano in se stesso. Vedo che una determinata legge di
trasformazione(equazione) se viene applicata, opera delle dilatazioni,
o delle similitudini, o delle affinità.
In questo caso il concetto di gruppo di trasformazioni è già per sua
essenza messo in relazione a qualcosa sia di geometrico che di
algebrico.
Non v'è nessuna forzatura innaturale, è la stessa geometria del
filosofo matematico Cartesio che fonda il tutto.
Algebra e geometria sinergiche già da secoli, e lo sono diventate
ancora di più col filosofo matematico Cartesio.
Una sinergia che col filosofo matematicao Leibniz trovò altri spunti
ancora più ricchi e che ci portà al Calcolo.
A mio parere, questi filosofi matematici hanno già dato nella loro
essenza tutto il *metodo*.
Una sana didattica, una didattica responsabile(parlo esclusivamente
degli autori dei libri e NON dei corsi) non deve fare altro che
continuare questa tradizione.
> Che in qualche modo ha completato il programma di Erlangen.
> L'altro grande passo e' stato compiuto da Whithney con la
> teoria delle immersioni. Si e' compreso che un ambiente
> lineare di dimensionalita' sufficientemente alta e' sufficiente
> per ospitare tutte le varieta' di dimensione finita. Mentre
> complementarmente Cartan ha insistito sulle caratterizzazioni
> intrinseche.
>
Questo è molto interessante. Ma non ricordo di averlo letto in
Bottazzini o altre storie della matematica. Ci sono libri che ne
trattano? Cioè libri più o meno di storia della matematica che
trattano questo tema?
> Il problema principale della geometria
> euclidea e' il rapporto con l'infinito il fatto che nella geometria
> proiettiva
> una specialissima classe di infiniti (gli infiniti di incidenza) entrano
> nello spazio di rappresentazione e' qualcosa che da un lato appare
> molto comodo e potente, dall'altro puo', legittimamente, essere visto
> con sospetto. E' forse questo sospetto la ragione per la quale gli autori
> della Open University in luogo: di "algebra lineare e geometria" hanno
> preferito parlare di "algebra lineare ed analisi"? E qui forse torna
> la tua domanda, perche non parlare di geometria analitica?
>
> Il motivo principale credo stia nel fatto che la geometria analitica
> e' rimasto un insieme di strumenti lontano dalla generalita' di strutture
> di varieta'. Quindi se si vuole giungere alla nozione di varieta',
> occorre dedicare molta enfasi a quella di struttura lineare e
> solo poi, dopo avere acquisito tutti gli strumenti propri dell'analisi,
> che e' l'ambiente piu' naturale per parlare di geometria analitica,
> giungere ad una sintesi delle due discipline. Questo in linea di
> principio. In pratica, nei corsi di fisica, per esempio, questo programma
> viene perseguito molto parzialmente, anche perche' c'e' pure la necessita'
> delle strutture di spazi di Banach. Allora la sintesi avviene nell'ambito
> della teoria degli spazi funzionali.
>
Concordo con questa tua analisi. Una fusione immediata di geometria e
analisi sarebbe difficoltosa proprio per problemi didattici.
Anche se però la stessa geometria differenziale è emblematica in
questo caso. E cioè una fusione che è possibile ogni volta che la
"visione" dello spazio non viene meno.
Io penso cmq che il *metodo* del filosofo matematico cartesio venga
tirato per la giacca. Da una parte ci sono i geometri e dall'altra gli
analisti. Nel mezzo ci sono gli algebristi che hanno fatto diventare
tutto questo molto più astratto.
Forse è anche colpa dell'aritmetizzazione dell'analisi?
Quando facciamo geometria e quando facciamo analisi, stiamo cmq
ragionando sullo spazio. Il nostro punto di partenza è praticamente
geometrico. Poi con le varie applicazioni alla fisica(e non solo) si è
generalizzato il tutto.
Questa è l'intuizione del grande Newton.
E' stato lui il primo a ridurre in modo sistematico il fenomeno fisico
a fenomeno geometrico. Ed è stato seguito su questa strada da Eulero,
Lagrange, Hamilton ecc ecc.
Newton non fa altro che prendere le intuizioni sul mondo fisico e le
riduce a forma geometrica. Ovvero, usa la geometria e fa notare che
possiamo parlare di quei punti P(x,y) come punti in *moto*.
E' questa una geometria che si arricchisce di un elemento che non
poteva essere proprio della geometria euclidea, che è osservazione
delle figure "statiche".
Newton inserisce in questo ambito il *moto*, il punto in movimento.
Forse per questo Lagrange ebbe l'idea di ridurre la meccanica a pura
roba di matematica:)
> La nozione di fascio di rette, fascio di oggetti di incidenza, le nozioni
> piu' proprie della geometria proiettiva rimangono offuscate da una
> strumentazione che dovrebbe essere piu' potente, ma che forse e'
> troppo piu' potente. Infatti se nella matematica contemporanea la
> tendenza e' a recuperare le nozioni costruibili e raccontabili con
> una struttura logica del primo ordine, la teoria degli spazi
> funzionali si colloca molte cardinalita' al di sopra di questo livello.
>
Approfitto per porti una domanda non molto in topic.
La matematica moderna(Bourbaki) la facciamo finire verso gli anni '50 e
poi facciamo cominciare quella contemporanea?
Bottazzini per es. parla di matematica moderna, ma si rifà alle
categorie della storiografia. Quindi per lui, la matematica moderna è
quella di Cartesio, ecc ecc, mentre quella contemporanea è quella
dell'Ottocento e Novecento. Proprio come fanno gli storici delle
civiltà.
In fisica si presenta lo stesso problema. E noi diciamo che la fisica
di Newton non è moderna ma classica, anche se nata durante l'età
moderna.
E per fisica moderna intendiamo quella da Einstein in poi(o anche un
po' pirma.....).
Con la matematica come siamo messi?
> Oggi come oggi e' molto poco. E' esistita negli anni ottanta una
> fervida attivita' sperimentale per importare nei programmi di
> scuola superiore le nuove nozioni unificanti prodotte dalla
> ricerca matematica dell'ultimo secolo, ma ben poco e' veramente
> arrivato. Io ricordo di un libro in cui si introducevano le nozioni di
> struttura algebrica, di azione su insiemi e di trasformazioni, che mi
> spinse, come gia' dicevo ad acquistare un libro edito dalla Mondadori
> su algebra lineare ed analisi che era raccomandato dagli autori proprio
> per la gradualita' con cui le nozioni piu' astratte venivano poste in
> relazione con le strutture geometriche. Non lo raccomanderei, forse,
> perche' alla fine si ha la sensazione di avere capito tutto, tranne proprio
> in cosa consiste la forza di questi schemi di isomorfismi.
>
Mi farebbe piacere consultare questo libro. Perché forse va nella
direzione che auspico io.
Mi dai l'indicazione bibliografica esatta per favore?
Sono cmq d'accordo con te. E cioè sono libri che non possono esaurire
assolutamente la complessità e la ricchezza della matematica del
Novecento.
Ma forse(appena lo consulto ti dirò meglio la mia opinione) potrebbe
essere ottimo per gettare quel ponte di cui ho parlato sopra.
Fammi sapere per favore:)
> Son tutti testi dall'impostazione storica, contengono molte delle
> idee di base, ma ti occorrerebbe qualche libro che ti metta in
> grado di cogliere le idee unificanti che sono emerse in seguito.
> Vedro' di tenere gli occhi aperti, e se mi capita qualcosa di
> indicarne la lettura. Devo pensarci, serve anche a me.
>
>
Hai provato a vedere Abeasis, Algebra lineare e geometria, Zanichelli?
Questo però non esiste più in commercioè, perché è stato splittato
in due libri.
Elementi di alge lin e geo et Complementi di algebra lin e geo.
A mio parere può essere un ottimo ponte tra quello della Mondadori e
il Sernesi per esempio.
Io ne ho consultati molti di questi libri. A mio parere, solo
integrandone una buona quantità si può giungere ad avere una visione
completa e allo stesso tempo graduale.
Ci sono degli autori che partono in modo piano e poi operano delle
fughe in avanti dando per scontate una serie di conoscenze che il
lettore non ha ancora.
Io penso che questo accada per vari motivi. A cominciare dalle scelte
editoriali, e cioè bisogna risparmiare sul numero di pagine:)
Poi sono libri indicati per gli studenti, e le lacune del libro(la
chiarezza) verrà colmata dal docente durante il corso.
E poi c'è cmq una impostazione didattica che non tiene conto di quel
ponte di cui sopra.
Un ponte che però potrebbe essere lanciato proprio dal professore
durante il corso, così da sperimentare sul campo la sua funzionalità,
e magari scrivere un bel libro sull'argomento.
Noto di aver concluso in perfetto topic. Infatti Poincaré era
interessato proprio a questo ponte. Io penso che questo ponte lo debba
gettare chi insegna al primo anno geometria, sperimentare, e quindi
scrivere finalmente un bel libro sull'argomento. Un libro che può
anche rimandare a pagine(o capitoli ) di altri libri. Così se
l'editore non gli permette di scrivere molto, potrà sempre indicare
l'ampliamento da fare su un altro libro.
Ciao:)
A.
Poincarè
geometrico.
Ma c'é una questione che proprio non capisco e spero di essere
illuminato.
Ne parlavo già con Arcobaleno quando dicevo:
"Però secondo me, ritornando ai testi del 1° anno universitario
rispetto al Comessatti, mancano di alcune parti per comprendere
interamente come la geo proiettiva includa la geo euclidea. Detta in
altra maniera cioè la subordinazione della geometria euclidea alla
geometria proiettiva.
Nel cap del Sernesi sulla proiettiva non parla di distanza, angoli pur
parlando di birapporto.
Facendo per esempio anche una piccola considerazione nel piano.
Tale questione non viene trattata da nessun testo di geometria 1 a mia
disposizione, forse non serve o mal si concilia con strutture astratte
come gli sp. vettoriali."
Mi spiego meglio.
Per parlare di geometria euclidea (e non-euclidee) inclusa nella
geometria proiettiva bisogna prendere in considerazione anche le
proprietà metriche con metodi proiettivi.
Tale discorso, secondo il mio parere, è valido per ogni geometria
inclusa in un altra.
Per esempio, la definizione proiettiva di angolo utilizzando la formula
di Laguerre,
la metrica euclidea e non usando la conica di Klein("assoluto" di
Cayley).
Che fine hanno fatto con i nuovi metodi d'indagine (sp. vettoriali)?
Ci sarebbe dell'altro ma al momento non mi viene in mente. Altri
impegmi mi chiamano.
Ciao
Poincarè
Tutte le proprietà metriche che , utilizzando l' "assoluto" di Cayley
Arcobaleno
Poincarè wrote:
> Per esempio, la definizione proiettiva di angolo utilizzando la formula
> di Laguerre,
> la metrica euclidea e non usando la conica di Klein("assoluto" di
> Cayley).
> Che fine hanno fatto con i nuovi metodi d'indagine (sp. vettoriali)?
>
Ma Comessatti tratta le geometrie non euclidee?
Cioè, si mette a derivare le non euclidee dalla geo proiettiva?
Comessatti svolge il programma di Erlangen?
Io ero convinto che Comessatti, così come Campedelli, Castelnuovo e
altri libri di Geometria analitica e proiettiva usati fino agli anni
'60 si limitassero alla geometria cartesiana e a quella proiettiva.
Ciao e grazie
A.
Tetis
scritto:
>
> Tetis wrote:
>
> > Credo che principale responsabile di questa trasformazione sia
> > la nozione di rappresentazione. E l'unificazione causata dalla
> > nozione di morfismo che ha permesso di comprendere in modo
> > piu' nitido le relazioni fra geometria proiettiva ed affine. Ed il
> > rapporto interno fra le geometrie metriche. Il punto di vista che
> > prevale e' quello di rappresentazione di un gruppo. Il completamento
> > del programma di classificazione dei gruppi e i progressi nella
> > teoria delle rappresentazioni dei gruppi lineari hanno reso di
> > basilare importanza una familiarita' immediata con la nozione di
> > spazio vettoriale.
> >
>
> Per "rappresentazione" dei gruppi intendi i gruppi di trasformazione?
Si, ma la nozione di rappresentazione e' molto generale e non
si ancora necessariamente alla rappresentazione geometrica,
in fisica si ha la necessita' di librare la nozione
generale al di sopra del supporto sintetico fornito dalla geometria.
Quello che la fisica insegna e' che la rappresentazione piu' generale
del gruppo delle rotazioni governa la fenomenologia atomica. Si pone
allora spontaneamente, e presto, alla mente dello studente di fisica il
problema, molto concreto, di comprendere a che livello si situa la geometria
sintetica rispetto a questa generalita'. Ed il problema pratico sul piano
didattico
si lega al problema piu' avanzato sul piano della ricerca. Manca una
risposta
condivisa, si hanno solo indizi circa l'ambito tematico in cui andare a
cercare
una tale risposta. Allora si naviga nell'incertezza delle scelte didattiche:
dobbiamo
privilegiare la presentazione dell'ambito tematico in cui si pone questa
domanda
fondamentale, o insistere sulla scelta standard della descrizione del
prodotto
primitivo? Vedi in questo come la nozione sintetica e la semplicita'
promette,
ancora una volta di collocarsi, in fondo ad una lunga catena evolutiva? O
piuttosto
come possono essere elaborati i ponti interni fra la molteplicita' delle
esperienze.
Da una parte lo scrivere ed il contare, dall'altro il disegno, dall'altro
ancora il
movimento...
Alcune proposte didattiche sperimentali prevedono di cominciare ad insegnare
la chimica in termini di equilibri dinamici, di invitare gli studenti a
riflettere sulla
emergenza di equilibri da una moltidudine di elementi dinamici. Ma in
mancanza
di una vera sintesi matematica tutto questo rischia di condurre gli studenti
in
vicoli ciechi. Quindi non posso che condividere, almeno in parte, la scelta
di
un atteggiamento pragmatico basato sull'insegnamento di temi che hanno un
futuro certo.
[...]
Vi si
> giunge con una intuizione geometrica, e cioè SI VEDE cosa succede nel
> piano. Si ha una sinergia molto potente tra quello che SI VEDE e si
> può quindi dedurre. E la deduzione non è un teorema di geometria
> sintetica ma una serie di equazioni, di leggi.
>
> In questo senso il metodo è ancora un metodo geometrico.
Ad esempio lo studente comprende presto che proiettando con un
fascio di rette parallele un piano su un piano intersecato puo' ottenere
una dilatazione lungo un asse, ma anche un'affinita' in cui un
asse e' conservato ed un altro e allungato e ruotato, comprende che
componendo due di queste proiezioni puo' ottenere una dilatazione
di tutti gli assi, quindi ha imparato che le affinita' del piano sono una
sottoclasse delle proiezioni. Imparera' poi la nozione di gruppo e
porra' in relazione questa scoperta con la nozione di sottogruppo.
All'ora l'ordine naturale potrebbe essere: geometria euclidea,
geometria proiettiva, geometria affine come sottocaso. Si trova invece
sul Sernesi, ma anche su moltissimi libri quell'altro ordine:
affine -> euclidea -> proiettiva
e poi si passa ad esplorare il nesso fra proiettiva ed affine.
Questa impostazione risente evidentemente dell'ordine storico
per cui lo studio analitico della geometria euclidea comincia con
l'introduzione delle coordinate cartesiane. Un accenno alle origini
delle scelte didattiche non farebbe male. Ma spesso si ritiene che
questi argomenti lo studente sveglio se li sia gia' rigirati al liceo.
Se questo e' stato il mio caso, non lo stesso, bene e male, e' vero
nella generalita' dei casi. D'altra parte se uno ha trovato i libri
sperimentali
a cui accennavo, sul suo percorso, ha in mente un'approccio ancora piu'
generale. La topologia -> la metrica -> l'euclidea -> la proiettiva ->
l'affine.
Ed anche i reticoli booleani con tutte le strutture di inclusione ed
esclusione.
Questo e' Leibniz che riflette su Cartesio. Ora puo' innestare un altro
ramo,
volendo, la topologia -> i gruppi, gli anelli, le strutture -> i numeri -> i
prodotti
cartesiani -> gli spazi vettoriali non normati e normati -> l'affine e
l'euclidea ->
Ops? E qui gli spazi proiettivi dove sono finiti? Dramma o scoperta. Forse
sono giustamente conseguenti alla struttura euclidea di spazio. Bene questo
e' Boole, Cayley, Dedekind che riflettono su Leibniz e Cartesio. Cercando di
recuperare gli spazi proiettivi... lo studente medita la nozione di
immersione,
e la struttura generale di surgezione, i morfismi, fra le strutture, le
estensioni,
ma puo' essere dispersivo.
[...]
Condivido gran parte di quel che dici.
> E' proprio come quando si opera una banale trasformazione geometrica
> del piano in se stesso. Vedo che una determinata legge di
> trasformazione(equazione) se viene applicata, opera delle dilatazioni,
> o delle similitudini, o delle affinità.
>
> In questo caso il concetto di gruppo di trasformazioni è già per sua
> essenza messo in relazione a qualcosa sia di geometrico che di
> algebrico.
E leggendo gli elementi lo studente scoprirebbe che anche la
nozione di sezione razionale e' posta in relazione con
costruzioni geometriche. Comincera' a pensare ad un'algebra
delle operazioni sugli insiemi, e pensera' alle costruzioni
geometriche come ad una particolare struttura algebrica.
> Non v'è nessuna forzatura innaturale, è la stessa geometria del
> filosofo matematico Cartesio che fonda il tutto.
> Algebra e geometria sinergiche già da secoli, e lo sono diventate
> ancora di più col filosofo matematico Cartesio.
> Una sinergia che col filosofo matematicao Leibniz trovò altri spunti
> ancora più ricchi e che ci portà al Calcolo.
>
> A mio parere, questi filosofi matematici hanno già dato nella loro
> essenza tutto il *metodo*.
Gia', hanno assegnato i compiti agli scienziati dopo di loro in un
certo qual modo.
>
> Una sana didattica, una didattica responsabile(parlo esclusivamente
> degli autori dei libri e NON dei corsi) non deve fare altro che
> continuare questa tradizione.
> > Che in qualche modo ha completato il programma di Erlangen.
> > L'altro grande passo e' stato compiuto da Whithney con la
> > teoria delle immersioni. Si e' compreso che un ambiente
> > lineare di dimensionalita' sufficientemente alta e' sufficiente
> > per ospitare tutte le varieta' di dimensione finita. Mentre
> > complementarmente Cartan ha insistito sulle caratterizzazioni
> > intrinseche.
> >
>
> Questo è molto interessante. Ma non ricordo di averlo letto in
> Bottazzini o altre storie della matematica. Ci sono libri che ne
> trattano? Cioè libri più o meno di storia della matematica che
> trattano questo tema?
Odifreddi non e' un grande storico della matematica ma
fornisce degli spunti molto belli. Tuttavia parla di Whitney
solo di striscio in rapporto a Nash e lo studente attento, e
bene informato, in questo caso io, ritrova il complemento
che non trovava nei libri russi di geometria che ha letto e
studiato e/o cercato di studiare.
http://en.wikipedia.org/wiki/Whitney's_embedding_theorem
Quello che e' avvincente nello studio di Whitney e' l'attenzione
alla generalizzazione di nozioni geometriche basilari dello
spazio euclideo, quando le dimensioni crescono di numero.
Uno studioso di analisi o di analisi complessa, come non
poteva in passato prescindere dal lavoro di Ulisse Dini,
non dovrebbe potere oggi prescindere da questo contributo.
Che si ricollega in modo elementare a temi e sviluppi sofisticati
a cavallo fra la geometria e l'algebra e l'analisi, come il calcolo
delle variazioni, la teoria delle superfici minime, l'algebra
dei grassmanniani e l'estensione di Cartan.
[...]
> Concordo con questa tua analisi. Una fusione immediata di geometria e
> analisi sarebbe difficoltosa proprio per problemi didattici.
> Anche se però la stessa geometria differenziale è emblematica in
> questo caso. E cioè una fusione che è possibile ogni volta che la
> "visione" dello spazio non viene meno.
[...]
E' colpa dell'aritmetizzazione dell'analisi,
o dell'algebrizzazione della geometria,
se la intuizione dello spazio ha dovuto
essere profondamente filtrata e scandita
sillaba a sillaba? Penso che a queste domande
che ponevi avevo risposto inizialmente a questo
e-mail. Ma ripeto volentieri, manca una conclusione
circa il modo in cui le nozioni geometriche elementari,
e la geometria euclidea in tre dimensioni, possono
essere ricollegate alla generalita' di nessi interni alla
struttura di rappresentazione ed all'algebra (o dovremmo
dire all'aritmetica?) ed all'analisi della dinamica.
> Quando facciamo geometria e quando facciamo analisi, stiamo cmq
> ragionando sullo spazio. Il nostro punto di partenza è praticamente
> geometrico. Poi con le varie applicazioni alla fisica(e non solo) si è
> generalizzato il tutto.
> Questa è l'intuizione del grande Newton.
Senza tacere il ruolo di stimolo dialettico fornito
ad esempio a Galileo Galilei dai filosofi di formazione
ecclesiastica, o il ruolo silenzioso, ma essenziale di
Luca Pacioli, Nicola Cusano, nella riscoperta dei metodi
ellenistici dell'esaustione, o quello di Viete, di Fermat,
di Mersenne, nella riscoperta e nel rilancio, fuori dalla
polvere delle antiche miniature, dei metodi algebrici.
> E' stato lui il primo a ridurre in modo sistematico il fenomeno fisico
> a fenomeno geometrico. Ed è stato seguito su questa strada da Eulero,
> Lagrange, Hamilton ecc ecc.
Io non posso fare a meno di considerare anche che Dirac, Heisenberg,
Von Neumann, Erdos, Selberg, Artin, Groethendieck, Connes,
hanno messo in relazione interna le strutture trovate negli insiemi,
nell'algebra, nello studio delle equazioni del moto, e nello studio
degli spazi funzionali, con i modi del ragionamento, con la logica
e con la statistica dei grandi numeri,
promettendo un superamento ed un'ampliamento del punto di vista
geometrico in un contorno in cui la geometria sembra acquisire
una ragion d'essere piu' articolata, che trascende la stasi della
figura geometrica, per diventare una scienza del divenire. Finendo
in qualche modo per invertire la riflessione di Newton e Galileo
Galielei che muoveva dalla geometria al moto.
[...]
> Approfitto per porti una domanda non molto in topic.
> La matematica moderna(Bourbaki) la facciamo finire verso gli anni '50 e
> poi facciamo cominciare quella contemporanea?
Credo che, se la memoria non m'inganna, un istituto bourbaki
sia sopravvissuto allo scioglimento del circolo originario. Anche
se questa notizia storica non risponde alla tua domanda. Onestamente
le classificazioni storiografiche non mi aiutano molto a comprendere la
storia. Mi piacerebbe sapere che esiste una scienza dell'evoluzione
del pensiero, per mettere ordine nella confusione di idee al riguardo.
> Bottazzini per es. parla di matematica moderna, ma si rifà alle
> categorie della storiografia. Quindi per lui, la matematica moderna è
> quella di Cartesio, ecc ecc, mentre quella contemporanea è quella
> dell'Ottocento e Novecento. Proprio come fanno gli storici delle
> civiltà.
Ovviamente il problema si estende anche a questo ambito, ma
se l'idealismo e' difficile il materialismo storico che ne deriva come
propaggine non mi soddisfa. Penso che risentiamo di questa mancanza
di una sintesi adeguata fra modi di vedere che sono divisi nella storia
da contrapposizioni che hanno in parte creato il dibattito per poi
trascinarlo
in un agone politico dove motivi molto piu' antichi sono entrati in
contrapposizione, insieme con elementi affatto nuovi, immessi
sulla scena dalla navigazione intercontinentale e dalla crescita
delle connessioni. Se in passato l'america era il nuovo mondo
oggi e' il mondo nel suo intero a rappresentare, come forse
al tempo di Roma ed in Roma, un nuovo mondo.
Si pensi alla tradizionale alternanza fra chiusura e
dialogo nell'ambito della distanza geografica fra est ed ovest
nello stesso impero romano, e prima ancora alla miriade di sensibilita'
diverse in seno al mediterraneo, dai micenei, ai dori, ai fenici, ai
cartaginesi, da una parte ed alla steppa ed al continente europeo.
Esiste un groviglio intricato di motivi di comunione che
hanno pero' in se' il seme della discordia. Questa ricchezza rende conto
della moltitudine di approcci differenti che ritroviamo nella filosofia e
nel
pensiero matematico contemporaneo? Ovviamente no, ma ne e' un
substrato in cui la velocita' dei mezzi di comunicazione fa il dialogo
sempre piu' serrato.
> In fisica si presenta lo stesso problema. E noi diciamo che la fisica
> di Newton non è moderna ma classica, anche se nata durante l'età
> moderna.
> E per fisica moderna intendiamo quella da Einstein in poi(o anche un
> po' pirma.....).
>
> Con la matematica come siamo messi?
Un reticolo di inclusione ed esclusione?
Analogie e differenze. Identita' ed opposizione,
dalla trama fittissima ed in continua evoluzione,
come individuare le linee guida o i motivi emergenti
non e' facile, perche' gia' la matematica e' solo una parte
dei temi di quell'immenso tappeto ricamato che e' la
storia.
> > Oggi come oggi e' molto poco. E' esistita negli anni ottanta una
> > fervida attivita' sperimentale per importare nei programmi di
> > scuola superiore le nuove nozioni unificanti prodotte dalla
> > ricerca matematica dell'ultimo secolo, ma ben poco e' veramente
> > arrivato. Io ricordo di un libro in cui si introducevano le nozioni di
> > struttura algebrica, di azione su insiemi e di trasformazioni, che mi
> > spinse, come gia' dicevo ad acquistare un libro edito dalla Mondadori
> > su algebra lineare ed analisi che era raccomandato dagli autori proprio
> > per la gradualita' con cui le nozioni piu' astratte venivano poste in
> > relazione con le strutture geometriche. Non lo raccomanderei, forse,
> > perche' alla fine si ha la sensazione di avere capito tutto, tranne
proprio
> > in cosa consiste la forza di questi schemi di isomorfismi.
> >
>
> Mi farebbe piacere consultare questo libro. Perché forse va nella
> direzione che auspico io.
> Mi dai l'indicazione bibliografica esatta per favore?
Open University
* Vol. 1: ``Introduzione all'analisi e all'algebra : analisi"
* Vol. 2: ``Introduzione all'analisi e all'algebra : algebra"
2da Edizione, Biblioteca della EST Mondadori, 1977 .
Circa 450 pag. ciascuno. Con illustrazioni.
Si leggono d'un fiato e poi vuoi riaprirli e dettagliare, ed
ancora negli anni a venire.
[...]
>... ti occorrerebbe qualche libro che ti metta in
> > grado di cogliere le idee unificanti che sono emerse in seguito.
> > Vedro' di tenere gli occhi aperti, e se mi capita qualcosa di
> > indicarne la lettura. Devo pensarci, serve anche a me.
> >
> >
>
> Hai provato a vedere Abeasis, Algebra lineare e geometria, Zanichelli?
E' stato insieme con il libro di Lang il mio testo base di geometria.
Ma e' come dici qui di seguito:
[...]
> Io ne ho consultati molti di questi libri. A mio parere, solo
> integrandone una buona quantità si può giungere ad avere una visione
> completa e allo stesso tempo graduale.
>
> Ci sono degli autori che partono in modo piano e poi operano delle
> fughe in avanti dando per scontate una serie di conoscenze che il
> lettore non ha ancora.
[...]
Così se
> l'editore non gli permette di scrivere molto, potrà sempre indicare
> l'ampliamento da fare su un altro libro.
>
> Ciao:)
> A.
>
Poincarè
Arcobaleno ha scritto:
> Poincarè wrote:
>
> > Per esempio, la definizione proiettiva di angolo utilizzando la formula
> > di Laguerre,
> > la metrica euclidea e non usando la conica di Klein("assoluto" di
> > Cayley).
> > Che fine hanno fatto con i nuovi metodi d'indagine (sp. vettoriali)?
> >
>
>
> Ma Comessatti tratta le geometrie non euclidee?
> Cioè, si mette a derivare le non euclidee dalla geo proiettiva?
Quando ho scritto:
>> Ora vorrei continuare con Comessatti 2 voll. (opera incompleta
>> purtroppo non ha ultimato il suo lavoro)
> Io ero convinto che Comessatti, così come Campedelli, Castelnuovo e
> altri libri di Geometria analitica e proiettiva usati fino agli anni
> '60 si limitassero alla geometria cartesiana e a quella proiettiva.
Forse può essere utile alla nostra discussione:
"Lezioni di geometria analitica e proiettiva" autore Comessatti
dalla prefazione (1a parte)
"....In linea sommaria danno materia a questa prima parte, le nozioni
fondamentali sui vari sistemi di coordinate (escluse, almeno in
dettaglio, quelle proiettive), le loro applicazioni a problemi di
natura prevalentemente metrica, ed alla rappresentazione analitica di
enti geometrici; insomma, salvo le ripercussioni del piano unitario,
che si riflettono in qualche lacuna, ed in taluni apprestamenti
preparatori, quanto può formare oggetto d'un corso, a sé stante, di
Geometria analitica.
La 2a parte sarà dedicata alla Geometria proiettiva, svolta con
metodo misto, pur senza trascurare le questioni assiomatiche che
daranno materia ad un ampio capitolo.
La 3a parte (qui s'inserisce quando dicevo sull'incompletezza
dell'opera) alla teoria generale delle varietà quadratiche, alle
proprietà proiettive delle curve algebriche piane e sghembe, ed
eventualmente alle metriche proiettive non euclidee.
Nella trattazione delle questioni metriche ho impiegato
sistematicamente, a sussidio del metodo cartesiano, l'algoritmo
vettoriale.
Quasi superfluo dire ch'esso apporta allo svolgimento vantaggi notevoli
d'espressione e di concisione; mentre, in linea didattica, la sua
opportunità propedeutica credo non possa essere disconosciuta.
.... un capitolo è dedicato agli elementi impropri, ai postulati
grafici, alle leggi di dualità, agl'immaginari, ed ai corrispondenti
algoritmici analitici. In corrispondenza agli schemi del piano
generale, lo svolgimento oltrepassa in talune parti i bisogni
immediati, mirando a mete più lontane.
In linea didattica, è manifesta l'opportunità, che, in un corso di
Geometria analitica e proiettiva, l'introduzione delle nozioni grafiche
non sia troppo ritardata, . . . "
dalla prefazione (2a parte)
"... questa seconda parte è dedicata alla Geometria proiettiva;
intendasi allo studio delle corrispondenze proiettive tra forme
fondamentali. In massima vi si parla soltanto di varietà lineari; ...
In tema d'indirizzo ... l'ambiente normale in cui qui si considerano le
corrispondenze proiettive, è lo spazio ampliato (complesso); il che
concede l'appoggio ad una metrica euclidea, della quale si profitta
essenzialmente a vantaggio degli algoritmi canonici (coordinate
proiettive e birapporti). Lo studio vien condotto dapprima
nell'ambiente complesso, e subordinatamente in quello reale;....la
considerazione degli elementi complessi conferisce favorevolmente ad
illustrare la subordinazione della geometria metrica alla geometria
proiettiva, della quale in questo libro si parla con larghezza adeguata
...."
Ciao e a 'presto'
Poincarè
Arcobaleno
Tetis wrote:
> > Mi farebbe piacere consultare questo libro. Perché forse va nella
> > direzione che auspico io.
> > Mi dai l'indicazione bibliografica esatta per favore?
>
> Open University
>
> * Vol. 1: ``Introduzione all'analisi e all'algebra : analisi"
> * Vol. 2: ``Introduzione all'analisi e all'algebra : algebra"
>
> 2da Edizione, Biblioteca della EST Mondadori, 1977 .
> Circa 450 pag. ciascuno. Con illustrazioni.
>
> Si leggono d'un fiato e poi vuoi riaprirli e dettagliare, ed
> ancora negli anni a venire.
>
Ti ringrazio per l'informazione, li ho consultati poco fa ma devo
rivederli meglio.
In particolare mi sono soffermato su quello di algebra.
Ho notato che spazi vettoriali, matrici , determinanti ecc sono
trattati in modo chiaro.
Sulle strutture algebriche non ho visto bene, bisogna leggere con calma
e non al volo per capire se le cose sono ben spiegate.
Ma anche tu avevi delle riserve su questa parte che ti portavano a dire
che alla fine si capisce tutto meno che la generalità di queste
nozioni.
E' interessante il fatto che si applicano queste nozioni alle equazioni
differenziali anticipando dei temi che di solito si trattano in
seguito.
Credo che la caratteristica di questi libri sia quella di portare al
più presto possibile e in modo chiaro il lettore a vedere subito le
applicazioni della matematica moderna nei vari ambiti.
Più di questo non posso dire per ora. Forse tu potresti aggiungere
qualcosa se vuoi.
Arcobaleno
Poincarè wrote:
> > > Per esempio, la definizione proiettiva di angolo utilizzando la formula
> > > di Laguerre,
> > > la metrica euclidea e non usando la conica di Klein("assoluto" di
> > > Cayley).
> > > Che fine hanno fatto con i nuovi metodi d'indagine (sp. vettoriali)?
> > >
Non saprei dirti. Tu hai qualche idea?
Sei stato molto gentile a riportare parte della prefazione di
Comessatti.
Ma è un libro che dovrò consultare per capire bene di cosa si tratta.
Mi incuriosisce il testo per le superiori di Lombardo Radice che parla
del programma di Erlangen come tu dici. Proverò a vederlo.
Conosci dei libri che introducano al programma di Erlangen a parte
questo?
Sernesi e Nacinovich per es. sono delle trattazioni vere e proprie,
cioè dei trattati o cmq hanno questa impostazione.
A me interesserebbe vedere un libro dove si parla del programma di
Erlangen introducendo il lettore alla interpretazione dello stesso con
tanti esempi concreti, e cioè geometrici. Questo non significa che non
ci debba essere algebra, ma significa che oltre all'algebra ci deve
essere il "ragionamento" geometrico. Proprio come avviene quando si
presenta la geometria analitica a scuola.
Inutile dire che un libro del genere darà per scontato la conoscenza
della geometria proiettiva, euclidea e delle non euclidee.
Grazie:)
A.
Poincarè
Arcobaleno ha scritto:
> Mi incuriosisce il testo per le superiori di Lombardo Radice che parla
> del programma di Erlangen come tu dici. Proverò a vederlo.
>
Il testo ha un approccio per "problemi" ma con un angolazione di
tipo storico-culturale,
il metodo didattico utilizzato è a spirale attraverso delle
sistemazioni formali successive.
Il procedimento seguito, sono gli stessi autori che riassumono quanto
fatto, è il seguente:
Gruppo delle isometrie (+ omotetia) --->
Gruppo delle similitudini (+ omologia affine) --->
Gruppo delle affinità (+ omologia) --->
Gruppo delle proiettività.
Purtroppo non sviluppa le geometrie non euclidee.
Pur essendo un testo, è vero sperimentale, per le superiori mi pare
non abbia eguali.
> Conosci dei libri che introducano al programma di Erlangen a parte
> questo?
>
-- Dai un o sguardo al link:
http://www.liceo-vallisneri.lu.it/testi.htm
L'INSEGNAMENTO DELLA GEOMETRIA (2 tomi), M.P.I. - U.M.I. (Unione
Matematica Italiana) Quaderni 19/2 per docenti scuole superiori, non
è un libro.
A mio avviso ci sono diversi articoli interessanti tra cui:
"Varie geometrie" pag. 28-34 scritto da Furinghetti,
"Trasformazioni geometriche e Pgm Erlangen" pag. 111-143 autore
Accascina.
--Ho sentito parlare anche del testo "Dalla geo. Euclidea alla geo.
Iperbolica: il modello di Klein" di Silvio Maracchia.
Sicuramente è più facile per te trovarlo, nel mio caso lo cercherò
nelle biblioteche comunali nella speranza di trovarlo. Proverò anche
con il consiglio che mi hai dato tempo fa, per quanto riguarda le
università.
Probabilmente sai già che hanno pubblicato nel 98 la famosa prolusione
di klein, in quel testo c'è anche un altro articolo che parla della
"Cosiddetta geo. Non euclidea" è klein stesso che da quel titolo.
Se per caso non ne sapevi nulla è un ulteriore informazione.
Ciao
Poincarè
Tetis
ha scritto:
>
> Probabilmente sai già che hanno pubblicato nel 98 la famosa prolusione
> di klein, in quel testo c'è anche un altro articolo che parla della
> "Cosiddetta geo. Non euclidea" è klein stesso che da quel titolo.
> Se per caso non ne sapevi nulla è un ulteriore informazione.
>
> Ciao
> Poincarè
Se posso dare un piccolo contributo a questo elenco citerei
questa pagina, Ugo Morin allievo di Comessatti, ha contribuito
molto all'elaborazione dei nuovi programmi ministeriali di insegnamento
della matematica. L'importanza delle generalizzazioni di scuola francese ed
americana che era gia' riconosciuta nella ricerca, ad esempio con Aldo
Andreotti,
(di cui Nacinovich e' stato l'ultimo allievo) era molto sentita al tempo di
Morin
che avrebbe voluto una rifondazione integrale dei programmi scolastici:
http://math.unipa.it/~brig/sds/prima%20pagina/tirocinio/Morin%20Ugo%20biblio.htm
> > Sernesi e Nacinovich per es. sono delle trattazioni vere e proprie,
> > cioè dei trattati o cmq hanno questa impostazione.
> >
> > A me interesserebbe vedere un libro dove si parla del programma di
> > Erlangen introducendo il lettore alla interpretazione dello stesso con
> > tanti esempi concreti, e cioè geometrici. Questo non significa che non
> > ci debba essere algebra, ma significa che oltre all'algebra ci deve
> > essere il "ragionamento" geometrico. Proprio come avviene quando si
> > presenta la geometria analitica a scuola.
> >
> > Inutile dire che un libro del genere darà per scontato la conoscenza
> > della geometria proiettiva, euclidea e delle non euclidee.
> >
> > Grazie:)
> > A.
>
Tetis
scritto:
> Io invece penso che il tutto è messo in questa forma per mera
> assiomatizzazione.
> C'è un rigore piuttosto forte in questa costruzione della geometria.
> A mio parere è il tentativo di assiomatizzare il programma di
> Erlangen.
Condivido pienamente questa opinione, aggiungo solo che
il rischio concreto di questa assiomatizzazione e' che si
troppo forte, piu' forte della realta'.
> E Weyl lo fonda sul concetto di gruppo perché è una struttura ben
> definita e che può fare al caso del programma di Erlangen.
Al tempo di Weyl si pensava pero', anche che la nozione di gruppo
fosse davvero una nozione descrittiva minimale. Questo ha fortemente
condizionato la presentazione del programma di Erlangen.
> La geometria degli spazi vettoriali non è il fondamento ma solo un
> insieme di metodi.
Ho trovato questo link, pure se in inglese, dove la nozione di gruppo
ed il complesso del programma di Erlangen e' presentato ad albero,
con successivi approfondimenti. Il punto di vista e' quello tradizionale
alla Cayley Klein:
euclidea, affine, inversiva, iperbolica, proiettiva,
Si giunge presto al ruolo centrale delle superfici a curvatura costante:
includendo il piano di Minkowsky, la sfera, l'iperboloide (detto,
impropriamente
pseudosfera).
BTW, qualcuno mi sa spiegare sinteticamente in cosa consiste
la geometria di Laguerre? Ed il piano di Benz?
> La geometria cartesiana può giovarsi dell'algebra lineare per trattare
> meglio i suoi oggetti. Una volta che questa geometria è ampliata, la
> si usa per dare un metodo analitico alla geometria in genere. Ed ecco
> che ci ritroviamo la geometria "basata" sui vettori. Ovviamente ci sono
> tanti vantaggi, ma sono gli stessi che si possono notare quando si usa
> l'algebra lineare per trattare i problemi di geometria cartesiana.
Eppure c'e' voluto circa un decennio per giungere alla coordinazione di
Plucker. E quasi vent'anni per la complessificazione di Cayley. Usare
i numeri complessi per descrivere oggetti geometrici come le proiezioni
stereografiche, fantascienza, allora, ma ancora oggi e' difficile trovare
libri che uniscano intuizione, semplicita' e rigore su questi argomenti.
Spesso li evitano.
> Poi si inserisce il concetto di gruppo che fa proprio al caso del
> programma di Erlangen.
>
> Lo stesso Nacinovich dice che il suo libro trae spunto direttamente da
> Klein e Weyl.
> Quindi, quel tipo di sistematizzazione ha dei padri ben precisi. E io
> mi fido di Nacinovich.
>
> Ovviamente qui ho solo espresso modeste intuizioni. E come detto
> cercherò di approfondire meglio nelle prossime settimane.
>
>
> Ciao e grazie:)
> A.
>
Tetis
> Il 20 Mar 2006, 12:50, "Arcobaleno" <arcobaleno...@libero.it> ha
> scritto:
> > La geometria degli spazi vettoriali non è il fondamento ma solo un
> > insieme di metodi.
> Ho trovato questo link, pure se in inglese,
Scusate, il link, l'ho annunciato, ma non l'ho trascritto:
http://www.maths.gla.ac.uk/~wws/cabripages/klein/klein0.html
ditemi cosa ne pensate, e se c'e' di meglio?
Rinnovo anche la richiesta: BTW, qualcuno mi sa spiegare
sinteticamente in cosa consiste
la geometria di Laguerre? Ed il piano di Benz?
Arcobaleno
Tetis wrote:
> http://www.maths.gla.ac.uk/~wws/cabripages/klein/klein0.html
>
> ditemi cosa ne pensate, e se c'e' di meglio?
>
E' fatto bene. Di meglio ci sarebbero i libri. Per quanto riguarda il
web non conosco altro del genere.
Rinnovo anche la richiesta: BTW, qualcuno mi sa spiegare
> sinteticamente in cosa consiste
> la geometria di Laguerre? Ed il piano di Benz?
>
Ho un vaghissimo ricordo di tempo fa, quando lessi qualcosa in una
storia della matematica. Mi sembra che Laguerre riformuli la geometria
euclidea. Cmq, controlla perché non ricordo bene.
Su Benz non ne so nulla.
Inoltre, per quanto riguarda i libri della Open University, ho avuto
modo di leggere altre pagine dal libro di algebra.
C'è una introduzione agli insiemi, corrispondenze, morfismi, fatta
molto bene.
Il pregio di questa impostazione è che ci sono esempi su esempi, e
continui esercizi.
Inoltre, non si introduce alcun metodo assiomatico, e si viene
introdotti alla matematica moderna partendo da casi particolari e
facendo poi intuire le possibili generalizzazioni.
Purtroppo i manuali universitari non usano questo genere di
impostazione didattica. Si preferisce assiomatizzare tutto da subito.
Penso che bisognerebbe prendere spunto da questo genere di didattica.
Ed infatti ho portato all'attenzione di Enrico in un thread di giorni
fa proprio quel genere di approccio che lui dice di non usare ma che
non reputa "malvagio".
Appena avrò modo di consultare altri testi che mi sono stati indicati
in questo thread riprenderò il discorso.
Ciao
A.
Arcobaleno
Poincarè wrote:
> Arcobaleno ha scritto:
>
> > Mi incuriosisce il testo per le superiori di Lombardo Radice che parla
> > del programma di Erlangen come tu dici. Proverò a vederlo.
> >
>
> Il testo ha un approccio per "problemi" ma con un angolazione di
> tipo storico-culturale,
> il metodo didattico utilizzato è a spirale attraverso delle
> sistemazioni formali successive.
>
Klein è trattato anche nel terzo volume? Te lo chiedo perché vedendo
dal catalogo on line, in biblioteca non c'è il terzo volume.
Inoltre ho visto che è in vendita un'edizione del 1988 ma che non
trovo in biblioteca.
Forse avrà migliorato qualcosa?
> Probabilmente sai già che hanno pubblicato nel 98 la famosa prolusione
> di klein, in quel testo c'è anche un altro articolo che parla della
> "Cosiddetta geo. Non euclidea" è klein stesso che da quel titolo.
> Se per caso non ne sapevi nulla è un ulteriore informazione.
>
Sì. E' un peccato che non vi siano spiegazioni ulteriori. Cosa che
Agazzi faceva nell'altro libro con Palladino sulle geo non euclidee.
Ciao
A.
Tetis
scritto:
>
> Inoltre, per quanto riguarda i libri della Open University, ho avuto
> modo di leggere altre pagine dal libro di algebra.
>
> C'è una introduzione agli insiemi, corrispondenze, morfismi, fatta
> molto bene.
> Il pregio di questa impostazione è che ci sono esempi su esempi, e
> continui esercizi.
> Inoltre, non si introduce alcun metodo assiomatico, e si viene
> introdotti alla matematica moderna partendo da casi particolari e
> facendo poi intuire le possibili generalizzazioni.
>
> Purtroppo i manuali universitari non usano questo genere di
> impostazione didattica. Si preferisce assiomatizzare tutto da subito.
I libri della Open University sono libri da leggere
agli ultimi anni di liceo, mi piacquero, ma perche'
venivo da una full-immersion in anni di esercizi di
algebra, presentazioni della geometria euclidea,
il libro di Evandro Agazzi e Palladino (che invece
sono da rimandare, io li ho riletti con gusto solo dopo
il terzo anno di universita') Alle superiori il riferimento
centrale erano i libri di Zwirner, ma avevo anche i
libri in uso all'ITI dove si fornivano cenni sulle algebre di
Boole, la teoria dei grafi, la logica dei diagrammi di flusso,
le nozioni di gruppo, anello, ... avevo anche trovato dei
libri sui sistemi dinamici ed ero stato subito entusiasta di
provare i programmini per computer che venivano suggeriti,
mi piaceva disegnare centrini con le ricorsioni complesse,
e poi in seguito, all'universita', conobbi personalmente gli
autori di quei libri. I libri che mi piacquero meno furono quelli
che usavano al liceo scientifico, erano dei libri in cui si sorvalava
troppo, a mio parere, sulla nobile origine della teoria delle equazioni,
che per me aveva una grande importanza, e si parlava molto di strutture,
la mia impressione dopo aver letto tutto era stata che fossero libri che
parlavano del nulla, nulla, davvero nulla di tangibile per uno studente
della mia eta'. Capivo che queste strutture dovessero servire a mettere
ordine in un mondo pieno di materiale, ma allora non c'era proprio nulla
da ordinare. Li ho riaperti, quei libri, e molto apprezzati, dopo
l'universita'.
Libri alti sette centimetri ciascuno in due o tre volumi. Copertina gialla,
non ricordo se Cedam, Zanichelli, o Mondadori, avevano di buono il
profumo delle pagine, e che parlavano di tante che cose che non sapevo
ancora e che un giorno avrei imparato.
> Penso che bisognerebbe prendere spunto da questo genere di didattica.
> Ed infatti ho portato all'attenzione di Enrico in un thread di giorni
> fa proprio quel genere di approccio che lui dice di non usare ma che
> non reputa "malvagio".
>
> Appena avrò modo di consultare altri testi che mi sono stati indicati
> in questo thread riprenderò il discorso.
>
> Ciao
> A.
>
Poincarè
Arcobaleno ha scritto:
> Poincarè wrote:
> > Il testo ha un approccio per "problemi" ma con un angolazione di
> > tipo storico-culturale,
> > il metodo didattico utilizzato è a spirale attraverso delle
> > sistemazioni formali successive.
> >
>
> Klein è trattato anche nel terzo volume? Te lo chiedo perché vedendo
> dal catalogo on line, in biblioteca non c'è il terzo volume.
> Inoltre ho visto che è in vendita un'edizione del 1988 ma che non
> trovo in biblioteca.
> Forse avrà migliorato qualcosa?
Prova a cercarlo in qualche biblioteca comunale come ho fatto io.
I testi usati da me :
Il metodo matematico: corso di matematica per le scuole medie superiori
/ Lucio Lombardo Radice, Lina Mancini Proia. - Milano : Principato,
1981-83. - 3 voll.
Non so se nell'edizione del '88 in 2 voll. è cambiato qualcosa,
l'ed. consultata da me il 3° vol. è fondamentale proprio per le
sistemazioni formali successive. Riguardando i miei appunti è in quel
testo che parla di spazi affini, spazi metrici, piano proiettivo,
omologia,...in modo più organico.
Se ti può interessare anche l'aspetto 'storico' del perché di
quei testi:
http://umi.dm.unibo.it/italiano/Didattica/2002/didattica03.html
fa anche un breve cenno a quanto diceva Tetis su Ugo Morin.
Ciao
Poincarè
Poincarè
> http://www.maths.gla.ac.uk/~wws/cabripages/klein/klein0.html
> ditemi cosa ne pensate, e se c'e' di meglio?
Come ho già detto in un'altra risposta devo proprio decidermi a
imparare l'inglese (la vedo dura) almeno quello scientifico, spero
bene.
Ma Cabri (cabripage) non è un software di geometria usato anche le
superiori?
Forse c'è qualche legame anche con Klein? Cercherò e vi farò
sapere.
>Rinnovo anche la richiesta: BTW, qualcuno mi sa spiegare
>sinteticamente in cosa consiste
>la geometria di Laguerre? Ed il piano di Benz?
Per quanto ne so Von Staudt estende per via sintetica tutta la
geometria proiettiva al campo complesso indipendentemente da ogni
considerazione metrica. Laguerre, Cayley, Chasles e forse anche qualcun
altro, per via sintetica e analitica cercano di subordinare/includere
alcune parti della geometria euclidea nella geometria proiettiva
utilizzando il campo complesso come dice Comessatti. (il nome 'rette
isotrope' è di Laguerre [per ogni punto P del piano passano due
rette immaginarie coniugate]) è Laguerre che trova come definire
l'angolo in geo. proiettiva e conclude con il teorema :"l'angolo
di 2 rette (o piani) d'un fascio proprio orientato è = i/2 per
logaritmo del birapporto che le rette formano colle rette isotrope
(piani isotropi) del fascio." Poi Klein sviluppa meglio e include
anche le geometrie non euclidee ed altro con il suo pgm.
Per quanto riguarda il piano di Benz mi pare di averlo già sentito ma
al momento non so dirti di più, se trovo qualcosa ti farò sapere.
Ciao
Poincarè
Tetis
ha scritto:
> Tetis scrive:
> > http://www.maths.gla.ac.uk/~wws/cabripages/klein/klein0.html
> > ditemi cosa ne pensate, e se c'e' di meglio?
>
> Come ho già detto in un'altra risposta devo proprio decidermi a
> imparare l'inglese (la vedo dura) almeno quello scientifico, spero
> bene.
Si, necessita, ma di necessita' virtu', e' una lingua che merita.
Anche se occorre una certa maturita' per apprezzarne l'anarchia
e la flessibilita'. Anche adesso a volte mi riprende la voglia di
seguire un corso di letteratura inglese.
> Ma Cabri (cabripage) non è un software di geometria usato anche le
> superiori?
Esatto. Anche se non l'ho mai usato.
> Forse c'è qualche legame anche con Klein? Cercherò e vi farò
> sapere.
>
> >Rinnovo anche la richiesta: BTW, qualcuno mi sa spiegare
> >sinteticamente in cosa consiste
> >la geometria di Laguerre? Ed il piano di Benz?
>
> Per quanto ne so Von Staudt estende per via sintetica tutta la
> geometria proiettiva al campo complesso indipendentemente da ogni
> considerazione metrica. Laguerre, Cayley, Chasles e forse anche qualcun
> altro, per via sintetica e analitica cercano di subordinare/includere
> alcune parti della geometria euclidea nella geometria proiettiva
> utilizzando il campo complesso come dice Comessatti.
Grazie. Quindi ha un ruolo fondazionale. Pero' mi pare di capire che
nel piano di Laguerre ci siano anche le circonferenze. Possibile?
> (il nome 'rette
> isotrope' è di Laguerre [per ogni punto P del piano passano due
> rette immaginarie coniugate]) è Laguerre che trova come definire
> l'angolo in geo. proiettiva e conclude con il teorema :"l'angolo
> di 2 rette (o piani) d'un fascio proprio orientato è = i/2 per
> logaritmo del birapporto che le rette formano colle rette isotrope
> (piani isotropi) del fascio." Poi Klein sviluppa meglio e include
> anche le geometrie non euclidee ed altro con il suo pgm.
Grazie per l'attenzione e lo spunto di approfondimento.
> Per quanto riguarda il piano di Benz mi pare di averlo già sentito ma
> al momento non so dirti di più, se trovo qualcosa ti farò sapere.
>
> Ciao
> Poincarè
>
Poincarè
> > >Rinnovo anche la richiesta: BTW, qualcuno mi sa spiegare
> > >sinteticamente in cosa consiste
> > >la geometria di Laguerre? Ed il piano di Benz?
> >
> > Per quanto ne so Von Staudt estende per via sintetica tutta la
> > geometria proiettiva al campo complesso indipendentemente da ogni
> > considerazione metrica. Laguerre, Cayley, Chasles e forse anche qualcun
> > altro, per via sintetica e analitica cercano di subordinare/includere
> > alcune parti della geometria euclidea nella geometria proiettiva
> > utilizzando il campo complesso come dice Comessatti.
>
> Grazie. Quindi ha un ruolo fondazionale. Pero' mi pare di capire che
> nel piano di Laguerre ci siano anche le circonferenze. Possibile?
Cerco di riassumere in poche righe quando parlo di subordinazione
........., mi rendo conto che è un'impresa ardua, comunque verranno
in mio soccorso alcuni autori.
Limitiamoci solo al piano euclideo e vediamo cosa succede dei concetti
metrici fondamentali: parallelismo, ortogonalità, grandezze angolari,
congruenza.
Consideriamo la retta all'infinito (ha anche il compito di sostegno)
e l'involuzione assoluta (nella geometria piana è la coppia dei
punti ciclici) che su di essa determinano le coppie di direzioni
ortogonali di un fascio. I punti doppi dell'involuzione (immaginari
coniugati) sono detti punti ciclici perché appartengono a tutti i
cerchi del piano.
Parallelismo: rette parallele sono rette che hanno in comune un punto
all'infinito.
Ortogonalità: rette di un piano separate armonicamente (birapporto)
dai punti ciclici.
Grandezze angolari: te ne ho già parlato. (Laguerre)
Mentre i cerchi sono coniche passanti per i punti ciclici.
Congruenza: diretta o inversa possono esprimersi attraverso la retta
all'infinito e l'involuzione assoluta.
Le proprietà metriche si presentano anche nella geometria proiettiva,
non come proprietà in se stesse ma in relazione agli enti metrici
fondamentali, retta all'infinito e involuzione assoluta (retta +
involuzione si definiscono assoluto del piano).
Spero vivamente di averti chiarito meglio alcuni punti fondamentali.
Ciao
Poincarè
Tetis
ha scritto:
> Tetis ha scritto:
>
> Cerco di riassumere in poche righe quando parlo di subordinazione
> ........., mi rendo conto che è un'impresa ardua, comunque verranno
> in mio soccorso alcuni autori.
> Limitiamoci solo al piano euclideo e vediamo cosa succede dei concetti
> metrici fondamentali: parallelismo, ortogonalità, grandezze angolari,
> congruenza.
>
> Consideriamo la retta all'infinito (ha anche il compito di sostegno)
> e l'involuzione assoluta (nella geometria piana è la coppia dei
> punti ciclici) che su di essa determinano le coppie di direzioni
> ortogonali di un fascio. I punti doppi dell'involuzione (immaginari
> coniugati) sono detti punti ciclici perché appartengono a tutti i
> cerchi del piano.
Mi occorre una espressione che comunichi meglio questa
nozione di punti ciclici. Specie per porla in relazione
con l'involuzione assoluta. Per me involuzione e' nozione
che deriva dalla teoria delle flussioni, con Huyghens, Newton,
e quindi rimanda alla struttura di dualita' delle rappresentazioni
nel contesto della teoria delle equazioni differenziali a derivate
parziali. Nozione null'affatto primitiva a meno di non volerla vuotare
di significato pratico. Ho la vaga idea che con questa involuzione
assoluta si voglia introdurre di contrabbando una sfera. Possibile?
Klein introduce la retta all'infinito solo nel momento in
cui intende derivare le proprieta' affini dalle proprieta' proiettive,
non prima. Marcando l'autosufficienza delle nozioni proiettive.
Seguendo Leibniz del resto e' chiaro che la geometria euclidea
e' da un lato piu' semplice (con riferimento al suo dominio di verita'
che e' piu' ristretto il che si esplica con la circostanza che il gruppo
euclideo puo' essere rappresentato isomorfamemente in un sottogruppo
del gruppo proiettivo). Dall'altro piu' complessa (con riferimento alla
sua regolamentazione che richiede un corpo assiomatico piu' ampio
ed eventualmente un maggior numero di definizioni). Aggiungere i
punti ciclici ha quindi questa precisa funzione. Solo non ho ancora
capito, da quello che dici, come sono caratterizzati i punti ciclici.
Questa e' una lacuna.
> Parallelismo: rette parallele sono rette che hanno in comune un punto
> all'infinito.
Ok, ti seguo, l'aggiunta di elementi ulteriori permette di irrigidire
le strutture relazionali. La nozione di parallelismo e' intrinsecamente
affine, ma per guadagnarla nella geometria proiettiva occorre
arricchire la medesima. Lo stesso ruolo mi sembra svolgano i punti
ciclici, che permettono di introdurre l'ortogonalita'. Ma vorrei che mi
spiegassi meglio come sono caratterizzati e cosa intendi per involuzione
assoluta.
> Ortogonalità: rette di un piano separate armonicamente (birapporto)
> dai punti ciclici.
seguo meno, per via della suddetta lacuna, ma seguo.
> Grandezze angolari: te ne ho già parlato. (Laguerre)
mi sembra ragionevole che introdotta l'ortogonalita' si possa
poi parlare di angoli.
> Mentre i cerchi sono coniche passanti per i punti ciclici.
Questo non lo so. Mi sembrava che i punti ciclici stessero
all'infinito. I cerchi stanno sul piano, mi stai dicendo
che vanno a coppie? Cioe' il cerchio proiettivo ha forse un
partner all'infinito, oppure al contrario stai dicendo che i
punti ciclici stanno nel piano? Forse dipende dai punti
di vista, diciamo cosi'. Io vedrei la cosa in termini di proiezione
stereografica. Posso essenzialmente fissare la nozione di
parallelismo e di ortogonalita' nel polo, ed ottenerla di rimando
su tutto il piano proiettivo. Analogamente dati degli assi cartesiani e'
sempre
possibile dichiararli ortogonali, e' una possibilita' intrinseca alla
coordinazione di Dedekind, ma si puo' anche ottenere una
struttura geometrica non archimedea seguendo un'alternativa
caratterizzazione topologica della retta reale. Si possono ottenere
diverse varieta' geometriche: euclidea e non archimedea, non
archimedea e non euclidea. A che livello si colloca quella di
Laguerre?
> Congruenza: diretta o inversa possono esprimersi attraverso la retta
> all'infinito e l'involuzione assoluta.
Puoi fornire tre esempi?
> Le proprietà metriche si presentano anche nella geometria proiettiva,
> non come proprietà in se stesse ma in relazione agli enti metrici
> fondamentali, retta all'infinito e involuzione assoluta (retta +
> involuzione si definiscono assoluto del piano).
>
> Spero vivamente di averti chiarito meglio alcuni punti fondamentali.
Ti ringrazio per lo sforzo, ma ci vuole un poco di pazienza, come
vedi ho delle lacune poco comuni.
Poincarè
Tetis ha scritto:
> Mi occorre una espressione che comunichi meglio questa
> nozione di punti ciclici.
Approfondiamo meglio il nostro ragionamento (comprendi perché dicevo
di non assimilare bene il testo del Sernesi sulla geometria proiettiva?
Se lo si studia senza l'aiuto di altri autori del passato, secondo me
non si afferra bene quanto sta dicendo nella sua comunque elegante,
generale ed astratta esposizione, sicuramente lo rivedrò dopo aver
studiato su testi d'impostazione diversa. Probabilmente vedrò, se lo
trovo, anche il testo consigliato da Arcobaleno cioè Nacinovich
m'incuriosisce molto).
PUNTI CICLICI NEL PIANO
Cerco di fare un'esposizione più generale possibile.
1° metodo) Consideriamo l'equazione della circonferenza di raggio
nullo e centro nell'origine.
In campo complesso il binomio si può scomporre in due fattori lineari:
(x+iy)(x-iy)=0 -> x + iy = 0 e x - iy = 0 dette rette isotrope
uscenti dall'origine, se il punto non è nell'origine si ragiona
per traslazione, tutte le coppie di rette isotrope tagliano la retta
impropria negli stessi due punti immaginari coniugati che si chiamano
punti ciclici nel piano.
In coordinate omogenee (per comodità di scrittura x, y, z) z = 0, i
punti ciclici hanno coordinate (1, i, 0) , (1, -i, 0) e valori ad essi
proporzionali.
Per mettere in rilievo un'importante proprietà dei punti ciclici e
del perché del loro nome mettiamo a sistema l'equazione generale
della circonferenza (caso complesso) con la retta impropria z = 0. Si
ha che le intersezioni di un circonferenza con la retta impropria del
suo piano sono nei punti ciclici.
>>Mentre i cerchi sono coniche passanti per i punti ciclici.
Ossia tra le curve del 2° ordine (coniche), i cerchi sono tutte e solo
quelle che passano per i punti ciclici del proprio piano.
2° metodo) Nel fascio con centro nell'origine si cercano le rette
che coincidono con la propria perpendicolare.
Siano y = mx, y = m'x due rette perpendicolari uscenti
dall'origine, dalla condizione di perpendicolarità si ha: mm' + 1
= 0 affinché le rette coincidano m = m' allora : m ² + 1 = 0
quindi m = ± i.
Ne segue che esistono due rette (immaginarie coniugate) x + iy = 0 e
x - iy = 0 (*).
Ora prendiamo i due fasci di rette parallele alle (*): y = ix + k e
y = -ix + h.
Per ogni punto P del piano passano due rette, una di ciascuno di questi
fasci, e si dicono rette isotrope uscenti da P, i punti impropri di
coordinate (1, i, 0) , (1, -i, 0) si chiamano punti ciclici.
>Specie per porla in relazione
> con l'involuzione assoluta. Per me involuzione e' nozione
> che deriva dalla teoria delle flussioni, con Huyghens, Newton,
> e quindi rimanda alla struttura di dualita' delle rappresentazioni
> nel contesto della teoria delle equazioni differenziali a derivate
> parziali.
Può darsi non so, per quanto stiamo discorrendo e per quello che ho
visto non vengono utilizzate le equazioni differenziali a derivate
parziali, comunque è necessario capire bene l'ambiente in cui
operiamo.
Noi stiamo ragionando in geometria proiettiva e consideriamo forme
fondamentali di
prima specie (retta punteggiata, fascio di piani, fascio di raggi dette
anche rette) e seconda specie (piano punteggiato, piano rigato, stella
di raggi, stella di piani).
Intuitivamente si può pensare:
1a specie: generate dal movimento semplice dell'elemento generatore
(punto, retta, piano)
2a specie: generate dal movimento semplice di una forma di prima
specie.
INVOLUZIONE in geometria proiettiva è quando due forme sovrapposte si
corrispondono in doppio modo, o involutoriamente, cioè una proprietà
involutoria K coincide con la sua inversa 1/K, cioè quando K² = 1.
Se due forme, h e h', sono involutorie, data la simmetria del loro
comportamento, non è necessario distinguerle, e si parla di
involuzione (nel caso di prima specie) sopra una retta, ...
Mentre due piani sovrapposti sono riferiti in una corrispondenza
omologica (omologia), quando i punti dell'uno e dell'altro sono in
corrispondenza biunivoca e che soddisfano le seguenti condizioni:
1) se un punto descrive una retta in un piano, lo stesso deve accadere
per il punto corrispondente nell'altro piano;
2) esiste una retta, asse dell'omologia, tutta costituita di punti
uniti, cioè coincidenti ciascuno con il proprio omologo;
3) esiste un punto, centro dell'omologia, tale che ogni retta
passante per esso è unita, cioe coincide con la sua corrispondente.
Le 2 e 3 sono una conseguente dell'altra.
In una omologia 2 punti corrispondenti sono allineati con il centro,
mentre 2 rette corrisp. s'incontrano sull'asse.
Il birapporto come sai è una proprietà invariante in geometria
proiettiva e se noi prendiamo il birapporto formato da due punti
corrispondenti, W e W' , dal centro C, e dal punto d'incontro della
retta WW' con l'asse non cambia al variare della coppia W, W', e
si chiama invariante assoluto. Se il birapporto è = -1, omologia si
dice armonica o involutoria.
Ho inserito alcune brevi nozioni sull'involuzione su forme di 1a e
2° specie, spero ti siano state utili.
>Nozione null'affatto primitiva a meno di non volerla vuotare
> di significato pratico. Ho la vaga idea che con questa involuzione
> assoluta si voglia introdurre di contrabbando
? cosa intendi per non ti seguo?
Due rette che si corrispondono in una involuzione di un fascio in sé
in modo che i loro punti all'infinito risultano coniugati
nell'involuzione stabilita sulla retta impropria in cui risultano
uniti i due punti ciclici.
Detto in maniera diversa, Chasles osservò che i punti ciclici sono
doppi per la proiettività determinata sulla retta all'infinito di un
piano da due fasci propri di rette sovrapposte direttamente uguali;
quindi anche l'involuzione delle coppie di direzioni ortogonali su di
essa (involuzione assoluta): le direzioni ortogonali sono quelle
coniugate armoniche rispetto ai punti ciclici.
Una congruenza omologica del piano è una traslazione o una simmetria
rispetto ad un centro, o una simmetria ortogonale rispetto ad un asse.
Diretta può essere generata da una rotazione rispetto ad un centro
fisso, oppure da una traslazione del piano su sé stesso (un punto
qualsiasi di questo piano con lo stesso punto traslato si ha un
vettore).
Inversa una traslazione del piano su sé stesso nella direzione di un
certo asse seguita da un ribaltamento del piano attorno a quest'asse.
Tetis
<magn...@alice.it> ha scritto:
>
> Tetis ha scritto:
>
> > Mi occorre una espressione che comunichi meglio questa
> > nozione di punti ciclici.
>
> Approfondiamo meglio il nostro ragionamento (comprendi perché dicevo
> di non assimilare bene il testo del Sernesi sulla geometria proiettiva?
Perche', mi sembra, parti da un'approccio quasi opposto, ovvero
dall'approccio analitico, piuttosto che da quello sintetico. Anche
se usi poi enunciati sintetici. I costrutti si fondono in un solo
linguaggio
privo di contraddizione, ma occorre sempre fare attenzione al fatto che
gli enti sintetici che scegli possono condurre facilmente da un piano
assiomaticamente flessibile ad uno estremamente piu' rigido. E'
quello che succede, ad esempio, se dai per scontata la struttura
complessa del campo ed usi una coordinazione complessa. A me
sembra, al contrario di quel che dici, che sia questo punto di vista
che non permette di focalizzare le gerarchie logiche della geometria.
> Se lo si studia senza l'aiuto di altri autori del passato, secondo me
> non si afferra bene quanto sta dicendo nella sua comunque elegante,
> generale ed astratta esposizione, sicuramente lo rivedrò dopo aver
> studiato su testi d'impostazione diversa. Probabilmente vedrò, se lo
> trovo, anche il testo consigliato da Arcobaleno cioè Nacinovich
> m'incuriosisce molto).
>
> PUNTI CICLICI NEL PIANO
> Cerco di fare un'esposizione più generale possibile.
>
> 1° metodo) Consideriamo l'equazione della circonferenza di raggio
> nullo e centro nell'origine.
> In campo complesso il binomio si può scomporre in due fattori lineari:
> (x+iy)(x-iy)=0 -> x + iy = 0 e x - iy = 0 dette rette isotrope
Qui basta il congiuntivo "o". Se ci metti "e" dai per scontato che
debbano valere in simultanea le due condizioni, invece quello
che dice questa riscrittura dell' equazione e' che nello spazio
cartesiano complessificato la quadrica xx+yy=k e' una superficie
rigata. Ma per una data coppia (x,y) della circonferenza non
e' generalmente vero che il punto appartiene ad entrambe le rette, ci
sono due
punti distinti coniugati con un terzo. Cioe' esistono tre punti:
(x,y) (x+iy) ed (x-iy) che in questo caso degenerano in uno solo
con due direzioni ortogonali. La superficie
rigata nella fattispecie e' un cono per la proprieta' di omogeneita'.
> uscenti dall'origine, se il punto non è nell'origine si ragiona
> per traslazione, tutte le coppie di rette isotrope tagliano la retta
> impropria negli stessi due punti immaginari coniugati che si chiamano
> punti ciclici nel piano.
> In coordinate omogenee (per comodità di scrittura x, y, z) z = 0, i
> punti ciclici hanno coordinate (1, i, 0) , (1, -i, 0) e valori ad essi
> proporzionali.
Potresti riscrivere quale equazione stai considerando in coordinate
omogenee. Cioe': o specificare meglio, fin da subito quale e' l'ambiente
che stai considerando, oppure specificando che adesso ti stai
preoccupando
di una estensione del tuo ambiente originale. Perche' se no non capisco
e ti dico che mi
sembra di avvertire una confusione fra diversi livelli. Cartesiano
(ovvero affine) proiettivo, e perfino euclideo. In particolare, ancora
non riesco a capire in che senso le circonferenze del piano di Laguerre
sono tutte e solo quelle che passano per i punti ciclici?
> >Specie per porla in relazione
> > con l'involuzione assoluta. Per me involuzione e' nozione
> > che deriva dalla teoria delle flussioni, con Huyghens, Newton,
> > e quindi rimanda alla struttura di dualita' delle rappresentazioni
> > nel contesto della teoria delle equazioni differenziali a derivate
> > parziali.
>
> Può darsi non so, per quanto stiamo discorrendo e per quello che ho
> visto non vengono utilizzate le equazioni differenziali a derivate
> parziali, comunque è necessario capire bene l'ambiente in cui
> operiamo.
No che non trovi le equazioni a derivate parziali in geometria
proiettiva,
ma questo non significa che la struttura che ti stai sforzando di
delineare non trovi la sua ragion d'essere in un contesto generale
e per apprezzarne l'universalita' occorre procedere con il giusto grado
di astrazione, ma l'astrazione dovrebbe essere costruita per estensione
naturale di esempi al tempo stesso semplici, completi ed
auto-sufficienti.
Per quello che so la parola involuzione e', come dici, una proprieta'
ciclica
(generalmente di periodo due, che pone in relazione due trasformazioni,
legate da un (iso-?)morfismo, con l'identita') se mi specificassi meglio
quali sono queste
trasformazioni e quale il morfismo, nel caso che stai considerando, ti
sarei molto grato.
> Noi stiamo ragionando in geometria proiettiva e consideriamo forme
> fondamentali di
> prima specie (retta punteggiata, fascio di piani, fascio di raggi dette
> anche rette) e seconda specie (piano punteggiato, piano rigato, stella
> di raggi, stella di piani).
> Intuitivamente si può pensare:
> 1a specie: generate dal movimento semplice dell'elemento generatore
> (punto, retta, piano)
> 2a specie: generate dal movimento semplice di una forma di prima
> specie.
Questa struttura di incidenza che hai delineato e' troppo poco
delineata
e si presta potenzialmente ad una miriade di sviluppi, cioe'
le strutture di incidenza che definisce gli oggetti che hai indicato
puo'
restar valida in molti differenti modelli interpretativi, mentre mi
sembra
che fin dall'inizio tu stai scegliendo, tacitamente, un ambiente molto
piu' ricco
di struttura. Uno dei punti chiave a cui la logica non sa ancora dare
una
risposta univoca e' quanto lontano sta la tua scelta strutturale dalla
struttura di incidenza. Esistono infiniti modelli che partono dalla
struttura
assiomatica della struttura di incidenza del piano euclideo, scegliendo
un sotto-insieme di "verita'" e cercano di dedurre tutta la potenza
verbale
di cui ti sei avvalso. Ma e' stato dimostrato che le estensioni
possibili sono
infinite, anche se ne esiste una che contiene simultaneamente le
strutture
piu' significative che stai mettendo sullo stesso piano. Se non ho
capito
male e' questo il piano di Benz.
> INVOLUZIONE in geometria proiettiva è quando due forme sovrapposte si
> corrispondono in doppio modo, o involutoriamente, cioè una proprietà
> involutoria K coincide con la sua inversa 1/K, cioè quando K² = 1.
> Se due forme, h e h', sono involutorie, data la simmetria del loro
> comportamento, non è necessario distinguerle, e si parla di
> involuzione (nel caso di prima specie) sopra una retta, ...
Ora hai detto qualcosa in piu', ma cosa e' in particolare K,
e cosa l'inversa di K, cioe' stai dando per scontato, mi sembra
che K e 1/K possono agire sullo stesso dominio, quale nella
fattispecie, e quale e' l'azione dell'involuzione associata con
l'esistenza dei punti ciclici, sugli enti geometrici in generale?
Mi sembra di capire che fai riferimento all'automorfismo nel
piano complesso.
> >Nozione null'affatto primitiva a meno di non volerla vuotare
> > di significato pratico. Ho la vaga idea che con questa involuzione
> > assoluta si voglia introdurre di contrabbando
>
> ? cosa intendi per non ti seguo?
>
> >una sfera. Possibile?
se ti riuscisse di spiegarmi meglio come caratterizzi le circonferenze
forse riusciremmo a capire entrambi se ho detto una sciocchezza,
oppure c'e' un significato. Quello che mi pare e' che se caratterizzi
le circonferenze, per esempio assegnando una coppia di punti
Ad esempio, se tu caratterizzi i punti ciclici entro il piano complesso,
e mi dai per inteso il piano complesso o una struttura essenzialmente
isomorfa al piano complesso, e' evidente che puoi fare riferimento,
diretto o indiretto ad una circonferenza: S^2. In tal senso avresti
introdotto, senza dichiararlo una sfera.
> Due rette che si corrispondono in una involuzione di un fascio in sé
> in modo che i loro punti all'infinito risultano coniugati
> nell'involuzione stabilita sulla retta impropria in cui risultano
> uniti i due punti ciclici.
> Detto in maniera diversa, Chasles osservò che i punti ciclici sono
> doppi per la proiettività determinata sulla retta all'infinito di un
> piano da due fasci propri di rette sovrapposte direttamente uguali;
> quindi anche l'involuzione delle coppie di direzioni ortogonali su di
> essa (involuzione assoluta): le direzioni ortogonali sono quelle
> coniugate armoniche rispetto ai punti ciclici.
Comprendo che da queste parole dovrebbe essere possibile
isolare la struttura assiomatica che permette di parlare di
angoli, etc..., ma mi sembra da quello che hai scritto sopra
che il tuo modo di presentare questa struttura sia invece
solidamente ancorato al modello di retta euclidea. Almeno
fino a quando non riesci a parlare di coniugate armoniche senza
parlare di numeri reali, ovvero fin che non riesci a comprendere
le proprieta' astratte significative della struttura di bi-rapporto, a
prescindere dal modello reale, che permettono lo studio di angoli,
etc, senza far riferimento alla loro misura nei reali. Si puo' fare
una cosa del genere?
[...]
> Una congruenza omologica del piano è una traslazione o una simmetria
> rispetto ad un centro, o una simmetria ortogonale rispetto ad un asse.
> Diretta può essere generata da una rotazione rispetto ad un centro
> fisso, oppure da una traslazione del piano su sé stesso (un punto
> qualsiasi di questo piano con lo stesso punto traslato si ha un
> vettore).
> Inversa una traslazione del piano su sé stesso nella direzione di un
> certo asse seguita da un ribaltamento del piano attorno a quest'asse.
Ho bisogno di rimeditare molto queste parole per comprenderne
l'essenza, ma ti chiedo se puoi darmi supporto rispetto alle richieste
preliminari che ti ponevo.
> > > Le proprietà metriche si presentano anche nella geometria proiettiva,
> > > non come proprietà in se stesse ma in relazione agli enti metrici
> > > fondamentali, retta all'infinito e involuzione assoluta (retta +
> > > involuzione si definiscono assoluto del piano).
> > >
> > > Spero vivamente di averti chiarito meglio alcuni punti fondamentali.
> >
> > Ti ringrazio per lo sforzo, ma ci vuole un poco di pazienza, come
> > vedi ho delle lacune poco comuni.
>
> Ciao
> Poincarè
>
--
Posted via Mailgate.ORG Server - http://www.Mailgate.ORG
Poincarè
Tetis ha scritto:
> > Approfondiamo meglio il nostro ragionamento (comprendi perché dicevo
> > di non assimilare bene il testo del Sernesi sulla geometria proiettiva?
>
> Perche', mi sembra, parti da un'approccio quasi opposto, ovvero
> dall'approccio analitico, piuttosto che da quello sintetico. Anche
> se usi poi enunciati sintetici.
Il procedimento usato sfrutta entrambi i metodi, è quello che fanno
gli autori che sto vedendo.
Secondo te il Sernesi, a parte il linguaggio vettoriale, quale metodo
utilizza per parlare di geometria? Perchè nella prefazione dice che è
possibile separare più nettamente l'algebra lineare dalla geometria.
Puoi aiutarmi a capire? Te ne sarei grato.
>I costrutti si fondono in un solo linguaggio
> privo di contraddizione, ma occorre sempre fare attenzione al fatto che
> gli enti sintetici che scegli possono condurre facilmente da un piano
> assiomaticamente flessibile ad uno estremamente piu' rigido. E'
> quello che succede, ad esempio, se dai per scontata la struttura
> complessa del campo ed usi una coordinazione complessa.
E' quello che fa anche il Sernesi, se non mi sbaglio da per scontato
che conosci il campo complesso oltre quello reale.
> A me sembra, al contrario di quel che dici, che sia questo punto di vista
> che non permette di focalizzare le gerarchie logiche della geometria.
>
> > Se lo si studia senza l'aiuto di altri autori del passato, secondo me
> > non si afferra bene quanto sta dicendo nella sua comunque elegante,
> > generale ed astratta esposizione, sicuramente lo rivedrò dopo aver
> > studiato su testi d'impostazione diversa. Probabilmente vedrò, se lo
> > trovo, anche il testo consigliato da Arcobaleno cioè Nacinovich
> > m'incuriosisce molto).
> >
> > PUNTI CICLICI NEL PIANO
prova a leggere:
http://matematica.uni-bocconi.it/klein/klein03.htm
http://matsci.unipv.it/persons/antoci/re/Klein11.pdf
altrimenti ti consiglio di dare uno sguardo a qualche testo, come ti
ho già detto era una impresa ardua cercare di spiegare molte nozioni
in poco spazio.
Tetis
ha scritto:
>
> Tetis ha scritto:
>
> > > Approfondiamo meglio il nostro ragionamento (comprendi perché dicevo
> > > di non assimilare bene il testo del Sernesi sulla geometria
proiettiva?
> >
> > Perche', mi sembra, parti da un'approccio quasi opposto, ovvero
> > dall'approccio analitico, piuttosto che da quello sintetico. Anche
> > se usi poi enunciati sintetici.
>
> Il procedimento usato sfrutta entrambi i metodi, è quello che fanno
> gli autori che sto vedendo.
>
> Secondo te il Sernesi, a parte il linguaggio vettoriale, quale metodo
> utilizza per parlare di geometria?
Ma perche' Sernesi parla del piano di Laguerre?
E del piano di Benz? Non me n'ero mai accorto.
> Perchè nella prefazione dice che è
> possibile separare più nettamente l'algebra lineare dalla geometria.
> Puoi aiutarmi a capire? Te ne sarei grato.
>
>
> >I costrutti si fondono in un solo linguaggio
> > privo di contraddizione, ma occorre sempre fare attenzione al fatto che
> > gli enti sintetici che scegli possono condurre facilmente da un piano
> > assiomaticamente flessibile ad uno estremamente piu' rigido. E'
> > quello che succede, ad esempio, se dai per scontata la struttura
> > complessa del campo ed usi una coordinazione complessa.
>
> E' quello che fa anche il Sernesi, se non mi sbaglio da per scontato
> che conosci il campo complesso oltre quello reale.
Non ho detto il contrario, ma quando Sernesi considera per ambiente
lo spazio vettoriale complesso e quello reale sta ben attento a
specificarlo, che poi lasci a desiderare rispetto al discernimento
delle gerarchie logiche, ad esempio, non e' stato un punto in
discussione finora. Per Sernesi la geometria e' quella in campo
reale e complesso. Ma l'attenzione all'autonomia dell'assiomatica proiettiva
lascia molto a desiderare. Non lo stesso si puo' dire per Klein, del resto
Klein non perde mai di vista il punto di prospettiva sintetico, anche se
ne cerca una sistematizzazione.
D'altra parte se non si puo' che essere d'accordo
sul fatto che non si puo' sganciare la trattazione sintetica dalla
trattazione
analitica, non di meno le strutture analitiche che si studiavano ai primi
anni di universita' negli anni settanta ottanta sono troppo rigide e possono
esser d'ostacolo nel comprendere una larga classe di strutture contenute nel
piano euclideo quando si prescinda dalla considerazione della struttura
topologica indotta dal campo, e dalla nozione di sezione razionale.
Il fatto che il piano euclideo con la chiusura di Dedekind sia solo un
modello di geometria, ma non il piu' generale ambiente logico, pur
se era un fatto noto a chi aveva un approccio piu' logico ed orientato
alla ricerca sui fondamenti, era pochissimo apprezzato prima degli anni
ottanta. Mentre oggi e' un dato che ha acquisito uno spessore applicativo.
Quindi non ci si dovrebbe meravigliare se oggi si richiede una prospettiva
didattica interamente rivista alla luce delle ricerche in logica, analisi,
geometria, algebra, e teoria combinatoria, rispetto agli anni settanta.
I maestri di allora se avessero assistito a questa trasformazione non
potrebbero che condividere questa esigenza. E per quel che ne so i
loro allievi e chi di loro e' in vita hanno questa forma mentis.
Piu' attenzione alla nozione di complesso geometrico, all'assiomatica
hilbertiana, ed alle sue versioni indebolite con varie sfumature fino
alla struttura di incidenza discreta, ed alla teoria dei reticoli
non guasterebbe, a tutti i livelli. Piu' attenzione alla logica della
struttura di limite e di cardinalita', al procedimento di forcing,
alla teoria dei gruppi liberi, alla teoria delle equazioni ed al
nesso fra omotopia ed omologia lungi dal disperdere il patrimonio
tradizionale aiuterebbe ad illustrarne la sottigliezza e la raffinatezza.
Spero che questo discorso non venga inteso per quello che non
vuole essere, non intendo pontificare, da ignorante su temi delicati
e difficili che non sono di mia competenza, ma da utente mi permetto
di segnalare delle evidenti lacune del sistema attuale. Mi trovo ogni
giorno a sbattere la testa su articoli e strutture che faccio enorme fatica
a sminuzzare, meditare e digerire. Non e' pensabile che per leggere
un articolo si debba sentirsi piu' a proprio agio con i testi di ricerca
sulla
didattica liceale preparati negli anni settanta che con i programmi
odierni per il corso di laurea in fisica. Non e' ammissibile che un laureato
in fisica debba sopperire da solo al salto abissale che separa la geometria
uno e l'analisi dai
metodi matematici piu' avanzati. Ne' si puo' richiedere che vada ad
integrare
a matematica con un corso di geometria due. Il paradosso e' quello che
in Italia abbiamo una sola laureata in fisica, negli anni ottanta che e'
capace di riformulare, usando i nuovi strumenti, gli argomenti di
frontiera tradizionali senza essere specialista di alcun tema particolare.
Occorrono profili didattici piu' versatili, perche' una visione integrata
di settori tradizionalmenti distinti ha un grande impatto sistemico.
Oggi l'omologia, e l'omotopia,la
topologia algebrica, la proiettivita', le caratterizzazioni algebriche delle
varieta',
le algebre di Lie, le algebre di Hecke, la teoria delle funzioni ellittiche,
la
zeta-regolarizzazione, sono argomenti usati nei libri e negli
articoli che arrivano dall'estero. Le persone piu' motivate saranno,
all'occorrenza
messe in grado di leggere questi argomenti entro scuole dedicate, si dice,
ma
di fatto non e' cosi' specialistico come si potrebbe pensare l'impatto degli
strumenti
sviluppati negli ultimi vent'anni. Occorrerebbero aggiornamenti continui
per tutti i docenti e non solamente per quelli coinvolti nei filoni
specialistici,
perche' chi seguira' questa strada formativa avra' migliori sezioni
specializzate, gente piu' versatile e prodotti speciali piu' efficienti.
Poincarè
Tetis ha scritto:
> Ma perche' Sernesi parla del piano di Laguerre?
> E del piano di Benz? Non me n'ero mai accorto.
ciao Tetis,
mi sai dire dove parla di questo, ho dato un'occhiata all'indice
analitico ma non trovo nulla?
per quello che scrivi leggerò con più attenzione.
Un saluto
Poincarè
Tetis
ha scritto:
>
> Tetis ha scritto:
>
> > Ma perche' Sernesi parla del piano di Laguerre?
> > E del piano di Benz? Non me n'ero mai accorto.
>
> ciao Tetis,
> mi sai dire dove parla di questo, ho dato un'occhiata all'indice
> analitico ma non trovo nulla?
>
Veramente mi sembrava quello che sostenessi tu.
A me non sembra che segua minimamente alcun
approccio sintetico.
> Un saluto
> Poincarč
Tetis
> Il 03 Apr 2006, 18:40, "=?iso-8859-1?B?UG9pbmNhcug=?="
<magn...@alice.it>
> ha scritto:
> >
> > Tetis ha scritto:
> >
> > > Ma perche' Sernesi parla del piano di Laguerre?
> > > E del piano di Benz? Non me n'ero mai accorto.
> >
> > ciao Tetis,
> > mi sai dire dove parla di questo, ho dato un'occhiata all'indice
> > analitico ma non trovo nulla?
> >
> > per quello che scrivi leggerň con piů attenzione.
>
> Veramente mi sembrava quello che sostenessi tu.
> A me non sembra che segua minimamente alcun
> approccio sintetico.
Un contributo ulteriore alla discussione mi sembra che
venga da questo testo:
www.math.unifi.it/ottavian/ssis/insgeo/ERLANGEN.DOC
E' una buona discussione sul punto di vista personale dell'autore
(che tiene un corso di geometria di impostazione strettamente
sernesiana) ma e' scritto con lo spirito critico di chi conosce anche,
almeno in parte, alcune delle obiezioni a questo approccio e ci ha
pensato. Un pochino.
Un punto che mi sembra generalmente fonte di innumerevoli equivoci
e' quella descrizione del concetto di ricchezza di una struttura che
trova luogo solamente in un contesto "trasformazionale". La
caratterizzazione
che fornisce l'autore e' immediata in un contesto formativo basato
sulla teoria delle rappresentazioni. Resta oscura ad uno studente
liceale (la nota e' rivolta pero' ai docenti, quindi e' una licenza
ammissibile,
il pericolo viene dalle citazioni acritiche di frasi simili, che si trova in
alcuni
libri di testo).
E' un fatto che una geometria piu' povera ha un gruppo piu' ricco, come
e' un fatto che la nozione di ricchezza e poverta' ha senso solo in
un preciso quadro di impostazioni. Leibniz, come dicevo ha profondamente
meditato sul tema della caratterizzazione intensiva ed estensiva e sul modo
in cui i termini ricco-povero si scambiano insieme con le parole
intensiva-estensiva. Altra cosa che faceva notare Arcobaleno, e'
che se al liceo si comincia con la struttura piu' ricca, lo studente,
in un certo senso si vizia ed all'universita' si trova poi a disagio
con l'approccio invece inverso.
Poincarè
Tetis ha scritto:
> > > Ma perche' Sernesi parla del piano di Laguerre?
> > > E del piano di Benz? Non me n'ero mai accorto.
> >
> > ciao Tetis,
> > mi sai dire dove parla di questo, ho dato un'occhiata all'indice
> > analitico ma non trovo nulla?
> Veramente mi sembrava quello che sostenessi tu.
> A me non sembra che segua minimamente alcun
> approccio sintetico.
Se rileggi le nostre discussioni constaterai che non ho mai detto che
Sernesi parla del piano di Laguerre o di Benz.
Se non erro eri tu che chiedevi:
> >Rinnovo anche la richiesta: BTW, qualcuno mi sa spiegare
> >sinteticamente in cosa consiste
> >la geometria di Laguerre? Ed il piano di Benz?
In data 29 marzo
Poincarè
Vi sono diversi modi, due sono i seguenti:
Enriques nel suo libro lezioni di geometria proiettiva in appendice pag
348
<http://www.math.uni-bielefeld.de/~rehmann/DML/dml_links.html> riesce
ad associare ai punti di uno spazio proiettivo determinate coordinate
proiettive omogenee invariabili per proiezione e sezioni. Chiama punto
analitico una 4a di numeri .....
Un risultato analogo si può raggiungere più rapidamente attraverso
gli spazi vettoriali che consentono una sintetica definizione dello
spazio proiettivo, delle coordinate proiettive omogenee e della
invarianza del birapporto per omografie e per proiezioni e sezioni.
"Dagli spazi vettoriali agli spazi proiettivi", P.V. Ceccherini e
A.Bichara, La Goliardica editrice, Roma 1980
Sembra essere la naturale evoluzione dei testi che trattano di
geometrie attraverso gli spazi vettoriali che troviamo in commercio per
il 1° anno d'università.
Se ti può interessare:
http://www.matematicamente.it/tesi/tesi_Paganini.pdf
Trasformazioni geometriche e proprietà invarianti: i punti di vista di
Klein e Von Staud.
http://www-dimat.unipv.it/cornalba/proj.pdf
una piccola introduzione alla geometria proiettiva
Ciao
Poincarè
Tetis
>
> > Ma perche' Sernesi parla del piano di Laguerre?
> > E del piano di Benz? Non me n'ero mai accorto.
>
> ciao Tetis,
> mi sai dire dove parla di questo, ho dato un'occhiata all'indice
> analitico ma non trovo nulla?
>
Mi permetto di aggiungere un'osservazione al margine di
quanto detto e rimeditato, sulla nozione di insieme T(S) di
Klein, T(S) e' il gruppo delle trasformazioni dei punti di S.
Dice l'autore delle note che ti ho segnalato che oggi potremmo
gia' fare riferimento, dopo l'insegnamento di Cantor a questo
intero gruppo, piuttosto che pensare a suoi sottogruppi.
Io nutro il piccolo vanto di avere pensato spesso a questo
tema, fin dalla mia prima formazione, e cioe' dove fosse
la difficolta' nel considerare T(S). L'ho focalizzata in lunghi
anni, con sempre migliore, ma sempre limitatissima rispetto
alle possibilita', precisione, e mentre giungevo
a mettere a fuoco la difficolta' intrinseca alla definizione di
S ed alla trattazione del gruppo simmetrico di cardinalita'
infinita, ho scoperto anche che il punto di vista gruppale
non necessariamente e' il piu' adeguato. Ed insieme che
la nozione di punto e di spazio dei punti non necessariamente
esaurisce le potenzialita' del punto di vista gruppale e la
teoria delle rappresentazioni. C'e' quindi una quantita' di
difficolta' logiche che si diramano dal programma di
Erlangen che vanno a doppio filo con la precisazione delle
strutture derivabili su semplici sotto-gruppi o anche sottostrutture
piu' deboli del gruppo astratto T(S) se questo esiste ed e'
unicamente definito, che hanno una grande importanza anche
pratica. Ho quindi ripensato d'istinto alla domanda di Arcobaleno:
"e' stato superato il programma di Erlangen?" e sto ripensando
alla risposta che avevo dato: "sarebbe un poco come chiedersi
se e' stata superata la fisica classica". Mi accorgo allora di alcune
differenze sostanziali fra queste due situazioni che non possiamo
neppure districare alla fin fine. Tanto la fisica contemporanea ha
risentito ed ha contribuito a porre in luce diversa e piu' articolata
e praticabile le istanze di Klein.
Che rapporto c'e' ad esempio: fra la teoria geometrica
dell'integrazione e la classificazione dei gruppi infiniti?
Che rapporto fra la teoria dei motivi di Galois e la
geometria di Riemann? Che rapporto fra gli spazi di
funzioni integrabili e le somme nello spazio dei sistemi
dinamici? Che rapporto fra l'algebra commutativa e
la nozione di varieta', e fra l'algebra non commutativa
e lo spazio astratto di Klein? Che rapporto fra la
topologia della metrica euclidea e la rappresentazione
della piu' generale algebra non commutativa? E' davvero
lo spazio vettoriale il contesto ideale dove ambientare la
teoria delle rappresentazioni? Oppure lo spazio vettoriale
e' una struttura derivata e "ricca".
Tutto questo in qualche modo si riconduce certamente ad
alcuni aspetti della tematica di Erlangen, ma oggi ha una
struttura che al tempo del programma di Erlangen non era
presente. Le strutture sono derivate, ma non accessorie,
si grazie: non le avevamo viste.
Concludo con una citazione da Klein: E' un'osservazione
triviale che tutte le asserzioni della geometria metrica
valgono indipendentemente dalla posizione e dalla grandezza
assoluta delle figure, e proprio per questo possono essere distinte
dalle asserzioni di contenuto individuale, come le si enuncia in
topografia.
Ma ancora una volta, era questa trivialita' che mancava di
struttura quando Hilbert ed Einstein proposero la loro struttura.
Leggo poi un'altra frase di Klein: Il gruppo delle trasformazioni
equiformi consiste delle collineazioni che lasciano invariata una
certa coppia di punti che giacciono su questa retta, la coppia
dei punti ciclici.
E sostituisco equiformi con uniformi,
collineazioni con dinamiche,
e coppia con insieme.
Che geometria e' questa?
In che relazione sta con la teoria dei
motivi di Bach? E' vero o non e' vero che con questa
opzione si apre la strada alla composizione
non commutativa di due dinamiche?
Ad esempio due dinamiche che agiscono secondo
le strutture cicliche 1->2->3 e 4->5 vs. la dinamica
che agisce secondo le strutture cicliche:
1->2 e 3->4->5.
Come si compongono?
In un verso si ottiene:
1 e 2->4->3 e 5
ma nell'altro si ottiene:
1->3->5 e 2 e 4
Vos et ipsam civitatem benedicimus:
Tetis
Tetis
ha scritto:
Ah, quindi l'equivoco consiste in questo: tu pensavi che io
chiedessi il motivo per il quale Sernesi parla di Laguerre e
Benz. Ma in effetti io chiedevo, di rimando al tuo discorso:
"tutti gli autori che sto consultando li usano entrambi (metodo
sintetico ed analitico) a parte per l'introduzione degli spazi
vettoriali Sernesi come procede?".
Se ti risultasse per caso che
Sernesi parlasse di piano di Benz e di piano di Laguerre?
Siccome sono quasi certo che se parla del secondo
non parla del primo, ribadisco: la mia impressione, in base
anche al fatto di cui hai ritrovato conferma
consultando l'indice analitico , e' che l'approccio
sintetico e combinatorio, come lo studio della logica delle
proposizioni geometriche, siano molto lontane dalla sensibilita'
che Sernesi esplica nel suo libro.
Tetis
ha scritto:
> Definizione di birapporto
> Vi sono diversi modi, due sono i seguenti:
>
> Enriques nel suo libro lezioni di geometria proiettiva in appendice pag
> 348
> <http://www.math.uni-bielefeld.de/~rehmann/DML/dml_links.html>
> A.Bichara, La Goliardica editrice, Roma 1980
> http://www-dimat.unipv.it/cornalba/proj.pdf
Anzitutto grazie.
(c'e' anche il libro di Severi nel mirror della
bielefeld-uni alla biblioteca del Michigan, quale pensi
sia piu' moderno e compatibile con le considerazioni
di Ceccherini e Bichara?)
> Ciao
> Poincarè
Ciao.
Poincarè
un'impostazione sintetica, nel 1° autore in appendice tratta .....,
mentre nel 2° alcune volte inserisce brevi metodi analitici.
Ciao
Poincarè