spostamento infinitesimo in coordinate sferiche
Davide Tagliavini
in coordinate polari sferiche (r,theta,phi) il vettore "spostamento
infinitesimo" �
( d_r, r*d_theta, r*sin(theta)*d_phi )
il testo che sto usando, di Fisica, � giunto a questa espressione in
modo qualitativo (i famosi "d_qualcosa" intesi come quantit�
infinitesime...)
In termini analitici, invece, come � possibile dedurre le espressioni
delle tre coordinate, magari non fermandomi al primo ordine??
Dalet
>in coordinate polari sferiche (r,theta,phi) il vettore "spostamento
>infinitesimo" �
>( d_r, r*d_theta, r*sin(theta)*d_phi )
Lo spostamento OP e' il seguente vettore:
(r=rho; f=phi; t=theta; c123 versori cartesio)
OP = r(cos f u + sen f c3);
u = cos t c1 + sen t c2;
r > 0; 0 <= t < 2pi; -pi/2 <= f <= pi/2.
La metrica e': diag[1 r^2 cos^2 f r^2], singolare
sull'asse z scelto.
--
Saluti, Dalet
Josh
Solo un appunto di carattere storico.
Lo spostamento infinitesimo in coordinate sferiche � nato per studiare
il moto dei leoni marini sulle palle da circo.
Ciao, Josh.
Pangloss
> Il 13-02-2010, Davide Tagliavini dice:
>>in coordinate polari sferiche (r,theta,phi) il vettore "spostamento
>>( d_r, r*d_theta, r*sin(theta)*d_phi )
>
> Lo spostamento OP e' il seguente vettore:
> (r=rho; f=phi; t=theta; c123 versori cartesio)
>
> OP = r(cos f u + sen f c3);
> u = cos t c1 + sen t c2;
> r > 0; 0 <= t < 2pi; -pi/2 <= f <= pi/2.
>
> La metrica e': diag[1 r^2 cos^2 f r^2], singolare
> sull'asse z scelto.
Dubito che D.T. ci abbia capito qualcosa: anche ammesso che sappia cosa
sia una metrica, palesemente non sa calcolarne la matrice.
E poi perchè cambi di nome le coordinate polari dell'OP senza motivo?
Ti ha fatto qualcosa di male D.T. oppure lo vuoi davvero aiutare?
Ciao. ;-)
--
Elio Proietti
Valgioie (TO)
Davide Tagliavini
wrote:
>
>Dubito che D.T. ci abbia capito qualcosa: anche ammesso che sappia cosa
>sia una metrica, palesemente non sa calcolarne la matrice.
>E poi perch� cambi di nome le coordinate polari dell'OP senza motivo?
>Ti ha fatto qualcosa di male D.T. oppure lo vuoi davvero aiutare?
>Ciao. ;-)
Infatti :)
Lo ringrazio per la risposta ma la teoria cui si richiama Dalet non la
conosco ancora.
Dalet
* * *
Il 14-02-2010, Davide Tagliavini dice:
>Infatti :)
>Lo ringrazio per la risposta ma la teoria cui si richiama Dalet non la
>conosco ancora.
Va be' scusa Davide non ho letto bene il tuo post, te le do
adesso, mi spiace per i nomi cambiati che m'ha gentilmente
indicato Pangloss, scambiateli tu se non non si capisce
piu' niente -- ma la latitudine non e' sempre phi?
la base locale e':
e1 = @OP/@r = cos(f) u + sen(f) c3
e2 = @OP/@t = r cos(f) dT
e3 = @OP/@f = r(-sen(f) u + cos(f) c3)
Questa base e123 e' ortogonale ma i suoi vettori non sono
tutti unitari, mentre lo sono u, T, c3, percio' calcolo il
loro modulo:
(T (sarebbe tau) e' il versore T=du/dt=-sen(t) c1 + cos(t) c2,
mentre @()/@() e' derivata parziale)
|e1|=1
|e2|=r*cos(f)
|e3|=r
(l'ho fatto con sqrt dalla matrice della metrica)
Pertanto se adotti una terna locale ortonormale devi passare
da e123 a questi E123 unitari:
e1 = E1
e2 = r*cos(f) E2
e3 = r E3
E finalmente puoi scrivere:
dP = dOP = E1 dr + r*cos(f) E2 + r E3 == (dr, r cos f dt, r df)
che e' la tua mutate le mutande.
--
Saluti, Dalet
Dalet
Qui mi son mangiato i differenziali.. era l'ora di cena:-(
ERRATA
>dP = dOP = E1 dr + r*cos(f) E2 + r E3 == (dr, r cos f dt, r df)
CORRIGE
>dP = dOP = E1 dr + r*cos(f) E2 dt + r E3 df == (dr, r cos f dt, r df)
--
Saluti, Dalet