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Autovettori di matrici circolanti
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Tetis
Feb 18, 2012, 7:34:47 AM2/18/12
to
Una matrice si chiama circolante se ogni riga può essere ottenuta dalla
precedente scorrendo di un posto gli elementi della prima riga e
riportando l'ultimo elemento al primo posto, cioè pensando le righe
come se fossero disposte lungo un anello.
Diciamo circolante un vettore se esiste un numero complesso unitario k
in modo che kv è ottenuto da v scorrendo i suoi elementi avanti di un
posto e riportando l'ultimo elemento al primo posto.
Diagonalizzando matrici circolanti per lo più si trovano autovettori
che circolano se moltiplicati per un numero complesso di modulo
unitario e quando questo occasionalmente non si verifica si scopre che
è perché la matrice non è invertibile, quindi ha un elemento nel ker,
(rigorosamente circolante), perciò in effetti esiste comunque una base
di autovettori circolanti.
Per esempio:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=Eigenvectors%5B%7B%7B0%2C1%2C-1%7D%2C%7B-1%2C0%2C1%7D%2C%7B1%2C-1%2C0%7D%7D%5D
come si dimostra, se è vero?
precedente scorrendo di un posto gli elementi della prima riga e
riportando l'ultimo elemento al primo posto, cioè pensando le righe
come se fossero disposte lungo un anello.
Diciamo circolante un vettore se esiste un numero complesso unitario k
in modo che kv è ottenuto da v scorrendo i suoi elementi avanti di un
posto e riportando l'ultimo elemento al primo posto.
Diagonalizzando matrici circolanti per lo più si trovano autovettori
che circolano se moltiplicati per un numero complesso di modulo
unitario e quando questo occasionalmente non si verifica si scopre che
è perché la matrice non è invertibile, quindi ha un elemento nel ker,
(rigorosamente circolante), perciò in effetti esiste comunque una base
di autovettori circolanti.
Per esempio:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=Eigenvectors%5B%7B%7B0%2C1%2C-1%7D%2C%7B-1%2C0%2C1%7D%2C%7B1%2C-1%2C0%7D%7D%5D
come si dimostra, se è vero?
jc
Feb 18, 2012, 8:44:03 AM2/18/12
to
Tetis
Feb 18, 2012, 9:17:29 AM2/18/12
to
Sembra che jc abbia detto :
Grazie, stavo leggendo proprio l'articolo di wikipedia:
http://en.wikipedia.org/wiki/Circulant_matrix
che, guarda la coincidenza, le considera come caso particolare di
matrici di Toeplitz. Ad ogni modo l'origine del problema è del tutto
elementare. Qualche giorno fa Superpollo chiedeva in che relazione
geometrica stanno fra loro, sul piano di Argand, le soluzioni complesse
dell'equazione:
z1^2 + z2^2 + z3^2 - z1 z2 - z2 z3 - z3 z1 = 0
Cometa luminosa notava che poichè la relazione è simmetrica per
rotazione degli indici doveva trattarsi di un triangolo equilatero.
E' stato giustamente osservato che sebbene la soluzione sia corretta la
logica dimostrativa è inadeguata perché ad esempio le soluzioni
dell'equazione z1+z2+z3 = 0, come dell'equazione z1z2z3 non sono
necessariamente i vertici di un triagnolo equilatero.
Ad ogni modo nel caso specifico, trattandosi di una forma bilineare c'è
dell'utile nell'osservazione di Cometa Luminosa.
La forma bilineare in questione è degenere, ha un ovvio autovettore
dato da z1 = z2 = z3 = 1, e siccome la forma associata è circolante,
essa ha inoltre due ulteriori autovettori degeneri, circolanti, dati
da: (1,w,w^2) ed (1,1/w,1/w^2) di autovalore 3/2 che sono anche vettori
isotropi della forma bilineare. La soluzione generale dell'equazione è
quindi da cercare come un vincolo fra i tre coefficienti: a,b,c dei
vettori:
a(1,1,1)+b(1,w,w^2)+c(1,1/w,1/w^2)
il cui quadrato vale:
9bc
quindi la soluzione generale è della forma:
a(1,1,1)+b(1,w,w^2)
aut complesso coniugato.
In entrambi i casi abbiamo un triangolo equilatero (destrorso in un
caso, sinistrorso nell'altro).
http://en.wikipedia.org/wiki/Circulant_matrix
che, guarda la coincidenza, le considera come caso particolare di
matrici di Toeplitz. Ad ogni modo l'origine del problema è del tutto
elementare. Qualche giorno fa Superpollo chiedeva in che relazione
geometrica stanno fra loro, sul piano di Argand, le soluzioni complesse
dell'equazione:
z1^2 + z2^2 + z3^2 - z1 z2 - z2 z3 - z3 z1 = 0
Cometa luminosa notava che poichè la relazione è simmetrica per
rotazione degli indici doveva trattarsi di un triangolo equilatero.
E' stato giustamente osservato che sebbene la soluzione sia corretta la
logica dimostrativa è inadeguata perché ad esempio le soluzioni
dell'equazione z1+z2+z3 = 0, come dell'equazione z1z2z3 non sono
necessariamente i vertici di un triagnolo equilatero.
Ad ogni modo nel caso specifico, trattandosi di una forma bilineare c'è
dell'utile nell'osservazione di Cometa Luminosa.
La forma bilineare in questione è degenere, ha un ovvio autovettore
dato da z1 = z2 = z3 = 1, e siccome la forma associata è circolante,
essa ha inoltre due ulteriori autovettori degeneri, circolanti, dati
da: (1,w,w^2) ed (1,1/w,1/w^2) di autovalore 3/2 che sono anche vettori
isotropi della forma bilineare. La soluzione generale dell'equazione è
quindi da cercare come un vincolo fra i tre coefficienti: a,b,c dei
vettori:
a(1,1,1)+b(1,w,w^2)+c(1,1/w,1/w^2)
il cui quadrato vale:
9bc
quindi la soluzione generale è della forma:
a(1,1,1)+b(1,w,w^2)
aut complesso coniugato.
In entrambi i casi abbiamo un triangolo equilatero (destrorso in un
caso, sinistrorso nell'altro).
superpollo
Feb 18, 2012, 9:46:34 AM2/18/12
to
Tetis ha scritto:
ottimo articolo, tetis!
bye
--
Fin quando hai paura di superpollo, non sarai ne' carne ne'
pesce!!
bye
--
Fin quando hai paura di superpollo, non sarai ne' carne ne'
pesce!!
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