Derivata nulla

[Francesco]

Ho questo quesito che mi crea problemi.

Fare un esempio d funzione in IR continua
nel proprio dominio e non costante ma con
derivata nulla.

Pensavo che l'avere derivata nulla su tutto
il dominio implicasse la costanza della funzione.

Grazie.



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Il messaggio è stato controllato da ESET Smart Security.

www.nod32.it

[Enrico Gregorio]

Francesco <ma...@hotmail.com> scrive:

> Ho questo quesito che mi crea problemi.
>
> Fare un esempio d funzione in IR continua
> nel proprio dominio e non costante ma con
> derivata nulla.
>
> Pensavo che l'avere derivata nulla su tutto
> il dominio implicasse la costanza della funzione.

Solo se il dominio è un intervallo.

Ciao
Enrico

[Francesco]

"Enrico Gregorio" <Facile.d...@in.rete.it> ha scritto nel messaggio
news:281220111956571118%Facile.d...@in.rete.it...
> Francesco <ma...@hotmail.com> scrive:

>
>>
>> Fare un esempio d funzione in IR continua
>> nel proprio dominio e non costante ma con
>> derivata nulla.
>>
>> Pensavo che l'avere derivata nulla su tutto
>> il dominio implicasse la costanza della funzione.
>
> Solo se il dominio è un intervallo.

Vediamo se intuisco correttamente.

Prendo f=2 in [0;1) ed f=3 in (1;2]

Ovvero il dominio è unione di intervalli.

Un momento, però mi cade la continuità,
almeno secondo la definizione del Liceo in x=1
c'è una discontinuità di 1° specie.

Che ne dici?

[Giorgio Bibbiani]

Francesco ha scritto:

> Prendo f=2 in [0;1) ed f=3 in (1;2]
> Ovvero il dominio è unione di intervalli.
> Un momento, però mi cade la continuità,
> almeno secondo la definizione del Liceo in x=1
> c'è una discontinuità di 1° specie.

f e' continua su tutto il suo dominio, dato che il
punto 1 non appartiene al dominio di f allora non
si puo' dire se f sia ivi continua oppure no, cio'
per definizione di continuita'.

Ciao
--
Giorgio Bibbiani

[superpollo]

Francesco ha scritto:

> "Enrico Gregorio" <Facile.d...@in.rete.it> ha scritto nel messaggio
> news:281220111956571118%Facile.d...@in.rete.it...
>> Francesco <ma...@hotmail.com> scrive:
>>
>>> Fare un esempio d funzione in IR continua
>>> nel proprio dominio e non costante ma con
>>> derivata nulla.
>>>
>>> Pensavo che l'avere derivata nulla su tutto
>>> il dominio implicasse la costanza della funzione.
>> Solo se il dominio è un intervallo.
>
> Vediamo se intuisco correttamente.
>
> Prendo f=2 in [0;1) ed f=3 in (1;2]
>
> Ovvero il dominio è unione di intervalli.
>
> Un momento, però mi cade la continuità,
> almeno secondo la definizione del Liceo in x=1
> c'è una discontinuità di 1° specie.

si' c'e' una discontinuita', tuttavia la funzione e' continua. :-)
ricordati che "discontinua" non vuol dire "non continua".

bye

--
Ora l'introduzione della i, e' un atto rivoluzionario, forse
piu' rivoluzionario della introduzione dello *0*

[Enrico Gregorio]

superpollo <super...@tznvy.pbz> scrive:

> Francesco ha scritto:
> > "Enrico Gregorio" <Facile.d...@in.rete.it> ha scritto nel messaggio
> > news:281220111956571118%Facile.d...@in.rete.it...
> >> Francesco <ma...@hotmail.com> scrive:
> >>
> >>> Fare un esempio d funzione in IR continua
> >>> nel proprio dominio e non costante ma con
> >>> derivata nulla.
> >>>
> >>> Pensavo che l'avere derivata nulla su tutto
> >>> il dominio implicasse la costanza della funzione.
> >> Solo se il dominio è un intervallo.
> >
> > Vediamo se intuisco correttamente.
> >
> > Prendo f=2 in [0;1) ed f=3 in (1;2]
> >
> > Ovvero il dominio è unione di intervalli.
> >
> > Un momento, però mi cade la continuità,
> > almeno secondo la definizione del Liceo in x=1
> > c'è una discontinuità di 1° specie.
>
> si' c'e' una discontinuita', tuttavia la funzione e' continua. :-)
> ricordati che "discontinua" non vuol dire "non continua".

Ovvia domanda: perché insistere a usare una terminologia
chiaramente fuorviante?

Ciao
Enrico

[superpollo]

Enrico Gregorio ha scritto:

ah non so... chiedilo all'op (e al ministro e alle case editrici) ;-)

[Francesco]

"superpollo" <super...@tznvy.pbz> ha scritto nel messaggio
news:4efb7c2e$0$1375$4faf...@reader2.news.tin.it...

> Enrico Gregorio ha scritto:
>> superpollo <super...@tznvy.pbz> scrive:
>>

>>>> Un momento, però mi cade la continuità,
>>>> almeno secondo la definizione del Liceo in x=1
>>>> c'è una discontinuità di 1° specie.
>>> si' c'e' una discontinuita', tuttavia la funzione e' continua. :-)
>>> ricordati che "discontinua" non vuol dire "non continua".
>>
>> Ovvia domanda: perché insistere a usare una terminologia
>> chiaramente fuorviante?
>
> ah non so... chiedilo all'op (e al ministro e alle case editrici) ;-)

Scusate,

pensavo che in x=1 ci fosse una discontinuità ovvero
una non continuità perchè potendo fare
i limiti Sinistro e Destro essi risultano diversi.

Se tali limiti non si potessero fare, ovvero se x=1
non fosse punto di accumulazione per il dominio
allora x=1 non sarebbe discontinuità di 1°specie.
Esempio, se la stessa funzione fosse definita in (0;1) U (2;5)
mi pare non dicessimo che x=1 è una discontinuità.

Questo almeno è quello che diceva il mio libro di Liceo.

Non è corretto?

[superpollo]

Francesco ha scritto:

> "superpollo" <super...@tznvy.pbz> ha scritto nel messaggio
> news:4efb7c2e$0$1375$4faf...@reader2.news.tin.it...
>> Enrico Gregorio ha scritto:
>>> superpollo <super...@tznvy.pbz> scrive:
>>>
>>>>> Un momento, però mi cade la continuità,
>>>>> almeno secondo la definizione del Liceo in x=1
>>>>> c'è una discontinuità di 1° specie.
>>>> si' c'e' una discontinuita', tuttavia la funzione e' continua. :-)
>>>> ricordati che "discontinua" non vuol dire "non continua".
>>> Ovvia domanda: perché insistere a usare una terminologia
>>> chiaramente fuorviante?
>> ah non so... chiedilo all'op (e al ministro e alle case editrici) ;-)
>
> Scusate,
>
> pensavo che in x=1 ci fosse una discontinuità ovvero
> una non continuità perchè potendo fare
> i limiti Sinistro e Destro essi risultano diversi.

si chiama "discontinuita'" e non "non continuita'", non chiedermi perche'...

> Se tali limiti non si potessero fare, ovvero se x=1
> non fosse punto di accumulazione per il dominio
> allora x=1 non sarebbe discontinuità di 1°specie.

le discontinuita' si definiscono SOLO per punti di accumulazione del
dominio.

> Esempio, se la stessa funzione fosse definita in (0;1) U (2;5)
> mi pare non dicessimo che x=1 è una discontinuità.
>
> Questo almeno è quello che diceva il mio libro di Liceo.
>
> Non è corretto?

non saprei, ogni libro si regola un po' come vuole... ha ragione enrico.

[Francesco]

"Giorgio Bibbiani" <giorgio_bi...@virgilio.it.invalid> ha scritto
nel messaggio news:4efb6fc5$0$1378$4faf...@reader2.news.tin.it...

Quindi se prendo:
f=2 in [0;1] ed f=3 in (1;2]

Poichè 1 adesso appartiene al dominio
posso dire che f NON è continua in 1
perchè non esiste il limite.

E questo a prescindere dal fatto che in entrambi i casi,
secondo i libri del liceo, f ha una DISCONTINUITA'
di 1° specie.

Corretto?

[Enrico Gregorio]

Francesco <ma...@hotmail.com> scrive:

> "Giorgio Bibbiani" <giorgio_bi...@virgilio.it.invalid> ha scritto
> nel messaggio news:4efb6fc5$0$1378$4faf...@reader2.news.tin.it...
> > Francesco ha scritto:
> >> Prendo f=2 in [0;1) ed f=3 in (1;2]
> >> Ovvero il dominio è unione di intervalli.
> >> Un momento, però mi cade la continuità,
> >> almeno secondo la definizione del Liceo in x=1
> >> c'è una discontinuità di 1° specie.
> >
> > f e' continua su tutto il suo dominio, dato che il
> > punto 1 non appartiene al dominio di f allora non
> > si puo' dire se f sia ivi continua oppure no, cio'
> > per definizione di continuita'.
>
> Quindi se prendo:
> f=2 in [0;1] ed f=3 in (1;2]
>
> Poichè 1 adesso appartiene al dominio
> posso dire che f NON è continua in 1
> perchè non esiste il limite.
>
> E questo a prescindere dal fatto che in entrambi i casi,
> secondo i libri del liceo, f ha una DISCONTINUITA'
> di 1° specie.
>
> Corretto?

Sì.

Ciao
Enrico

[Tetis]

Nel suo scritto precedente, superpollo ha sostenuto :

>> pensavo che in x=1 ci fosse una discontinuità ovvero
>> una non continuità perchè potendo fare
>> i limiti Sinistro e Destro essi risultano diversi.
>
> si chiama "discontinuita'" e non "non continuita'", non chiedermi perche'...

Allora lo scrivo io: perchè definisci la discontinuità in un punto che
non appartiene al dominio della funzione? Che senso ha? Risposta
possibile: ma perché potrei essere interessato a prendere in
considerazione le estensioni continue se esistono, ed una funzione che
ammette punti di discontinuità non ammette estensioni continue.
Comunque molti autori si rifiutano di includere punti esterni al
dominio come punti di discontinuità e questi autori potrebbero a
ragione considerare sinonimi la parola discontinuità e la locuzione
"non continuità". Tipicamente per questi autori, la maggioranza, i
punti di discontinuità possono esser solo punti interni al dominio di
definizione. Allora se il dominio è (1,2) U (2,3) il punto 2 è di
frontiera e non è punto interno al dominio. Diversamente nel caso
(1,2)U[2,3)= (1,3) 2 è punto interno al dominio e quindi è punto di
discontinuità.

[cometa_luminosa]

On Dec 28, 10:23 pm, "Francesco" <ma...@hotmail.com> wrote:

> pensavo che in x=1 ci fosse una discontinuità ovvero
> una non continuità perchè potendo fare
> i limiti Sinistro e Destro essi risultano diversi.
> Se tali limiti non si potessero fare, ovvero se x=1
> non fosse punto di accumulazione per il dominio
> allora x=1 non sarebbe discontinuità di 1°specie.
> Esempio, se la stessa funzione fosse definita in (0;1) U (2;5)
> mi pare non dicessimo che x=1 è una discontinuità.
> Questo almeno è quello che diceva il mio libro di Liceo.

Pero' il quesito:

"Fare un esempio d funzione in IR continua nel proprio dominio e non
costante ma con derivata nulla"

nasconde la sua soluzione, perche' la frase "continua nel proprio
dominio" e' la chiave.

[superpollo]

Enrico Gregorio ha scritto:

anche se wp (inglese) sembra dire che sia di "seconda specie":

http://en.wikipedia.org/wiki/Discontinuity_(mathematics)

:-) bye

[Tetis]

superpollo ha pensato forte :

Puoi fare degli esempi? Sul mio libro delle superiori non si parlava di
discontinuità, ma si definiva la continuità per punti interni al
dominio. Non si parlava nemmeno di estensione continua di una funzione
il che evita l'imbarazzo del caso in cui il punto di frontiera risulta
interno alla chiusura che è quello del caso presente.

[Tetis]

superpollo ha pensato forte :

Dove?

http://en.wikipedia.org/wiki/Discontinuity_(mathematics)

qui non se ne parla di specie. Nel primo caso non è nemmeno considerata
una discontinuità, in perfetto accordo con il mio libro delle scuole
superiori che pure non parla di discontinuità ma solo di continuità.

[superpollo]

Tetis ha scritto:

...

> qui non se ne parla di specie.

va be', non usa proprio la parola "specie" anche perche' e' in inglese,
pero' fa i tre casi NUMERATI 1 2 3:

...
1 The one-sided limit from the negative direction

L^{-}=\lim_{x\rarr x_0^{-}} f(x)

and the one-sided limit from the positive direction

L^{+}=\lim_{x\rarr x_0^{+}} f(x)

at x0 exist, are finite, and are equal to L = L − = L + .
...
2 The limits L − and L + exist and are finite, but not equal. Then, x0
is called a jump discontinuity
...
3 One or both of the limits L − and L + does not exist or is infinite.
...

e nei libri italiani di solito il caso "1" si chiama "terza specie", il
caso "2" si chiama "prima specie", il caso "3" si chiama "seconda
specie".

[Tetis]

superpollo ha usato la sua tastiera per scrivere :

Si, ma sempre di punti interni al dominio stanno parlando. Quindi il
primo caso proposto dall'Op non rientra nella definizione di
discontinuità.

[Enrico Gregorio]

superpollo <super...@tznvy.pbz> scrive:

> e nei libri italiani di solito il caso "1" si chiama "terza specie", il
> caso "2" si chiama "prima specie", il caso "3" si chiama "seconda
> specie".

Suddivisione entomologica che non dice nulla. Come la terminologia
sulle equazioni "pure" e "spurie" che nessuno ricorda mai quali
siano, finché qualcuno non ne spiega le ragioni storiche. Lo chiedo
sempre ai miei studenti: di solito quasi nessuno sa piů distinguere.

Ciao
Enrico

[Tetis]

Il 29/12/2011, superpollo ha detto :

> va be', non usa proprio la parola "specie" anche perche' e' in inglese, pero'
> fa i tre casi NUMERATI 1 2 3:
>
> ...
> 1 The one-sided limit from the negative direction
>
> L^{-}=\lim_{x\rarr x_0^{-}} f(x)
>
> and the one-sided limit from the positive direction
>
> L^{+}=\lim_{x\rarr x_0^{+}} f(x)
>
> at x0 exist, are finite, and are equal to L = L − = L + .
> ...
> 2 The limits L − and L + exist and are finite, but not equal. Then, x0 is
> called a jump discontinuity
> ...
> 3 One or both of the limits L − and L + does not exist or is infinite.
> ...
>
> e nei libri italiani di solito il caso "1" si chiama "terza specie", il caso
> "2" si chiama "prima specie", il caso "3" si chiama "seconda
> specie".
>
> bye

Ma sempre di punti del dominio parlano, quindi il primo caso proposto
dall'Op non è da considerarsi una discontinuità. A differenza di quel
che dite di alcuni libri di liceo. Il mio libro delle superiori non
parlava di discontinuità, ma parlava solo della continuità. Su alcuni
libri dei miei amici liceali e dell'ITI trovavo: discontinuità di prima
specie o di tipo salto, di seconda specie o essenziale, di terza specie
o non eliminabile. L'ordine di elencazione non necessariamente era
fedele all'ordine della specie. Non hai ancora fatto un esempio di
libro di testo che parli di punto di discontinuità con riferimento ad
un punto in cui la funzione è tuttavia continua. Lasciavi intendere che
anche al ministero abbiano talvolta avvalorato tal tipo di definizione,
ma quando, perchè?

[Francesco]

"Tetis" <lje...@yahoo.it> ha scritto nel messaggio
news:4efbb31c$0$1389$4faf...@reader2.news.tin.it...

> Il 29/12/2011, superpollo ha detto :
>

> Ma sempre di punti del dominio parlano, quindi il primo caso proposto
> dall'Op non è da considerarsi una discontinuità. A differenza di quel che
> dite di alcuni libri di liceo. Il mio libro delle superiori non parlava di
> discontinuità, ma parlava solo della continuità. Su alcuni libri dei miei
> amici liceali e dell'ITI trovavo: discontinuità di prima specie o di tipo
> salto, di seconda specie o essenziale, di terza specie o non eliminabile.
> L'ordine di elencazione non necessariamente era fedele all'ordine della
> specie. Non hai ancora fatto un esempio di libro di testo che parli di
> punto di discontinuità con riferimento ad un punto in cui la funzione è
> tuttavia continua. Lasciavi intendere che anche al ministero abbiano
> talvolta avvalorato tal tipo di definizione, ma quando, perchè?

Il mio libro di liceo era lo Zanichelli

la classificazione delle discontinuità segue
lo schema indicato nel link:
http://aulascienze.scuola.zanichelli.it/esperto-matematica/2010/12/09/punti-di-discontinuita-2/

dove risponde proprio uno degli autori del libro.

Come potete vedere sta classificando un punto
NON appartenente al dominio,

Tutti i libri liceali che ho consultato fanno questa classificazione.
Alcuni precisano che il punto, anche se non appartiene al
dominio, deve comunque essere di accumulazione.

Classica discontinuità di 3° specie o eliminabile è x=0
per f=senx/x. Eliminbile perchè, aggiungono, prolungabile
per continuità.

[Tetis]

Francesco ha spiegato il 29/12/2011 :

> la classificazione delle discontinuità segue
> lo schema indicato nel link:
> http://aulascienze.scuola.zanichelli.it/esperto-matematica/2010/12/09/punti-di-discontinuita-2/
>
> dove risponde proprio uno degli autori del libro.
>
> Come potete vedere sta classificando un punto
> NON appartenente al dominio,

Visto, ma ti chiedo: coerentemente con la definizione data nel testo?

> Tutti i libri liceali che ho consultato fanno questa classificazione.

Puoi farne un elenco, o comunque dire quanti diversi autori hai
consultato, e se considerano punti estranei al dominio?

Guarda i libri di Zwirner e dimmi se trovi traccia di questa
classificazione, e se si se vengono considerati punti estranei al
dominio.

Se hai il libro di Baroncini, Dodero, ... potresti riportare cosa dice
sull'argomento?

> Alcuni precisano che il punto, anche se non appartiene al
> dominio, deve comunque essere di accumulazione.
>
> Classica discontinuità di 3° specie o eliminabile è x=0
> per f=senx/x. Eliminbile perchè, aggiungono, prolungabile
> per continuità.

Confronta con questo:

http://digilander.libero.it/maffini/pubblicazioni/CONTINUITA'.pdf

[superpollo]

Tetis ha scritto:

beh, diciamo che lo PRESUMO... immagino che ogni tanto al ministero una
spulciata ai libri in adozione la diano, o no?

[Enrico Gregorio]

superpollo <super...@tznvy.pbz> scrive:

> beh, diciamo che lo PRESUMO... immagino che ogni tanto al ministero una
> spulciata ai libri in adozione la diano, o no?

E chi la darebbe? Quello che scrive i temi dell'esame di stato?

Ciao
Enrico

[superpollo]

Enrico Gregorio ha scritto:

Ho la vaga sensazione che EG sia lievissimamente contrario al modo in
cui l'istruzione in questo paese viene attualmente governata. cit.

bye

--
Quello che vogliamo dimostrare e' che un 5i e' sempre
e comunque mezzo di qualcosa. Ma anche 5 qualcosa.

[Enrico Gregorio]

superpollo <super...@tznvy.pbz> scrive:

> Enrico Gregorio ha scritto:
> > superpollo <super...@tznvy.pbz> scrive:
> >
> >> beh, diciamo che lo PRESUMO... immagino che ogni tanto al ministero una
> >> spulciata ai libri in adozione la diano, o no?
> >
> > E chi la darebbe? Quello che scrive i temi dell'esame di stato?
>
> Ho la vaga sensazione che EG sia lievissimamente contrario al modo in
> cui l'istruzione in questo paese viene attualmente governata. cit.

Per quanto riguarda la matematica. Sul resto non mi pronuncio. :)

Ciao
Enrico

[Francesco]

"Tetis" <lje...@yahoo.it> ha scritto nel messaggio

news:4efc4d18$0$1387$4faf...@reader1.news.tin.it...

> Francesco ha spiegato il 29/12/2011 :
>
>> la classificazione delle discontinuità segue
>> lo schema indicato nel link:
>> http://aulascienze.scuola.zanichelli.it/esperto-matematica/2010/12/09/punti-di-discontinuita-2/
>>
>> dove risponde proprio uno degli autori del libro.
>>
>> Come potete vedere sta classificando un punto
>> NON appartenente al dominio,
>
> Visto, ma ti chiedo: coerentemente con la definizione data nel testo?
>
>> Tutti i libri liceali che ho consultato fanno questa classificazione.
>
> Puoi farne un elenco, o comunque dire quanti diversi autori hai
> consultato, e se considerano punti estranei al dominio?
>
> Guarda i libri di Zwirner e dimmi se trovi traccia di questa
> classificazione, e se si se vengono considerati punti estranei al dominio.
>
> Se hai il libro di Baroncini, Dodero, ... potresti riportare cosa dice
> sull'argomento?

A) Baroncini, Dodero, ... fa confusione.
L'edizione che ho sottomano era per periti informatici ed 1992.

Ricorda le 3 condizioni richieste per la continuità
presenti su tutti i testi delle superiore
1.Esistenza di f in x=c
2. Esistenza del limite per x-->c.
3. f(c)=valore del limite del punto 2

Poi dice che se x=c non rispetta una delle 3 condizioni
la funzione è ivi discontinua.

Non va bene perchè se f è definita in (0;1)
dire che è discontinua in x=13 non ha senso.

B) Stessa mancanza di chiarezza nel celeberrimo
Marcellini Sbordone

C) confronta invese la chiarezza dello Zwirner
( a fondo post )

> Confronta con questo:
>
> http://digilander.libero.it/maffini/pubblicazioni/CONTINUITA'.pdf

Interessante.

Pag 3
La definizione in 3 punti di funzione
delle scuole superiore, con il punto 2
espresso tramite il punto di accumulazione.

Pag 6
la definizione di discontinuità come l'ho intesa io.
e che spesso nei testi che parlano di discontinuità
non è ben precisato.
In particolare la richiesta che xo può appartenere o no
al dominio ma deve essere di accumulazione
per il dominio di f.

PS. Zwirner Esercizi di analisi matematica 1976
"Sia f(x) una funzione definita in un insieme D e xo
un punto di accumulazione di D, APPARTENENTE O NO A D.

Se f non è continua in xo, il punto xo dicesi
punto singolare o di discontinuità di f(x) e sono
da distinduere tre casi..."

Direi che il file del tuo link arriva alle stesse
conclusioni dello Zwirner.

Ciao.



__________ Informazioni da ESET Smart Security, versione del database delle firme digitali 6753 (20111229) __________

[Tetis]

Francesco ha detto questo venerdì :

>A) Baroncini, Dodero, ... fa confusione.
>L'edizione che ho sottomano era per periti informatici ed 1992.

>Ricorda le 3 condizioni richieste per la continuità
>presenti su tutti i testi delle superiore
>1.Esistenza di f in x=c
>2. Esistenza del limite per x-->c.
>3. f(c)=valore del limite del punto 2

>Poi dice che se x=c non rispetta una delle 3 condizioni
>la funzione è ivi discontinua.

>Non va bene perchè se f è definita in (0;1)
>dire che è discontinua in x=13 non ha senso.

è forse più sottile in x = 13 la funzione non è definita ed una non
funzione può tranquillamente essere discontinua come continua allo
stesso modo in cui è lecito assumer vero che ogni elemento dell'insieme
vuoto verifica qualsivoglia proposizione :-)

> PS. Zwirner Esercizi di analisi matematica 1976
> "Sia f(x) una funzione definita in un insieme D e xo
> un punto di accumulazione di D, APPARTENENTE O NO A D.
>
> Se f non è continua in xo, il punto xo dicesi
> punto singolare o di discontinuità di f(x) e sono
> da distinduere tre casi..."
>

Ecco. Io avevo un'edizione di Zwirner che non presentava affatto la
classificazione dei punti di discontinuità, questo mi pose un problema
con l'affermazione di Giusti che definisce il salto di una funzione in
un punto come differenza fra i limiti destro e sinistro per poi
affermare che una funzione è continua in un punto sse il salto in quel
punto è nullo, affermazione che, correggetemi se sbaglio, sembra falsa
e non coerente con la precedente definizione di continuità.

Ma per contrasto mi mise nelle migliori disposizioni d'animo per lo
studio del libro di Prodi che era un altro libro di testo consigliato.
Domani vedo di ritrovare gli appunti di analisi che seguivano
un'impostazione sincretica autonoma, penso che il mio prof. ambisse a
scrivere un buon libro per se stesso.

> Direi che il file del tuo link arriva alle stesse
> conclusioni dello Zwirner.

Mi sembra un poco riduttivo. Il link che ho indicato fa una rassegna in
cui esamina criticamente le definizioni locali e globali di continuità,
a partire dal punto di vista topologico, e quindi globale, per poi
notare che la problematica dell'insegnamento nella scuola secondaria
superiore fa prediligere al punto di vista globale quello locale. La
logica è che in un'impostazione globale della continuità la funzione
che sia non-continua è non continua nel suo dominio e quindi
occupandosi di discontinuità (intendendo la parola come sinonimo di non
continuità) non ha senso considerare i punti che al dominio non
appartengono, come esplicita per esempio nel suo libro Roberta Dal
Passo.

[Enrico Gregorio]

Francesco <ma...@hotmail.com> scrive:

> A) Baroncini, Dodero, ... fa confusione.
> L'edizione che ho sottomano era per periti informatici ed 1992.
>
> Ricorda le 3 condizioni richieste per la continuità
> presenti su tutti i testi delle superiore
> 1.Esistenza di f in x=c
> 2. Esistenza del limite per x-->c.
> 3. f(c)=valore del limite del punto 2

Che è una solenne sciocchezza. Secondo questa definizione
la restrizione di una funzione continua a un sottoinsieme
del dominio potrebbe smettere di essere continua. Che cosa
ci sia di complicato nel definire continua in c una funzione
f quando

per ogni e > 0, esiste d > 0 tale che, per ogni x nel
dominio di f, da | x - c | < d segua | f(x) - f(c) | < e

proprio non lo so. È /esattamente/ la definizione di limite,
ma si applica a qualsiasi situazione senza bisogno di guardare
limiti destri o sinistri o altre casistiche entomologiche.
Va da sé che la funzione /deve/ essere definita in c.

> Poi dice che se x=c non rispetta una delle 3 condizioni
> la funzione è ivi discontinua.
>
> Non va bene perchè se f è definita in (0;1)
> dire che è discontinua in x=13 non ha senso.

Infatti.

> [...]

> PS. Zwirner Esercizi di analisi matematica 1976
> "Sia f(x) una funzione definita in un insieme D e xo
> un punto di accumulazione di D, APPARTENENTE O NO A D.
>
> Se f non è continua in xo, il punto xo dicesi
> punto singolare o di discontinuità di f(x) e sono
> da distinduere tre casi..."

A parte l'uso di "f(x)" che non ha senso, Zwirner centra
il problema: i punti interessanti sono quelli del dominio
in cui f non è continua e quelli di accumulazione del
dominio che al dominio non appartengono.

Mi piacerebbe sapere se nel seguito del libro usa
"punto di discontinuità" o "punto singolare". Decine di libri
(italiani) hanno questo vezzo: danno una definizione del tipo
"la tal cosa si dice A o B se succede Z" e poi usano /solo/ B.

Ciao
Enrico

[Tetis]

Tetis ha pensato forte :

Domani vedo
> di ritrovare gli appunti di analisi che seguivano un'impostazione sincretica
> autonoma, penso che il mio prof. ambisse a scrivere un buon libro per se
> stesso.

Trovato: la parte precedente la definizione di continuità riguardava la
definizione generale di limite secondo Cauchy e l'equivalenza della
definizione di limite sequenziale con la definizione di limite secondo
Cauchy per i reali, nonché le nozioni generali di massimo e minimo
limite.


Quindi: la definizione di continuità di funzione in un punto è a La
Cauchy. Ovvero per ogni eps>0 esiste delta>0 in modo che per ogni x
tale che |x-x0|<delta risulta |f(x)-f(x0)|<eps.

Questa definizione evidentemente non richiede che x0 sia un punto
interno, basta che il punto appartenga al dominio della funzione,
inoltre la continuità è una proprietà della funzione, quindi anche la
non continuità viene considerata come una proprietà della funzione,
questo significa che sebbene la negazione proposizionale della
definizione ha significato logico anche se l'insieme di definizione
della funzione intorno ad x0 (incluso) è vuoto, tuttavia nel
caratterizzare la non-continuità si evitano esplicitamente queste
situazioni andando a richiedere che il punto x0 sia un punto del
dominio della funzione, si richiede cioè che la discontinuità, come la
continuità sia una proprietà della funzione di contenuto non vuoto,
perciocché la negazione diventa:

Una funzione in un punto x0 del suo dominio è discontinua se esiste
eps>0 talché per ogni delta>0 esiste x in modo che sia |x-x0|<delta ed
|f(x)-f(x0)| > eps.

Subito dopo si passano in rassegna i diversi tipi di discontinuità
vengono stabilite tre specie diverse ed alcune sottospecie prima della
classificazione poniamo la casistica:

1) il limite esiste diverso da f(x0)
2) il limite non esiste
caso 2a) il limite non esiste ma esistono il limite destro ed il limite
sinistro e differiscono
caso 2b) uno fra i due limiti destro e sinistro non esiste
3) il limite destro o il limite sinistro è +/- infinito oppure
entrambi.


Nella prima specie ascriviamo il caso 1) ed il caso 2a), come subspecie
consideriamo il caso 1) come eliminabile, il caso 2a) come tipo salto.

Nella seconda specie si ascrive il caso 2b).

Nella terza specie il caso 3)

Classificazione forse originale del mio prof. che non ho ritrovato in
altri testi. Sapete se l'avesse tratta da qualche parte?

Per il seguito la continuità reale viene usata come grimaldello per la
nozione generale di continuità in spazi topologici e per i teoremi
sulla continuità fra spazi metrici. L'impostazione a grandi linee è
come segue


Una funzione è continua nel suo dominio se è continua in ogni punto del
dominio.

[una funzione è continua anche nei punti isolati]

Pre-annuncio: le funzioni continue formano un'algebra su R. Vale
inoltre la proprietà che il rapporto di una funzione continua su una
funzione continua non nulla è continua.


Riformulazione della definizione di Cauchy nel linguaggio degli
intorni.
Enunciazione del teorema di permanenza del segno.

Teorema: una funzione f: R -> R è continua sse per ogni aperto B in R
(codominio di f) la controimmagine di B è un aperto di R (dominio di
f).

Teorema degli zeri.

Definizione: compattezza insiemistica e sequenziale.
Teoerema: la compattezza insiemistica e sequenziale si equivalgono in
R.
Teorema: un chiuso di un compatto di R è un compatto.
Teorema: equivalenza in R di compattezza e chiusura-limitazione.

Teorema: l'immagine continua di un compatto è un compatto in R
Teorema: l'immagine continua di un intervallo è un intervallo in R
Teorema: una funzione reale su compatto ammette massimo e minimo
(dimostrato con il metodo delle sequenze convergenti)

Generalizzazione della definizione di continuità per funzioni a dominio
metrico e codominio reale.

Continuità uniforme, criteri di uniforme continuità, esempi di funzioni
continue non uniformemente continue, immagine uniformemente continua di
dominio limitato è limitata.

Teorema: una funzione continua su un compatto è uniformemente continua.

Topologia generale di spazi metrici: definizione di sconnesso, uno
spazio metrico è connesso se non è sconnesso. Definizione generale di
topologia in termini di famiglie di aperti. In R un insieme è connesso
sse è un intervallo. Immagine continua surgettiva di connesso è
connessa in R. Completezza di spazi metrici in termini di sequenze di
Cauchy (potenziamento della compattezza). Spazi metrici compatti sono
completi. Spazi metrici compatti sono totalmente limitati. Vale anche
il viceversa: spazi metrici totalmente limitati sono compatti.

Equivalenza di compattezza sequenziale ed insiemistica per spazi
metrici. Immagine continua di spazio metrico compatto in spazio metrico
è compatta.

Semicontinuità.

Quindi si ritorna al caso reale:

Classificiazione di Landau degli infinitesimi.

[superpollo]

Tetis ha scritto:

grazie per l'interessante contributo. almeno qualcuno di sano di mente
ancora ci sta...

bye

--
Cosa e' 1 ?? puo' esse 10decimi, 100 cent, 1000mm. ecc.
Comunque 100i ci stanno solo in 1^2. per questo ho sbagliato.
Socratiss.

[Francesco]

"Tetis" <lje...@yahoo.it> ha scritto nel messaggio

news:4efd1d93$0$1386$4faf...@reader2.news.tin.it...

> Francesco ha detto questo venerdì :
>

>>Non va bene perchè se f è definita in (0;1)
>>dire che è discontinua in x=13 non ha senso.
>
>
> è forse più sottile in x = 13 la funzione non è definita ed una non
> funzione può tranquillamente essere discontinua come continua allo stesso
> modo in cui è lecito assumer vero che ogni elemento dell'insieme vuoto
> verifica qualsivoglia proposizione :-)
>

Tetis, hai toccato un punto sottile.

Infatti il seguente esempio non si trova mai
sui testi del Liceo ne tantomeno sui testi di Analisi 1:

" La funzione f= 2 in (0;1) ed f=3 in (9; 10) è continua?"

forse sarebe meglio precisare:

...è continua nel suo dominio?
oppure
... è continua in IR?

NOTA: Per disegnarla occorre staccare la penna dal foglio
quindi cade la continuità degli "asini".

NOTA2. E poi perchè la f di cui sopra dovrebbe essere continua
quando secondo molti autori una funzione molto simile:
g= 2 in (0;1) ed g=3 in (1; 10) è discontinua?

Sarebbe bello metterci d'accordo sulla continuità o meno della f
di cui sopra almeno a livello di liceo o al più Analisi 1 "tradizionale".

Ciao



__________ Informazioni da ESET Smart Security, versione del database delle firme digitali 6756 (20111230) __________

[Tetis]

Francesco scriveva il 30/12/2011 :

> " La funzione f= 2 in (0;1) ed f=3 in (9; 10) è continua?"

> NOTA2. E poi perchè la f di cui sopra dovrebbe essere continua
> quando secondo molti autori una funzione molto simile:
> g= 2 in (0;1) ed g=3 in (1; 10) è discontinua?

Secondo quali autori la questa funzione sarebbe non continua? Non
secondo Zwirner, non secondo Dodero, Baroncini,... mi sembra o ti
risulta il contrario?

> Sarebbe bello metterci d'accordo sulla continuità o meno della f
> di cui sopra almeno a livello di liceo o al più Analisi 1 "tradizionale".

Speriamo non siano molti gli autori in disaccordo con il giudicare
continua questa funzione.

[Enrico Gregorio]

Francesco <ma...@hotmail.com> scrive:

> [...]

> NOTA: Per disegnarla occorre staccare la penna dal foglio
> quindi cade la continuità degli "asini".
>

> [...]

Stai richiamando un precedente molto pericoloso.
Comunque sono d'accordo con te e l'ho già detto più
volte: introdurre la continuità come "non staccare
la penna dal foglio" è una solennissima sciocchezza
(indipendentemente dalla reputazione di chi la dice).

Ciao
Enrico

[Francesco]

"Tetis" <lje...@yahoo.it> ha scritto nel messaggio

news:4efe2651$0$1378$4faf...@reader2.news.tin.it...

> Francesco scriveva il 30/12/2011 :
>
>> " La funzione f= 2 in (0;1) ed f=3 in (9; 10) è continua?"

> Speriamo non siano molti gli autori in disaccordo con il giudicare
> continua questa funzione.

Beh, nel tuo precedente post hai scritto

"...è forse più sottile in x = 13 la funzione non è definita ed una non

funzione può tranquillamente essere discontinua come continua allo
stesso modo in cui è lecito assumer vero che ogni elemento dell'insieme
vuoto verifica qualsivoglia proposizione :-) ""

Certo, ho visto la faccina.
Ma l'idea di una Non Funzione mi
piaceva.


Buon anno.

[Tetis]

Dopo dura riflessione, Francesco ha scritto :

> "Tetis" <lje...@yahoo.it> ha scritto nel messaggio
> news:4efe2651$0$1378$4faf...@reader2.news.tin.it...
>> Francesco scriveva il 30/12/2011 :
>>
>>> " La funzione f= 2 in (0;1) ed f=3 in (9; 10) è continua?"
>> Speriamo non siano molti gli autori in disaccordo con il giudicare continua
>> questa funzione.
>
> Beh, nel tuo precedente post hai scritto
>
> "...è forse più sottile in x = 13 la funzione non è definita ed una non
> funzione può tranquillamente essere discontinua come continua allo
> stesso modo in cui è lecito assumer vero che ogni elemento dell'insieme
> vuoto verifica qualsivoglia proposizione :-) ""
>
> Certo, ho visto la faccina.
> Ma l'idea di una Non Funzione mi
> piaceva.

:-)

Comunque nota che la funzione definita a tratti che vale 2 in (0,1) e 3
in (9,10) è sia continua che uniformemente continua. La funzione che
vale 2 in (0,1) e 3 in (1,2) è continua ma non è uniformemente
continua. In entrambi i casi il supporto è sconnesso. Lo stesso dicasi
per il grafico della funzione.

Una funzione il cui grafico è connesso è sempre continua?

[Simone]

On 2011-12-31, Tetis <lje...@yahoo.it> wrote:
>
> Una funzione il cui grafico ?? connesso ?? sempre continua?
>

In general, no. Leggi questo articolo http://ifile.it/x4n5obd

Buon anno.

[superpollo]

Simone ha scritto:

> On 2011-12-31, Tetis <lje...@yahoo.it> wrote:
>> Una funzione il cui grafico ?? connesso ?? sempre continua?
>>
>
> In general, no. Leggi questo articolo http://ifile.it/x4n5obd

sara'... ma il primo "controesempio" mi sembra che non esemplifichi un
bel nulla di quanto affermato...

bye

--
Cento i per fare 1.

[Enrico Gregorio]

superpollo <super...@tznvy.pbz> scrive:

Si tratta di f(x) = sin(1/x) (per x diverso da 0), f(0) = 0.

Il grafico è connesso (ma non connesso per archi). La funzione
è ovviamente non continua in 0.

Prova a dimostrare che il grafico non è connesso. :)

Ciao
Enrico

[superpollo]

Enrico Gregorio ha scritto:

> superpollo <super...@tznvy.pbz> scrive:
>
>> Simone ha scritto:
>>> On 2011-12-31, Tetis <lje...@yahoo.it> wrote:
>>>> Una funzione il cui grafico ?? connesso ?? sempre continua?
>>>>
>>> In general, no. Leggi questo articolo http://ifile.it/x4n5obd
>> sara'... ma il primo "controesempio" mi sembra che non esemplifichi un
>> bel nulla di quanto affermato...
>>
>> bye
>
> Si tratta di f(x) = sin(1/x) (per x diverso da 0), f(0) = 0.
>
> Il grafico è connesso (ma non connesso per archi).

giusto... per vedere che e' connesso... mumble mumble... non e' mica facile!

[Enrico Gregorio]

superpollo <super...@tznvy.pbz> scrive:

Supponiamo che U e V siano due aperti disgiunti non vuoti del grafico
G la cui unione sia G. Supponiamo 0 < a < b, (a,f(a)) in U e (b,f(b))
in V. Allora, considerando X = { (x,(f(x)) : a <= x <= b },
avremmo che (U int X) e (V int X) formerebbero una sconnessione
di X che è invece connesso; analogamente scambiando U con V.

Allo stesso modo, non può essere che, per a < b < 0, i due
punti (a,f(a)) e (b,f(b)) appartengano uno a U e l'altro a V.

Poiché U e V non sono vuoti, possiamo, senza perdere di
generalità, chiamare U quello che contiene (-1,f(-1)). Allora
tutti i punti (a,f(a)) con a < 0 appartengono a U.

Se (1,f(1)) appartiene a U, allora anche tutti i punti (b,f(b))
con b > 0 appartengono a U. In tal caso, essendo V non vuoto,
si deve avere V = (0,0). Ma ogni intorno di (0,0) contiene punti
di U, quindi (0,0) appartiene alla chiusura di U che è, per
ipotesi, chiuso in G (perché complementare di un aperto).
Questo è assurdo.

Rimane il caso in cui (1,f(1)) appartiene a V. Uno dei due
insiemi contiene (0,0), supponiamo che sia U. Come prima,
ogni intorno di (0,0) contiene punti di V, quindi (0,0)
appartiene alla chiusura di V, che è chiuso. Assurdo.
Ovviamente (0,0) non può appartenere a V, per lo stesso
motivo.

Qui ho usato il fatto che ogni intorno di (0,0) contiene
punti di A = { (x,f(x)) : x < 0 } e dell'analogo insieme
B = { (x,f(x)) : x > 0 }.

Che questo sia vero è del tutto evidente: 0 è un punto
di accumulazione degli zeri positivi di f(x) e degli zeri
negativi.

Ciao
Enrico

[cometa_luminosa]

On Dec 29, 12:20 pm, Tetis <lje...@yahoo.it> wrote:
> Francesco ha spiegato il 29/12/2011 :

...

> > Tutti i libri liceali che ho consultato fanno questa classificazione.
>
> Puoi farne un elenco, o comunque dire quanti diversi autori hai
> consultato, e se considerano punti estranei al dominio?

Non e' un libro liceale ma un libro di testo universitario di una
trentina d'anni fa (sul quale ho studiato all'uni), considerato
nell'ambiente fiorentino come uno dei piu' rigorosi: "Lezioni di
Analisi Matematica - volume primo" - Roberto Conti - Cedam - Padova -
1978.

5.1. "Continuita' puntuale. Discontinuita'.
.....
.....
[definisce la continuita' in un punto x_0 del dominio di f]
.....
.....

d) Se f non e' continua in x_0 si dice che essa e' discontinua in x_0.
Cio' significa che x_0 non appartiene al dominio di f oppure che x_0
appartiene al dominio di f ma esiste almeno un epsilon_bar tale che...

--
cometa_luminosa

[Simone]

On 2011-12-31, cometa_luminosa <albert...@virgilio.it> wrote:
>
> 5.1. "Continuita' puntuale. Discontinuita'.
> .....
> .....
> [definisce la continuita' in un punto x_0 del dominio di f]
> .....
> .....
>
> d) Se f non e' continua in x_0 si dice che essa e' discontinua in x_0.
> Cio' significa che x_0 non appartiene al dominio di f oppure che x_0
> appartiene al dominio di f ma esiste almeno un epsilon_bar tale che...
>

Questa diatriba e' ben nota. Alcuni Autori (con la A maiuscola) partono da
una funzione f: X -> R e dicono che un punto c e' un punto
di continuita' per f se:
1) c appartiene al dominio X della funzione
2) per ogni epsilon esiste delta ecc.

La negazione e' la negazione di una congiunzione logica: quindi significa
negare almeno una delle due pretese 1) e 2).

Personalmente non condivido questa definizione. Io preferisco dire che un punto c appartenente a X e' un punto di continuita' se vale la 2.

Certo, come tutte le definizioni e' assolutamente arbitraria. Pero' mi
sembra molto irragionevole dire che le funzioni sono discontinue (per
definizione) all'esterno del dominio di definizione.

Simone

[cometa_luminosa]

On Jan 1, 10:37 am, Simone <admsi...@googlemail.com> wrote:

D'accordo, pero' e' irragionevole anche che una funzione sia continua
in un punto che non appartiene al suo dominio. Tutto sta nel valutare
soggettivamente cosa e' piu' irragionevole.

--
cometa_luminosa

[Simone]

On 2012-01-01, cometa_luminosa <albert...@virgilio.it> wrote:
> D'accordo, pero' e' irragionevole anche che una funzione sia continua
> in un punto che non appartiene al suo dominio. Tutto sta nel valutare
> soggettivamente cosa e' piu' irragionevole.
>

Io direi che basta definire il concetto di continuita' E discontinuita'
solo per i punti del dominio. Insomma, la discontinuita' non e' necessariamente
la negazione logica della continuita'.

[Enrico Gregorio]

Simone <adms...@googlemail.com> scrive:

Certo, puoi dare tutti i nomi che ti pare. Il problema è
principalmente didattico: nel linguaggio comune, "dis-" è
un prefisso di negazione e quindi lo studente percepisce
"la funzione ha un punto di discontinuità" come "la funzione
non è continua".

Fa' qualche indagine in proposito, se puoi. Vedrai che anche
parecchi docenti hanno le idee confuse sull'argomento e che
"x -> 1/x" è spesso considerata come una funzione non continua.

Ciao
Enrico

[Simone]

On 2012-01-01, Enrico Gregorio <Facile.d...@in.rete.it> wrote:
>
> Certo, puoi dare tutti i nomi che ti pare. Il problema ?
> principalmente didattico: nel linguaggio comune, "dis-" ?

> un prefisso di negazione e quindi lo studente percepisce

> "la funzione ha un punto di discontinuit?" come "la funzione
> non ? continua".

>
> Fa' qualche indagine in proposito, se puoi. Vedrai che anche
> parecchi docenti hanno le idee confuse sull'argomento e che

> "x -> 1/x" ? spesso considerata come una funzione non continua.
>

Eh, lo so. Personalmente tollero solo la confusione fra continuita'
ed esistenza di un'estensione continua. Quindi puo' anche andar bene
dire che x -> 1/x e' discontinua nel senso convenzionale che non ammette
estensioni continue. Ma solo entro i limiti di un primo insegnamento
di calcolo differenziale.
Se pero' si inizia a parlare seriamente di strutture topologiche,
il discorso si fa insidioso, e sarebbe meglio evitare convenzioni. Tra
l'altro, il concetto di discontinuita' sembra essere piuttosto "elementare".
Nessun testo di topologia generale si degna di classificare i punti di
discontinuita', per fortuna :-)

[Enrico Gregorio]

Simone <adms...@googlemail.com> scrive:

Se non sei in un ambiente molto particolare, come i reali o
i complessi (ma solo trattando di funzioni olomorfe o meromorfe,
in questo caso), fare una classificazione "decente" è del tutto
impossibile.

Le nozioni di "limite destro" e "limite sinistro" non hanno
controparte in strutture topologiche che non siano anche
linearmente ordinate.

È evidente che le funzioni reali di variabile reale sono
fondamentali in analisi, ma è anche chiaro che confondere le
idee fin da quando si comincia con queste è didatticamente
sbagliato.

Dire che "1/x è discontinua" (anche nel senso che dai tu al
termine) fa solo del male: sarebbe una funzione continua
/e/ discontinua allo stesso tempo. So bene che i termini
vanno considerati secondo la loro definizione e che non ci
sarebbe alcuna contraddizione, ma va sempre tenuto conto della
carica semantica dei termini quando si insegna ai principianti.

O ti sei dimenticato delle difficoltà degli studenti universitari
quando capita che un sottoinsieme di uno spazio topologico è
chiuso /e/ aperto?

Ciao
Enrico

[Tetis]

Nel suo scritto precedente, Simone ha sostenuto :

Grazie, Buon anno a te ed ai frequentatori del gruppo.

Sapevo già che la risposta è no, e pensavo al caso di discontinuità in
un sol punto dovuta a non esistenza del limite. Sospettavo che la
condizione di chiusura del grafico insieme alla connessione, e la
definizione su tutta la retta reale o su un intervallo chiuso
implicassero la continuità e viceversa, però è bello leggerlo nero su
bianco anzichè dubitare dei propri argomenti in favore della tesi :-)

Noto che non è ancora detto che in tal caso il grafico sia
"tracciabile", se è vero che esistono funzioni il cui grafico è
connesso e chiuso, ma con dimensione di Hausdorff maggiore di 1.

Sappiamo che l'immagine di un intervallo è un intervallo e più in
generale che l'immagine di un compatto è un compatto, ma il grafico di
una funzione continua a dominio compatto è compatto? (Per funzioni
reali il grafico è uno spazio metrico con la metrica indotta da R^2,
limitato e chiuso nella topologia di R^2 quindi è un compatto).

[Simone]

On 2012-01-01, Enrico Gregorio <Facile.d...@in.rete.it> wrote:
>

> O ti sei dimenticato delle difficolt? degli studenti universitari
> quando capita che un sottoinsieme di uno spazio topologico ?
> chiuso /e/ aperto?
>

Beh, e' bene che si facciano passare queste difficolta' in fretta,
se vogliono capire la definizione di spazio connesso :-)

Non ricordo chi, ma ricordo una citazione che diceva: in matematica
un "cappello" rosso non e' necessariamente un cappello, ma anche se lo fosse
non osarebbe necessariamente rosso"...

[superpollo]

Simone ha scritto:

http://en.wikipedia.org/wiki/Red_herring

'sta storia l'ho letta la prima volta in una nota a pie' di pagina in
"differential topology" di m.w. hirsch, parlando di ponti regolari,
punti critici e valori critivi per una mappa fra varieta'...

bye

--
mettiamo in funsione la Tunze

[superpollo]

superpollo ha scritto:

che c'e' anche online:

http://goo.gl/azpty

[Enrico Gregorio]

Tetis <lje...@yahoo.it> scrive:

> Nel suo scritto precedente, Simone ha sostenuto :
> > On 2011-12-31, Tetis <lje...@yahoo.it> wrote:
> >>
> >> Una funzione il cui grafico ?? connesso ?? sempre continua?
> >>
> >
> > In general, no. Leggi questo articolo http://ifile.it/x4n5obd
> >
> > Buon anno.
>
> Grazie, Buon anno a te ed ai frequentatori del gruppo.
>
> Sapevo già che la risposta è no, e pensavo al caso di discontinuità in
> un sol punto dovuta a non esistenza del limite. Sospettavo che la
> condizione di chiusura del grafico insieme alla connessione, e la
> definizione su tutta la retta reale o su un intervallo chiuso
> implicassero la continuità e viceversa, però è bello leggerlo nero su
> bianco anzichè dubitare dei propri argomenti in favore della tesi :-)
>
> Noto che non è ancora detto che in tal caso il grafico sia
> "tracciabile", se è vero che esistono funzioni il cui grafico è
> connesso e chiuso, ma con dimensione di Hausdorff maggiore di 1.

La "tracciabilità" corrisponde alla connessione per archi.
Infatti il grafico di quella funzione è connesso ma non connesso
per archi.

> Sappiamo che l'immagine di un intervallo è un intervallo e più in
> generale che l'immagine di un compatto è un compatto, ma il grafico di
> una funzione continua a dominio compatto è compatto? (Per funzioni
> reali il grafico è uno spazio metrico con la metrica indotta da R^2,
> limitato e chiuso nella topologia di R^2 quindi è un compatto).

Certo: l'immagine continua di un compatto è un compatto.

Se prendi un ricoprimento aperto dell'immagine, le immagini
inverse degli aperti del ricoprimento formano un ricoprimento
aperto del dominio, dal quale puoi estrarre un sottoricoprimento
finito.

Ciao
Enrico

[superpollo]

Enrico Gregorio ha scritto:

> Tetis <lje...@yahoo.it> scrive:
>
>> Nel suo scritto precedente, Simone ha sostenuto :
>>> On 2011-12-31, Tetis <lje...@yahoo.it> wrote:
>>>> Una funzione il cui grafico ?? connesso ?? sempre continua?
>>>>
>>> In general, no. Leggi questo articolo http://ifile.it/x4n5obd
>>>
>>> Buon anno.
>> Grazie, Buon anno a te ed ai frequentatori del gruppo.
>>

>> Sapevo gi� che la risposta � no, e pensavo al caso di discontinuit� in

>> un sol punto dovuta a non esistenza del limite. Sospettavo che la
>> condizione di chiusura del grafico insieme alla connessione, e la
>> definizione su tutta la retta reale o su un intervallo chiuso

>> implicassero la continuit� e viceversa, per� � bello leggerlo nero su
>> bianco anzich� dubitare dei propri argomenti in favore della tesi :-)
>>
>> Noto che non � ancora detto che in tal caso il grafico sia
>> "tracciabile", se � vero che esistono funzioni il cui grafico �

>> connesso e chiuso, ma con dimensione di Hausdorff maggiore di 1.
>

> La "tracciabilit�" corrisponde alla connessione per archi.
> Infatti il grafico di quella funzione � connesso ma non connesso
> per archi.

il fatto e' che il grafico non e' aperto.

problema: trovare un insieme *aperto* che sia connesso ma non c.p.a...
esiste?

[Tetis]

Scriveva Enrico Gregorio domenica, 01/01/2012:

> Tetis <lje...@yahoo.it> scrive:
>
>> Nel suo scritto precedente, Simone ha sostenuto :
>>> On 2011-12-31, Tetis <lje...@yahoo.it> wrote:
>>>>
>>>> Una funzione il cui grafico ?? connesso ?? sempre continua?
>>>>
>>>
>>> In general, no. Leggi questo articolo http://ifile.it/x4n5obd
>>>
>>> Buon anno.
>>
>> Grazie, Buon anno a te ed ai frequentatori del gruppo.
>>
>> Sapevo già che la risposta è no, e pensavo al caso di discontinuità in
>> un sol punto dovuta a non esistenza del limite. Sospettavo che la
>> condizione di chiusura del grafico insieme alla connessione, e la
>> definizione su tutta la retta reale o su un intervallo chiuso
>> implicassero la continuità e viceversa, però è bello leggerlo nero su
>> bianco anzichè dubitare dei propri argomenti in favore della tesi :-)
>>
>> Noto che non è ancora detto che in tal caso il grafico sia
>> "tracciabile", se è vero che esistono funzioni il cui grafico è
>> connesso e chiuso, ma con dimensione di Hausdorff maggiore di 1.
>
> La "tracciabilità" corrisponde alla connessione per archi.
> Infatti il grafico di quella funzione è connesso ma non connesso
> per archi.

Intendiamoci, è solo una questione di definizioni suggerite dal buon
senso ma svincolate dalla concretezza materiale, perciò perchè un
grafico sia effettivamente disegnabile intendevo porre l'ulteriore
condizione che avesse lunghezza finita, ovvero dimensione di Haussdorf
1. Il fatto è che si può parametrizzare un insieme con dimensione
maggiore di 1 per mezzo dei punti di una retta, (ad esempio la curva di
Koch, la funzione di Riemann, la curva di Peano, etc...) ma questo non
implica la rettificabilità della curva o la sua tracciabilità (in
verità nessuno ha mai disegnato o tracciato a schermo una curva di Koch
o una curva di Riemann :-) per quanti bei disegni di computer grafica
possa aver realizzato ).

[Enrico Gregorio]

superpollo <super...@tznvy.pbz> scrive:

> problema: trovare un insieme *aperto* che sia connesso ma non c.p.a...
> esiste?

In R^n no: ogni aperto connesso di R^n č connesso per archi.

Dimostrazione. Definiamo la relazione ~ sui punti dell'aperto
connesso U: a ~ b significa che esiste un arco in U con estremi
a e b. Evidentemente si tratta di una relazione di equivalenza.

Dimostriamo ora che le classi di equivalenza rispetto a ~ sono
insiemi aperti. Dato a, esiste una sfera S di centro a e raggio
r>0 tutta contenuta in U; ogni punto x di S appartiene, ovviamente,
alla classe di equivalenza di a (il segmento con estremi a e x
č contenuto in U).

Dunque le classi di equivalenza formano una partizione di U
in insieme aperti. Se fossero piů di una, otterremmo una
sconnessione di U. QED

Ciao
Enrico

[Tetis]

cometa_luminosa ha spiegato il 31/12/2011 :

> On Dec 29, 12:20 pm, Tetis <lje...@yahoo.it> wrote:
>> Francesco ha spiegato il 29/12/2011 :
> ...
>
>>> Tutti i libri liceali che ho consultato fanno questa classificazione.
>>
>> Puoi farne un elenco, o comunque dire quanti diversi autori hai
>> consultato, e se considerano punti estranei al dominio?
>
> Non e' un libro liceale ma un libro di testo universitario di una
> trentina d'anni fa (sul quale ho studiato all'uni), considerato
> nell'ambiente fiorentino come uno dei piu' rigorosi: "Lezioni di
> Analisi Matematica - volume primo" - Roberto Conti - Cedam - Padova -
> 1978.

La stessa editrice dello Zwirner, che si abbevera ad un vivaio
culturale di primo piano a livello mondiale, com'è Padova.

> 5.1. "Continuita' puntuale. Discontinuita'.
> .....
> .....
> [definisce la continuita' in un punto x_0 del dominio di f]
> .....
> .....
>
> d) Se f non e' continua in x_0 si dice che essa e' discontinua in x_0.
> Cio' significa che x_0 non appartiene al dominio di f oppure che x_0
> appartiene al dominio di f ma esiste almeno un epsilon_bar tale che...

Al che poi procede alla classificazione delle discontinuità? Introduce
una quarta specie: punto di discontinuità per indefinitezza, sarebbe
coerente, no?

In merito a questo punto sottolineavo già che nell'approccio globale
alla continuità il problema non si pone perché una funzione è continua
se le controimmagini degli aperti sono aperti, se questo non si
verifica la funzione è discontinua, alché uno si chiede: qual'è la
ragione della discontinua? E' il fatto che esistono controimmagini non
aperte, in modo che per ciascuno di questi insiemi togliendo la sua
parte interna non risulta l'insieme vuoto, i punti dell'insieme
complementari della parte interna sono punti di discontinuità,
l'unione di tutti questi è l'insieme dei punti di discontinuità della
funzione.

Se il dominio ed il codominio ammettono una gauge ovvero un entourage
di aperti, etc... è possibile definire la continuità uniforme.

Rispetto alla definizione di continuità uniforme può verificarsi che
questa venga meno, ma sia ristabilita considerando la restrizione della
funzione al complementare di determinati aperti, questi aperti formano
un posets, "filtrando per il poset", ovvero cercando il minimo insieme
comune a tutti gli aperti nel cui complementare la funzione è
uniformemente continua, si giunge ad un insieme.

Io propongo che i punti di questo insieme possano essere chiamati punti
di discontinuità uniforme, risulta che tipicamente questi sono i punti
di discontinuità a cui in modo più o meno ingenuo si riferiscono gli
insegnanti liceali.

Difatto alcune funzioni continue come 1/x o una funzione con una
singolarità di tipo salto, sono continue ma non uniformemente continue.
La definizione che propongo in questo post conduce naturalmente alla
classificazione delle singolarità nelle tre specie tradizionali, senza
richiedere che il punto di singolarità appartenga al dominio, ma
solamente richiedendo che sia di accumulazione per il dominio.

[superpollo]

Tetis ha scritto:

il contributo di tetis e', come di consueto, veramente interessante. io
mi limito a segnalare questa pagina, opera di un ins. liceale:

http://www.batmath.it/matematica/an_uno/cont_unif/cont_unif.htm

e in particolare il teor. 3 che mi pare pertinente alla discussione in
corso.

[Giorgio Pastore]

On 1/1/12 11:15 PM, superpollo wrote:
...

>
io
> mi limito a segnalare questa pagina, opera di un ins. liceale:
>
> http://www.batmath.it/matematica/an_uno/cont_unif/cont_unif.htm

Il link mi mette in crisi. Leggo:

"La definizione di continuità è la richiesta che punti vicini ad un
determinato punto x abbiano immagini vicine a quella di x."

Ma detta cosi', viene ribaltato il ruolo di immagini e controimmagini.
A questo punto la def di funzione continua sarebbe quella di funzione
che trasforma aperti in aperti. :-(

C'e' poi un' osservazione che mi viene spontanea a margine di tutta l'
interessantissima discussione: e' evidente che sulla questione funzioni
continue, discontinuita', tracciabilita', etc... ci sono punti
estremamente delicati e che richiedono gia' una notevole padronanza di
strumenti di analisi. Mi sembra improponibile passare tutta questa
complessita' a livello didattico di primo approccio all' analisi negli
ultimi anni delle superiori.
Quindi andrebbero fatte delle scelte in modo tale da
i) semplificare al massimo ma non piu' di cosi' (cit.);
ii) rendere esplicita l' esistenza delle semplificazioni;
iii) non dover "cancellare" concetti sbagliati da chi continuasse negli
studi di analisi all' universita';

Non mi sembra che l' attuale approccio didattico nelle superiori
rispetti queste regole. In particolare, ho la sensazione (correggetemi
se sbaglio) che

- la classificazione "entomologica" dei punti di discontinuita' sia fine
a se stessa e si potrebbe rimpiazzare con il solo concetto di
prolungamento per continuita' se si fosse disposti ad eliminare i
concetti inessenziali;

- non viene evidenziato costantemente e con sufficiente enfasi che
definizioni e tecniche sono limitate alle sole funzioni che realmente si
incontrano nello studio liceale (reali di variabile reale o
successioni) e pertanto fanno uso di elementi specifici dipendenti dalla
proprieta' "speciali" di R e suoi sottoinsiemi;

- anche all' interno delle funzioni reali di variabile reale, quasi
tutti gli esempi sono tratti da funzioni "lisce". Mi ha colpito l'
osservazione di Tetis sul fatto che non si prende mai in considerazione
il caso di curve frattali quando si introduce la continuita' come
"tracciabilita' del grafico". Anche questo andrebbe maggiormente
enfatizzato.

La sensazione e' che dal punto di vista didattico, l' analisi sia
diventato un mostro di Frankenstein in cui, ad un nucleo "a la Cauchy",
in cui le funzioni sono sempre e solo funzioni lisce, si sono
sovrapposti in modo non ben coordinato, elementi vari ed assortiti
provenienti dai 200 anni successivi, con la pretesa di essere molto piu'
generali ma restando invece ben ancorati a schemi mentali ottocenteschi.


Giorgio

[El Filibustero]

On Mon, 02 Jan 2012 09:42:00 +0100, Giorgio Pastore wrote:

>"La definizione di continuità è la richiesta che punti vicini ad un
>determinato punto x abbiano immagini vicine a quella di x."
>
>Ma detta cosi', viene ribaltato il ruolo di immagini e controimmagini.

Cosi' pare solo ad un esame superficiale. A ben guardare, non si dice che
"solo punti vicini a x devono avere immagini vicine a quella di x".
Naturalmente la definizione data e' imprecisa perche' manca della
quantificazione, ma non distorce di certo l'idea di continuita'. Basta
riformularla come:

"La definizione di continuità è la richiesta che punti *sufficientemente*
vicini ad un determinato punto x abbiano immagini *arbitrariamente* vicine
a quella di x."

>A questo punto la def di funzione continua sarebbe quella di funzione
>che trasforma aperti in aperti. :-(

Errore. Se abbiamo una funzione costante con dominio un aperto, la
definizione intuitiva virgolettata e' rispettata banalmente (le immagini
non potrebbero essere vicine piu' di cosi'), ma l'aperto viene trasformato
in chiuso.

[superpollo]

Giorgio Pastore ha scritto:

quoto tutto.

ma allora (e torniamo sempre li') e mai possibile che NESSUNA casa
editrice scolastica abbia fra i suoi collaboratori qualcuno in grado di
implementare concretamente queste belle idee?

o c'e' sotto qualcos'altro?

bye

--
Per questo la Tunze
e' gia' collaudata e funziona mirabilmente senza calcolatore,
e quindi ha ottime possibilita' di divenire matematica
Ufficialmente ed Universalmente accettata e usata.

[Giorgio Pastore]

On 1/2/12 10:52 AM, El Filibustero wrote:
>...Basta
> riformularla come:
>
> "La definizione di continuitą č la richiesta che punti *sufficientemente*

> vicini ad un determinato punto x abbiano immagini *arbitrariamente* vicine
> a quella di x."

Mmmhhh. Non dovrebbe essere ... *tutti* i punti sufficientemente... ?

>
>> A questo punto la def di funzione continua sarebbe quella di funzione
>> che trasforma aperti in aperti. :-(
>
> Errore. Se abbiamo una funzione costante con dominio un aperto, la
> definizione intuitiva virgolettata e' rispettata banalmente (le immagini
> non potrebbero essere vicine piu' di cosi'), ma l'aperto viene trasformato
> in chiuso.

Questo mostra che con la definizione sbagliata una funzione che vorremmo
essere continua non lo sarebbe. Trovo utile anche aggiungere anche un
esempio della situazione opposta: una funzione che tutti
considerereremmo discontinua ma che diventerebbe continua se la def
fosse legata al mapping di aperti in aperti:

f(x) = x per x<=0
= 1+x pr x>0

Devo dire che, personalmente, meditare su questo esempio mi ha permesso
di chiarirmi le idee sulla continuita' piu' di qualsiasi altra cosa.

Giorgio

[El Filibustero]

On Mon, 02 Jan 2012 11:28:34 +0100, Giorgio Pastore wrote:

>> "La definizione di continuitą č la richiesta che punti *sufficientemente*
>> vicini ad un determinato punto x abbiano immagini *arbitrariamente* vicine
>> a quella di x."
>
>Mmmhhh. Non dovrebbe essere ... *tutti* i punti sufficientemente... ?

"tutti" sottinteso, come capita spesso nelle espressioni informali di
quantificazioni universali.

>>> A questo punto la def di funzione continua sarebbe quella di funzione
>>> che trasforma aperti in aperti. :-(
>>
>> Errore. Se abbiamo una funzione costante con dominio un aperto, la
>> definizione intuitiva virgolettata e' rispettata banalmente (le immagini
>> non potrebbero essere vicine piu' di cosi'), ma l'aperto viene trasformato
>> in chiuso.
>
>Questo mostra che con la definizione sbagliata una funzione che vorremmo
>essere continua non lo sarebbe.

IMHO continui a fare confusione con il senso logico di quella definizione
che *tu* ritieni sbagliata e fuorviante. Secondo essa, una costante sarebbe
continua eccome, perche' i punti vicini a x hanno "a vuoto" immagini vicine
a quella di x.

>Trovo utile anche aggiungere anche un
>esempio della situazione opposta: una funzione che tutti
>considerereremmo discontinua ma che diventerebbe continua se la def
>fosse legata al mapping di aperti in aperti:
>
>f(x) = x per x<=0
> = 1+x pr x>0

E' ovvio che una funzione che mappa aperti in aperti non e' necessariamente
continua, ma non hai colto il punto della discussione: la definizione che
hai criticato NON descrive ne' vuole descrivere una f:aperto-->aperto. Ciao

[Giorgio Pastore]

On 1/2/12 11:21 AM, superpollo wrote:
....

> ma allora (e torniamo sempre li') e mai possibile che NESSUNA casa
> editrice scolastica abbia fra i suoi collaboratori qualcuno in grado di
> implementare concretamente queste belle idee?
>
> o c'e' sotto qualcos'altro?

Secondo me la seconda che hai detto. Per diversi elementi che
impediscono che modifiche di approccio di questo tipo vengano dalle case
editrici.

Il primo e maggiore e' che occorrerebbe una presa di coscienza dei
problemi strutturali della didattica della matematica, in particolare in
Italia, da parte dei matematici, molto maggiore di quello che succede.
In assenza di questo, chi fa da consulente per le case editrici, non
sempre necessariamente un esperto allo stesso modo di didattica e degli
aspetti disciplinari, difficilmente potra' uscire dal riproporre gli
approcci del passato, possibilmente riveduti e peggiorati.

Il secondo, correlato al primo e' che purtroppo le questioni di
didattica sembrano sempre piu' confinate alla riserva indiana di
"esperti" che tendono a dimenticare che anche il livello universitario
avrebbe bisogno di maggiore attenzione a questioni didattiche.
Non e' un caso che la maggior sorpresa per gli studenti universitari, e'
la differenza tra la matematica delle superiori e quella dell' universita'.

Ma finche' ci sara' richiesta di libri con tanti esercizi e non molta
attenzione alla teoria, con schede storico-divulgative e possibilmente
anticipazioni del massimo numero di argomenti avanzati per dare un tocco
di modernita' al libro, difficilemente le case editrici andranno contro
alla richiesta del mercato.

E vorresti opporti al dio-mercato in questi tempi di neo-liberismo
trionfante ?

Giorgio

[Enrico Gregorio]

Giorgio Pastore <pas...@units.it> scrive:

> On 1/1/12 11:15 PM, superpollo wrote:
> ...
> >
> io
> > mi limito a segnalare questa pagina, opera di un ins. liceale:
> >
> > http://www.batmath.it/matematica/an_uno/cont_unif/cont_unif.htm
>
> Il link mi mette in crisi. Leggo:
>
> "La definizione di continuità è la richiesta che punti vicini ad un
> determinato punto x abbiano immagini vicine a quella di x."
>
> Ma detta cosi', viene ribaltato il ruolo di immagini e controimmagini.
> A questo punto la def di funzione continua sarebbe quella di funzione
> che trasforma aperti in aperti. :-(

L'idea guida è proprio "punti vicini a x hanno immagini vicine
a quella di x"; quando si è cercato di precisare la nozione ci
si è resi conto che occorre fissare una tolleranza sulle immagini
e a partire da quella trovare un intorno di x che garantisca
che la differenza delle immagini rispetti quella tolleranza.

> C'e' poi un' osservazione che mi viene spontanea a margine di tutta l'
> interessantissima discussione: e' evidente che sulla questione funzioni
> continue, discontinuita', tracciabilita', etc... ci sono punti
> estremamente delicati e che richiedono gia' una notevole padronanza di
> strumenti di analisi. Mi sembra improponibile passare tutta questa
> complessita' a livello didattico di primo approccio all' analisi negli
> ultimi anni delle superiori.
> Quindi andrebbero fatte delle scelte in modo tale da
> i) semplificare al massimo ma non piu' di cosi' (cit.);
> ii) rendere esplicita l' esistenza delle semplificazioni;
> iii) non dover "cancellare" concetti sbagliati da chi continuasse negli
> studi di analisi all' universita';

La definizione di continuità tramite l'esistenza del limite
è proprio una delle cose da togliere al più presto.

> Non mi sembra che l' attuale approccio didattico nelle superiori
> rispetti queste regole. In particolare, ho la sensazione (correggetemi
> se sbaglio) che
>
> - la classificazione "entomologica" dei punti di discontinuita' sia fine
> a se stessa e si potrebbe rimpiazzare con il solo concetto di
> prolungamento per continuita' se si fosse disposti ad eliminare i
> concetti inessenziali;

C'è, ed è importante, la questione degli asintoti.

> - non viene evidenziato costantemente e con sufficiente enfasi che
> definizioni e tecniche sono limitate alle sole funzioni che realmente si
> incontrano nello studio liceale (reali di variabile reale o
> successioni) e pertanto fanno uso di elementi specifici dipendenti dalla
> proprieta' "speciali" di R e suoi sottoinsiemi;

Difficile ampliare a spazi topologici diversi senza dover dare
troppe definizioni.

> - anche all' interno delle funzioni reali di variabile reale, quasi
> tutti gli esempi sono tratti da funzioni "lisce". Mi ha colpito l'
> osservazione di Tetis sul fatto che non si prende mai in considerazione
> il caso di curve frattali quando si introduce la continuita' come
> "tracciabilita' del grafico". Anche questo andrebbe maggiormente
> enfatizzato.

Una curva frattale come quella di Koch /non/ è "tracciabile"
perché ogni suo pezzo ha lunghezza infinita. Non è nemmeno
troppo difficile dare un'idea intuitiva della faccenda.

> La sensazione e' che dal punto di vista didattico, l' analisi sia
> diventato un mostro di Frankenstein in cui, ad un nucleo "a la Cauchy",
> in cui le funzioni sono sempre e solo funzioni lisce, si sono
> sovrapposti in modo non ben coordinato, elementi vari ed assortiti
> provenienti dai 200 anni successivi, con la pretesa di essere molto piu'
> generali ma restando invece ben ancorati a schemi mentali ottocenteschi.

La mia impressione è un'altra. Si fanno prima i limiti della
continuità perché ciò da modo di propinare esercizi. Per lo
stesso motivo gli "integrali indefiniti" si fanno prima
di quelli "definiti".

Ciao
Enrico

[superpollo]

Giorgio Pastore ha scritto:

> On 1/2/12 11:21 AM, superpollo wrote:
> ....
>> ma allora (e torniamo sempre li') e mai possibile che NESSUNA casa
>> editrice scolastica abbia fra i suoi collaboratori qualcuno in grado di
>> implementare concretamente queste belle idee?
>>
>> o c'e' sotto qualcos'altro?
>
>
> Secondo me la seconda che hai detto.

...

> Ma finche' ci sara' richiesta di libri con tanti esercizi e non molta
> attenzione alla teoria, con schede storico-divulgative e possibilmente
> anticipazioni del massimo numero di argomenti avanzati per dare un tocco
> di modernita' al libro, difficilemente le case editrici andranno contro
> alla richiesta del mercato.

scusa ma... il mercato non siamo forse proprio noi che insegnamo e
adottiamo i testi? siamo (globalmente) cosi' inetti da non riuscire a
fare pressione? ovviamente e' una domanda retorica...

[Giorgio Pastore]

On 1/2/12 12:21 PM, Enrico Gregorio wrote:
...

> L'idea guida è proprio "punti vicini a x hanno immagini vicine
> a quella di x"; quando si è cercato di precisare la nozione ci
> si è resi conto che occorre fissare una tolleranza sulle immagini
> e a partire da quella trovare un intorno di x che garantisca
> che la differenza delle immagini rispetti quella tolleranza.

Questo lo so. Ma, piuttosto dell forma "approssimata", mi sembra che
andrebbe usata la forma riveduta da El Filibustero : "punti
sufficientemente vicini hanno immagini arbitrariamente vicine". E non la
vedo come una sfumatura. Altrimenti e' difficile non fare l' equazione
"insieme dei punti vicini" = intorno => f. continua trasforma intorni in
intorni.

...

>> - la classificazione "entomologica" dei punti di discontinuita' sia fine
>> a se stessa e si potrebbe rimpiazzare con il solo concetto di
>> prolungamento per continuita' se si fosse disposti ad eliminare i
>> concetti inessenziali;
>
> C'è, ed è importante, la questione degli asintoti.

??
Immagino ti riferisca agli asintoti verticali. Ma non vedo il problema.
tanto la classificazione e' basata esattamente sull' esistenza o meno di
un limite che e' quello che va cercato se devi decidere sull' esistenza
di un asintoto.

...

> Difficile ampliare a spazi topologici diversi senza dover dare
> troppe definizioni.

Appunto. Percio' sarebbe bene sottolineare con una certa frequenza che
non tutto e' estendibile a funzioni diverse da quelle reali di una
varibile reale. Ma nei libri si dice solo all' inizio e poi i vari
teoremi e definizioni dicono sempre "una funzione e'...." dando l' idea
che si tratti di affermazioni universali.
>
....

> Una curva frattale come quella di Koch /non/ è "tracciabile"
> perché ogni suo pezzo ha lunghezza infinita. Non è nemmeno
> troppo difficile dare un'idea intuitiva della faccenda.

Appunto. Ma la norma e' che se chiedi cosa e' una funzione continua,
anche all' universita' (e non solo al primo anno :-( ), la risposta e'
"una funzione il cui grafico puo' essere tracciato senza alzare la penna
dal foglio".

Giorgio

[Giorgio Pastore]

On 1/2/12 11:55 AM, El Filibustero wrote:
....

> "tutti" sottinteso, come capita spesso nelle espressioni informali di
> quantificazioni universali.

Forse non e' sottinteso per tutti. In particolare per chi si stia
accostando alla definizione di funzione continua per la prima volta.

....

> E' ovvio che una funzione che mappa aperti in aperti non e' necessariamente
> continua, ma non hai colto il punto della discussione: la definizione che
> hai criticato NON descrive ne' vuole descrivere una f:aperto-->aperto.

Come scritto nella risposta ad EG, con la TUA modifica non descrive
f:intorno->intorno. Nella versione originale, senza il
"sufficientemente" e "arbitrariamente" a me sembra che l' equivoco sia
perfettamente possibile.

Giorgio

[cometa_luminosa]

On Jan 1, 4:31 pm, Simone <admsi...@googlemail.com> wrote:

> Quindi puo' anche andar bene
> dire che x -> 1/x e' discontinua nel senso convenzionale che non
> ammette estensioni continue.

Pero' la generalizzazione alle distribuzioni puo' ammettere una
estensione continua (ve be', non stavamo parlando di questo, ma di
sole funzioni R --> R).

--
cometa_luminosa

[Tetis]

Sembra che Giorgio Pastore abbia detto :

Sono d'accordo. Quella definizione individua una classe di funzioni più
ampia delle funzioni continue, escludendo sole le discontinuità dovute
a divergenza, ovvero asintoti. In termini più stringenti: la condizione
prescritta dalla definizione può essere tradotta in una condizione
necessaria ma non sufficiente alla continuità.

Infatti: l'immagine continua di chiusi è chiusa, per di più l'immagine
continua di chiusi limitati è limitata, cioè appunto una funzione
continua applica punti vicini in punti vicini. Naturalmente questa è
una condizione necessaria ma non è sufficiente alla continuità: come
controesempio esistono le funzioni limitate che mancano di limite in
qualche punto del dominio.

L'intenzione del link di superpollo comunque era mettere in evidenza
una proprietà delle funzioni uniformemente continue: funzioni
uniformemente continue ammettono sempre estensione continua. Questa
proprietà messa in relazione con la proposta di caratterizzazione delle
singolarità, che avevo inventato nel post a cui Superpollo rispondeva,
evidenzia appunto la natura dei punti di singolarità secondo la
tradizionale classificazione, che sono punti in cui la funzione non può
essere estesa con continuità o perché questa estensione richiede di
definire la funzione in un punto (singolarità eliminabile tramite
ridefinizione) o perché l'estensione è affatto impossibile a causa
della mancanza del limite o del fatto che la funzione diverge.

[Enrico Gregorio]

Giorgio Pastore <pas...@units.it> scrive:

> On 1/2/12 12:21 PM, Enrico Gregorio wrote:
> ...
> > L'idea guida è proprio "punti vicini a x hanno immagini vicine
> > a quella di x"; quando si è cercato di precisare la nozione ci
> > si è resi conto che occorre fissare una tolleranza sulle immagini
> > e a partire da quella trovare un intorno di x che garantisca
> > che la differenza delle immagini rispetti quella tolleranza.
>
> Questo lo so. Ma, piuttosto dell forma "approssimata", mi sembra che
> andrebbe usata la forma riveduta da El Filibustero : "punti
> sufficientemente vicini hanno immagini arbitrariamente vicine". E non la
> vedo come una sfumatura. Altrimenti e' difficile non fare l' equazione
> "insieme dei punti vicini" = intorno => f. continua trasforma intorni in
> intorni.

Questa forma non vuol dire niente. Mi ricorda tanto "piccolo a piacere".

> ...
> >> - la classificazione "entomologica" dei punti di discontinuita' sia fine
> >> a se stessa e si potrebbe rimpiazzare con il solo concetto di
> >> prolungamento per continuita' se si fosse disposti ad eliminare i
> >> concetti inessenziali;
> >
> > C'è, ed è importante, la questione degli asintoti.
>
> ??
> Immagino ti riferisca agli asintoti verticali. Ma non vedo il problema.
> tanto la classificazione e' basata esattamente sull' esistenza o meno di
> un limite che e' quello che va cercato se devi decidere sull' esistenza
> di un asintoto.

Detesto la classificazione in "specie", perché nessuno ricorda
mai quali siano queste specie. Nei punti singolari del dominio
(che comprendono anche i punti di frontiera non appartenenti
al dominio, fra cui, eventualmente, -inf e +inf) si cerca il
limite. Quando si vede che c'è, o che non c'è, sappiamo quale
sia l'andamento della funzione.

> > Difficile ampliare a spazi topologici diversi senza dover dare
> > troppe definizioni.
>
> Appunto. Percio' sarebbe bene sottolineare con una certa frequenza che
> non tutto e' estendibile a funzioni diverse da quelle reali di una
> varibile reale. Ma nei libri si dice solo all' inizio e poi i vari
> teoremi e definizioni dicono sempre "una funzione e'...." dando l' idea
> che si tratti di affermazioni universali.

Purtroppo i ragazzi apprendono il concetto generale di funzione
al primo biennio e se lo dimenticano immediatamente. Ricompare
d'un tratto in quarta o quinta, legato solo alle funzioni reali
di variabile reale. Manca l'idea di un filo conduttore che richiami
/spesso/ i concetti importanti.

> ....
> > Una curva frattale come quella di Koch /non/ è "tracciabile"
> > perché ogni suo pezzo ha lunghezza infinita. Non è nemmeno
> > troppo difficile dare un'idea intuitiva della faccenda.
>
> Appunto. Ma la norma e' che se chiedi cosa e' una funzione continua,
> anche all' universita' (e non solo al primo anno :-( ), la risposta e'
> "una funzione il cui grafico puo' essere tracciato senza alzare la penna
> dal foglio".

Più che insistere che si tratta di una sciocchezza, che posso
fare? :)

Ciao
Enrico

[superpollo]

Enrico Gregorio ha scritto:
...

> Purtroppo i ragazzi apprendono il concetto generale di funzione
> al primo biennio e se lo dimenticano immediatamente. Ricompare
> d'un tratto in quarta o quinta, legato solo alle funzioni reali
> di variabile reale. Manca l'idea di un filo conduttore che richiami
> /spesso/ i concetti importanti.

per forza! dopo il biennio passano circa due anni a fare disequazioni
fratte e a disegnare coniche nel piano cartesiano!

bye

--
La Tunze non e' una ipotesi campata in aria.
La Tunze e' una Realta' Evidente.
Socratis.

[BlueRay]

On 1 Gen, 15:51, Simone <admsi...@googlemail.com> wrote:
> On 2012-01-01, cometa_luminosa <alberto.r...@virgilio.it> wrote:
>
> > D'accordo, pero' e' irragionevole anche che una funzione sia continua
> > in un punto che non appartiene al suo dominio. Tutto sta nel valutare
> > soggettivamente cosa e' piu' irragionevole.
>
> Io direi che basta definire il concetto di continuita' E discontinuita'
> solo per i punti del dominio. Insomma, la discontinuita' non e' necessariamente
> la negazione logica della continuita'.

Io direi che quello che dici e' automatico, se uno definisce una
funzione non semplicemente come "la legge f che associa x appartenente
ad A a f(x) appartenente a B" che e' quello che (mi sembra) faccia il
Conti nel libro che ho citato precedentemente, ma la coppia [f,D(f)]
dove D(f) e' il dominio, stabilito a priori (all'interno dell'insieme
di validita' della legge).
Perche' allora tutte le volte che uno fa un'affermazione riguardante
una funzione f:A-->B ed un punto x di A, e' automatico che x
appartenga a D(f).

--
BlueRay = cometa_luminosa

[BlueRay]

On 1 Gen, 23:08, Tetis <lje...@yahoo.it> wrote:
> cometa_luminosa ha spiegato il 31/12/2011 :
>

> > Non e' un libro liceale ma un libro di testo universitario di una
> > trentina d'anni fa (sul quale ho studiato all'uni), considerato
> > nell'ambiente fiorentino come uno dei piu' rigorosi: "Lezioni di
> > Analisi Matematica - volume primo" - Roberto Conti - Cedam - Padova -
> > 1978.
>
> La stessa editrice dello Zwirner, che si abbevera ad un vivaio
> culturale di primo piano a livello mondiale, com'è Padova.
>
> > 5.1. "Continuita' puntuale. Discontinuita'.
> > .....
> > .....
> > [definisce la continuita' in un punto x_0 del dominio di f]
> > .....
> > .....
>
> > d) Se f non e' continua in x_0 si dice che essa e' discontinua in x_0.
> > Cio' significa che x_0 non appartiene al dominio di f oppure che x_0
> > appartiene al dominio di f ma esiste almeno un epsilon_bar tale che...
>
> Al che poi procede alla classificazione delle discontinuità? Introduce
> una quarta specie: punto di discontinuità per indefinitezza, sarebbe
> coerente, no?

Prima li classifica solo nei punti che sono di accumulazione soltanto
a dx o soltanto a sx per D(f), poi per quelli di accumulazione
bilaterale; per gli altri casi aveva gia' definito in precedenza:
"Se x_0 e' di accumulazione per D(f) allora f e' continua in x_0 se e
solo se esiste finito lim[x-->x_0] ed esso coincide con f(x_0)".
E inoltre:
"Se x_0 e' punto isolato per D(f) allora f e' senz'altro continua in
x_0" (non ne fa la dimostrazione perche' immagino la consideri
banale).

Quindi definisce le discontinuita' nei punti x_0 di accumulazione solo
a sx (poi dice "...analogamente se sono di accumulazione solo a
dx..."):

"Se x_0 e' di accumulazione per D(f) solo a sx la f sara' discontinua
in x_0 se e solo se non vale la (5.1.4) [cioe' se il limite da
sinistra, che indica con f(x_0-) non e' uguale a f(x_0)]. Cio' potra'
aver luogo se si verifica una delle seguenti circostanze:

a) f(x_0-) e' finito, f(x_0-) =/= f(x_0)
b) f(x_0-) = - oo oppure = +oo
c) f(x_0-) non esiste, ovvero f(x_0-) = oo

Nei casi a) e b) si dice che f ha in x_0 una discontinuita' di prima
specie (finita nel caso a), infinita nel caso b)); nel caso c) si dice
che f ha una discontinuita' di seconda specie.
Se x_0 e' di accumulazione bilaterale si avra' che f e' discontinua in
x_0 se lo e' almeno a sx o almeno a dx e si dira' che la
discontinuita' e' di seconda specie se uno almeno dei due limiti
f(x_0-), f(x_0+) non esiste o e' oo; altrimenti si dira' di prima
specie."

--
BlueRay

[Giorgio Pastore]

On 1/2/12 2:46 PM, Enrico Gregorio wrote:
....

> Questa forma non vuol dire niente. Mi ricorda tanto "piccolo a piacere".

Vero. Ma almeno mette l' accento sul fatto che quelli che devono "vicini
a piacere" sono i punti immagine. Le antiimmagini non necessariamente
(vedi esempio della f. costante, ma non solo).

A livello di descrizioni informali in realta' io preferisco dire che una
funzione e' continua in c se f(c) costituisce una ragionevole
approssimazione di f(x) in un intorno di c. E' informale ma insiste da
subito sui valori delle immagini e contiene la generalizzabilita' a
funzioni di classe C^n in modo naturale (f'(c), mediante
f(x)=f(c)+f'(c)*(x-x) genera una ragionevole approssimazione lineare al
comportamento della funzione in c etc...).

E' chiaro comunque che le descrizioni informali servono solo a mettere
l' accento sul concetto importante che si vuole ricordare e a meglio
illustrare il contenuto delle definizioni rigorose ma non le
sostituiscono. Proprio per questo e' necessario che non generino equivoci.

Giorgio

[Tetis]

Giorgio Pastore ci ha detto :

> On 1/2/12 2:46 PM, Enrico Gregorio wrote:
> ....
>> Questa forma non vuol dire niente. Mi ricorda tanto "piccolo a piacere".
>
> Vero. Ma almeno mette l' accento sul fatto che quelli che devono "vicini a
> piacere" sono i punti immagine. Le antiimmagini non necessariamente (vedi
> esempio della f. costante, ma non solo).
>
> A livello di descrizioni informali in realta' io preferisco dire che una
> funzione e' continua in c se f(c) costituisce una ragionevole approssimazione
> di f(x) in un intorno di c.

Mi pare nello spirito molto vicina alla formalizzazione della
continuità in analisi non standard.

http://en.wikipedia.org/wiki/Non-standard_calculus

A real function f is continuous at a standard real number x if for
every hyperreal x' infinitely close to x, the value f(x' ) is also
infinitely close to f(x). This captures Cauchy's definition of
continuity.
Here to be precise, f would have to be replaced by its natural
hyperreal extension usually denoted f* (see discussion of Transfer
principle in main article at non-standard analysis).

Una funzione è discontinua in un punto se ivi il minimo limite ed il
massimo limite non coincidono, ed in termini non-standard questo si
traduce immediatamente nell'individuazione delle sequenze asintotiche
associate alla convergenza al massimo limite ed al minimo limite
rispettivamente, ciascuna delle queali individua due punti iperreali
infinitamente vicini ad x in cui la funzione assume valori differenti.
L'esempio della funzione sen(1/x) mostra come sottile sia in effetti la
descrizione degli infinitesimi e degli iperreali inventata da Robinson,
e come possa essere estremamente pericoloso il tentativo di introdurre
l'analisi non-standard a livello liceale senza la necessaria
preparazione concettuale sulla nozione di numero come classe di
equivalenza asintotica fra sequenze.

> E' informale ma insiste da subito sui valori
> delle immagini e contiene la generalizzabilita' a funzioni di classe C^n in
> modo naturale (f'(c), mediante f(x)=f(c)+f'(c)*(x-x) genera una ragionevole
> approssimazione lineare al comportamento della funzione in c etc...).
>
> E' chiaro comunque che le descrizioni informali servono solo a mettere l'
> accento sul concetto importante che si vuole ricordare e a meglio illustrare
> il contenuto delle definizioni rigorose ma non le sostituiscono. Proprio per
> questo e' necessario che non generino equivoci.

In altre parole esiste un grado irriducibile di complessità nel mondo
matematico associato alle definizioni più semplici, del quale si tende
a dimenticarsi perché il mondo degli enti verbalizzabili è molto
ristretto e richiederebbe molte/troppe più parole per essere
individuato.

Quello delle funzioni continue è un mondo sterminato i cui abitanti più
comuni sono enti matematici che mai nessuno ha immaginato.

Il che traduce in parole evocative, ma altrimenti insulse ed
insignificanti, il teorema secondo il quale le funzioni continue
derivabili in un punto hanno misura nulla.

> Giorgio

[Enrico Gregorio]

superpollo <super...@tznvy.pbz> scrive:

> Enrico Gregorio ha scritto:
> ...
> > Purtroppo i ragazzi apprendono il concetto generale di funzione
> > al primo biennio e se lo dimenticano immediatamente. Ricompare
> > d'un tratto in quarta o quinta, legato solo alle funzioni reali
> > di variabile reale. Manca l'idea di un filo conduttore che richiami
> > /spesso/ i concetti importanti.
>
> per forza! dopo il biennio passano circa due anni a fare disequazioni
> fratte e a disegnare coniche nel piano cartesiano!

E tu non fargli fare quintali di disequazioni fratte!

Ciao
Enrico

[Enrico Gregorio]

Giorgio Pastore <pas...@units.it> scrive:

> On 1/2/12 2:46 PM, Enrico Gregorio wrote:
> ....
> > Questa forma non vuol dire niente. Mi ricorda tanto "piccolo a piacere".
>
> Vero. Ma almeno mette l' accento sul fatto che quelli che devono "vicini
> a piacere" sono i punti immagine. Le antiimmagini non necessariamente
> (vedi esempio della f. costante, ma non solo).
>
> A livello di descrizioni informali in realta' io preferisco dire che una
> funzione e' continua in c se f(c) costituisce una ragionevole
> approssimazione di f(x) in un intorno di c. E' informale ma insiste da
> subito sui valori delle immagini e contiene la generalizzabilita' a
> funzioni di classe C^n in modo naturale (f'(c), mediante
> f(x)=f(c)+f'(c)*(x-x) genera una ragionevole approssimazione lineare al
> comportamento della funzione in c etc...).

Non sono d'accordo. La continuitą ti dice che puoi ottenere
un valore approssimato di f(c) se usi un opportuno valore di
x abbastanza vicino a c; č questo che si usa quando si vuole
calcolare un valore approssimato di "radice quarta di 2":
si usano valori approssimati di "radice quadrata di 2", la
cui radice quadrata č, appunto, un'approssimazione del numero
cercato. Ma se vuoi quattro cifre esatte, dovrai usare un numero
maggiore di cifre esatte di "radice quadrata di 2".

> E' chiaro comunque che le descrizioni informali servono solo a mettere
> l' accento sul concetto importante che si vuole ricordare e a meglio
> illustrare il contenuto delle definizioni rigorose ma non le
> sostituiscono. Proprio per questo e' necessario che non generino equivoci.

Certo.

Ciao
Enrico

[Giorgio Pastore]

On 1/2/12 3:43 PM, Enrico Gregorio wrote:
> Giorgio Pastore<pas...@units.it> scrive:
...

>> A livello di descrizioni informali in realta' io preferisco dire che una
>> funzione e' continua in c se f(c) costituisce una ragionevole

>> approssimazione di f(x) in un intorno di c. ...

> Non sono d'accordo. La continuitą ti dice che puoi ottenere
> un valore approssimato di f(c) se usi un opportuno valore di
> x abbastanza vicino a c;

Era informale. Ma nel "ragionevole" c'e' esattamente il punto legato
all' "abbastanza vicino". Volendo esser espliciti l' approssimazione e'
ragionevole se la distanza tra f(x) e f(c) va a zero quando la
distanza di x da c va a zero.

Giorgio

[superpollo]

Enrico Gregorio ha scritto:

avrei una serie di aneddoti da raccontare al riguardo... te ne dico solo
uno.

anni or sono arrivai nel liceo dove sono in servizio, e da bravo bambino
chiesi alle colleghe indicazioni su cosa fare... e anche a dirigenza e
segreteria, che pero' non furono di molto aiuto. mi trovai insomma di
fronte a messaggi discordanti e contraddittori, e alla totale mancanza
di coordinamento. feci allora del mio meglio, seguendo i miei gusti
personali in parte, e seguendo il testo per altri versi. come risultato,
nella classe terza ridussi quasi a zero l'argomento "disequazioni
fratte". quando pochi mesi dopo mi trovai a confrontarmi con alcune
delle suddette colleghe per organizzare i "corsi di recupero" misi in
evidenza le mie scelte e fui guardato con meraviglia e sospetto: "ma
come? non hai fatto le d.f.? e allora cosa hai fatto?" con il che si
dava per sottinteso che le d.f. costituivano il 90% del lavoro in
terza... io provai a spiegare che invece c'erano argomenti molto piu'
interessanti anche rimanendo alla semplice algebra, ma non ci fu verso.
risultato? dall'anno successivo feci "fare quintali di disequazioni
fratte" (cit.) per mantenere il quieto vivere, e tutti vissero felici e
contenti.

l'anno dopo comunque si ripete' la questione per le classi seconde,
nelle quali non facevo "quintali di frazioni algebriche" con il che "ma
come! le f.a. sono importantissime!", eccetera ... *sigh* ...

potrei dilugarmi e parlare ad esempio di libri di testo e indebite
ingerenze del preside, ma mi limito a enunciare la morale della favola:
e' illusorio pensare che le scelte che facciamo all'interno di una
qualsiasi organizzazione siano puramente razionali e/o logiche, ovvero
spesso prevalgono ragioni di convivenza civile ANCHE con persone
incapaci di confrontarsi seriamente (anzi, soprattutto con queste
persone, che sono poi tristemente la maggioranza).

[Enrico Gregorio]

Giorgio Pastore <pas...@units.it> scrive:

> On 1/2/12 3:43 PM, Enrico Gregorio wrote:
> > Giorgio Pastore<pas...@units.it> scrive:
> ...
> >> A livello di descrizioni informali in realta' io preferisco dire che una
> >> funzione e' continua in c se f(c) costituisce una ragionevole
> >> approssimazione di f(x) in un intorno di c. ...
>

> > Non sono d'accordo. La continuità ti dice che puoi ottenere

> > un valore approssimato di f(c) se usi un opportuno valore di
> > x abbastanza vicino a c;
>
> Era informale. Ma nel "ragionevole" c'e' esattamente il punto legato
> all' "abbastanza vicino". Volendo esser espliciti l' approssimazione e'
> ragionevole se la distanza tra f(x) e f(c) va a zero quando la
> distanza di x da c va a zero.

Questo è esattamente dire che il limite coincide con il valore.
Che è una definizione /sbagliata/.

Ciao
Enrico

[Tetis]

BlueRay ha pensato forte :

Rimane però ancora il caso che x_0 sia un punto isolato non
appartenente a D(f) e come di consueto questo non viene preso in
considerazione perché non ha alcun interesse rispetto alle questioni
pratiche che riguardano il comportamento della funzione. Tuttavia a
livello logico, se uno fornisce quella definizione di discontinuità,
sarebbe tenuto ad un cenno.

> Quindi definisce le discontinuita' nei punti x_0 di accumulazione solo
> a sx (poi dice "...analogamente se sono di accumulazione solo a
> dx..."):
>
> "Se x_0 e' di accumulazione per D(f) solo a sx la f sara' discontinua
> in x_0 se e solo se non vale la (5.1.4) [cioe' se il limite da
> sinistra, che indica con f(x_0-) non e' uguale a f(x_0)]. Cio' potra'
> aver luogo se si verifica una delle seguenti circostanze:
>
> a) f(x_0-) e' finito, f(x_0-) =/= f(x_0)
> b) f(x_0-) = - oo oppure = +oo
> c) f(x_0-) non esiste, ovvero f(x_0-) = oo

ottimo.

> Nei casi a) e b) si dice che f ha in x_0 una discontinuita' di prima
> specie (finita nel caso a), infinita nel caso b));

Quindi la singolarità eliminabile è nella prima specie insieme e
quindi sono sinonimi per Conti le discontinuità di prima specie e le
discontinuità di tipo salto in cui il salto può essere qualunque numero
reale proprio o improprio purché di segno definito: + o - infinito. Mi
sembra che anche Apostol faccia in questo modo, perché ha introdotto la
topologia estesa della retta reale che gli permette di classificare gli
infiniti con segno e l'infinito tout-court come numeri impropri
distinti.

> nel caso c) si dice
> che f ha una discontinuita' di seconda specie.

infatti se il limite è infinito è come dire che il limite non esiste
perché esistono sottosequenze convergenti a limiti differenti.

> Se x_0 e' di accumulazione bilaterale si avra' che f e' discontinua in
> x_0 se lo e' almeno a sx o almeno a dx e si dira' che la
> discontinuita' e' di seconda specie se uno almeno dei due limiti
> f(x_0-), f(x_0+) non esiste o e' oo; altrimenti si dira' di prima
> specie."

E non introduce la nozione di singolarità eliminabile, né quella che il
mio prof. indicava come terza specie che è il caso di singolarità di
prima specie infinita.

[BlueRay]

On 2 Gen, 16:00, superpollo <superpo...@tznvy.pbz> wrote:

> mi limito a enunciare la morale della favola:
> e' illusorio pensare che le scelte che facciamo all'interno di una
> qualsiasi organizzazione siano puramente razionali e/o logiche, ovvero
> spesso prevalgono ragioni di convivenza civile ANCHE con persone
> incapaci di confrontarsi seriamente (anzi, soprattutto con queste
> persone, che sono poi tristemente la maggioranza).

Ecco perche' spesso mi trovo in sintonia con te :-)

--
BlueRay

[Tetis]

Scriveva Enrico Gregorio lunedì, 02/01/2012:

Non capisco come fa ad essere /sbagliata/ lo intendi in senso
/didattico/? Perchè mi risulta che:

f è continua in x0 punto del dominio se e solo se per ogni sequenza
{x_n }convergente a x0 si ha che il limite di f(x_n) è uguale al valore
della funzione in x0.

[Enrico Gregorio]

Tetis <lje...@yahoo.it> scrive:

> Scriveva Enrico Gregorio luned�, 02/01/2012:

> > Giorgio Pastore <pas...@units.it> scrive:
> >
> >> On 1/2/12 3:43 PM, Enrico Gregorio wrote:
> >>> Giorgio Pastore<pas...@units.it> scrive: ...
> >>>> A livello di descrizioni informali in realta' io preferisco dire che una
> >>>> funzione e' continua in c se f(c) costituisce una ragionevole
> >>>> approssimazione di f(x) in un intorno di c. ...

> >>> Non sono d'accordo. La continuit� ti dice che puoi ottenere

> >>> un valore approssimato di f(c) se usi un opportuno valore di
> >>> x abbastanza vicino a c;
> >>
> >> Era informale. Ma nel "ragionevole" c'e' esattamente il punto legato
> >> all' "abbastanza vicino". Volendo esser espliciti l' approssimazione e'
> >> ragionevole se la distanza tra f(x) e f(c) va a zero quando la
> >> distanza di x da c va a zero.
> >

> > Questo � esattamente dire che il limite coincide con il valore.
> > Che � una definizione /sbagliata/.

> >
> > Ciao
> > Enrico
>
> Non capisco come fa ad essere /sbagliata/ lo intendi in senso

> /didattico/? Perch� mi risulta che:
>
> f � continua in x0 punto del dominio se e solo se per ogni sequenza
> {x_n }convergente a x0 si ha che il limite di f(x_n) � uguale al valore
> della funzione in x0.

Per ogni successione (x_n) a valori /nel/ /dominio/ di f, la
quale converga al punto dato.

Prova ad applicare la definizione con il limite nel caso
di un punto isolato. :)

Ciao
Enrico

[Giorgio Pastore]

On 1/2/12 4:11 PM, Enrico Gregorio wrote:
...

> Che č una definizione /sbagliata/.


Che possa non piacere capisco. Ma che sia sbagliata (nell' ipotesi che c
sia un p. di accumulazione) non lo vedo. Mi sembra che la scelta se
definire la continuita' attraverso il limite o meno sia piu' una
questione di gusti che di "corretteza". O sbaglio ?

Giorgio

[Giorgio Pastore]

On 1/2/12 5:18 PM, Enrico Gregorio wrote:
....

> Prova ad applicare la definizione con il limite nel caso
> di un punto isolato. :)

Infatti quando si da' la def. di continuita' attraverso il limite, si
precisa che vale per i p. di accumulazione. La def completa deve
trattare anche i punti isolati come p. di continuita'.

Giorgio

[Enrico Gregorio]

Giorgio Pastore <pas...@units.it> scrive:

> On 1/2/12 4:11 PM, Enrico Gregorio wrote:
> ...

> > Che è una definizione /sbagliata/.

>
>
> Che possa non piacere capisco. Ma che sia sbagliata (nell' ipotesi che c
> sia un p. di accumulazione) non lo vedo. Mi sembra che la scelta se
> definire la continuita' attraverso il limite o meno sia piu' una
> questione di gusti che di "corretteza". O sbaglio ?

Perché dare definizioni diverse nei due casi quando una definizione
sola va bene?

Ciao
Enrico

[BlueRay]

Mi spiego meglio perche' mi sa che non era proprio chiaro: lo stesso
avrei potuto scrivere io per quanto riguarda l'ambiente nel quale
lavoro io.

[superpollo]

BlueRay ha scritto:

chiarissimo... d'altronde sfido chiunque a dimostrare il contrario,
schiller docet.

[Simone]

On 2012-01-02, BlueRay <blupa...@alice.it> wrote:
>
> Io direi che quello che dici e' automatico, se uno definisce una
> funzione non semplicemente come "la legge f che associa x appartenente
> ad A a f(x) appartenente a B" che e' quello che (mi sembra) faccia il
> Conti nel libro che ho citato precedentemente, ma la coppia [f,D(f)]
> dove D(f) e' il dominio, stabilito a priori (all'interno dell'insieme
> di validita' della legge).
> Perche' allora tutte le volte che uno fa un'affermazione riguardante
> una funzione f:A-->B ed un punto x di A, e' automatico che x
> appartenga a D(f).
>

Ovviamente c'e' sotto la constatazione che x sia reale. Il dominio di f
e' un sottoinsieme di R, e questo invoglia ad allargarsi al di fuori del dominio.

[BlueRay]

On 2 Gen, 17:18, Enrico Gregorio <Facile.da.trov...@in.rete.it> wrote:
> Tetis <lje...@yahoo.it> scrive:

> > Non capisco come fa ad essere /sbagliata/ lo intendi in senso
> > /didattico/? Perch mi risulta che:
> > f continua in x0 punto del dominio se e solo se per ogni sequenza
> > {x_n }convergente a x0 si ha che il limite di f(x_n) uguale al valore
> > della funzione in x0.
>
> Per ogni successione (x_n) a valori /nel/ /dominio/ di f, la
> quale converga al punto dato.

Che infatti e' quello che scrive anche il Conti:
"Si puo' anche dire che la f e' continua in x_0 se e solo se

lim f(x_n) = f(x_0)

per ogni successione (x_n) in D(f) convergente verso x_0."

> Prova ad applicare la definizione con il limite nel caso
> di un punto isolato. :)

Cito ancora il Conti (e' il seguito della citazione di cui sopra):
"...Basta notare che se x_0 e' isolato l'unica successione in D(f)
convergente verso x_0 e' quella stazionaria definita da
x_n = x_0, n = 1, 2, ..."

--
BlueRay

[Simone]

On 2012-01-02, Enrico Gregorio <Facile.d...@in.rete.it> wrote:
>
> Per ogni successione (x_n) a valori /nel/ /dominio/ di f, la
> quale converga al punto dato.
>
> Prova ad applicare la definizione con il limite nel caso
> di un punto isolato. :)
>

Embe'? In questo caso esiste solo la successione costante, ed infatti
qualunque funzione e' continua nei punti isolati del proprio dominio.

Simone

[Simone]

On 2012-01-02, Enrico Gregorio <Facile.d...@in.rete.it> wrote:
>

> Questo è esattamente dire che il limite coincide con il valore.
> Che è una definizione /sbagliata/.
>

Mi ero trattenuto dal rispondere, ma stavolta non ce la faccio. La definizione
con il limite e' /perfetta/, e basta ampliarla per convenzione ai punti isolati del dominio della funzione. Non capisco proprio che ci sia di male,
a definire la continuita' mediante il limite (ovviamente quando abbia
senso fare il limite e lo spazio sia T2).

Simone

[Tetis]

Enrico Gregorio scriveva il 02/01/2012 :
> Tetis <lje...@yahoo.it> scrive:
>
>> Scriveva Enrico Gregorio lunedì, 02/01/2012:

>>> Giorgio Pastore <pas...@units.it> scrive:
>>>
>>>> On 1/2/12 3:43 PM, Enrico Gregorio wrote:
>>>>> Giorgio Pastore<pas...@units.it> scrive: ...
>>>>>> A livello di descrizioni informali in realta' io preferisco dire che una
>>>>>> funzione e' continua in c se f(c) costituisce una ragionevole
>>>>>> approssimazione di f(x) in un intorno di c. ...

>>>>> Non sono d'accordo. La continuità ti dice che puoi ottenere

>>>>> un valore approssimato di f(c) se usi un opportuno valore di
>>>>> x abbastanza vicino a c;
>>>>
>>>> Era informale. Ma nel "ragionevole" c'e' esattamente il punto legato
>>>> all' "abbastanza vicino". Volendo esser espliciti l' approssimazione e'
>>>> ragionevole se la distanza tra f(x) e f(c) va a zero quando la
>>>> distanza di x da c va a zero.
>>>

>>> Questo è esattamente dire che il limite coincide con il valore.
>>> Che è una definizione /sbagliata/.

>>>
>>> Ciao
>>> Enrico
>>
>> Non capisco come fa ad essere /sbagliata/ lo intendi in senso

>> /didattico/? Perchè mi risulta che:
>>

>> f è continua in x0 punto del dominio se e solo se per ogni sequenza
>> {x_n }convergente a x0 si ha che il limite di f(x_n) è uguale al valore

>> della funzione in x0.
>
> Per ogni successione (x_n) a valori /nel/ /dominio/ di f, la
> quale converga al punto dato.

Questo lo davo per inteso.

> Prova ad applicare la definizione con il limite nel caso
> di un punto isolato. :)

Questo per me è effettivamente motivo di dubbio ma mi sembra che
/funzioni/ o non /funzioni/ secondo come si esplicita un'implicito
nella definizione di limite il mio prof. e molti libri scelgono di
assumere a priori che x0 sia punto di accumulazione del dominio e non è
definito negli altri casi (non che questo significhi che il limite non
esista altrove, solo che non è definito) del resto altri libri lasciano
intendere la possibilità di definire il limite come segue:


[conveniamo che V indichi (per ogni) ed E indichi (esiste) & indichi
(coniugazione logica), \in indica (elemento), {} indichi l'insieme
vuoto]

Se per definizione di limite di una funzione in x0 si pone:

Se x0 \in Chiusura[D[f]] ed E l: [V eps > 0 E delta > 0 : (V x | (0 <
|x - x0| < delta) & (E f(x)) ) : |f(x)-l| < eps] <--> [l è limite di
f(x) in x0]

N.b.: non ho scritto l è "il" limite per ragioni che saranno subito
evidenti.

In altre parole: per ogni intorno di l esiste un intorno U di x0 in
modo che per ogni x in U-{x0} in cui la funzione f sia definita risulti
che l'immagine è nell'intorno.

Con questa definizione ogni l ed ogni intorno di U va bene per il
principio della vacua verità:

http://en.wikipedia.org/wiki/Vacuous_truth

Cioè la definizione è verificata da ogni l per qualsiasi intorno di x0
dal momento che l'antecedente nella proposizione interna della
definizione è falso:

(V x | (0 < |x - x0| < delta) & (E f(x)) ) == Vx | x \in {} == Falso.

Se invece si formula la definizione come:

(se x0 punto di accumulazione del dominio D[f]) ed E l: [V eps > 0 E
delta > 0 : (V x | (0 < |x - x0| < delta) & (E f(x)) ) : |f(x)-l| <
eps] <--> [l è limite di f(x) in x0]

allora il limite in un punto isolato semplicemente non è definito e
questo non significa che non esiste.

Il teorema di unicità del limite vale in corrispondenza dei punti di
accumulazione e si può scrivere in tal caso l = lim x->x0 f(x).
Altrimenti si scrive l \in (lim x -> x0 f(x)).

Nel senso che il limite in un punto isolato del dominio a rigore è
qualsiasi, compreso il valore della funzione. E' quindi è lecito dire
che la funzione è continua se il valore della funzione è il limite
della funzione nel punto.

Con il limite delle sequenze convergenti funziona perfettamente e non
c'è altro da aggiungere.

> Ciao
> Enrico

[Enrico Gregorio]

Simone <adms...@googlemail.com> scrive:

È sbagliata non solo per la questione dei punti isolati.

Il limite viene logicamente /dopo/ la continuità: quando
ci domandiamo /perché/ una funzione /non/ è continua in un
certo punto e quanto si discosta dall'essere continua.

Ciao
Enrico

[Tetis]

Enrico Gregorio scriveva il 02/01/2012 :

Se studi le sequenze numeriche ed il loro limite il limite lo metti
tranquillamente prima della continuità.

[Tetis]

superpollo scriveva il 01/01/2012 :

> il contributo di tetis e', come di consueto, veramente interessante. io mi
> limito a segnalare questa pagina, opera di un ins. liceale:
>
> http://www.batmath.it/matematica/an_uno/cont_unif/cont_unif.htm
>
> e in particolare il teor. 3 che mi pare pertinente alla discussione in corso.
>
> bye

Il teorema 3 ammette naturalmente inverso se si considerano funzioni
d'intervallo (eventualmente aperto) a supporto limitato. L'estensione
continua di queste funzioni è uniformemente continua, perché le
funzioni continue su un intervallo compatto sono uniformemente
continue.

[Francesco]

"Enrico Gregorio" <Facile.d...@in.rete.it> ha scritto nel messaggio
news:010120121609268661%Facile.d...@in.rete.it...

> Certo, puoi dare tutti i nomi che ti pare. Il problema è
> principalmente didattico: nel linguaggio comune, "dis-" è
> un prefisso di negazione e quindi lo studente percepisce
> "la funzione ha un punto di discontinuità" come "la funzione
> non è continua".
>
> Fa' qualche indagine in proposito, se puoi. Vedrai che anche
> parecchi docenti hanno le idee confuse sull'argomento e che
> "x -> 1/x" è spesso considerata come una funzione non continua.
>

Riguardo alla funzione f=1/x ricordo che il prof
diceva che è continua nel suo dominio e presenta
una discontinuità di 2° specie in x=0.

Ogni volta sottolineava che i punti di discontinuità
si possono classificare ( hanno senso) solo per punti
che sono di accumulazione per il dominio.

Sto portandomi dietro ricordi e concetti errati?



__________ Informazioni da ESET Smart Security, versione del database delle firme digitali 6764 (20120103) __________

Il messaggio è stato controllato da ESET Smart Security.

www.nod32.it

[Tetis]

Francesco ha detto questo martedì :

> "Enrico Gregorio" <Facile.d...@in.rete.it> ha scritto nel messaggio
> news:010120121609268661%Facile.d...@in.rete.it...
>
>> Certo, puoi dare tutti i nomi che ti pare. Il problema è
>> principalmente didattico: nel linguaggio comune, "dis-" è
>> un prefisso di negazione e quindi lo studente percepisce
>> "la funzione ha un punto di discontinuità" come "la funzione
>> non è continua".
>>
>> Fa' qualche indagine in proposito, se puoi. Vedrai che anche
>> parecchi docenti hanno le idee confuse sull'argomento e che
>> "x -> 1/x" è spesso considerata come una funzione non continua.
>>
>
> Riguardo alla funzione f=1/x ricordo che il prof
> diceva che è continua nel suo dominio e presenta
> una discontinuità di 2° specie in x=0.
>
> Ogni volta sottolineava che i punti di discontinuità
> si possono classificare ( hanno senso) solo per punti
> che sono di accumulazione per il dominio.
>
> Sto portandomi dietro ricordi e concetti errati?

I ricordi sono certamente corretti, sui concetti penso che la
discussione di questo thread ti permetta di elaborare ampiamente in
modo critico personale i pro ed i contro delle diverse impostazioni e
la motivazione di fondo delle definizioni.