1° criterio di congruenza dei triangoli
Giovanni
Ma se l'angolo considerato è di 90°, non è necessario che sia compreso.
Sbaglio?
Grazie,
Giovanni
--
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.. molto piu' di un servizio di news via web
Silverio Lo Turco
<Viper>
news:4379175.1093862215730.JavaMail.fast@db-backoff1...
> Il 1° criterio di congruenza dice che due triangoli sono uguali se hanno
uguali due lati e l'angolo COMPRESO.
> Ma se l'angolo considerato è di 90°, non è necessario che sia compreso.
..Per quale insano motivo..?? Hai qualche particolare antipatia per gli
angoli retti..??
:o)
Per i criteri di uguaglianza (congruenza ) o similitudine l'angolo retto è
un angolo come qualunque altro..!!
:o)
Saluti
Tony
Giovanni
Ma se l'angolo considerato è di 90°, non è necessario che sia compreso.
Rinvio il post spiegando stavolta anche perché quando l angolo è di 90° (e quindi, ovviamente, abbiamo a che vedere con un triangolo rettangolo) due triangoli sono uguali, avendo due lati uguali, anche se l angolo uguale non è compreso.
Due triangoli aventi tutti e tre i lati uguali sono ovviamente uguali.
Quindi, basta dimostrare che dati due lati e l angolo di 90° non compreso si può ricavare anche il terzo lato.
Per fissare le idee immaginiamo un triangolo rettangolo che ha per base B, altezza A e ipotenusa C.
Siano noti B e C.
Si vede bene che l angolo noto, di 90°, non è compreso tra B e C (ma tra A e B).
Sia alfa l angolo compreso tra B e C. Alfa si può ricavare dal momento che conosciamo il coseno di alfa = B/C.
Ora, sapendo alfa, ricaviamo anche A, dato che conosciamo la tangente di alfa (sapendo alfa) e Tg(alfa) = A/B.
C.V.D.
Ciao,
Silverio Lo Turco
>Rinvio il post spiegando stavolta...
una simpatica coppia di ciufoletti.
Passo alla forza bruta: considera i triangoli i cui lati hanno misura
3,4,5 e 3,4,sqrt(5)... sono rettangoli ed hanno due lati uguali ma sono
DIVERSI. OK?
Ciao :-)
A. Caranti
>Passo alla forza bruta: considera i triangoli i cui lati hanno misura
>3,4,5 e 3,4,sqrt(5)... sono rettangoli ed hanno due lati uguali ma sono
>DIVERSI. OK?
Piu' che altro mi sembra un esempio di forza brutta: il secondo tanto
rettangolo non mi pare, e penso che Pitagora sarebbe d'accordo con me ;-)
Andreas
Giovanni
A. Caranti
Vabbe', nell'originale c'e' un banale errore di stampa, si intende senza
dubbio sqrt(7). In generale, se a < b < c sono i lati di un triangolo
rettangolo, anche il triangolo di lati sqrt(b^2 - a^2), a, b e'
rettangolo.
Andreas
Andrea
"Silverio Lo Turco" <nonère...@purtrop.po> ha scritto nel messaggio
news:q4d7j05it7tq52r64...@4ax.com...> Sì.
Invece ha ragione!
Vediamo un po' di dimostrarlo:
Abbiamo due lati noti, e l'angolo non compreso:
siano essi i lati a e b, e l'angolo alfa.
ove si intende di chiamare a,b,c i tre lati e alfa, beta
gamma gli angoli in modo che alfa sia opposto al lato a, beta opposto a b,
ecc.
Per il teorema dei seni abbiamo:
a/sinalfa = b/sinbeta= c/singamma
Essendo noti a e alfa, ricaviamo al volo sin(beta).
In generale non potremmo esplicitare beta, perché esso può essere acuto o
ottuso: gli angoli 90-x e 90+x hanno infatti lo stesso seno.
Sapendo però che l'angolo alfa è di 90° sappiamo che beta è acuto, e quindi
possiamo determinarlo invertendo sin(beta).
Noti ora due angoli, troviamo il terzo: gamma=180-alfa-beta
e conosciamo tutto il triangolo a meno di un fattore di scala.
Avendo però la misura di un lato, il triangolo è univocamente determinato.
Lo stesso discorso vale se l'angolo alfa è ottuso.
Ciao
Andrea
Enrico Gregorio
> Il 1° criterio di congruenza dice che due triangoli sono uguali se hanno
> uguali due lati e l'angolo COMPRESO.
> Ma se l'angolo considerato è di 90°, non è necessario che sia compreso.
>
> Sbaglio?
No. Ma occorre stare attenti alle corrispondenze.
I triangoli con lati 3, 4, 5 e 3, sqrt(7), 4 hanno sì due
lati congruenti; ma in uno il lato lungo 4 è un cateto,
nell'altro è l'ipotenusa.
È talvolta noto come "criterio di congruenza dei triangoli
rettangoli": due triangoli rettangoli sono congruenti se
hanno ordinatamente congruenti, oltre all'angolo retto, due
elementi (lati o angoli) purché uno sia un lato.
Ripetizioni estive alla nipotina fanno rispolverare vecchie
cosucce.
Ciao
Enrico
Silverio Lo Turco
<overma...@TOGLIMIlibero.it> wrote:
>Invece ha ragione!
>
>Vediamo un po' di dimostrarlo:
CUT
Fai un errore concettuale non da poco. Ripeto l'assunto:
*****
Il 1° criterio di congruenza dice che due triangoli sono uguali se hanno
uguali due lati e l'angolo COMPRESO.
Ma se l'angolo considerato è di 90°, non è necessario che sia compreso.
*****
Qui si dice che abbiamo di due triangoli uguaglianza tra due lati ed un
angolo e di quest'ultimo non si dice che NON è quello compreso, bensì
che non è necessariamente quello compreso. In queste ipotesi non puoi
applicare affatto il teorema dei seni. Confronta anche il mio post dove
brut(t)almente cito due triangoli che stanno nelle ipotesi poste
(scrivendo erroneamente sqrt(5) volendo invece dire sqrt(7)) essendo
essi non congruenti.
Giovanni
Sì. L espressione: Ma se l'angolo considerato è di 90°, non è necessario che sia compreso
è incompleta e può lasciarsi interpretare come tu dici.
Resta comunque vero che l usuale condizione espressa dal 1° criterio NON può essere NECESSARIA, stante appunto il controesempio fornito da Andrea e da me.
D altra parte nel solito enunciato del 1° criterio si usa SE e non SE E SOLO SE (SSE).
L espressione da me usata bisogna completarla, per es., in questo modo:
Ma se l'angolo considerato è di 90°, non è necessario che sia compreso, purchè i lati uguali siano *ordinatamente* uguali, oppure che entrambi i triangoli abbiano l angolo non compreso.
E però anche vero che, come è capitato a me, l enunciato solito del 1° criterio si lascia leggere come se due triangoli rettangoli che hanno due lati uguali e l angolo uguale non compreso non possano essere uguali.
Ciao,
Giovanni
Andrea
"Silverio Lo Turco" <nonère...@purtrop.po> ha scritto nel messaggio
> On Tue, 31 Aug 2004 13:46:28 GMT, "Andrea"
> <overma...@TOGLIMIlibero.it> wrote:
>
> Fai un errore concettuale non da poco. Ripeto l'assunto:
> *****
> Il 1° criterio di congruenza dice che due triangoli sono uguali se hanno
> uguali due lati e l'angolo COMPRESO.
> Ma se l'angolo considerato è di 90°, non è necessario che sia compreso.
> *****
> Qui si dice che abbiamo di due triangoli uguaglianza tra due lati ed un
> angolo e di quest'ultimo non si dice che NON è quello compreso, bensì
> che non è necessariamente quello compreso.
Piano... Se l'angolo è compreso vale senz'altro il primo criterio, che
richiede due lati e l'angolo compreso, senza vincoli sul valore dell'angolo.
Di conseguenza avanza da analizzare il caso in cui l'angolo non sia
compreso.
E in generale nessuno dei criteri di congruenza parla di due lati e l'angolo
non compreso. Ma se tale angolo non compreso è di 90°, o ottuso, o comunque
tale da non dare ambiguità invertendo sin(beta), l'univocità del triangolo
vale comunque.
In queste ipotesi non puoi
> applicare affatto il teorema dei seni. Confronta anche il mio post dove
> brut(t)almente cito due triangoli che stanno nelle ipotesi poste
> (scrivendo erroneamente sqrt(5) volendo invece dire sqrt(7)) essendo
> essi non congruenti.
Ma infatti i triangoli 3,4,5 e sqrt(7),3,4
(ho ordinato i lati secondo il ruolo: cateto corto, cateto lungo e
ipotenusa)
hanno in comune i lati 3 e 4, e l'angolo retto. Che però in un caso è
compreso fra i due lati noti, nell'altro no!
Quello che ho inteso dimostrare io è che dati due lati e l'angolo
*sicuramente* non compreso, e retto, allora la soluzione è unica.
Per convincerti, prova a fare un disegno:
traccia un sistema di assi Oxy, disegna uno dei lati noti
con vertice in O e giacente sulle y negative.
Avendo un angolo retto noto, possiamo supporre che un lato giaccia sull'asse
x.
Prendi infine come lato noto quello che ha vertice nell'altro estremo del
primo lato.
Di questo lato conosciamo la lunghezza, ma non l'orientazione, possiamo
allora tracciare una crf. di raggio pari alla lunghezza di questo lato e
vedere dove interseca l'asse x.
Intersecherà in due punti opposti, dando quindi luogo a due soluzioni
equivalenti.
(Chiaramente si intende che la lunghezza dei lati rispetti la disuguaglianza
triangolare, altrimenti non ne esiste nemmeno uno di triangoli!)
Pertanto con due lati noti e l'angolo non compreso retto esiste un solo modo
di chiudere il triangolo.
Se l'angolo in O fosse stato ottuso avremmo avuto una sola intersezione,
mentre se fosse stato acuto due.
Se infine l'angolo noto non si sa se sia compreso o no, allora è come dici
tu, ma allora il post iniziale aveva poco senso...
Ciao
Andrea
Paolo
Penso che senza scomodare seni, coseni, radici quadrate, ecc. si possa
dimostrare la validità dell'affermazione considerando i due nuovi triangoli
ottenuti ruotando (cioé aggiungendo specularmente) i due da verificare sul
lato opposto all'angolo non compreso. Ottengo due triangoli con tre lati
uguali e quindi congruenti...
Ciao
--------------------------------
Inviato via http://arianna.libero.it/usenet/
Enrico Gregorio
> Il 01 Set 2004, 19:07, "Andrea"
> <overma...@TOGLIMIlibero.it> ha scritto:
> >
> > "Silverio Lo Turco" <nonère...@purtrop.po> ha scritto nel messaggio
> > news:h9t9j05vlhn6u5t9a...@4ax.com...
> > > On Tue, 31 Aug 2004 13:46:28 GMT, "Andrea"
> > > <overma...@TOGLIMIlibero.it> wrote:
> > >
> > > Fai un errore concettuale non da poco. Ripeto l'assunto:
> > > *****
> > > Il 1° criterio di congruenza dice che due triangoli sono uguali se hanno
> > > uguali due lati e l'angolo COMPRESO.
> > > Ma se l'angolo considerato è di 90°, non è necessario che sia compreso.
[SNIP]
> Stavo navigando e sono imbattuto in questa discussione.
> Penso che senza scomodare seni, coseni, radici quadrate, ecc. si possa
> dimostrare la validità dell'affermazione considerando i due nuovi triangoli
> ottenuti ruotando (cioé aggiungendo specularmente) i due da verificare sul
> lato opposto all'angolo non compreso. Ottengo due triangoli con tre lati
> uguali e quindi congruenti...
Si tratta infatti di un teorema di geometria elementare,
ottenibile facilmente quando si conosce la somma degli
angoli interni di un triangolo. Non occorre nemmeno il
teorema di Pitagora.
La dimostrazione si fa per casi. Ripeto l'assunzione fondamentale
da fare: che gli elementi siano /ordinatamente/ congruenti.
Ciao
Enrico
Silverio Lo Turco
>Sì. L’espressione: “Ma se l'angolo considerato è di 90°, non è necessario che sia compreso”
>è incompleta e può lasciarsi interpretare come tu dici.
Non si interpreta, HA quel solo significato.
>Resta comunque vero che l’usuale condizione espressa dal 1° criterio NON può essere NECESSARIA, stante appunto il controesempio fornito da Andrea e da me.
>D’altra parte nel solito enunciato del 1° criterio si usa SE e non SE E SOLO SE (SSE).
>L’espressione da me usata bisogna completarla, per es., in questo modo:
>“Ma se l'angolo considerato è di 90°, non è necessario che sia compreso, purchè i lati uguali siano *ordinatamente* uguali, oppure che entrambi i triangoli abbiano l’angolo non compreso.
Bah, ti dirò... il concetto di "ordinatamente" mi puzza parecchio... con
gli assiomi euclidei come definiresti questo termine? In più, se di una
coppia di triangoli rettangoli dici che si hanno due cateti uguali, va
da sè che sono congruenti, così come se avessero ipotenusa ed un cateto.
In entrambi i casi però sai dove si trova l'angolo uguale rispetto ai
lati che hai. nell'enunciato che è stato dato NON lo sappiamo. Scusami
se insisto, ma il linguaggio è tutto in geometria.
Silverio Lo Turco
<overma...@TOGLIMIlibero.it> wrote:
>Piano... Se l'angolo è compreso vale senz'altro il primo criterio, che
>richiede due lati e l'angolo compreso, senza vincoli sul valore dell'angolo.
>Di conseguenza avanza da analizzare il caso in cui l'angolo non sia
>compreso.
>E in generale nessuno dei criteri di congruenza parla di due lati e l'angolo
>non compreso. Ma se tale angolo non compreso è di 90°, o ottuso, o comunque
>tale da non dare ambiguità invertendo sin(beta), l'univocità del triangolo
>vale comunque.
Vai ancora più piano... il non sapere se è compreso o meno non ti fa
capire se i triangoli sono congruenti. Tu di due triangoli hai la
congruenza di due lati (3 e 4) e di un angolo (retto). Ti ho trovato due
triangoli che rispettano queste premesse e che non sono congruenti,
quello che dici cade miseramente. Aggiungo che i criteri di congruenza
sono basati sulla sovrapposizione, dimmi come procederesti senza sapere
quali lati siano opposti od adiacanti all'angolo retto.
ticonzero
> Si tratta infatti di un teorema di geometria elementare,
> ottenibile facilmente quando si conosce la somma degli
> angoli interni di un triangolo. Non occorre nemmeno il
> teorema di Pitagora.
Ciao. Tra l'altro non occorre nemmeno il quinto postulato (e quindi
conoscere la somma degli angoli interni).
Questa e' piu' o meno la dimostrazione che stava sul mio libro del liceo:
siano i due triangoli ABC e DEF, gli angoli retti rispettivamente in B e E,
AB=DE, AC=DF.
Prolungo EF, dalla parte di E, fino a G in modo che GE=EF.
I triangoli DEG e ABC sono congruenti pel primo criterio.
Il triangolo GDF e' quindi isoscele e pertanto gli angoli alla base sono
congruenti.
Ne segue che il triangolo DEG e' congruente al triangolo DEF pel secondo
criterio
e quindi DEF e' congruente a ABC.
ciao
Giovanni
> On Wed, 01 Sep 2004 15:41:38 CEST, Giovanni
> <stla...@tin.it> wrote:
>
> >Sì. L espressione: Ma se l'angolo considerato è di
> 90°, non è necessario che sia compreso
> >è incompleta e può lasciarsi interpretare come tu
> dici.
>
> Non si interpreta, HA quel solo significato.
>
> >Resta comunque vero che l usuale condizione espressa
> dal 1° criterio NON può essere NECESSARIA, stante
> appunto il controesempio fornito da Andrea e da me.
> >D altra parte nel solito enunciato del 1° criterio
> si usa SE e non SE E SOLO SE (SSE).
> >L espressione da me usata bisogna completarla, per
> es., in questo modo:
> > Ma se l'angolo considerato è di 90°, non è
> necessario che sia compreso, purchè i lati uguali
> siano *ordinatamente* uguali, oppure che entrambi i
> triangoli abbiano l angolo non compreso.
>
> Bah, ti dirò... il concetto di "ordinatamente" mi
> puzza parecchio... con
> gli assiomi euclidei come definiresti questo termine?
Infatti Euclide non ha inserito nel suo sistema gli assiomi che definiscono l'ordinamento, lo ha fatto Hilbert.
Tuttavia come vengono enunciati di solito i criteri di congruenza tra triangoli rettangoli si usa proprio l'espressione "ordinatamente".
Comunque sia, non è questo il punto che volevo mettere in evidenza con il mio primo post.
Io volevo solo sottolineare un fatto che non mi puoi contestare:
l'enunciato del primo criterio esprime solo una condizione di SUFFICIENZA e non di NECESSITA'.
Se fosse una condizione necessaria significherebbe che quando di due triangoli so che hanno due lati uguali e un angolo uguale, SOLO quando quest'ultimo è compreso posso dire con sicurezza che i due triangoli sono uguali.
Ma ciò è falso, perché posso avere due triangoli di cui so esserci due lati uguali e un angolo uguale di 90° non compreso e ugualmente sono sicuro che devono essere uguali.
Tutto qui.
> In più, se di una
> coppia di triangoli rettangoli dici che si hanno due
> cateti uguali, va
> da sè che sono congruenti, così come se avessero
> ipotenusa ed un cateto.
> In entrambi i casi però sai dove si trova l'angolo
> uguale rispetto ai
> lati che hai. nell'enunciato che è stato dato NON lo
> sappiamo. Scusami
> se insisto, ma il linguaggio è tutto in geometria.
Andrea
"Silverio Lo Turco" <nonère...@purtrop.po> ha scritto nel messaggio
> On Wed, 01 Sep 2004 17:07:49 GMT, "Andrea"
> <overma...@TOGLIMIlibero.it> wrote:
>
>
> Vai ancora più piano... il non sapere se è compreso o meno non ti fa
> capire se i triangoli sono congruenti.
Sì, ho infatti specificato che bisogna sapere che l'angolo non è compreso.
In questi termini diventa una specie di "criterio di congruenza 1-bis" che
non è affatto fondamentale, ma resta comunque vero.
"Dati due lati e un angolo non acuto sicuramente non compreso, è possibile
formare un solo triangolo."
E questo non si può smentire...
Tu di due triangoli hai la
> congruenza di due lati (3 e 4) e di un angolo (retto). Ti ho trovato due
> triangoli che rispettano queste premesse e che non sono congruenti,
> quello che dici cade miseramente.
Te l'ho detto, uno dei triangoli ha l'angolo retto compreso, l'altro no. E
il testo originale, quando diceva "se l'angolo è retto non è necessario che
sia compreso" io l'ho inteso così: "non è necessario che l'angolo sia
compreso, infatti esistono casi in cui, sapendo che l'angolo retto non è
compreso si riesce comunque a dimostrare l'unicità del triangolo, e quindi
se ne vengono dati due, la loro congruenza".
Sono d'accordo con te quando dici che in geometria il linguaggio è tutto, ma
se il linguaggio era ambiguo
non ne ho colpa...
Aggiungo che i criteri di congruenza
> sono basati sulla sovrapposizione, dimmi come procederesti senza sapere
> quali lati siano opposti od adiacanti all'angolo retto.
Infatti, bisogna saperlo!
La mia dimostrazione si basava su proprio su questo.
Ciao
Andrea
Silverio Lo Turco
>Se fosse una condizione necessaria significherebbe che quando di due triangoli so che hanno due lati uguali e un angolo uguale, SOLO quando quest'ultimo è compreso posso dire con sicurezza che i due triangoli sono uguali.
Secondo me è necessaria. La necessarietà non si esplica come hai fatto
tu. Il criterio dice:
se due triangoli hanno congruenti due lati e l'angolo tra essi compreso
sono congruenti.
La condizione è necessaria se è vero che due triangoli congruenti hanno
congruenti due lati e l'angolo tra essi compreso, che è banale, ecco
perchè non leggi "se e solo se" ma semplicemente "se". Che poi in casi
particolari, AVENDO INFORMAZIONI AGGIUNTIVE, tu possa stabilire la
congruenza... tanto di guadagnato. Potremmo ad esempio dire che due
triangoli rettangoli sono congruenti se hanno congruenti due cateti
oppure un cateto e l'ipotenusa, cosa che (credo di aver capito) era
nelle tue intenzioni.
Tutto questo senza alcuno spirito polemico, ma per una precisione che
Euclide merita. :-)
Silverio Lo Turco
<overma...@TOGLIMIlibero.it> wrote:
>"Dati due lati e un angolo non acuto sicuramente non compreso, è possibile
>formare un solo triangolo."
>E questo non si può smentire...
>
L'ho detto anche io precedentemente. Criterio 1-bis mi piace :-)
>Te l'ho detto, uno dei triangoli ha l'angolo retto compreso, l'altro no. E
>il testo originale, quando diceva "se l'angolo è retto non è necessario che
>sia compreso" io l'ho inteso così: "non è necessario che l'angolo sia
>compreso, infatti esistono casi in cui, sapendo che l'angolo retto non è
>compreso si riesce comunque a dimostrare l'unicità del triangolo, e quindi
>se ne vengono dati due, la loro congruenza".
>
Sapendo che non è compreso... come dicevo io. Siamo completamente
d'accordo.
>Sono d'accordo con te quando dici che in geometria il linguaggio è tutto, ma
>se il linguaggio era ambiguo non ne ho colpa...
Sì, la colpa è tua. Piangi disperato ora! In ginoccho sui ceci! ;-)