derivata discontinua
lucas
e con funzione derivata avente discontinuit� di
prima specie in x0.
Uhm... qualche suggerimento?
superpollo
scusa, ricordami bene, la prima specie e'...?
lucas
"superpollo" <ute...@esempio.net> ha scritto nel messaggio
news:4b542fed$0$1114$4faf...@reader4.news.tin.it...
limiti destro e sinistro distinti e finiti.
superpollo
allora non credo che esista. basta applicare il teorema di lagrange.
o no?
bye
Valter Moretti
Non ne esistono!
Se la funzione è derivabile in x0 allora è continua in tale punto.
Per il teorema di Lagrange segue che il limite del rapporto
incrementale destro e sinistro coincidono rispettivamente con il
limite destro e sinistro della derivata che pertanto coincidono dato
che la funzione è derivabile in x0.
Ciao, Valter
Enrico Gregorio
> On Jan 18, 9:34�am, "lucas" <luca-smar...@gmail.com> wrote:
> > Mi sfugge un esempio di f(x) derivabile in x0
> > e con funzione derivata avente discontinuit di
> > prima specie in x0.
> >
> > Uhm... qualche suggerimento?
>
> Non ne esistono!
> Se la funzione � derivabile in x0 allora � continua in tale punto.
> Per il teorema di Lagrange segue che il limite del rapporto
> incrementale destro e sinistro coincidono rispettivamente con il
> limite destro e sinistro della derivata che pertanto coincidono dato
> che la funzione � derivabile in x0.
Che c'entra il teorema di Lagrange, che si pu� applicare solo a
funzioni derivabili in un intervallo aperto e continue sulla chiusura
di esso? L'OP chiede solo che la funzione sia derivabile in un punto.
Ciao
Enrico
?manu*
> Mi sfugge un esempio di f(x) derivabile in x0
> prima specie in x0.
Non esiste. La derivata di una funzione ha la proprietￜ di Darboux, che
esclude le discontinuitￜ a salto.
E.
?manu*
Beh, allora � ancora pi� semplice. Una funzione definita in un punto
solo non pu� avere discontinuit� ;-)
E.
Enrico Gregorio
La questione � evidentemente pi� sottile. � chiaro che l'OP richiede
anche l'esistenza del limite destro e sinistro della derivata, quindi
che questa esista anche in altri punti. Naturalmente, per avere
l'esempio richiesto, la funzione non dovr� essere derivabile in tutto
un intorno di quel punto.
Ciao
Enrico
Valter Moretti
> Valter Moretti <vmoret...@hotmail.com> scrive:
>
> > On Jan 18, 9:34 am, "lucas" <luca-smar...@gmail.com> wrote:
> > > Mi sfugge un esempio di f(x) derivabile in x0
> > > e con funzione derivata avente discontinuit di
> > > prima specie in x0.
>
> > > Uhm... qualche suggerimento?
>
> > Non ne esistono!
> > Per il teorema di Lagrange segue che il limite del rapporto
> > incrementale destro e sinistro coincidono rispettivamente con il
> > limite destro e sinistro della derivata che pertanto coincidono dato
>
> Che c'entra il teorema di Lagrange, che si può applicare solo a
> funzioni derivabili in un intervallo aperto e continue sulla chiusura
> di esso? L'OP chiede solo che la funzione sia derivabile in un punto.
No, non mi pare chiede ben di più: come intepreti la richiesta che la
funzione ha
discontinuità di prima specie della derivata?
Io l'ho interpretato così: la derivata esiste in un intorno destro e
sinistro di x0
ma i limiti finiti delle derivate verso x0 non coincidono.
Inoltre l'OP dice anche che la derivata esiste in x0 per cui la
funzione è continua in
[x0, x0+e] e [x0-e, x0] ed è derivabile all'interno di tali
intervalli. Posso dunque applicare il teorema di
Lagrange, no?
Ciao, Valter
Valter Moretti
> La questione è evidentemente più sottile. È chiaro che l'OP richiede
> anche l'esistenza del limite destro e sinistro della derivata, quindi
> che questa esista anche in altri punti.
Secondo me la stai facendo più complicata di quella che è per questo
genere di esercizi, anche se in principio hai ragione.
Nei corsi di "analisi 0" (ormai non sono in grado di dire come si
chiamano, ai miei tempi era analisi I), funzione su R a valori in R
che ha discontinuità di prima specie in x0 si (sotto)intende che la
funzione è definita in un intervallo destro ed in un intervallo
sinistro di x0 e non, più debolmente, che x0 sia un punto di
accumulazione del dominio della funzione... In ogni caso bisogna
vedere la definizione che usa l'op.
Ciao, Valter
Valter Moretti
> che ha discontinuità di prima specie in x0 si (sotto)intende che la
> funzione è definita in un intervallo destro ed in un intervallo
> sinistro di x0
scusa ho scritto "intervallo", ma volevo scrivere "intorno".
Riciao, Valter
Enrico Gregorio
> On Jan 18, 11:28�am, Enrico Gregorio <grego...@math.unipd.it> wrote:
> > Valter �Moretti <vmoret...@hotmail.com> scrive:
> >
> > > On Jan 18, 9:34�am, "lucas" <luca-smar...@gmail.com> wrote:
> > > > Mi sfugge un esempio di f(x) derivabile in x0
> > > > e con funzione derivata avente discontinuit di
> > > > prima specie in x0.
> >
> > > > Uhm... qualche suggerimento?
> >
> > > Non ne esistono!
> > > Se la funzione � derivabile in x0 allora � continua in tale punto.
> > > Per il teorema di Lagrange �segue che il limite del rapporto
> > > incrementale �destro e sinistro coincidono rispettivamente con il
> > > limite destro e sinistro della derivata che pertanto coincidono dato
> > > che la funzione � derivabile in x0.
> >
> > Che c'entra il teorema di Lagrange, che si pu� applicare solo a
> > funzioni derivabili in un intervallo aperto e continue sulla chiusura
> > di esso? L'OP chiede solo che la funzione sia derivabile in un punto.
>
> No, non mi pare chiede ben di pi�: come intepreti la richiesta che la
> funzione ha
> discontinuit� di prima specie della derivata?
> Io l'ho interpretato cos�: la derivata esiste in un intorno destro e
> sinistro di x0
> ma i limiti finiti delle derivate verso x0 non coincidono.
> Inoltre l'OP dice anche che la derivata esiste in x0 per cui la
> funzione � continua in
> [x0, x0+e] e [x0-e, x0] ed � derivabile all'interno di tali
> intervalli. Posso dunque applicare il teorema di
> Lagrange, no?
Ovviamente dipende da come definisci l'esistenza del limite destro
e sinistro; se basta che il punto sia di accumulazione del dominio
non � necessario supporre la derivabilit� in tutto un intorno.
Ciao
Enrico
Enrico Gregorio
> On Jan 18, 9:34�am, "lucas" <luca-smar...@gmail.com> wrote:
> > Mi sfugge un esempio di f(x) derivabile in x0
> > e con funzione derivata avente discontinuit di
> > prima specie in x0.
> >
> > Uhm... qualche suggerimento?
>
> Non ne esistono!
> Se la funzione � derivabile in x0 allora � continua in tale punto.
> Per il teorema di Lagrange segue che il limite del rapporto
> incrementale destro e sinistro coincidono rispettivamente con il
> limite destro e sinistro della derivata che pertanto coincidono dato
> che la funzione � derivabile in x0.
Guardando in giro mi sono imbattuto nella descrizione della
funzione "base 13" di Conway.
In ci� che segue "s" indica il simbolo "+" oppure il simbolo "-";
con A si indica una successione finita di cifre decimali, con B una
successione infinita di cifre decimali, con C una successione
finita di simboli nell'insieme {0,1,...,9,.,-,+}.
Ogni numero reale in (0,1) ammette un'espansione in base 13, nella
quale si usino come "cifre" i simboli "0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 . - +"
nell'ordine indicato e non ci sia una "coda" di simboli "+". Siccome
siamo in (0,1), non occorre indicare la parte intera.
Un "numero speciale" � uno la cui espansione in base 13 sia della
forma "CsA.B"; un "numero normale" � uno che non sia speciale.
Definiamo f(x) = 0 se x � un numero normale, mentre
f(CsA.B) = sA.B
ma dove s � interpretato come segno + o - al modo usuale, A come parte
intera in notazione decimale, il punto come separatore decimale e B
come parte frazionaria in notazione decimale.
Per esempio
x = 1-340+123.B
� un numero speciale e f(x) = 123.B (B � una qualsiasi successione
infinita di cifre decimali; se c'� 9 periodico non importa, come si sa).
La funzione f ha questa bizzarra propriet�: per ogni p e q, con
0 < p < q < 1, f assume nell'intervallo [p,q] /tutti/ i valori reali,
in particolare tutti i valori compresi tra f(p) e f(q). Inoltre f non
� continua in alcun punto (in un punto in cui fosse continua ci sarebbe
un intorno in cui f � limitata).
Ciao
Enrico
RADICALE THE BEST
> Mi sfugge un esempio di f(x) derivabile in x0
> e con funzione derivata avente discontinuit di
> prima specie in x0.
Derivabile sia da destra che da sinistra
e con valore coincidente ?
?manu*
Mentre stendevo i panni mi � venuto in mente che avresti fatto questa
obiezione! Dubito per� che questa sia la richiesta dell'OP. Quando si
trattano funzioni cos� patologiche difficilmente si usa la nomenclatura
"classica" dei punti di discontinuit�.
Comunque in tal caso la funzione esiste. Si pu� costruire in questo
modo. Per x<0 prendi la funzione costante 0, mentre per x>1 vuoi avere
una funzione continua che sia derivabile frequentemente con derivata 1.
Allora consideri una qualunque funzione continua e mai derivabile
g:[0,1]->[0,1] tale che g(0)>g(1). Dividi i numeri positivi in infiniti
intervallini che si accumulano in 0, di ampiezza opportuna e ad
intervalli alterni metti una funzione lineare con derivata 1 e poi usi
la funzione g (eventualmente riscalata) per collegarla con continuit�....
Insomma ora devo andare a prendere l'autobus, mi rendo conto che non si
capisce molto la costruzione.
E.