Probabilita condizionata esercizio

[sander]

salve ,
devo svolgere questo esercizio :
siano Xe Y variabili aleatorie indipendenti esponenziali di parametro c
sia Z=X+Y
calcolare
fx(x|z)
e fz(z|x)

ho calcolato da pdf di z che viene fz(z) = c^2*z*e(-cz) per z>=0 e 0 altrove
ora per definizione

fz(z|x) : fxz(z,x)/fx(x)
e
fx(x|z)= fxz(x,z)/fz(z)

come calcolo la densita congiunta fxz?

il risultato è
fz(z|x)= c*e^(-cz+cx)
fx(x|z)= 1/z se 0<x<z

[Giorgio Bibbiani]

sander ha scritto:

> siano Xe Y variabili aleatorie indipendenti esponenziali di parametro
> c sia Z=X+Y
> calcolare
> fx(x|z)
> e fz(z|x)

Sia c > 0 e fy(y) la densita' di probabilita' di y >= 0:
fy(y) = c * exp(-c * y),
calcolo la funzione di ripartizione cdf(z|x), uso il fatto
che la probabilita' di ottenere, fissato un valore di x,
un valore di z minore di un dato z_0 e' uguale alla
probabilita' di ottenere un valore di y minore di z_0 - x:

se z < x => cdf(z|x) = 0
se z > x => cdf(z|x) = int_{0}^{z - x} fy(y) dy =
int_{0}^{z - x} c * exp(-c * y) dy = 1 - exp[-c(z - x)]

allora si ottiene la densita' di probabilita' condizionata:

fz(z|x) = @cdf(z|x)@z =
0 se z < x
c * exp[-c(z - x)] se z > x.


Calcolo ora la funzione di ripartizione cdf(x|z), sfrutto
il fatto che le distribuzioni di x e y sono indipendenti e
la densita' di probabilita' congiunta fxy(x, y) e' allora
il prodotto delle rispettive densita' di probabilita'
fxy(x, y) = fx(x) * fy(y):

se x > z => cdf(x|z) = 1
se x < z => cdf(x|z) =
int_{0}^{x}[int_{z - x}^{z} fxy(x', y') * DiracDelta(z - x' - y') dy'] dx' /
int_{0}^{z}[int_{0}^{z} fxy(x', y') * DiracDelta(z - x' - y') dy'] dx' =
int_{0}^{x} fx(x') * fy(z - x') dx' / int_{0}^{z} fx(x') * fy(z - x') dx' =

int_{0}^{x} c * exp(-c * x') * c * exp[-c(z - x')] dx' /
int_{0}^{z}c * exp(-c * x') * c * exp[-c(z - x')] dx' =
x / z

da cui si ottiene:

fx(x|z) = @cdf(x|z)@x =
0 se x > z
1 / z se 0 < x < z.

Ciao
--
Giorgio Bibbiani

[sander]

la prima parte del calcolo di CDF(Z|X)
è chiara,
mentre la seconda parte mi risulta di difficile comprensione
vedo che ci sta un rapporto di integrali
ha applicato Bayes?


In formula CDF(X|Z) = P(x<=x, z=z)/P(z=Z) ma z e continua e p(z=z)=0 per
ogni z
quindi
CDF(X|Z)=?
per capire a cosa si riferisce il rapporto tra i due integrali

[sander]

Ho provato a risolvere cosi la seconda parte :
fx(x|z) = fz(z|x)*fx(x) / int_0_z [ fz(z|x)*fx(x) ]
per il teorema di _Bayes
mi viene fx(x|z= (c^2 *e ^-cz)/(c^2 *e ^-cz *z) = 1/z

altra domanda
quando calcola
Fz(z|x)

se z > x => cdf(z|x) = int_{0}^{z - x} fy(y) dy =

questo deriva dal fatto che
Fy(y) : Integrale su DX di fy(y)

Con DX = insieme degli x appartenenti ad R tali che y<= z-x ?
opera in 1 variabile giusto?

Grazie mille

[Giorgio Bibbiani]

sander ha scritto:

> quando calcola
> Fz(z|x)
>
> se z > x => cdf(z|x) = int_{0}^{z - x} fy(y) dy =
>
> questo deriva dal fatto che
> Fy(y) : Integrale su DX di fy(y)
>
> Con DX = insieme degli x appartenenti ad R tali che y<= z-x ?
> opera in 1 variabile giusto?

Certamente quell'integrale opera in una variabile,
e non deve essere normalizzato perche' se z -> +oo
allora l'integrale -> 1, data la normalizzazione di fy(y).

Ciao
--
Giorgio Bibbiani

[sander]

ok grazie mille
qualche aiuto per l'altro esercizio che ho postato?

"Giorgio Bibbiani" ha scritto nel messaggio
news:4fca19d0$0$1383$4faf...@reader1.news.tin.it...