Equazione della retta in 4 dimensioni

[Oceano]

L'equazione della retta nel piano la conosciamo, l'equazione della
retta in R^3 pure la conosciamo e ci deriva dalla intersezione di due
piani.

Ed in quattro dimensioni come la mettiamo?

Mi consigliate qualche libro di geometrie a 4 dimensioni?

--
Pace e Bene

[marco]

> L'equazione della retta nel piano la conosciamo, l'equazione della
> retta in R^3 pure la conosciamo e ci deriva dalla intersezione di due
> piani.
>
> Ed in quattro dimensioni come la mettiamo?

intersechi 3 iperpiani; ad esempio se chiami le coordinate x,y,z,w,
l'asse delle x e':
{y=0
{z=0
{w=0

y=0 e' un iperpiano (ha tre dimensioni), per ottenere un piano
intersechi due iperpiani; ad esempio il piano xy (contenente l'asse
delle x e delle y) e':
{z=0
{w=0

[Oceano]

marco <251ar...@gmail.com> ha scritto:

> > L'equazione della retta nel piano la conosciamo, l'equazione della
> > retta in R^3 pure la conosciamo e ci deriva dalla intersezione di due
> > piani.
> >
> > Ed in quattro dimensioni come la mettiamo?
>
> intersechi 3 iperpiani
>

L'iperpiano cosa è esattamente? E' un piano immerso in R^n con n> 3?

Per es io posso avere una retta immersa in R^2 oppure in R^3 ed ecco che
ottengo le relative equazioni.

Ora se prendo una retta e la immergo in R^n con n> 3 dovrei vare una iper-
retta?

grazie Marco:)

--
Pace e Bene

[marco]

> L'iperpiano cosa è esattamente? E' un piano immerso in R^n con n> 3?

no, e' un sottospazio di R^n di dimensione n-1
per n=3 un iperpiano e' un piano
per n=2 un iperpiano e' una retta

> Per es io posso avere una retta immersa in R^2 oppure in R^3 ed ecco che
> ottengo le relative equazioni.
>
> Ora se prendo una retta e la immergo in R^n con n> 3 dovrei vare una iper-
> retta?

no, rimane una retta, solo devi aggiungere qualche equazione

in R^2:
x-y=0

in R^3:
{x-y=0
{z=0

in R^4:
{x-y=0
{z=0
{w=0

[Oceano]

marco <251ar...@gmail.com> ha scritto:

> > L'iperpiano cosa è esattamente? E' un piano immerso in R^n con n> 3?
>
> no, e' un sottospazio di R^n di dimensione n-1
> per n=3 un iperpiano e' un piano
> per n=2 un iperpiano e' una retta
>

E allora in R^4 l'iperpiano cosa è esattamente?
Che equazione ha? E' un volume?

> >
> > Ora se prendo una retta e la immergo in R^n con n> 3 dovrei vare una iper-
> > retta?
>
> no, rimane una retta, solo devi aggiungere qualche equazione
>
> in R^2:
> x-y=0
>

Rimane proprio una retta ma nel piano rimane nel piano ovviamente... giusto?

>
> in R^3:
>
> {x-y=0
> {z=0
>

Perché in R^3 la retta non può stare ATTRAVERSO i piani?
Perché hai annullato la quota?

>
> in R^4:
> {x-y=0
> {z=0
> {w=0
>

Anche qui annulli la quota e poi anche la quarta coordinata.
Perché?

Per l'iperpiano hai fatto un ragionamento diverso...

ciao:)

--
Pace e Bene

[marco]

> > > L'iperpiano cosa è esattamente? E' un piano immerso in R^n con n> 3?
>
> > no, e' un sottospazio di R^n di dimensione n-1
> > per n=3 un iperpiano e' un piano
> > per n=2 un iperpiano e' una retta
>
> E allora in R^4 l'iperpiano cosa è esattamente?
> Che equazione ha? E' un volume?

se per te una retta e' una lunghezza, un piano una superfice allora
indubbiamente un iperpiano di R^4 e' un volume
tuttavia considera che R^4 ha 4 dimensioni e quindi l'iperpiano, pur
essendo "un volume" non riempie tutto R^4

un iperpiano in qualunque R^n puo' essere rappresentato da una
equazione lineare, cioe' di primo grado, ad esempio x-y=0 e' un
iperpiano

> > > Ora se prendo una retta e la immergo in R^n con n> 3 dovrei vare una iper-
> > > retta?
>
> > no, rimane una retta, solo devi aggiungere qualche equazione
>
> > in R^2:
> > x-y=0
>
> Rimane proprio una retta ma nel piano rimane nel piano ovviamente... giusto?

certo che rimane nel piano

> > in R^3:
>
> > {x-y=0
> > {z=0
>
> Perché in R^3 la retta non può stare ATTRAVERSO i piani?
> Perché hai annullato la quota?

puoi metterla dove ti pare la tua retta; ho solo fatto un esempio il
piu' semplice possibile

> > in R^4:
> > {x-y=0
> > {z=0
> > {w=0
>
> Anche qui annulli la quota e poi anche la quarta coordinata.
> Perché?

come sopra

[Oceano]

marco <251ar...@gmail.com> ha scritto:

>
>
> puoi metterla dove ti pare la tua retta; ho solo fatto un esempio il
> piu' semplice possibile
>
> > > in R^4:
> > > {x-y=0
> > > {z=0
> > > {w=0
> >
> > Anche qui annulli la quota e poi anche la quarta coordinata.
> > Perché?
>
> come sopra
>

nel caso dell'iperpiano hai legato x ed y e cioè z= x-y per es e quindi hai
scritto questo tipo di funzione e però l'hai immerso in R^4 giusto?

Ora siccome in R^4 abbiamo QUATTRO variabili non dovrebbe essere w= f(x,y,z)
l'iperpiano in R^4?

Per quanto riguarda la retta siccome RIMANE una retta e però viene IMMERSA ecco
che per es in R^2 la x è indipendente e la y dipendente ma in R^3 abbiamo x ed
y in qualche modo legate tra loro e z indipendente.

Ora ATTENZIONE per favore!! Io so come LEGARE x ed y in R^3 per ottenere una
retta....ma in R^4 come me le ricavo l''equazione della retta?

ESTENDO il fatto che in R^3 INTERSECO due piani ed ottengo la retta ed ecco che
intersecando due iperpiani in R^4 per es ecco che ottengo la retta?

E' così che devo ragionare?



--
Pace e Bene

[marco]

> nel caso dell'iperpiano hai legato x ed y e cioè z= x-y per es e quindi hai
> scritto questo tipo di funzione e però l'hai immerso in R^4 giusto?

z=x-y, che puoi scrivere anche x-y-z=0, e' l'equazione di un iperpiano
in qualunque R^n con n maggiore o uguale a 3

> Ora siccome in R^4 abbiamo QUATTRO variabili non dovrebbe essere w= f(x,y,z)
> l'iperpiano in R^4?

se f e' un polinomio di primo grado, w= f(x,y,z) e' l'equazione di un
iperpiano in qualunque R^n con n maggiore o uguale a 4
tuttavia non e' detto che nell'equazione di un iperpiano debbano
comparire tutte le coordinate
ad esempio in R^2 (nel piano) x=0 e' una retta e compare una sola
coordinata
in R^3 (nello spazio usuale) x=0 e' un piano e compare una sola
coordinata

> Per quanto riguarda la retta siccome RIMANE una retta e però viene IMMERSA ecco
> che per es in R^2 la x è indipendente e la y dipendente ma in R^3 abbiamo x ed
> y in qualche modo legate tra loro e z indipendente.

non e' vero
in R^2 x=0 e' una retta (e' l'asse delle y), y e' indipendente e x e'
fissata

in R^3 puoi considerare la retta
{x=0
{z=0
(che e' sempre l'asse delle y) come vedi y e' indipendente e comunque
non e' legata a x, z e' fissata

> Ora ATTENZIONE per favore!! Io so come LEGARE x ed y in R^3 per ottenere una
> retta....ma in R^4 come me le ricavo l''equazione della retta?
>
> ESTENDO il fatto che in R^3 INTERSECO due piani ed ottengo la retta ed ecco che
> intersecando due iperpiani in R^4 per es ecco che ottengo la retta?
>
> E' così che devo ragionare?

come ti ho gia' detto nella prima risposta, devi intersecare tre
iperpiani, non due

se intersechi due iperpiani di R^4 ottieni un piano

in sostanza ogni equazione che aggiungi diminuisce di uno la
dimensione dell'intersezione

[Oceano]

marco <251ar...@gmail.com> ha scritto:

>
>
> se intersechi due iperpiani di R^4 ottieni un piano
>

In R^3 se interseco due iperpiani(che sarebbero due piani) ottengo una retta.
Giusto? Per analogia ecco che per ottenere la retta immersa in R^4 devo
intersecare due iperpiani di R^4.

Non ho capito dove sbaglio.

>
> in sostanza ogni equazione che aggiungi diminuisce di uno la
> dimensione dell'intersezione
>

Non riesco a capire... per quanto riguarda poi le equazioni della retta e del
piano di cui si parlava io penso che sia conveniente riferirsi alla equazione
GENERALE della retta così come del piano perché altrimenti io mi confondo:)

--
Pace e Bene

[marco]

> > se intersechi due iperpiani di R^4 ottieni un piano
>
> In R^3 se interseco due iperpiani(che sarebbero due piani) ottengo una retta.
> Giusto? Per analogia ecco che per ottenere la retta immersa in R^4 devo
> intersecare due iperpiani di R^4.
>
> Non ho capito dove sbaglio.

0+0=0, 1*1=1 e quindi per analogia 2^2=2, no?

oppure interseca due iperpiani in R^2 (che sarebbero due rette):
ottieni una retta?

> > in sostanza ogni equazione che aggiungi diminuisce di uno la
> > dimensione dell'intersezione
>
> Non riesco a capire... per quanto riguarda poi le equazioni della retta e del
> piano di cui si parlava io penso che sia conveniente riferirsi alla equazione
> GENERALE della retta così come del piano perché altrimenti io mi confondo:)

in R^3 l'equazione generale del piano e' ax+by+cz+d=0
ad esempio 2x-y+2z-11=0
sei partito da R^3 (3 dimensioni), hai imposto una equazione e hai
ottenuto un oggetto (un piano) che ha 2 dimensioni

aggiungo un'altra equazione:
{2x-y+2z-11=0
{x+y+z+1=0
sei partito da un piano (2 dimensioni), hai aggiunto una equazione e
hai ottenuto un oggetto (una retta) che ha una dimensione

aggiungo un'altra equazione:
{2x-y+2z-11=0
{x+y+z+1=0
{-x+y+2z+2=0
queste tre equazioni rappresentano un punto (tre equazioni, tre
incognite, risolvi e trovi x, y, z)
sei partito da una retta (una dimensione), hai aggiunto una equazione
e hai ottenuto un oggetto (un punto) che ha dimensione zero

vedi che ogni equazione che aggiungi la dimensione diminuisce di uno?

[Oceano]

marco <251ar...@gmail.com> ha scritto:

>
>
> in R^3 l'equazione generale del piano e' ax+by+cz+d=0
>

Ecco bravo...in R^4 possiamo immergere un piano così come in R^3 immergiamo
una retta?
Oppure siamo costretti a ragionare in termini di iperpiano e basta?

>
>ad esempio 2x-y+2z-11=0
> sei partito da R^3 (3 dimensioni), hai imposto una equazione e hai
> ottenuto un oggetto (un piano) che ha 2 dimensioni
>

Per introdurre la retta in R^3 ecco che poi elaboro un sistema di due
equazioni del piano e cioè cerco i punti che hanno in comune
i due piani ovvero la retta a meno che i due piani non siano paralleli
ovviamente ma in quel caso in coordinate omogenee dovrei avere la retta
all'infinito.

Quindi seguiamo l'analogia di R^3 dove per ottenere la retta utilizzo
l'equazione di due piani in un sistema.
Inoltre il piano di R^3 è un iperpiano.

Un iperpiamo di R^3 deve soddisfare ad una equazione generale dove il PRODOTTO
SCALARE tra due punti(vettori) qualsiasi di R^3 DEVE essere uguale a zero in
modo che un punto(vettore) verrà denotato con le lettere a,b,c ed i punti del
piano x,y,z il prodotto SCALARE tra queste componenti con a, b, c, da tenersi
come COSTANTI nella equazione ecco che ci danno un piano in R^3 che è però per
definizione anche un IPERPIANO.

Giusto fino a qui? Sto seguendo bene?

Se ora ATTENZIONE vado in R^4 ecco che il vettore avrà QUATTRO componenti ed il
prodotto scalare mi darà un IPERPIANO questa volta ho come variabili x,y,z,w e
come costanti a,b,c,d.

Questo prodotto scalare eguagliato a ZERO ovviamente mi darà il piano di R^4 e
cioè l'iperpiano.

Giusto?

Per quanto riguarda la retta posso sempre fare l'equazione PARAMETRICA
VETTORIALE e cioè sommo due vettori con un parametro t che mi allunga e
accorcia uno dei due vettori ed ecco che ottengo una retta e la cosa vale sia
in R^2 che in R^3 con R maggiore di 3 poi non faccio altro che aumentare le
componenti e però DEVE essere sempre una somma tra le singole componenti e non
certo un prodotto scalare che per es mi darà un iperpiano e non una retta.

Giusto?

>
> aggiungo un'altra equazione:
> {2x-y+2z-11=0
> {x+y+z+1=0
> sei partito da un piano (2 dimensioni), hai aggiunto una equazione e
> hai ottenuto un oggetto (una retta) che ha una dimensione
>
> aggiungo un'altra equazione:
> {2x-y+2z-11=0
> {x+y+z+1=0
> {-x+y+2z+2=0
> queste tre equazioni rappresentano un punto (tre equazioni, tre
> incognite, risolvi e trovi x, y, z)
> sei partito da una retta (una dimensione), hai aggiunto una equazione
> e hai ottenuto un oggetto (un punto) che ha dimensione zero
>
> vedi che ogni equazione che aggiungi la dimensione diminuisce di uno?
>

Con i vettori la faccenda mi è molto più chiara. Con le equazioni devo pensare
alla intersezione di due iperpiano ecc
Con il sistema di equazioni è per me aggiungere dei VINCOLI e forse può andare
bene in meccanica analitica e però anche lì forse conviene usare i vettori.

Visto che sei così paziente nel darmi una mano....non è che puoi spiegarmi cosa
è un fibrato? Per es un fibrato tangente è un insieme di vettori tali che sono
tutti tangenti ad una data superficie di R^3 giusto? Quindi il fibrato tangente
è il piano tangente in certo senso?

Come si ragiona con i fibrati?

Grazie e ciao:)

--
Pace e Bene