moltiplicatori di Lagrange

[Kiuhnm]

Dovrei usare i moltiplicatori di Lagrange per trovare le dimensioni di
un parallelepipedo di volume massimo inscritto nell'ellissoide
x^2/a^2 + y^2/b^2 + z^2/c^2 = 1,
ma non so come impostare la cosa.

Kiuhnm

[Maurizio Frigeni]

Se m � il moltiplicatore di Lagrange (non chiamarlo l se no si confonde
con 1) allora devi massimizzare la funzione F(x, y, z) = xyz soggetta al
vincolo di sopra G(x, y, z) =1. Perci�:

dF/dx = m dG/dx -> yz = m 2x/a^2
ecc.

Ottieni tre equazioni in x, y, z che risolvi tenendo m come parametro,
poi ricavi m sostituendo le soluzioni nell'equazione del vincolo.

M.

--
Per rispondermi via e-mail togli l'ovvio.

[cometa_luminosa]

Ci provo, ma non garantisco :-)

Il volume e' 8xyz = f(x,y,z). Il vincolo e' :

g(x,y,z) = 0

dove g(x,y,z) = x^2/a^2 + y^2/b^2 + z^2/c^2 - 1.

con 0 < x < a; 0 < y < b; 0 < z < c

Percio' si deve cercare le soluzioni di:

nabla f = lambda nabla g che si traduce in:

yz = lambda x/a^2
xz = lambda y/b^2
xy = lambda z/c^2

lambda = yz/x a^2 e sostituisco nelle altre due:

y = (b/a)x; z = (c/a) x

che poi sostituisco nel vincolo:

3 x^2/a^2 = 1 --> x = a/sqrt(3)

Analogamente si trova:

y = b/sqrt(3); z = c/sqrt(3)

Percio' V_max = 8 abc / [3sqrt(3)] .

--
cometa_luminosa

[Kiuhnm]

On 2/27/2013 18:35, Maurizio Frigeni wrote:
> Kiuhnm <kiuhnm03.4t.yahoo.it> wrote:
>
>> Dovrei usare i moltiplicatori di Lagrange per trovare le dimensioni di
>> un parallelepipedo di volume massimo inscritto nell'ellissoide
>> x^2/a^2 + y^2/b^2 + z^2/c^2 = 1,
>> ma non so come impostare la cosa.
>
> Se m � il moltiplicatore di Lagrange (non chiamarlo l se no si confonde
> con 1) allora devi massimizzare la funzione F(x, y, z) = xyz soggetta al
> vincolo di sopra G(x, y, z) =1.

Non capisco perch�. I valori x,y,z cosa sono? Le lunghezze dei lati?

Kiuhnm

[Kiuhnm]

On 2/27/2013 18:37, cometa_luminosa wrote:
> On Feb 27, 5:59 pm, Kiuhnm <kiuhnm03.4t.yahoo.it> wrote:
>> Dovrei usare i moltiplicatori di Lagrange per trovare le dimensioni di
>> un parallelepipedo di volume massimo inscritto nell'ellissoide
>> x^2/a^2 + y^2/b^2 + z^2/c^2 = 1,
>> ma non so come impostare la cosa.
>>
> Ci provo, ma non garantisco :-)

[...]

> Percio' V_max = 8 abc / [3sqrt(3)] .

S�, il risultato � corretto.

Kiuhnm

[cometa_luminosa]

On Feb 27, 7:03 pm, Kiuhnm <kiuhnm03.4t.yahoo.it> wrote:

> Non capisco perché. I valori x,y,z cosa sono? Le lunghezze dei lati?
>
Le semi-lunghezze dei lati, nei punti in cui il parallelepipedo
interseca l'ellissoide. Fissa un valore di z tra 0 e c: questo
determina il piano della faccia superiore del parallelepipedo. Adesso
hai un'ellisse, ovvero l'ellissoide tagliato da quel piano. Su questa
ellisse fissi ad arbitrio y tra 0 e b e trovi x.

--
cometa_luminosa

[cometa_luminosa]

On Feb 27, 7:14 pm, cometa_luminosa <alberto.r...@virgilio.it> wrote:

> Fissa un valore di z tra 0 e c: questo
> determina il piano della faccia superiore del parallelepipedo. Adesso
> hai un'ellisse, ovvero l'ellissoide tagliato da quel piano. Su questa
> ellisse fissi ad arbitrio y tra 0 e b e trovi x.

Scusa, mi correggo: questa ellisse avra' certi valori degli assi che
dipendono da z (sono a e b solo per z = 0).

--
cometa_luminosa

[Kiuhnm]

On 2/27/2013 19:14, cometa_luminosa wrote:
> On Feb 27, 7:03 pm, Kiuhnm <kiuhnm03.4t.yahoo.it> wrote:
>

>> Non capisco perch�. I valori x,y,z cosa sono? Le lunghezze dei lati?

>>
> Le semi-lunghezze dei lati, nei punti in cui il parallelepipedo
> interseca l'ellissoide.

Quindi x,y,z sono le coordinate di un vertice del parallelepipedo e
sfruttiamo sia la simmetria del parall. che dell'ellissoide.
Mi aspettavo che bisognasse procedere pi� in generale.
Per es. ci sono altri problemi dove mi si chiede il punto pi� vicino a
una curva e per semplice simmetria potrei gi� rispondere senza usare i
moltiplicatori di Lagrange!

Kiuhnm