Derivata settore tangente iperbolica
Max
Abbiamo che, per y che appartiene a (-1,+1):
sett tgh y = (1/2)*log(1+y)/(1-y)
Derivando a partire dall'espressione di sopra � facile, e viene:
1/(1-y^2)
Io per� dovrei raggiungere lo stesso risultato usando la derivazione
delle funzioni inverse, ossia:
d (sett tgh y)=1/[d tgh(x)]=1/[1/cosh^2(x)]
A questo punto vado in confusione, ho provato varie strade, ma non
riesco ad ottenere 1/(1-y^2)
Grazie.
Max
> Giuro che � l'ultimo thread riguardo alle funzioni iperboliche...
>
>
> Abbiamo che, per y che appartiene a (-1,+1):
>
> sett tgh y = (1/2)*log(1+y)/(1-y)
Pi� correttamente: sett tgh y = (1/2)*log[(1+y)/(1-y)]
cometa_luminosa
>
> Abbiamo che, per y che appartiene a (-1,+1):
> sett tgh y = (1/2)*log(1+y)/(1-y)
> 1/(1-y^2)
> Io per dovrei raggiungere lo stesso risultato usando la derivazione
> delle funzioni inverse, ossia:
> d (sett tgh y)=1/[d tgh(x)]=1/[1/cosh^2(x)]
> A questo punto vado in confusione, ho provato varie strade, ma non
La derivata della tangente iperbolica e' 1 - [tgh(x)]^2.
Lo vedi scrivendo tgh(x) = [(e^x - e^(-x)]/ [(e^x + e^(-x)] e
derivando.
Quindi d (sett tgh y) / dy = 1/[d tgh(x) / dx] calcolato in x = sett
tgh y,
percio' viene 1/{1 - [tgh(x)]^2} in x = sett tgh y, ovvero:
1/(1 - y^2).
cometa_luminosa
^2 - [sinh(x)]^2 = 1. Trovi che 1/[cosh(x)]^2 = 1 - [tanh(x)]^2.
Max
> La derivata della tangente iperbolica e' 1 - [tgh(x)]^2.
>
> Lo vedi scrivendo tgh(x) = [(e^x - e^(-x)]/ [(e^x + e^(-x)] e
> derivando.
>
> Quindi d (sett tgh y) / dy = 1/[d tgh(x) / dx] calcolato in x = sett
> tgh y,
>
> percio' viene 1/{1 - [tgh(x)]^2} in x = sett tgh y, ovvero:
>
> 1/(1 - y^2).
Chiaro grazie, quello che mi manda in tilt in questi procedimenti � il
cambiamento di variabili tra funzioni e inverse, ossia il semplice
ragionamento in base al quale se y=f(x) allora x= f^-1(y), quando vado
sul campo con funzioni veri mi confondo in maniera pazzesca! :-(
Ciao.
cometa_luminosa
> Chiaro grazie, quello che mi manda in tilt in questi procedimenti il
> cambiamento di variabili tra funzioni e inverse, ossia il semplice
> ragionamento in base al quale se y=f(x) allora x= f^-1(y), quando vado
> sul campo con funzioni veri mi confondo in maniera pazzesca! :-(
Tante volte in matematica problemi che possono essere descritti in
maniera formalmente semplice non sono di semplice risoluzione. Prova a
risolvere x = cosx, per esempio.
Max
> Tante volte in matematica problemi che possono essere descritti in
> maniera formalmente semplice non sono di semplice risoluzione. Prova a
> risolvere x = cosx, per esempio.
Cio� vuoi sapere quando il coseno � identico all'arco(angolo) sul quale
� calcolato?
Max
Se fosse cosi mi verrebbe da dire, pensando al cerchio trigonometrico,
"il coseno non � mai uguale all'archo che lo descrive"...
Max
Se fosse cosi mi verrebbe da dire che, pensando al cerchio
trigonometrico, "il coseno non � mai uguale all'arco che lo descrive"...
Enrico Gregorio
Sbagliato. Considera la funzione f(x) = x - cos x; siccome f(0) = -1 < 0
e f(pi/2) = pi/2 > 0, esiste certamente un x interno all'intervallo
[0,pi/2] tale che f(x) = 0.
Ciao
Enrico
Max
>> Se fosse cosi mi verrebbe da dire che, pensando al cerchio
>> trigonometrico, "il coseno non � mai uguale all'arco che lo descrive"...
>
> Sbagliato. Considera la funzione f(x) = x - cos x; siccome f(0) = -1< 0
> e f(pi/2) = pi/2> 0, esiste certamente un x interno all'intervallo
> [0,pi/2] tale che f(x) = 0.
Questo per il teorema di esistenza degli zeri, e cosi ripetiamo anche la
teoria ;-)
Ciao.
Enrico Gregorio
Prendi una calcolatrice scientifica (anche quella del computer),
assicurati che sia attiva la misurazione degli angoli in radianti
e schiaccia un certo numero di volte il tasto "cos"; vedrai che
il numerino sul visore converge abbastanza rapidamente.
Con cinque cifre decimali si ottiene 0,73909
Adesso dimostra che nell'intervallo [0,pi/2] la soluzione � unica
(� facile) e che che � l'unica in assoluto.
Ciao
Enrico
Max
> Prendi una calcolatrice scientifica (anche quella del computer),
> assicurati che sia attiva la misurazione degli angoli in radianti
> e schiaccia un certo numero di volte il tasto "cos"; vedrai che
> il numerino sul visore converge abbastanza rapidamente.
Qua no ho capito: coseno di cosa?
> Con cinque cifre decimali si ottiene 0,73909
>
> Adesso dimostra che nell'intervallo [0,pi/2] la soluzione � unica
> (� facile) e che che � l'unica in assoluto.
Provo a buttare gi� qualche scarabocchio:
La dimostrazione sicuramente si basa sulla costruzione di due
successioni, una che si avvicina alla soluzione per valori minori di
zero e l' altra per valori maggiori, la prima crescente, la seconda
decrescente...
Il limite delle due successioni � rispettivamente l'estremo superiore
della prima e l'estremo inferiore della seconda e vale f(x)=0 � chiaro
che ritornaimo alla dimostrazione di qualche giorno fa e che tanto mi ha
incasinato :-)
Ciao.
Enrico Gregorio
> On Thursday/14/01/2010 22:11, Enrico Gregorio wrote:
>
> > Prendi una calcolatrice scientifica (anche quella del computer),
> > assicurati che sia attiva la misurazione degli angoli in radianti
> > e schiaccia un certo numero di volte il tasto "cos"; vedrai che
> > il numerino sul visore converge abbastanza rapidamente.
>
>
> Qua no ho capito: coseno di cosa?
Sul visore ci sar� scritto 0, no? Schiacciando 'cos' viene 1;
continua.
> > Con cinque cifre decimali si ottiene 0,73909
> >
> > Adesso dimostra che nell'intervallo [0,pi/2] la soluzione � unica
> > (� facile) e che che � l'unica in assoluto.
>
> Provo a buttare gi� qualche scarabocchio:
>
> La dimostrazione sicuramente si basa sulla costruzione di due
> successioni, una che si avvicina alla soluzione per valori minori di
> zero e l' altra per valori maggiori, la prima crescente, la seconda
> decrescente...
>
> Il limite delle due successioni � rispettivamente l'estremo superiore
> della prima e l'estremo inferiore della seconda e vale f(x)=0 � chiaro
> che ritornaimo alla dimostrazione di qualche giorno fa e che tanto mi ha
> incasinato :-)
> Ciao.
Il teorema degli zeri � dato per noto.
Considera ancora la funzione f(x) = x - cos x
La sua derivata � f'(x) = 1 + sin x che � non negativa; quindi la
funzione f � crescente. Dunque passa una sola volta per lo zero.
Esercizio: per quali valori di a l'equazione
ax = cos x
ha soluzioni? Nel caso abbia soluzioni, quante sono?
Ciao
Enrico
superpollo
prof. gregorio, l'esercizio e' per max vero ;-) ?
bye
Enrico Gregorio
Certo, ma se vuoi puoi inviare la tua risposta. Dopo la sua.
Ciao
Enrico
Max
> Certo, ma se vuoi puoi inviare la tua risposta. Dopo la sua.
Perch� siete cosi cattivi!!! ;-)
Quanto tempo ho?
Ci devo pensare un bel po su mi sa... :-(
Max
>>> Esercizio: per quali valori di a l'equazione
>>>
>>> ax = cos x
>>>
>>> ha soluzioni? Nel caso abbia soluzioni, quante sono?
Dovrebbe avere una soluzione perch� f(x)=x - cos x passa una volta per
lo zero(anche se non ho capito perch�, non dovrebbe essere strettamente
crescente per passarci solo un avolta?), e dovrebbe esswre il limite di
qualcosa che converge a 0,7 e qualche cosa... ma inutile che vada
avanti, mi sento perso....
Massimo Borsero
> Dovrebbe avere una soluzione perch� f(x)=x - cos x passa una volta per lo
> zero(anche se non ho capito perch�, non dovrebbe essere strettamente
> crescente per passarci solo un avolta?)
Conosci il teorema degli zeri? Cosa dice?
Inoltre vorrei suggerirti una strada. Dire che
cos x = ax
Significa che la funzione
f(x) = cos x
e la funzione
g(x) = a x
hanno almeno una intersezione (infatti in quel caso f(x) = g(x) ). Perch�
non provi a disegnarle al variare di a per farti un'idea?
Max
>>
>> Dovrebbe avere una soluzione perch� f(x)=x - cos x passa una volta per
>> lo zero(anche se non ho capito perch�, non dovrebbe essere
>> strettamente crescente per passarci solo un avolta?)
>
> Conosci il teorema degli zeri? Cosa dice?
Che se abbiamo una funzione continua definita in un intervallo chiuso e
limitato [a,b] e risulta f(a)<0 e f(b)>0 (o viceversa) allora esister�
almeno un punto dell'intervallo in cui f(x)=0
> hanno almeno una intersezione (infatti in quel caso f(x) = g(x) ). Perch�
> non provi a disegnarle al variare di a per farti un'idea?
Dopo ci provo :-)
Max
> Significa che la funzione
>
> f(x) = cos x
>
> e la funzione
>
> g(x) = a x
>
> hanno almeno una intersezione (infatti in quel caso f(x) = g(x) ). Perch�
> non provi a disegnarle al variare di a per farti un'idea?
g(x) = ax � una retta di coefficiente angolare a che passa per
l'origine, e quindi l'intersezione con cos(x) varia al variare di a...
Max
e puo' avere pi� di una soluzione nel caso in cui a sia abbastanza
piccolo...infatti in questo caso intersecherebbe la funzione coseno in
pi� punti...
Max
> e puo' avere pi� di una soluzione nel caso in cui a sia abbastanza
> piccolo...infatti in questo caso intersecherebbe la funzione coseno in
> pi� punti...
Se a � uguale a 1, abbiamo la bisettrice e quindi si incontrer� in un
solo punto...