Equivalenza tra triangoli e rettangoli

[AlDonof57]

Salve ragazzi, devo risolvere un problema preso da un libro di geometria di scuola superiore (Nuova Geometria Operativa) che mi sta dando filo da torcere. Il problema più o meno dice:

Dimostra che se due triangoli sono equivalenti e hanno un angolo uguale allora i rettangoli costruiti con i lati adiacenti all'angolo uguale sono equivalenti.

La difficoltà non sta nel problema in se, del tutto evidente (se ab sen(g)/2 = a'b' sen(g)/2 allora ab=a'b'), ma nel fatto che la similitudine e la teoria delle proporzioni sono qualche capitolo più avanti, di trigonometria neanche a parlarne. Il problema andrebbe risolto solo con gli strumenti forniti fino a quel punto (la congruenza, il parallelismo e l'equivalenza).

Ci deve essere qualche soluzione semplice che non riesco a trovare, l'esercizio sta tra altri esercizi tutti abbastanza semplici, alla portata di uno studente di seconda liceo.

[ticonzero]

"AlDonof57" ha scritto:

> Dimostra che se due triangoli sono equivalenti e hanno un angolo uguale
> allora i rettangoli costruiti con i lati adiacenti all'angolo uguale sono
> equivalenti.

Ciao, non sono riuscito a trovare una soluzione semplice,
ti riporto una soluzione trovata che pero' mi sembra troppo lunga e
complicata per uno studente liceale.
Sono curioso di capire quale possa essere la soluzione sottintesa dal tuo
libro.

Uso il lemma per cui:
due triangoli OAB e OA'B', aventi l'angolo O in comune
(O, A, A' allineati; O, B, B' allineati), sono equivalenti se e solo se AB'
e' parallelo a A'B.
Infatti si possono considerare i due triangoli cosi' composti (suppongo OA <
OA' e quindi OB > OB') :
OAB = OAB' + AB'B
OA'B' = OAB' + AB'A'
e i due triangoli AB'B, AB'A', avendo la base AB' in comune, sono
equivalenti se e solo se BA' e' parallelo a A'B.

Siano ora OAB e OA'B' i nostri due triangoli (OA=a, OA'=a', OB=b, OB'=b') e
siano BP, B'P' le rispettive altezze relative ai lati OA e OA' (BP=h,
B'P'=h').

Sulla semiretta retta OA riporto i punti B1 e B'1 tali che: OB1=OB=b,
OB'1=OB'=b'.
I triangoli OB1B e OB'1B' sono isosceli e dunque B1B // B'1B', ne segue
per il lemma di prima che i triangoli OB'1B e OB1B' sono equivalenti
(notare che OB'1B ha base b' e altezza h mentre OB1B' ha base b e altezza
h').

Ora faccio diventare retto l'angolo in O mantenendo le distanze sui lati
(non mi va di usare altre lettere).
Sulla semiretta OA prendo un punto H' tale che OH'=h' mentre sulla semiretta
perpendicolare OB un punto
H tale che OH=h e un punto A'2 tale che OA'2= OA' =a'.

Per ipotesi il rettangolo di dimensioni OA e OH e' equivalente al rettangolo
di dimensioni OA'2 e OH', da cui segue che il triangolo OAH e' equivalente
al triangolo OA'2H' e per il lemma che AA'2 // HH'.

Per quanto osservato prima, sappiamo che il triangolo di base b e altezza h'
e' equivalente al triangolo di base b' e altezza h.
Questo, nella nostra figura con l'angolo retto, si traduce nell'equivalenza
dei triangoli OH'B e OB'1H e quindi nel parallelismo di H'H e B'1B.

Da AA'2 // H'H e H'H // B'1B segue AA'2 // B'1B e quindi l'equivalenza
tra i triangoli OAB e OB'1A'2, cosa che equivale a quanto dovevamo
dimostrare.

Ciao!

[ticonzero]

"AlDonof57" ha scritto:
> Dimostra che se due triangoli sono equivalenti e hanno un angolo uguale
> allora i rettangoli costruiti con i lati adiacenti all'angolo uguale sono
> equivalenti.

Ciao, ho trovato un'altra dimostrazione che pero' e' sempre troppo
complicata per un livello scolastico.
Inizio a pensare (spero di sbagliarmi) che l'aver messo questo problema in
quel capitolo di un libro scolastico (prima della teoria delle proporzioni
e, immagino, della geometria solida) sia stata una svista dell'autore.
In effetti il problema e' al cuore di uno sviluppo per via sintetica della
teoria
delle proporzioni, basato sulla teoria dell'equivalenza. Mi spiego meglio:
se si
definisce formalmente la scrittura "a:b=c:d" come un modo di dire che il
rettangolo di lati a, d e' equivalente al rettangolo di lati b, c si
dovrebbero poter ritrovare, per via sintetica, tutte le proprieta' delle
proporzioni.
Procedendo in questo modo il tuo problema e' equivalente a dimostrare il
primo criterio di similitudine dei triangoli: se i triangoli OAB e OA'B'
aventi l'angolo
in O in comune sono equivalenti (con O, A, A' allineati; O, B, B'
allineati), allora i triangoli OAB' e OA'B sono equiangoli. Dire quindi che
il rettangolo di lati OA e OB e' equivalente al rettangolo di lati OA' e OB'
si traduce nella scrittura OA:OA'=OB':OB.

Ti riporto, nel caso possa interessare, l'altra dimostrazione - e'
altrettanto complicata ma forse meno artificiosa.
Si basa sul teorema dello gnomone (vedi per esempio
http://www.gobnf.com/formule/default.aspx?code=0010502LKBP1) e sul suo
inverso (si dimostra facilmente per assurdo).

Dobbiamo dimostrare che i rettangoli OACD e OB'C'D,' costruiti esternamente
ai triangoli, sono equivalenti (AC=OB, B'C'=OA').

Sia P il punto di intersezione delle rette condotte da A' e B parallelamente
rispettivamente ai lati OB e OA, Q il punto di intersezione delle rette
condotte da A e B' parallelamente ai lati OB e OA.
Chiamo: R l'intersezione delle rette CD e C'D'; E l'intersezione delle rette
A'P, CD; F l'intersezione delle rette BP, C'D'; H l'intersezione delle rette
QA, BP; K l'intersezione delle rette A'P, B'Q; M l'intersezione delle rette
CD, OB; M' l'intersezione delle rette C'D', OA'; N l'intersez. delle rette
AQ,
CD; N' l'intersezione delle rette B'Q, C'D'.

Il rettangolo OACD e' equivalente al parallelogrammo OANM (stesse basi,
stesse altezze), analogamente il rettangolo OB'C'D' e' equivalente al
parallelogrammo OB'N'M' per cui, per dimostrare la tesi, possiamo ricondurci
a dimostrare l'equivalenza dei due parallelogrammi OANM, OB'N'M'. Questo
equivale a dimostrare che R, O, Q sono allineati come si vede applicando il
teorema dello gnomone al parallelogrammo RNQN'.
I parallelogrammi OAHB, OA'KB' sono equivalenti perche' doppi dei triangoli
OAB e OA'B'. Sottraendo il parallelogramma comune OAQB' si ottiene che AA'KQ
e' equivalente a BB'QH. Cio' implica, per l'inverso del teorema dello
gnomone applicato al parallelogramma OA'PB, che Q appartiene alla diagonale
OP: O, Q, P sono allineati.
Il rettangolo di lati OA', OD e' congruente al rettangolo di lati OB, OD'
(OD=OB, OD'=OA') e pertanto sono equivalenti, ma sono anche equivalenti ai
parallelogrammi OA'EM, OBFM' avendone la stessa base e la stessa altezza.
Dall'inverso del teorema dello gnomone applicato al parallelogramma REPF si
deduce che O sta sulla diagonale RP: R, O, P sono allineati.

Da O, P, Q allineati e R, O, P allineati segue R, O, Q allineati. cdd

[fm2766]

Una dimostrazione per assurdo?
Se così non fosse, sovrapponendo i due triangoli (dalla parte
dell'angolo comune) ci sarebbero, in corrispondenza col terzo lato, due
triangolini con un angolo uguale, ma non equivalenti... immagino che
pensandoci su, si possa risolvere.