tangente a una cubica
superpollo
P(xP,yP) punto non sulla curva
trovare la retta tangente alla curva, passante per P
so che e' una minchiata, sono un po' stanco...
bye
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Ti devo dare una cattiva notixia, Anche 0 è un 1
Enrico Gregorio
> y=f(x) con f(x) polinomio di grado 3
>
> P(xP,yP) punto non sulla curva
>
> trovare la retta tangente alla curva, passante per P
>
> so che e' una minchiata, sono un po' stanco...
Il metodo è il solito: scrivi il fascio di rette
y - y_0 = m(x - x_0)
sostituendo nell'equazione della curva. Ottieni un
polinomio di grado 3.
Questo polinomio deve avere una radice doppia, quindi
una radice in comune con il polinomio derivato.
Esempio:
Cubica: y = x^3 - 1, punto: (-1,0)
Fascio y = m(x + 1)
Equazione risolvente: x^3 - mx - m - 1 = 0
Polinomio derivato: 3x^2 - m
Le radici del polinomio derivato sono a = sqrt(m/3) e -a;
sostituisci nel polinomio originale e uguaglia a 0:
am/3 - am - m - 1 = 0
-2am/3 = m + 1
4a^2m^2/9 = m^2 + 2m + 1
4m^3/27 = m^2 + 2m + 1
4m^3 - 27m^2 - 54m - 27 = 0
Alla stessa equazione arrivi con l'altra radice; in effetti
si sta uguagliando a zero il discriminante del polinomio
di grado 3.
Trovare effettivamente le tangenti è un altro paio di maniche.
Metodo alternativo: la tangente alla curva nel punto (t, t^3 - 1)
ha equazione
y - t^3 + 1 = 3t^2(x - t)
che deve passare per il punto (-1,0):
0 - t^3 + 1 = 3t^2(-1 - t)
2t^3 + 3t^2 + 1 = 0
Ciao
Enrico
superpollo
grazie. quindi confermi che in ogni caso bisogna risolvere un'eq. del
terzo grado, il che non e' in generale fattibile con metodi "elementari"
(ossia metodi standard previsti dai curriculum scolastici liceali)
Enrico Gregorio
Una cubica non singolare ha classe 6: da un punto "generico"
si possono condurre 6 tangenti alla cubica. Nel caso di y = f(x)
alcune di queste sono improprie.
Se la cubica ha un punto doppio ordinario (per esempio il
folium di Descartes), la classe è 4. Se la cubica ha una
cuspide la classe è 3. Cerca "formule di Plücker".
Una cubica del tipo y = f(x) ha sempre una cuspide nel punto
di coordinate omogenee (0,1,0) (cioè il punto improprio dell'asse
delle ordinate), con tangente (doppia) impropria. Dunque si
tratta di una cubica di classe 3.
Nel caso di una cubica del tipo y^2 = f(x), dove f è un polinomio
a radici distinte, l'equazione "discriminante = 0" di prima è
effettivamente di grado 6, in generale.
Ciao
Enrico